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De grandes y pequeñas cosas o la paradoja de Banach y Tarski
 
Laura Elena Morales Guerrero
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Por­que to­das las co­sas, muy gran­des o muy pe­que­ñas, pue­den traer­se den­tro del do­mi­nio hu­ma­no con la ayu­da de las ma­te­má­ti­cas y de la ima­gi­na­ción. Pues a di­fe­ren­cia de los cien­tí­fi­cos, quie­nes ob­ser­van la na­tu­ra­le­za con los cin­co sen­ti­dos, los ma­te­má­ti­cos lo ha­cen con el sen­ti­do de la ima­gi­na­ción. Es su sex­to sen­ti­do y es­tán tan es­pe­cia­li­za­dos en su uso co­mo lo es­tán los mú­si­cos con los so­ni­dos, los gour­mets con los sa­bo­res y aro­mas, o los fo­tó­gra­fos y los ci­neas­tas con el sen­ti­do de la vis­ta. A tra­vés de sus crea­cio­nes úni­cas los ma­te­má­ti­cos nos in­for­man de la rea­li­dad sin pre­ten­der si­quie­ra de­mos­trar que al­go exis­te o no. Uno de los orí­ge­nes de las ma­te­má­ti­cas es­tá en la na­tu­ra­le­za ju­gue­to­na del ser hu­ma­no y es por eso que las ma­te­má­ti­cas no son só­lo una cien­cia si­no tam­bién un ar­te. Las ma­te­má­ti­cas son una crea­ción de la men­te, una co­lec­ción de co­sas que exis­te só­lo en la men­te, in­dis­tin­gui­bles unas de otras, y una co­lec­ción de de­cla­ra­cio­nes acer­ca de es­tas co­sas que se to­man por cier­tas. Ta­les de­cla­ra­cio­nes re­la­cio­nan es­tas co­sas in­ven­ta­das o ima­gi­na­das, y a par­tir de ellas el ma­te­má­ti­co des­cu­bre otras lla­ma­das teo­re­mas, las cua­les se abo­ca a de­mos­trar. En su­ma, el ma­te­máti­­co es un ar­tis­ta, su me­dio es la men­te y sus crea­cio­nes las ideas.
 
Las ma­te­má­ti­cas son erró­nea­men­te con­si­de­ra­das co­mo la cien­cia del sen­ti­do co­mún. Pe­ro és­tas tras­cien­den el sen­ti­do co­mún y van más allá de la ima­gi­na­ción y de la in­tui­ción. Es­to no quie­re de­cir que las ma­te­má­ti­cas no ten­gan re­le­van­cia en las creen­cias y ac­ti­vi­da­des irra­cio­na­les ca­rac­te­rís­ti­cas de los se­res hu­ma­nos, no. En­ten­der las ma­te­má­ti­cas nos pue­de ayu­dar enor­me­men­te en nues­tros in­ten­tos mul­ti­dis­ci­pli­na­rios por en­ten­der la na­tu­ra­le­za hu­ma­na. Es­cri­bi­re­mos aquí so­bre ma­te­má­ti­cas sin usar fór­mu­las y aun así po­dre­mos ex­pre­sar al­go de su sen­tir, aun­que se­rá co­mo ex­pre­sar el sen­ti­mien­to de un so­ne­to sin la for­ma de so­ne­to. No obs­tan­te, al­go del es­pí­ri­tu de las ma­te­má­ti­cas se pue­de sal­var. Ten­dría en­ton­ces que que­dar­se sin res­pues­ta una pre­gun­ta co­mo: ¿qué son las ma­te­má­ti­cas? Cual­quie­ra que sea su esen­cia, son tan li­bres co­mo la men­te y tan en­gan­cha­do­ras co­mo la ima­gi­na­ción. Las ma­te­má­ti­cas son el pro­pio tra­ba­jo del ser hu­ma­no su­je­to so­la­men­te a las li­mi­ta­cio­nes im­pues­tas por las le­yes del pen­sa­mien­to. La ma­te­má­ti­ca es una ac­ti­vi­dad go­ber­na­da por las mis­mas re­glas im­pues­tas a las sin­fo­nías de Beet­ho­ven, a las pin­tu­ras de Da Vin­ci y a la poe­sía de Ho­me­ro. De la mis­ma for­ma que las es­ca­las mu­si­ca­les, las le­yes de la pers­pec­ti­va y las re­glas de la mé­tri­ca pa­re­cen no te­ner lus­tre, las re­glas for­ma­les de las ma­te­má­ti­cas pu­die­ran pa­re­cer opa­cas. Pe­ro las ma­te­má­ti­cas al­can­zan pi­ná­cu­los tan al­tos co­mo los lo­gra­dos por la ima­gi­na­ción en sus ar­tis­tas más atre­vi­dos. Es­to en­cie­rra, qui­zás, la pa­ra­do­ja úl­ti­ma de la cien­cia: el mun­do de la ra­zón pura es más ex­tra­ño que el mun­do de la pu­ra fan­ta­sía.
 
