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For­cing:
otros mun­dos po­si­bles
 
Ana Ál­va­rez y Mi­guel Án­gel Mo­ta
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Si la teoría de conjuntos se encuentra ahora en un periodo introspectivo, estoy convencido de que emergerá más fuerte que nunca y con mayor impacto sobre otras áreas de las matemáticas.  
El tra­ba­jo del ló­gi­co ale­mán Kurt Gö­del ha si­do uno de los más re­co­no­ci­dos den­tro y fue­ra del ám­bi­to ma­te­má­ti­co del si­glo xx. Uno de sus re­sul­ta­dos más fa­mo­sos, co­no­ci­do co­mo el teo­re­ma de in­com­ple­tud, es­ta­ble­ce que exis­ten enun­cia­dos que no pue­den de­mos­trar­se ni re­fu­tar­se a par­tir de teo­rías que se su­po­nían su­fi­cien­te­men­te po­de­ro­sas. Los no ma­te­má­ti­cos con­si­de­ra­ron, no sin mór­bi­do pla­cer, que es­to im­pli­ca­ría el fin de las ma­te­má­ti­cas co­mo la rei­na de las cien­cias; y los ma­te­má­ti­cos, por lo ge­ne­ral des­de­ño­sos de los tra­ba­jos de la ló­gi­ca ma­te­má­ti­ca, lo re­du­je­ron a un re­sul­ta­do de in­te­rés fi­lo­só­fi­co que en nada in­ter­fe­ría con sus la­bo­res de in­ves­ti­gación.
 
El enun­cia­do que Gö­del ex­hi­bió pa­ra de­mos­trar su teo­re­ma es, en tér­mi­nos de con­te­ni­do, com­ple­ta­men­te irre­le­van­te y ar­ti­fi­cial. En otras pa­la­bras, no es uno que en­cie­rre una ge­nui­na preo­cu­pa­ción ma­te­má­ti­ca, si­no que fue he­cho ex­ pro­fe­so pa­ra la de­mos­tra­ción del teo­re­ma y es com­ple­ta­men­te téc­ni­co, co­mo los enun­cia­dos de “ani­ta la­va la ti­na” o “dá­ba­le arroz a la zo­rra el abad”, usa­dos pa­ra ejem­pli­fi­car los pa­lín­dro­mos —fra­ses que se pue­de leer al de­re­cho y al re­vés. Sin em­bar­go, gra­cias al tra­ba­jo de Gö­del y al de ma­te­má­ti­cos co­mo Paul Co­hen, se ad­vir­tió que la ga­ma de enun­cia­dos que en­tran en la ca­te­go­ría de los in­de­ci­di­bles —que no pue­den de­mos­trar­se ni re­fu­tar­se a par­tir de una teo­ría— es muy am­plia e in­clu­ye al­gu­nas pre­gun­tas que han ob­se­sio­na­do a los ma­te­má­ti­cos du­ran­te lar­gos pe­rio­dos de tiem­po. Uno de los ejem­plos más re­le­van­tes es el pro­ble­ma del con­ti­nuo de Can­tor, que con­sis­te en de­ter­mi­nar cuán­tos nú­me­ros rea­les hay, con el cual ini­cia­ba la lis­ta de los vein­ti­trés de­sa­fíos de la ma­te­má­ti­ca del si­glo xx que Hil­bert pre­sen­tó en el Con­gre­so In­ter­na­cio­nal de Ma­te­má­ti­cas ce­le­bra­do en Pa­rís en 1900.
 
El es­tu­dio so­bre el ta­ma­ño del con­jun­to de los nú­me­ros rea­les se ori­gi­nó en pro­ble­mas re­la­cio­na­dos con las fun­cio­nes y sus dis­con­ti­nui­da­des, pe­ro se con­vir­tió en un te­ma de in­te­rés en si mis­mo cuan­do Can­tor, con­si­de­ra­do el pa­dre de la teo­ría de con­jun­tos, de­mos­tró un sor­pren­den­te y con­mo­ve­dor re­sul­ta­do, aun­que el con­jun­to de los nú­me­ros na­tu­ra­les y el de los rea­les son am­bos in­fi­ni­tos, uno es más gran­de que el otro. Sin em­bar­go, que­da­ba por de­ter­mi­nar qué tan gran­de era el con­jun­to de los rea­les. Can­tor es­ta­ba con­ven­ci­do de que no exis­tía nin­gún con­jun­to in­fi­ni­to es­tric­ta­men­te más gran­de que los na­tu­ra­les y es­tric­ta­men­te me­nor que los rea­les, es de­cir, que la can­ti­dad de nú­me­ros rea­les, era la can­ti­dad in­fi­ni­ta que se­guía a la can­ti­dad de na­tu­ra­les. Pe­ro nun­ca pu­do de­mos­trarlo.
 