 
El es­pa­cio ma­te­má­ti­co
 
 
To­do lo que ten­ga que ver con lo in­fi­ni­ta­men­te pe­que­ño o lo in­fi­ni­ta­men­te gran­de es pa­ra­dó­ji­co. En arit­mé­tica apren­de­mos que el to­do es ma­yor que sus par­tes. Pe­ro al tra­tar con el in­fi­ni­to ma­te­má­ti­co lo pri­me­ro que en­con­tra­mos es una pa­ra­do­ja: el to­do no es ma­yor que nin­gu­na de sus par­tes. Qué no ha­bría di­cho Ze­nón de es­to, él, tan es­cép­ti­co que era acer­ca de lo ob­vio. Las ma­te­má­ti­cas de lo in­fi­ni­ta­men­te gran­de de­ben mu­cho a Georg Can­tor. En cam­bio Karl Weier­strass es­tu­vo muy ocu­pa­do dis­po­nien­do de lo in­fi­ni­te­si­mal. De la exis­ten­cia de lo in­fi­ni­ta­men­te pe­que­ño po­dría reír­se cual­quie­ra pe­ro, ¿quién se atre­ve­ría a ha­cer­lo de lo in­fi­ni­ta­men­te gran­de? Cier­ta­men­te, Can­tor, no. El es­tu­dio del in­fi­ni­to en las ma­te­má­ti­cas de los nú­me­ros pu­ros es un re­to a la in­tui­ción, a nues­tras ex­pe­rien­cias co­ti­dia­nas y de­be ser res­pe­ta­do co­mo tal. Por otro la­do, en la vi­da real, en­tre las con­vic­cio­nes más pre­cia­das nin­gu­na co­mo nues­tras creen­cias acer­ca del es­pa­cio y tiem­po (¿es el es­pa­cio in­fi­ni­ta­men­te gran­de?), pe­ro nin­gu­na más di­fí­cil de ex­pli­car. Más aún, una co­sa es el es­pa­cio fí­si­co, el de la per­cep­ción sen­so­rial, y otro el del es­pa­cio ma­te­má­ti­co. Pa­ra en­ten­der es­te úl­ti­mo se de­ben de­jar de la­do to­das las no­cio­nes pre­con­ce­bi­das y apren­der de nue­vo el al­fa­be­to. Ha­blar del es­pa­cio ma­te­má­ti­co quie­re de­cir ha­blar de geo­me­tría, de va­rias cla­ses de geo­me­tría. Los ma­te­má­ti­cos las crean, y no pre­ci­sa­men­te en re­la­ción con fi­gu­ras. Es­tas geo­me­trías no tra­tan con na­da real; no des­cri­ben el es­pa­cio ac­ce­si­ble a nues­tros sen­ti­dos, el que ex­pli­ca­mos en tér­mi­nos de ver y to­car. Ha­blan acer­ca de pun­tos que no tie­nen di­men­sio­nes, de lí­neas que no tie­nen an­chu­ra y de pla­nos sin es­pe­sor. Nin­gu­na de las abs­trac­cio­nes e idea­li­za­cio­nes se pa­re­ce a na­da de lo que he­mos en­con­tra­do o ex­pe­ri­men­ta­do. Más aún, es­tos es­pa­cios no se res­trin­gen a las tres di­men­sio­nes en las que vi­vi­mos (o en las que cree­mos vi­vir), si­no que pue­den ser de 4, 5, …n di­men­sio­nes. Y si es­tas nue­vas geo­me­trías son úti­les pa­ra al­go, eso no le con­cier­ne al ma­te­má­ti­co. Él es el sas­tre de la cien­cia: ha­ce los tra­jes, cual­quie­ra que que­pa en ellos pue­de usar­los. Pa­ra po­ner­lo de otra for­ma, el ma­te­má­ti­co ha­ce las re­glas del jue­go; el que quie­ra pue­de ju­gar en tan­to ob­ser­ve esas re­glas. No tie­ne sen­ti­do que­jar­se des­pués de que el jue­go no sir­vió pa­ra na­da.
 