Aho­ra se sa­be que la hi­pó­te­sis de Can­tor, con los axio­mas acep­ta­dos en la teo­ría de con­jun­tos, no pue­de de­mos­trar­se ni re­fu­tar­se; es de­cir, es un enun­cia­do in­de­ci­ble a par­tir de esos axio­mas. El prin­ci­pio que ri­ge las de­mos­tra­cio­nes no es di­fí­cil de en­ten­der, a pe­sar de que las he­rra­mien­tas ló­gi­cas que se em­plean sean su­ma­men­te com­ple­jas. Am­bas se ba­san en otro re­sul­ta­do de Gö­del —co­no­ci­do co­mo el teo­re­ma de co­rrec­tud-com­ple­tud— en el que se es­ta­ble­ce un im­por­tan­te cri­te­rio: una teo­ría ma­te­má­ti­ca es con­sis­ten­te (no con­tra­dic­to­ria) si y só­lo si tie­ne mo­de­lo. En tér­mi­nos muy in­tui­ti­vos un mo­de­lo de una teo­ría axio­má­ti­ca es un mun­do en el que to­dos los axio­mas que la com­po­nen son ver­da­de­ros. Por ejem­plo, con­si­de­re­mos la teo­ría T com­pues­ta por los si­guien­tes axio­mas: axio­ma de asi­me­tría, no exis­ten a y b ta­les que a < b y b < a; axio­ma de tran­si­ti­vi­dad, pa­ra to­dos a, b y c si a < b y b < c en­ton­ces a < c; axio­ma de li­nea­li­dad, pa­ra to­dos a y b se tie­ne que a < b ó b < a ó a = b; axio­ma de den­si­dad, para to­dos a y b ta­les que a < b exis­te c tal que a < c < b. En es­te ca­so, el con­jun­to de los nú­me­ros ra­cio­na­les con su or­den ca­nó­ni­co es mo­de­lo de T.
 
De ma­ne­ra más for­mal, un mo­de­lo de una teo­ría es una in­ter­pre­ta­ción de su len­gua­je en la que to­dos los axio­mas son ver­da­de­ros. De­be en­ten­der­se que una in­ter­pre­ta­ción cons­ta de un con­jun­to no va­cío de in­di­vi­duos y de re­la­cio­nes en­tre ellos que co­rres­pon­den a los pre­di­ca­dos del len­gua­je. Por ejem­plo, en el ca­so par­ti­cu­lar de la teo­ría de con­jun­tos, el uni­ver­so de in­di­vi­duos bien po­dría ser el con­jun­to de las va­cas lo­cas y el pa­ren­tes­co en­tre ellas in­ter­pre­tar el sím­bo­lo de per­te­nen­cia. Sin em­bar­go, no cual­quier in­ter­pre­ta­ción es un mo­de­lo, así que en lu­gar de bus­car en los ran­chos bri­tá­ni­cos con­vie­ne más ha­cer­lo en las ma­te­má­ti­cas. De he­cho, los mo­de­los de la teo­ría de con­jun­tos con los que usual­men­te se tra­ba­ja son es­tán­dar. Es de­cir, son mo­de­los que só­lo ad­mi­ten en­tes ma­te­má­ti­cos y el sím­bo­lo de per­te­nen­cia es in­ter­pre­ta­do co­mo la re­la­ción “ser ele­men­to de”.
 
Es de es­pe­rar­se que en cual­quier mo­de­lo de una teo­ría no só­lo to­dos sus axio­mas sean ver­da­de­ros, si­no tam­bién to­dos los teo­re­mas que de ellos se de­ri­van —lo que es otra for­ma de enun­ciar el teo­re­ma de co­rrec­tud­—com­ple­tud. Por lo tan­to, pa­ra es­ta­ble­cer que un enun­cia­do no pue­de ser de­mos­tra­do a par­tir de una teo­ría bas­ta en­con­trar un mo­de­lo de és­ta en el que sea fal­so. Por ejem­plo, “to­do con­jun­to aco­ta­do su­pe­rior­men­te tie­ne su­pre­mo” —que lla­ma­re­mos hi­pó­te­sis de com­ple­tud— no es un teo­re­ma de la teo­ría T, por­que el con­jun­to de los nú­me­ros ra­cio­na­les es mo­de­lo de T, pe­ro el su­pre­mo del sub­con­jun­to de los ra­cio­na­les ta­les que su cua­dra­do es me­nor que 2 no es un nú­me­ro ra­cio­nal —ya que se tra­ta de √2. Así que el enun­cia­do es fal­so en ese mo­de­lo de T. Lo in­te­re­san­te es que su ne­ga­ción —exis­te un con­jun­to aco­ta­do su­pe­rior­men­te que no tie­ne su­pre­mo— tam­po­co es teo­re­ma de T, pues el con­jun­to de los nú­me­ros rea­les con el or­den ca­nó­ni­co sí es mo­de­lo de T jun­to con la hi­pó­te­sis de com­ple­tud. En re­su­men, es­ta hi­pó­te­sis no pue­de de­mos­trar­se ni re­fu­tar­se a par­tir de la teo­ría T.

La dimensión desconocida

Du­ran­te las dos pri­me­ras dé­ca­das del si­glo xx el in­ten­to por fun­da­men­tar la ma­te­má­ti­ca y re­sol­ver los pro­ble­mas de la na­cien­te teo­ría de con­jun­tos dio co­mo re­sul­ta­do la axio­má­ti­ca de Zer­me­lo-Fraen­kel con el axio­ma de elec­ción, que no eran si­no la for­ma­li­za­ción de los su­pues­tos co­mún­men­te acep­ta­dos por los ma­te­má­ti­cos, co­mo la exis­ten­cia del con­jun­to va­cío, de uno in­fi­ni­to y del que tie­ne co­mo ele­men­tos a to­dos los sub­con­jun­tos de un con­jun­to cual­quie­ra A —co­no­ci­do co­mo el con­jun­to po­ten­cia de A.
 
A pe­sar de sus mo­des­tos axio­mas, Zer­me­lo-Fraen­kel con el axio­ma de elec­ción es una teo­ría lo su­fi­cien­te­men­te ge­ne­ral y po­de­ro­sa co­mo pa­ra re­cons­truir a ca­si to­da la ma­te­má­ti­ca clá­si­ca. Pe­ro no só­lo eso, tam­bién per­mi­tió res­ca­tar to­das las ideas for­mu­la­das por Can­tor. Así, des­de ella es po­si­ble de­mos­trar que da­do un con­jun­to A el car­di­nal del con­jun­to po­ten­cia de A es es­tric­ta­men­te ma­yor que el de A. De es­ta for­ma, y da­do que el con­jun­to de los nú­me­ros rea­les es iden­ti­fi­ca­ble —a tra­vés de una fun­ción bi­yec­ti­va— con el con­jun­to po­ten­cia de los nú­me­ros na­tu­ra­les, es in­me­dia­to que el car­di­nal del con­jun­to de los nú­me­ros rea­les es es­tric­ta­men­te ma­yor que el del con­jun­to de los na­tu­ra­les. El teo­re­ma de Can­tor tam­bién ha­ce pen­sar que no só­lo hay dos ta­ma­ños de in­fi­ni­to —el de los na­tu­ra­les y el de los rea­les— si­no una in­fi­ni­dad de ellos. De es­ta for­ma, y tam­bién den­tro de la mis­ma axio­má­ti­ca, se in­tro­du­je­ron los car­di­na­les in­fi­ni­tos —una nue­va cla­se de nú­me­ros que pre­ten­dían re­tra­tar to­das las po­si­bles “ta­llas” del in­fi­ni­to. El or­den as­cen­den­te de los car­di­na­les in­fi­ni­tos es ℵ0, ℵ1, ℵ2… ℵω, ℵω+1…etc, don­de ℵ0 es el car­di­nal del con­jun­to de los nú­me­ros na­tu­ra­les. Gra­cias a es­ta no­ta­ción la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo se pue­de for­mu­lar co­mo “el car­di­nal de los nú­me­ros rea­les es ℵ1”.
 
Es­ta con­je­tu­ra, co­mo se se­ña­ló, nun­ca pu­do pro­bar­se. Sin em­bar­go, Gö­del in­tro­du­jo al­gu­nos avan­ces im­por­tan­tes, de­mos­tró que la hi­pó­te­sis de Can­tor no en­tra­ba en con­tra­dic­ción con la teo­ría de con­jun­tos. Pa­ra ello cons­tru­yó un mo­de­lo muy es­pe­cial de los axio­mas de Zer­me­lo-Fraen­kel, el uni­ver­so cons­truc­ti­ble L. Aquel era un mun­do con­for­ma­do úni­ca­men­te por los con­jun­tos de­fi­ni­bles a par­tir del len­gua­je. Cier­ta­men­te fa­mi­liar al que­ha­cer ma­te­má­ti­co, pues la ma­yor par­te de los con­jun­tos son de­fi­ni­bles a par­tir del len­gua­je —por ejem­plo, el de los nú­me­ros pa­res se pue­de des­cri­bir me­dian­te la fór­mula { x | ∃ n ∈ N tal que x = 2n } que sig­ni­fi­ca “el con­jun­to de los nú­me­ros ta­les que son igua­les a un nú­me­ro na­tu­ral mul­ti­pli­ca­do por dos”. En cier­to sen­ti­do la vir­tud de es­te uni­ver­so, aun­que tam­bién su po­bre­za, con­sis­tía en ha­ber des­car­ta­do la po­si­bi­li­dad de que exis­tie­ran ov­nis —o me­jor di­cho coe­nis, Con­jun­tos Exis­ten­tes No Iden­ti­fi­ca­dos. Gö­del de­mos­tró, en­tre otras co­sas, que L era el más pe­que­ño de los mun­dos po­si­bles en su ca­te­go­ría, ya que cual­quier otro mo­de­lo de su ti­po de­be­ría con­te­ner­lo —lo que se co­no­ce co­mo la mi­ni­ma­li­dad de L. Así, no es de ex­tra­ñar que en el uni­ver­so cons­truc­ti­ble el car­di­nal del con­jun­to de los nú­me­ros rea­les fue­ra tam­bién el más pe­que­ño po­si­ble, ℵ1.
 