Por ejem­plo, la no­ción de una cuar­ta di­men­sión, aun cuan­do es muy pre­ci­sa, es muy abs­trac­ta; pa­ra la gran ma­yo­ría es­tá más allá de la ima­gi­na­ción. El de­sa­rro­llo de es­tas ideas obe­de­ce más a un de­seo in­fan­til de con­sis­ten­cia que a cual­quier otra co­sa. Con esas mis­mas mo­ti­va­cio­nes de con­sis­ten­cia y ge­ne­ra­li­dad los ma­te­má­ti­cos de­sa­rro­lla­ron los nú­me­ros ne­ga­ti­vos, los nú­me­ros ima­gi­na­rios y los tras­cen­den­ta­les. No fue si­no a tra­vés de una lu­cha que es­tas ideas, aho­ra co­mu­nes, se in­tro­du­je­ron en ma­te­má­ti­cas, ya que na­die ha vis­to me­nos tres va­cas o la raíz cua­dra­da de me­nos un ár­bol. Al­go si­mi­lar su­ce­de con la cuar­ta di­men­sión. Co­men­zan­do, co­mo es usual, con Aris­tó­te­les, se pro­bó una y otra vez que una cuar­ta di­men­sión era im­pen­sa­ble e im­po­si­ble; pa­re­ció con­cluir por in­duc­ción que no hay trans­fe­ren­cia en otra geo­me­tría y el ad­mi­ra­ble To­lo­meo lo pro­bó. No obs­tan­te, la geo­me­tría de cua­tro y aun di­men­sio­nes ma­yo­res es una par­te in­dis­pen­sa­ble de las ma­te­má­ti­cas. Pe­ro eso no es to­do. Por al­gu­na ra­zón mis­te­rio­sa de las que siem­pre hay, fe­liz­men­te, las apli­ca­cio­nes de la geo­me­tría de cua­tro di­men­sio­nes a la fí­si­ca, al mun­do fí­si­co, tra­je­ron al mun­do el ni­ño no de­sea­do: ¡el tiem­po!, que fue en­ton­ces re­co­no­ci­do y bau­ti­za­do co­mo la cuar­ta di­men­sión. Los fí­si­cos po­drán con­si­de­rar al tiem­po co­mo una cuar­ta di­men­sión pe­ro el ma­te­má­ti­co no. Él se que­ja de su in­ca­pa­ci­dad pa­ra mos­trar la cuar­ta di­men­sión co­mo al­go más con­cre­to que el tiempo.
 
 
Una pri­me­ra pa­ra­do­ja
 
 
En­tre las in­no­va­cio­nes en ma­te­má­ti­cas del úl­ti­mo cuar­to de si­glo es­tá el de­sa­rro­llo de un par de teo­rías: la de con­jun­tos pun­tua­les y la de fun­cio­nes de va­ria­ble real. Ba­sán­do­se en­te­ra­men­te en es­tos mé­to­dos de aná­li­sis ma­te­má­ti­co se lo­gró un ma­yor ri­gor y ge­ne­ra­li­dad en la geo­me­tría; ma­yor de lo que po­dría ima­gi­nar­se en el ca­so de que la cien­cia se hu­bie­ra de­sa­rro­lla­do só­lo por me­dios in­tui­ti­vos. Se en­con­tró que to­das las ideas geo­mé­tri­cas con­ven­cio­na­les, in­clu­yen­do la idea de la “geo­me­tría de hu­le” (la to­po­lo­gía), se po­drían re­de­fi­nir con exac­ti­tud ma­yor ape­lan­do a la idea de agre­ga­dos y a las nue­vas he­rra­mien­tas de aná­li­sis. Sin em­bar­go una pa­ra­do­ja no­ta­ble que se man­tu­vo es­con­di­da es su­fi­cien­te, en sí mis­ma, pa­ra mos­trar que nues­tras ideas in­tui­ti­vas acer­ca de di­men­sio­na­li­dad y área, no ca­ren­tes de pre­ci­sión, son a me­nu­do, com­ple­ta­men­te con­fu­sas y que no bas­tan las nue­vas he­rra­mien­tas pa­ra re­sol­ver­las. Es­ta pa­ra­do­ja es una cons­truc­ción pu­ra­men­te teó­ri­ca de con­jun­tos ma­te­má­ti­cos. Las pie­zas in­vo­lu­cra­das en una par­ti­ción así son tan di­fe­ren­tes, den­ta­das, re­cor­ta­das en los bor­des de un mo­do de­si­gual y tan exó­ti­cas, que no tie­nen una no­ción de vo­lu­men bien de­fi­ni­da o una me­di­da aso­cia­da a ellas. Así, una pe­lo­ta que tie­ne un vo­lu­men de­fi­ni­do se pue­de di­vi­dir en mu­chas pie­zas que se pue­den reen­sam­blar, por ro­ta­cio­nes en el es­pa­cio real, pa­ra for­mar dos o aun un mi­llón de pe­lo­tas ¡ca­da una idén­ti­ca a la ori­gi­nal! La for­ma de las pie­zas de­sa­fía nues­tra con­cep­ción de área y vo­lu­men. Lo que la pa­ra­do­ja mues­tra es que no im­por­ta qué tan­to se es­fuer­ce na­die en de­fi­nir un vo­lu­men, lo cual pa­re­ce muy in­tui­ti­vo pa­ra no­so­tros, de ma­ne­ra que co­rres­pon­da con nues­tra de­fi­ni­ción usual pa­ra con­jun­tos “bo­ni­tos”, siem­pre ha­brá con­jun­tos “ma­los” pa­ra los cua­les sea im­po­si­ble de­fi­nir un vo­lu­men.
 