La cons­truc­ción de L o de cual­quier otro mo­de­lo en el que la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo sea ver­da­de­ra no prue­ba que di­cha hi­pó­te­sis sea teo­re­ma, pe­ro si ga­ran­ti­za que es im­po­si­ble re­fu­tar­la a par­tir de los axio­mas de Zer­me­lo-Fraen­kel con el axio­ma de elec­ción. Sin em­bar­go, la creen­cia, com­par­ti­da por el pro­pio Gö­del, de que la hi­pó­te­sis de Can­tor era fal­sa, lle­vó a los ma­te­má­ti­cos a tra­tar de de­mos­trar que la ne­ga­ción tam­po­co en­tra­ba en con­tra­dic­ción con la teo­ría de con­jun­tos. Es­to, que a pri­me­ra vis­ta pa­re­ce una ne­ce­dad, for­ma par­te de una lar­ga dis­cu­sión en la que Gö­del y Tars­ki pro­ba­ron que no to­do lo ver­da­de­ro es de­mos­tra­ble (!?!?) y que no to­do lo irre­fu­ta­ble es ver­da­de­ro. No obs­tan­te, co­mo es cier­to que to­do lo de­mos­tra­ble es ver­da­de­ro, pa­ra de­jar abier­ta la po­si­bi­li­dad de que la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo fue­ra fal­sa era ne­ce­sa­rio de­mos­trar que no era un teo­re­ma de la teo­ría de con­jun­tos.
 
En 1963 Paul Co­hen lo­gra es­te ob­je­ti­vo y des­cu­bre un mé­to­do que per­mi­te cons­truir dis­tin­tos mo­de­los de esa teo­ría. El mé­to­do de For­cing, que ori­gi­nal­men­te sir­vió pa­ra in­tro­du­cir mo­de­los en los que se vio­la la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo, se con­vir­tió en una fe­cun­da téc­ni­ca que per­mi­te crear mun­dos en los que su­ce­den co­sas sor­pren­den­tes —co­mo en los que va­le una ver­sión dé­bil del axio­ma de elec­ción y to­dos los sub­con­jun­tos de rea­les son Le­bes­gue me­di­bles. Los de­ta­lles téc­ni­cos de es­te mé­to­do son su­ma­men­te so­fis­ti­ca­dos, pe­ro pue­de en­ten­der­se en tér­mi­nos ge­ne­ra­les co­mo el prin­ci­pio in­ver­so a aquel em­plea­do por Gö­del pa­ra cons­truir el uni­ver­so L.

El Imperio contraataca

For­cing es un mé­to­do “ex­pan­sio­nis­ta” en el que se par­te de la exis­ten­cia de un mo­de­lo de los axio­mas de Zer­me­lo-Fraen­kel a los que se le agre­gan nue­vos con­jun­tos. Cier­ta­men­te, la idea de ex­ten­der es­truc­tu­ras y aña­dir ob­je­tos idea­les es muy co­mún en el que­ha­cer ma­te­má­ti­co. Sin em­bar­go, es­ta prác­ti­ca re­sul­tó aún más na­tu­ral cuan­do el ob­je­ti­vo era ex­hi­bir la exis­ten­cia de mo­de­los don­de no va­le la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo. Si Gö­del vio que al li­mi­tar el uni­ver­so se ob­te­nía un mo­de­lo don­de pre­do­mi­na la po­bre­za y don­de el car­di­nal del con­jun­to de nú­me­ros rea­les es muy pe­que­ño, en­ton­ces la so­lu­ción óp­ti­ma con­sis­tía en tra­tar de ro­bus­te­cer al uni­ver­so con la es­pe­ran­za de que la po­ten­cia de los na­tu­ra­les tam­bién em­bar­ne­cie­se.
 
No obs­tan­te, la ima­gen de un mo­de­lo que se ali­men­ta com­pul­si­va­men­te no es lo más cer­ca­no a lo que su­ce­de en For­cing. Ex­ten­der ar­bi­tra­ria­men­te un mo­de­lo pue­de con­du­cir a la mal­for­ma­ción y la in­va­li­dez de los axio­mas de la teo­ría. Por ello, cier­to gra­do de con­trol es ne­ce­sa­rio. Hay que ex­ten­der el mo­de­lo ini­cial —co­no­ci­do como mo­de­lo ba­se— de ma­ne­ra que los axio­mas de la teo­ría de con­jun­tos si­gan sien­do ver­da­de­ros. Es­te es qui­zás el com­po­nen­te cla­ve del mé­to­do de For­cing, los ele­men­tos que se agre­gan, aun­que no se co­no­cen ex­plí­ci­ta­men­te, es­tán par­cial­men­te des­cri­tos por los ele­men­tos del mo­de­lo ba­se.
 
La ex­ten­sión del con­jun­to de los nú­me­ros ra­cio­na­les, me­dian­te cor­ta­du­ras de De­de­kind, es una ana­lo­gía que ilus­tra muy bien el pro­ce­di­mien­to. Los ra­cio­na­les son un mo­de­lo de la teo­ría T en el que no se cum­ple la hi­pó­te­sis de com­ple­tud, pe­ro al que pue­den agre­gar­se los su­pre­mos fal­tan­tes. És­tos, co­mo es el ca­so de √2, no se co­no­cen ex­plí­ci­ta­men­te, pe­ro a par­tir del or­den que hay en­tre los nú­me­ros ra­cio­na­les se pue­den ca­rac­te­ri­zar a tra­vés de seg­men­tos ini­cia­les —con­jun­to de nú­me­ros aco­ta­dos pe­ro sin ele­men­to má­xi­mo—, lo que per­mi­te ga­ran­ti­zar que el mo­de­lo ex­ten­di­do (el con­jun­to de los nú­me­ros rea­les) cum­ple tan­to la hi­pó­te­sis de com­ple­tud, co­mo to­dos los axio­mas de la teo­ría T.
 
La idea de de­fi­nir ob­je­tos a tra­vés de un or­den tam­bién es cla­ve en la cons­truc­ción de nue­vos mo­de­los de la teo­ría de con­jun­tos. En es­te ca­so, se par­te de la exis­ten­cia de un mo­de­lo M de la axio­má­ti­ca de Zer­me­lo-Fraen­kel con el axio­ma de elec­ción y se se­lec­cio­na un or­den par­cial acor­de al ti­po de mun­do que se de­sea cons­truir. Pe­ro no só­lo eso, en For­cing se uti­li­za un ob­je­to G que fil­tra y se­lec­cio­na los nue­vos ele­men­tos que per­te­ne­ce­rán al mo­de­lo ex­ten­di­do. Di­cho ob­je­to —co­no­ci­do co­mo fil­tro ge­né­ri­co— es un sub­con­jun­to del or­den par­cial que cum­ple las si­guien­tes pro­pie­da­des: (1) pa­ra cua­les­quie­ra dos ele­men­tos del fil­tro exis­te un ter­ce­ro, tam­bién en el fil­tro, que es me­nor o igual que am­bos; (2) to­dos los ele­men­tos del or­den par­cial que sean ma­yo­res que al­gu­no del fil­tro de­ben tam­bién es­tar en el fil­tro —así que G pa­re­ce real­men­te un fil­tro de ca­fé, ya que chu­pa to­do lo que es­tá en­ci­ma de él—; (3) to­do con­jun­to den­so com­par­te ele­men­tos con G —un sub­con­jun­to D del or­den par­cial es den­so si pa­ra cual­quier ele­men­to del or­den par­cial exis­te uno de D que es me­nor o igual que él.
 
La ín­ti­ma re­la­ción en­tre el or­den par­cial y el fil­tro ge­né­ri­co es fas­ci­nan­te. Los ele­men­tos del or­den par­cial ac­túan co­mo las le­tras que com­po­nen al adn y per­mi­ten cons­truir có­di­gos que en­cie­rran in­for­ma­ción so­bre po­si­bles nue­vos con­jun­tos. Por su par­te, G ac­túa co­mo ca­ta­li­za­dor, de­ci­de qué có­di­gos se de­ben des­ci­frar y tie­ne la ca­pa­ci­dad de dar vi­da a al­gu­nos de los con­jun­tos que fue­ron su­ge­ri­dos por el or­den par­cial. Es­to ex­pli­ca por qué la ex­ten­sión de M se de­no­ta co­mo M[G] y se co­no­ce co­mo la ex­ten­sión ge­né­ri­ca de M.
 