La pa­ra­do­ja sur­ge al tra­tar de ase­gu­rar que se pue­de asig­nar un nú­me­ro, lla­ma­do me­di­da, a ca­da fi­gu­ra en el pla­no pa­ra que se sa­tis­fa­gan las tres con­di­cio­nes si­guien­tes: 1) dos fi­gu­ras con­gruen­tes tie­nen la mis­ma me­di­da. La pa­la­bra con­gruen­te se usa­rá en el mis­mo sen­ti­do en que se apren­dió en geo­me­tría ele­men­tal, es de­cir, en el sen­ti­do de que dos fi­gu­ras son con­gruen­tes si ocu­pan el mis­mo lu­gar en el es­pa­cio aun en po­si­cio­nes dis­tin­tas; 2) si una fi­gu­ra se di­vi­de en dos par­tes, la su­ma de las me­di­das asig­na­das a ca­da una de las dos par­tes es exac­ta­men­te igual a la me­di­da asig­na­da a la fi­gu­ra ori­gi­nal; 3) co­mo mo­de­lo pa­ra de­ter­mi­nar el mé­to­do de asig­nar una me­di­da a ca­da fi­gu­ra en el pla­no, se acor­dó que la me­di­da 1 de­be­ría asig­nar­se al cua­dra­do cu­yo la­do tie­ne lon­gi­tud 1. Es­te con­cep­to de me­di­da equi­va­le al área de una fi­gu­ra en un pla­no. Pe­ro de­be te­ner­se en cuen­ta que es­te con­cep­to se in­tro­du­jo co­mo un ejer­ci­cio ge­ne­ral y teó­ri­co y no co­mo la vas­ta y ob­via­men­te im­po­si­ble ta­rea de real­men­te me­dir ca­da fi­gu­ra con­ce­bi­ble. El pro­ble­ma se con­si­de­ra­ba re­suel­to si se po­día dar una prue­ba teó­ri­ca de que a ca­da fi­gu­ra se le po­dría asig­nar una me­di­da úni­ca; el en­fo­que de­bía ser ana­lí­ti­co (por me­dio de con­jun­tos pun­tua­les) y no geo­mé­tri­co. Aquí vie­ne en­ton­ces la de­ba­cle. Se des­cu­brió el he­cho sor­pren­den­te de que el mis­mo pro­ble­ma, cuan­do se ex­ten­día a las su­per­fi­cies, no só­lo no era so­lu­ble si­no que lle­va­ba a las pa­ra­do­jas más des­con­cer­tan­tes. En el ca­so de la su­per­fi­cie de la es­fe­ra, por ejem­plo, los mis­mos mé­to­dos que re­sul­ta­ron fruc­tí­fe­ros al in­ves­ti­gar en el pla­no fue­ron ina­de­cua­dos pa­ra de­ter­mi­nar una me­di­da úni­ca. Las con­di­cio­nes pa­ra asig­nar una me­di­da a una su­per­fi­cie son si­mi­la­res a las de las fi­gu­ras en el pla­no da­das arri­ba, con la sal­ve­dad de que la con­di­ción 3 cam­bia a: si S de­no­ta la su­per­fi­cie to­tal de una es­fe­ra de ra­dio r, la me­di­da asig­na­da a S se­rá 4πr2. El avan­ce en la teo­ría de fun­cio­nes y los nue­vos mé­to­dos de aná­li­sis re­sol­vie­ron al­gu­nos de es­tos pro­ble­mas, pe­ro in­tro­du­je­ron otros re­la­cio­na­dos con el in­fi­ni­to, y la pre­sen­cia de ese con­cep­to, co­mo to­dos los ma­te­má­ti­cos lo han sa­bi­do des­de siem­pre, de nin­gún mo­do es una ben­di­ción. Han po­di­do avan­zar a gran­des sal­tos ha­cia de­lan­te, sí, pe­ro no sin la som­bra de la in­cer­ti­dum­bre. Por su­pues­to que se pue­de uno que­dar con la fór­mu­la pa­ra el área de la es­fe­ra por la sim­ple ra­zón de que fun­cio­na. Pe­ro si al­guien se quie­re man­te­ner al pa­so del abier­to e in­can­sa­ble es­pí­ri­tu ma­te­má­ti­co se to­pa con las in­con­for­ta­bles al­ter­na­ti­vas de aban­do­nar la ló­gi­ca pa­ra man­te­ner los con­cep­tos clá­si­cos o acep­tar los re­sul­ta­dos pa­ra­dó­ji­cos del nue­vo aná­li­sis y man­dar a vo­lar lo sen­sa­to.
 