Pa­ra que M[G] sea ver­da­de­ra­men­te una ex­ten­sión de M, es de­cir, pa­ra que en ella exis­tan nue­vos con­jun­tos, es ne­ce­sa­rio que el fil­tro ge­né­ri­co G no sea ele­men­to de M. La elec­ción de un or­den par­cial fron­do­so —uno se­me­jan­te a un dia­bó­li­co ár­bol que ha si­do co­lo­ca­do al re­vés y cu­yas ra­mas in­fi­ni­tas nun­ca ce­san de bi­fur­car­se— ga­ran­ti­za que G es un agen­te ex­ter­no a M. Es­to dio lu­gar a una li­te­ra­tu­ra que ha­ce pen­sar en el Gé­ne­sis y per­mi­te sos­pe­char que los teó­ri­co con­jun­tis­tas per­te­ne­cen a al­gu­na sec­ta re­li­gio­sa, “ca­da ele­men­to de M[G] ten­drá un nom­bre en M, que in­di­ca­rá có­mo se pue­de cons­truir a par­tir de G […] La gen­te que vi­ve en M po­drá en­ten­der el nom­bre de un ob­je­to en M[G] pe­ro no po­drá sa­ber có­mo es, pues para ello ne­ce­si­ta­ría co­no­cer G”. Más allá del mis­ti­cis­mo que es­tas pa­la­bras pa­re­cen en­ce­rrar, en ellas se po­ne de ma­ni­fies­to un he­cho fun­da­men­tal pa­ra el mé­to­do de For­cing, el con­jun­to po­ten­cia de un con­jun­to da­do no es el mis­mo en to­das par­tes. Pa­ra la gen­te de M[G], G es par­te de la po­ten­cia del or­den par­cial P, mien­tras que los ha­bi­tan­tes de M ni si­quie­ra re­co­no­cen la exis­ten­cia de G. Al­go aná­lo­go su­ce­de con la po­ten­cia de los na­tu­ra­les, si pa­ra el mo­de­lo ba­se só­lo hay ℵ1 sub­con­jun­tos de na­tu­ra­les, con la ayu­da del fil­tro ge­né­ri­co de un de­ter­mi­na­do or­den par­cial se pue­den de­ve­lar nue­vos sub­con­jun­tos de na­tu­ra­les y em­bar­ne­cer, co­mo se que­ría, la po­ten­cia de los na­tu­ra­les.

La invasión de los reales

El or­den par­cial uti­li­za­do pa­ra cons­truir la ex­ten­sión ge­né­ri­ca en la que se vio­la la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo es­tá com­pues­to por las fun­cio­nes que van de al­gún sub­con­jun­to fi­ni­to de nú­me­ros na­tu­ra­les en el con­jun­to que tie­ne como úni­cos ele­men­tos al ce­ro y al uno. Si re­cor­da­mos que las fun­cio­nes son con­jun­tos de pa­res or­de­na­dos, en­ton­ces f = {(0,1), (3,0), (6,1)} es un ejem­plo del ti­po de fun­cio­nes que aca­ba­mos de des­cri­bir. El or­den en­tre ellas es la con­ten­ción in­ver­ti­da. De mo­do que si g = {(0,1), (3,0), (6,1), (7, 0)} en­ton­ces g es me­nor o igual que f —ya que f es sub­con­jun­to de g. No es po­si­ble ex­hi­bir ex­plí­ci­ta­men­te un fil­tro ge­né­ri­co, pe­ro un im­por­tan­te teo­re­ma de com­bi­na­to­ria in­fi­ni­ta nos ga­ran­ti­za que al me­nos exis­te uno. Lo in­te­re­san­te es que las tres pro­pie­da­des ge­ne­ra­les que ca­rac­te­ri­zan a los fil­tros ge­né­ri­cos son su­fi­cien­tes para de­mos­trar que la unión del fil­tro —es de­cir, el con­jun­to que tie­ne a to­dos los pa­res or­de­na­dos de las fun­cio­nes que per­te­ne­cen a G— es una fun­ción que tie­ne co­mo do­mi­nio a to­do el con­jun­to de los nú­me­ros na­tu­ra­les. En efec­to, la pri­me­ra pro­pie­dad tra­du­ci­da a nues­tro ejem­plo ga­ran­tiza que las fun­cio­nes que per­te­ne­cen a G son com­pa­ti­bles —es de­cir, si (m, p) y (m, q) son pa­res que per­te­ne­cen res­pec­ti­va­men­te a dos fun­cio­nes de G en­ton­ces p=q. De mo­do que la unión de G sí es fun­ción. Pa­ra mos­trar que el do­mi­nio de es­ta fun­ción son to­dos los na­tu­ra­les se hace una ele­gan­te apli­ca­ción de la ter­ce­ra pro­pie­dad to­man­do, pa­ra ca­da nú­me­ro na­tu­ral n, el con­jun­to Dn de las fun­cio­nes que tie­nen en su do­mi­nio a n y de­mos­tran­do que se tra­ta de un con­jun­to den­so.
 
El he­cho de que la unión de G sea una fun­ción que tie­ne co­mo do­mi­nio a to­dos los na­tu­ra­les, y que to­ma va­lo­res bi­na­rios, sig­ni­fi­ca que se tra­ta de una su­ce­sión in­fi­ni­ta de ce­ros y unos, la cual pue­de iden­ti­fi­car­se con la fun­ción ca­rac­te­rís­ti­ca de al­gún sub­con­jun­to de los na­tu­ra­les o in­clu­so con la ex­pan­sión bi­na­ria de un nue­vo nú­me­ro real. Es por ello, que la unión de G se co­no­ce co­mo un real de Co­hen y el mé­to­do de For­cing con ese ti­po de ór­de­nes —fun­cio­nes par­cia­les fi­ni­tas— es en rea­li­dad un mé­to­do pa­ra ex­ten­der mo­de­los agre­gan­do nue­vos rea­les. En el ejem­plo usa­do só­lo se tie­ne la cer­te­za de ha­ber agre­ga­do un nue­vo real, pe­ro una pe­que­ña mo­di­fi­ca­ción en el or­den —que in­tui­ti­va­men­te con­sis­te en to­mar su­ce­sio­nes fi­ni­tas in­de­xa­das con los nú­me­ros or­di­na­les me­no­res que ℵ2- per­mi­te agre­gar ℵ2 nue­vos rea­les y con ello ob­te­ner un mo­de­lo don­de la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo es fal­sa.

Apocalipsis Now

El año de 1963 pu­do ha­ber pa­sa­do a la his­to­ria de las ma­te­má­ti­cas co­mo en el que la axio­má­ti­ca de Zer­me­lo-Fraen­kel con el axio­ma de elec­ción re­ci­bió un do­lo­ro­so ti­ro de gra­cia. Des­pués de to­do, ese fue el año en que Co­hen com­ple­tó la de­nun­cia que Gö­del ha­bía in­ter­pues­to vein­ti­cin­co años an­tes y se hi­zo del do­mi­no pú­bli­co que, a pe­sar de sus vir­tu­des, es­ta teo­ría no ha­bía lo­gra­do sa­tis­fa­cer uno de los prin­ci­pa­les ob­je­ti­vos pa­ra los cua­les ha­bía sido crea­da. La teo­ría axio­má­ti­ca que a prin­ci­pios del si­glo xx pre­ten­día dar fun­da­men­to a las ma­te­má­ti­cas nun­ca se­ría ca­paz de res­pon­der a una de las pre­gun­tas bá­si­cas, y nin­gún apues­to y gen­til ma­te­má­ti­co po­día res­ca­tar­la de su per­pe­tua con­de­na a la ig­no­ran­cia. Los en­ca­be­za­dos de la no­ta ro­ja no ce­sa­ban de apa­re­cer, “Mis­te­rio sin re­sol­ver”, “Fe­nó­me­nos pa­ra­nor­ma­les”, “Apo­ca­lip­sis” “¡La teo­ría de con­jun­tos se aca­ba!”. Lo que aque­llos irres­pon­sa­bles pe­rio­dis­tas nun­ca di­je­ron es que con el mé­to­do de For­cing una nue­va era co­men­za­ba.
 
Des­de en­ton­ces im­por­tan­tes cen­tros de in­ves­ti­ga­ción se han abo­ca­do a la ta­rea de bus­car nue­vos axio­mas que per­mi­tan res­pon­der al pro­ble­ma del con­ti­nuo ba­jo la fir­me creen­cia de que és­te tie­ne una rea­li­dad ob­je­ti­va que debe ser des­cu­bier­ta. Re­cien­tes avan­ces pa­re­cen in­di­car que se pue­den agre­gar nue­vos axio­mas pa­ra de­mos­trar que el car­di­nal del con­ti­nuo es ℵ2. Sin em­bar­go, no es del to­do cla­ro qué tan na­tu­ra­les e in­tui­ti­va­men­te acep­ta­bles son di­chos axio­mas.
 
Ade­más de la po­si­ción idea­lis­ta se en­cuen­tra la pos­tu­­ra de quie­nes de­fien­den la di­ver­si­dad ma­te­má­ti­ca y con­si­de­ran que la in­de­pen­den­cia de la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo pue­de dar lu­gar a dis­tin­tas teo­rías de con­jun­tos. Le­jos de con­si­de­rar­se co­mo una “fal­ta de leal­tad y com­pro­mi­so”, la ex­plo­ra­ción de di­ver­sas teo­rías ha lo­gra­do en­ri­que­cer el pa­no­ra­ma ma­te­má­ti­co —del mis­mo mo­do en que la in­de­pen­den­cia del quin­to pos­tu­la­do de Eu­cli­des dio ori­gen a las geo­me­trías no eu­cli­dia­nas sin que és­tas res­ta­ran va­lor o des­pla­za­ran por com­ple­to la geo­me­tría eu­cli­dia­na. El li­bro de Sier­piens­ki ti­tu­la­do La hi­pó­te­sis del con­ti­nuo es un in­ten­to por sis­te­ma­ti­zar to­dos los re­sul­ta­dos que se de­ri­van de ella y así te­ner una idea cla­ra de lo que son las ma­te­má­ti­cas que acep­tan co­mo ver­da­de­ra la con­je­tu­ra de Can­tor. En­tre los re­sul­ta­dos más in­te­re­san­tes, Ulam dio una de­mos­tra­ción muy ori­gi­nal de la exis­ten­cia de con­jun­tos no Le­bes­gue me­di­bles que, a di­fe­ren­cia de la de Vi­ta­li, pre­su­po­ne la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo, pero no re­quie­re de la in­va­rian­za ba­jo tras­la­cio­nes y por lo tan­to pue­de ser ge­ne­ra­li­za­da a me­di­das de­fi­ni­das so­bre con­jun­tos que com­par­ten pro­pie­da­des de car­di­na­li­dad, in­de­pen­dien­te­men­te de si son o no es­pa­cios mé­tri­cos.
En ge­ne­ral, las di­fe­ren­cias en el te­ji­do ma­te­má­ti­co que se ob­tie­nen de acep­tar o re­cha­zar la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo in­vi­tan a una re­fle­xión pro­fun­da, pe­ro con am­bas pos­tu­ras que­da cla­ro que los re­sul­ta­dos de in­de­ci­di­bi­li­dad que arro­jan mé­to­dos co­mo el de For­cing, le­jos de pa­ra­li­zar a las ma­te­má­ti­cas las ayu­dan a no per­der­se en la bús­que­da in­fruc­tuo­sa de prue­bas ine­xis­ten­tes y a reo­rien­tar así su ca­mi­no.