 
La pa­ra­do­ja de Haus­dorff
 
 
El ma­te­má­ti­co ale­mán Haus­dorff cons­tru­yó una pa­ra­do­ja en ver­dad no­ta­ble y mos­tró que el pro­ble­ma de la es­fe­ra es in­so­lu­ble, que no se pue­de asig­nar una me­di­da úni­ca a la su­per­fi­cie de la es­fe­ra de for­ma que las con­di­cio­nes men­cio­na­das se sa­tis­fa­gan. Mos­tró que si la su­per­fi­cie de una es­fe­ra se di­vi­de en tres par­tes dis­tin­tas se­pa­ra­das: A, B y C, de ma­ne­ra que A sea con­gruen­te con B, y B sea con­gruen­te con C, sur­ge una pa­ra­do­ja ex­tra­ña que nos re­cuer­da fuer­te­men­te al­gu­nas de las pa­ra­do­jas de la arit­mé­ti­ca trans­fi­ni­ta, y de he­cho es­tá re­la­cio­na­da con ellas. Haus­dorff pro­bó que no só­lo A es con­gruen­te con C, co­mo se es­pe­ra­ría, si­no que tam­bién A es con­gruen­te con B+C. ¿Cuá­les son las im­pli­ca­cio­nes de es­te re­sul­ta­do des­con­cer­tan­te? Vea­mos; si se asig­na una me­di­da a A, la mis­ma me­di­da de­be asig­nar­se a B y a C, da­do que A es con­gruen­te con B, B es con­gruen­te con C, y A es con­gruen­te con C. Pe­ro, por otro la­do, pues­to que A es con­gruen­te con B+C, la me­di­da asig­na­da a A ten­dría que ser la mis­ma que la su­ma de las me­di­das asig­na­das a B y a C. Ob­via­men­te tal re­la­ción po­dría va­ler só­lo en el ca­so en que las me­di­das asig­na­das a A, B y C fue­ran ce­ro. Pe­ro eso es im­po­si­ble por la con­di­ción 3. De acuer­do con ella, la su­ma de las me­di­das asig­na­das a las par­tes de la su­per­fi­cie de una es­fe­ra de­be ser igual a 4πr2. ¿Có­mo en­ton­ces se asig­na la me­di­da? Es­ta­mos an­te una con­tra­dic­ción de­ses­pe­ran­za­da.
 
 
La pa­ra­do­ja de Ba­nach y Tars­ki
 
 
Dos dis­tin­gui­dos ma­te­má­ti­cos po­la­cos, Ba­nach y Tars­ki, ex­ten­die­ron las im­pli­ca­cio­nes del teo­re­ma pa­ra­dó­ji­co de Haus­dorff al es­pa­cio tri­di­men­sio­nal con re­sul­ta­dos tan in­creí­bles y alar­man­tes que no en­cuen­tran igual en to­das las ma­te­má­ti­cas. Las con­clu­sio­nes, aun cuan­do son ri­gu­ro­sas e im­pe­ca­bles, son ca­si tan in­creí­bles pa­ra el ma­te­má­ti­co co­mo pa­ra el le­go. Ima­gi­ne­mos dos cuer­pos en el es­pa­cio tri­di­men­sio­nal: uno muy pe­que­ño, co­mo un chí­cha­ro, y otro muy gran­de, co­mo el Sol. Pen­se­mos tam­bién en una na­ran­ja en­te­ra. Re­cor­de­mos que nos re­fe­ri­re­mos no a las su­per­fi­cies de es­tas es­fe­ras si­no a las es­fe­ras só­li­das com­ple­tas. La pa­ra­do­ja de Ba­nach y Tars­ki sos­tie­ne que en teo­ría es po­si­ble cor­tar una na­ran­ja en cier­to nú­me­ro de pie­zas que pue­den reen­sam­blar­se pa­ra pro­du­cir dos na­ran­jas, ca­da una ¡del mis­mo ta­ma­ño y vo­lu­men que la ori­gi­nal! La ver­sión al­ter­na di­ce que es po­si­ble cor­tar un chí­cha­ro en un nú­me­ro fi­ni­to de par­tes y reen­sam­blar­las pa­ra for­mar una pe­lo­ta só­li­da ¡del ta­ma­ño del Sol!
Pa­ra te­ner una idea de có­mo se ha­ce es­to en la teo­ría, lla­me­mos S al Sol y di­vi­dá­mos­lo en mu­chas par­tes pe­que­ñas. Ca­da par­te es in­de­pen­dien­te y dis­tin­ta de las de­más y la to­ta­li­dad de las par­tes es un cier­to nú­me­ro. De­síg­nen­se es­tas par­tes con s1, s2, s3,… sn, que jun­tas ha­cen la es­fe­ra to­tal S. Si­mi­lar­men­te el chí­cha­ro se­rá S’ y se di­vi­di­rá en un nú­me­ro igual de par­tes mu­tua­men­te ex­clu­yen­tes, s’1, s’2, s’3,… s’n, las cua­les jun­tas for­man el chí­cha­ro. La pro­po­si­ción di­ce que si el Sol y el chí­cha­ro se han cor­ta­do de tal for­ma que la pe­que­ña por­ción s1 del Sol es con­gruen­te con la par­te­ci­ta s’1 del chí­cha­ro y s2 es con­gruen­te con s’2, y s3 lo es con s’3 y así su­ce­si­va­men­te has­ta que sn sea con­gruen­te con s’n, el pro­ce­so ago­ta­rá no só­lo to­das las par­tes del chí­cha­ro si­no tam­bién to­das las par­tes del Sol. En otras pa­la­bras, el Sol y el chí­cha­ro se han di­vi­di­do de ma­ne­ra que un cier­to nú­me­ro de par­tes dis­yun­tas de ca­da uno es con­gruen­te con una úni­ca par­te del otro y des­pués de que ca­da pe­que­ña por­ción del chí­cha­ro se ha com­pa­ra­do con una pe­que­ña por­ción del Sol no so­bra nin­gu­na par­te del Sol. Es­to es una sim­ple co­rres­pon­den­cia uno a uno en­tre los ele­men­tos del con­jun­to que co­rres­pon­de al Sol y los ele­men­tos del otro con­jun­to que co­rres­pon­de al chí­cha­ro. La pa­ra­do­ja es­tá en el he­cho de que ca­da ele­men­to es com­pa­ra­do con otro con el que es com­ple­ta­men­te con­gruen­te o idén­ti­co en for­ma y ta­ma­ño y que hay su­fi­cien­tes ele­men­tos en el con­jun­to que ha­ce al chí­cha­ro pa­ra com­pa­rar con los ele­men­tos que ha­cen al Sol. Sí, sue­na te­rri­ble, des­ca­be­lla­do. ¿Có­mo es po­si­ble que ha­ya una for­ma de di­vi­dir una es­fe­ra tan gran­de co­mo el Sol en par­tes se­pa­ra­das don­de nin­gún par de par­tes ten­ga nin­gún pun­to en co­mún y aun así, sin com­pri­mir o dis­tor­sio­nar nin­gu­na par­te, el Sol en­te­ro pue­da ajus­tar­se de ma­ne­ra que po­da­mos sos­te­ner­lo en la pal­ma de la ma­no? Más aún, las par­tes com­po­nen­tes del chí­cha­ro pue­den reen­sam­blar­se, sin ex­pan­dir­se o dis­tor­sio­nar­se y sin que nin­gu­na ten­ga nin­gún pun­to en co­mún con otra, de for­ma que lle­nen el uni­ver­so en­te­ro sin de­jar nin­gún es­pa­cio li­bre, sea en el in­te­rior del chí­cha­ro o en el Uni­ver­so mis­mo. So­la­men­te con he­rra­mien­tas ma­te­má­ti­cas es­pe­cia­li­za­das po­de­mos ex­pli­car có­mo una ase­ve­ra­ción tan en con­tra de la in­tui­ción pue­de ser cierta.
 
Nin­gún cuen­to de ha­das, nin­gu­na fan­ta­sía de no­ches ára­bes ni sue­ño afie­bra­do al­guno pue­den com­pa­rar­se con es­te teo­re­ma de du­ra ló­gi­ca ma­te­má­ti­ca. Aun cuan­do los teo­re­mas de Haus­dorff, de Ba­nach y Tars­ki, no pue­den, has­ta el mo­men­to, ser lle­va­dos a la prác­ti­ca ni si­quie­ra por aque­llos que es­pe­ran po­der em­pa­car sus abul­ta­das per­te­nen­cias en un pe­que­ño ma­le­tín de fin de se­ma­na o por quie­nes es­pe­ran po­der re­pro­du­cir los hue­vos de oro, per­ma­ne­cen co­mo un re­to mag­ní­fi­co pa­ra la ima­gi­na­ción y co­mo un tri­bu­to a la con­cep­ción ma­te­má­ti­ca. Por­que úni­ca­men­te la ima­gi­na­ción po­ne un lí­mi­te a las apli­cacio­nes del teo­re­ma de Ba­nach y Tars­ki.
Pe­ro la pa­ra­do­ja no es nin­gún sin sen­ti­do. De­bi­do al axio­ma de elec­ción, exis­ten con­jun­tos que no tie­nen un vo­lu­men me­di­ble. Es po­si­ble en­ton­ces des­com­po­ner los con­jun­tos y reen­sam­blar­los con un vo­lu­men ma­yor. Es­to no fun­cio­na si no se cree en el axio­ma de elec­ción. El cual es pre­ci­sa­men­te eso: un axio­ma. Es de­cir que se ha pro­ba­do que el axio­ma de elec­ción no pue­de ser pro­ba­do o des­a­pro­ba­do y es mo­ti­vo de dis­cu­sio­nes téc­ni­cas y fi­lo­só­fi­cas su uso en el teo­re­ma de Ba­nach y Tars­ki por­que en la prue­ba de es­te teo­re­ma se usó el axio­ma de elec­ción. Y es po­si­ble mos­trar que es im­po­si­ble ha­cer­lo sin el axio­ma de elec­ción. Se­gu­ra­men­te Ba­nach y Tars­ki se sin­tie­ron co­mo Eins­tein cuan­do qui­so des­ha­cer­se del prin­ci­pio de in­cer­ti­dum­bre en fí­si­ca. Al pa­re­cer Ba­nach y Tars­ki es­pe­ra­ban que su re­sul­ta­do ani­ma­ra a los ma­te­má­ti­cos a des­car­tar el axio­ma de elec­ción. Se sin­tie­ron in­fe­li­ces cuan­do la res­pues­ta ge­ne­ral fue: ¡Hey, el axio­ma de elec­ción es fa­bu­lo­so!, ¿de qué otra for­ma po­dría­mos ob­te­ner re­sul­ta­dos “con­tra-in­tui­ti­vos” tan bo­ni­tos? Se ha ar­gu­men­ta­do que el re­sul­ta­do es tan “con­tra-in­tui­ti­vo”, tan pa­ten­te­men­te fal­so en el mun­do real, que una de las su­po­si­cio­nes fun­da­men­ta­les de­be ser in­co­rrec­ta, y ge­ne­ral­men­te se es­co­ge al axio­ma de elec­ción co­mo el cul­pa­ble. Sin em­bar­go, re­sul­ta­dos ex­tra­ños que no de­pen­den del axio­ma de elec­ción abun­dan en ma­te­má­ti­cas. Por otro la­do, el axio­ma de elec­ción es con­sis­ten­te con los otros axio­mas de la teo­ría de con­jun­tos. De ahí que la pa­ra­do­ja de Ba­nach y Tars­ki sea, al me­nos, con­sis­ten­te.
 
 
Las fa­la­cias ma­te­má­ti­cas
 
 
Hay otros jue­gos men­ta­les que no son pro­pia­men­te pa­ra­do­jas y se co­no­cen co­mo fa­la­cias ma­te­má­ti­cas. Sur­gen tan­to en arit­mé­ti­ca co­mo en geo­me­tría y se en­cuen­tran, aun cuan­do no muy a me­nu­do, en las ra­mas al­tas de las ma­te­má­ti­cas co­mo, por ejem­plo, en cál­cu­lo o en las se­ries in­fi­ni­tas. Ade­más de su as­pec­to di­ver­ti­do, mues­tran có­mo una ca­de­na de ra­zo­na­mien­tos pue­de vi­ciar­se por com­ple­to de­bi­do a un pa­so mal da­do, aun­que la ma­yo­ría de ellas son de­ma­sia­do tri­via­les pa­ra me­re­cer aten­ción.
 
Un ejem­plo fa­mo­so tra­ta del in­fi­ni­to. El in­fi­ni­to, en ma­te­má­ti­cas, es siem­pre in­gra­to, a me­nos que sea tra­ta­do pro­pia­men­te. Una se­rie que preo­cu­pó a Leib­nitz es la te­rri­ble­men­te sim­ple su­ma de unos: 1-1+1-1+1-1 +1…ad in­fi­ni­tum. Apa­rean­do los tér­mi­nos de ma­ne­ras dis­tin­tas, se ob­tie­ne una va­rie­dad de re­sul­ta­dos; por ejem­plo, (1-1)+(1-1|)+(1-1)+…=0. Pe­ro tam­bién, 1-(1-1)-(1-1)…=¡1!
 
Al igual que en los cuen­tos y le­yen­das po­pu­la­res, las pa­ra­do­jas ló­gi­cas tie­nen sus an­te­ce­den­tes en los tiem­pos an­ti­guos. Ha­bién­do­se ocu­pa­do de la fi­lo­so­fía y de las ba­ses de la ló­gi­ca, los grie­gos for­mu­la­ron al­gu­nos acer­ti­jos y pro­ble­mas cap­cio­sos que en tiem­pos re­cien­tes han vuel­to a con­ta­mi­nar a los ma­te­má­ti­cos y a los fi­ló­so­fos. Mu­chos de ellos, no re­suel­tos con el uso de la ló­gi­ca, son cau­sa­dos por lo que se co­no­ce co­mo la fa­la­cia del cír­cu­lo vi­cio­so, la cual se ori­gi­na al “ig­no­rar el prin­ci­pio fun­da­men­tal de que lo que in­vo­lu­cra el to­do de un to­tal da­do, no pue­de, en sí mis­mo, ser un miem­bro de la to­ta­li­dad”. Ejem­plos sim­ples de es­to son esas fra­ses pon­ti­fi­cias que pa­re­cen te­ner un gran sig­ni­fi­ca­do pe­ro que en rea­li­dad no tie­nen nin­gu­no. Ta­les co­mo: “Nun­ca di­gas nun­ca”. “To­das las re­glas tie­nen ex­cep­cio­nes”. “To­das las ge­ne­ra­li­da­des son fal­sas”.
 
En­tre al­gu­nas de las más avan­za­das es­tá la si­guien­te: “El bar­be­ro del pue­blo ra­su­ra a to­dos los que no se ra­su­ran a sí mis­mos”. Es­te prin­ci­pio pron­to lo en­vuel­ve en una con­tra­dic­ción dia­léc­ti­ca: ¿de­be el bar­be­ro ra­su­rar­se a sí mis­mo? Si lo ha­ce en­ton­ces es­tá ra­su­ran­do a al­guien que se ra­su­ra a sí mis­mo y rom­pe la pro­pia re­gla. Si no lo ha­ce, ade­más de que­dar­se bar­bu­do, tam­bién rom­pe su re­gla al no ra­su­rar a una per­so­na del pue­blo que no se ra­su­ra a sí mis­ma… El uso de la pa­la­bra to­dos es pe­li­gro­so en ma­te­má­ti­cas.
 
En otra si­tua­ción, con­si­dé­re­se el he­cho de que ca­da nú­me­ro en­te­ro pue­de ex­pre­sar­se en pa­la­bras, sin usar sím­bo­los. Así se tie­ne que 1 400 se pue­de es­cri­bir mil cua­tro­cien­tos o 1 769 823 co­mo un mi­llón se­te­cien­tos se­sen­ta y nue­ve mil ocho­cien­tos vein­ti­trés. Es evi­den­te que cier­tos nú­me­ros re­quie­ren más pa­la­bras que otros; en ge­ne­ral, mien­tras más gran­de sea el nú­me­ro, se ne­ce­si­ta­rán más pa­la­bras pa­ra ex­pre­sar­lo. El pri­mer ca­so re­quie­re dos pa­la­bras, el se­gundo nue­ve. Aho­ra bien, pue­de es­ta­ble­cer­se, ¿por qué no?, que cier­tos nú­me­ros re­que­ri­rán más de do­ce pa­la­bras y otras me­nos de do­ce. Más aún, no es di­fí­cil mos­trar que en­tre los nú­me­ros que re­quie­ren exac­ta­men­te do­ce pala­bras hay uno que es el más pe­que­ño de ellos. En­ton­ces, es fá­cil ver que “el nú­me­ro más pe­que­ño no ex­pre­sa­ble en me­nos de do­ce pa­la­bras” es una fra­se que des­cri­be al nú­me­ro es­pe­cí­fi­co 101 131 131 (cien­to un mi­llo­nes cien­to trein­ta y un mil cien­to trein­ta y uno) en ¡11 pa­la­bras! Por tan­to te­ne­mos una con­tra­dic­ción: el nú­me­ro me­nor ex­pre­sa­ble en do­ce pa­la­bras, se pue­de ex­pre­sar tam­bién en las once pa­la­bras de la fra­se en­tre co­mi­llas.
 
 
Los ma­te­má­ti­cos y las pa­ra­do­jas
 
 
Y así co­mo es­tos ca­sos con­tra­dic­to­rios, hay otros en ma­te­má­ti­cas. Tal vez la pa­ra­do­ja más gran­de sea que ha­ya pa­ra­do­jas en ma­te­má­ti­cas. Las pa­ra­do­jas ló­gi­cas aquí pre­sen­ta­das no son tru­cos va­nos o ton­tos, no fue­ron pre­sen­ta­dos pa­ra ha­cer reír al lec­tor a me­nos que su ri­sa sea cau­sa­da por las li­mi­ta­cio­nes de la ló­gi­ca. Pa­ra­fra­sean­do a Ham­let “lo que una vez fue pa­ra­do­ja no lo es más pe­ro po­dría vol­ver a ser­lo”. La ma­te­má­ti­ca mo­der­na, en un in­ten­to por pre­ve­nir las pa­ra­do­jas, se en­fren­tó abier­ta­men­te con la al­ter­na­ti­va de adop­tar un es­cep­ti­cis­mo ani­qui­la­dor con res­pec­to a todo el ra­zo­na­mien­to ma­te­má­ti­co o re­cons­truir tan­to los fun­da­men­tos de las ma­te­má­ti­cas co­mo los de la ló­gi­ca. Mu­cho han tra­ba­ja­do los ma­te­má­ti­cos y los fi­ló­so­fos en es­te sen­ti­do sin ha­ber po­di­do lle­gar a una so­lu­ción. Lo que se man­tie­ne es el he­cho de que las pa­ra­do­jas ló­gi­cas han di­vi­di­do a los ma­te­má­ti­cos en fac­cio­nes opues­tas e irre­con­ci­lia­bles y tie­nen que ser eli­mi­na­das. Se ha en­fa­ti­za­do el he­cho de que el ma­te­má­ti­co bus­ca siem­pre tra­ba­jar sus teo­re­mas en la for­ma más ge­ne­ral po­si­ble (in­clu­si­ve cuan­do no pue­de re­sol­ver un pro­ble­ma, ¡lo ge­ne­ra­li­za!), en un re­cla­mo de mu­cha al­tu­ra. Ese pa­sar del uno al to­do tam­bién es pe­li­gro­so; pe­li­gro­so en la mis­ma for­ma en que el con­cep­to de in­fi­ni­to lo es. En la tran­si­ción de lo par­ti­cu­lar a lo ge­ne­ral el ma­te­má­ti­co ha he­cho sus más gran­des pro­gre­sos, pe­ro tam­bién ha su­fri­do sus más gran­des re­ve­ses. De en­tre ellos las pa­ra­do­jas ló­gi­cas cons­ti­tu­yen la par­te más im­por­tan­te.
Lau­ra Ele­na Mo­ra­les Gue­rre­ro
Ins­ti­tu­to de Ma­te­má­ti­cas, Uni­ver­si­dad Na­cio­nal Au­tó­no­ma de Mé­xi­co.
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como citar este artículo

Morales Guerrero, Laura Elena. (2003). De grandes y pequeñas cosas o la paradoja de Banach y Tarski. Ciencias 71, julio-septiembre, 46-54. [En línea]
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