Más allá del problema del continuo

El mé­to­do de For­cing no só­lo ha ser­vi­do pa­ra de­mos­trar el ca­rác­ter in­de­ci­di­ble de cier­tos enun­cia­dos co­mo la hi­pó­te­sis del con­ti­nuo, si­no que tam­bién ha per­mi­ti­do acla­rar qué con­di­cio­nes son ne­ce­sa­rias pa­ra la de­mos­tra­ción de sor­pren­den­tes re­sul­ta­dos en di­ver­sas áreas de las ma­te­má­ti­cas. Es­to pue­de pa­re­cer un sim­ple jue­go de ló­gi­ca pe­ro no es exa­ge­ra­do de­cir que ha per­mi­ti­do que el es­pí­ri­tu de al­gu­nos ma­te­má­ti­cos fi­nal­men­te des­can­se en paz. En 1905, des­pués de que Le­bes­gue pro­pu­sie­ra una ma­ne­ra de me­dir el ta­ma­ño geo­mé­tri­co de con­jun­tos de rea­les, Giu­sep­pe Vi­ta­li de­mos­tró que exis­tían con­jun­tos no me­di­bles. Es­te re­sul­ta­do se tra­du­jo más ade­lan­te en la fa­mo­sa pa­ra­do­ja de Ba­nach-Tars­ki, una es­fe­ra se pue­de des­com­po­ner en una can­ti­dad fi­ni­ta de pe­da­zos a par­tir de los cua­les se pue­den cons­truir dos es­fe­ras del mis­mo ta­ma­ño que la ori­gi­nal.
 
El uso del axio­ma de elec­ción en la de­mos­tra­ción de es­tos re­sul­ta­dos era, se­gún Le­bes­gue, el au­tor de se­me­jan­tes “atro­ci­da­des”. Sin em­bar­go, nun­ca pu­do con­fir­mar­lo, si los con­jun­tos no me­di­bles ex­hi­bi­dos has­ta ese mo­mento exis­tían gra­cias al axio­ma de elec­ción, na­da ga­ran­ti­za­ba que eran los úni­cos. No fue si­no has­ta 1973 que Ro­bert So­lo­vay de­mos­tró, me­dian­te una ex­traor­di­na­ria com­bi­na­ción de las ideas de Co­hen y Gö­del, que el axio­ma de elec­ción es con­di­ción ne­ce­sa­ria pa­ra la exis­ten­cia de con­jun­tos no me­di­bles. Uti­li­zan­do el mé­to­do de For­cing, So­lo­vay dio una ex­ten­sión ge­né­ri­ca a par­tir de la cual cons­tru­yó un mo­de­lo ti­po el uni­ver­so cons­truc­ti­ble L. Su tra­ba­jo, que pue­de ser ca­li­fi­ca­do de au­tén­ti­ca in­ge­nie­ría ge­né­ti­ca con­jun­tis­ta, dio co­mo re­sul­ta­do un mun­do fe­liz en el que no só­lo to­dos los con­jun­tos de rea­les son Le­bes­gue me­di­bles y son “de­cen­tes” en tér­mi­nos to­po­ló­gi­cos y de car­di­na­li­dad, si­no en el que ade­más se cum­ple una ver­sión del axio­ma de elec­ción que, aun­que más dé­bil que la ori­gi­nal, ga­ran­ti­za to­dos los re­sul­ta­dos del aná­li­sis ma­te­má­ti­co. Así que el mo­de­lo de So­lo­vay pu­so de ma­ni­fies­to el po­ten­cial del mé­to­do de For­cing pa­ra ex­plo­rar una in­men­sa ga­ma de mun­dos ma­te­má­ti­cos.
Ana Álvarez Velasco
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México. Miguel Ángel Mota Gaytán
Universidad de Barcelona.
Re­fe­ren­cias bi­blio­grá­fi­cas:
 
Amor Mon­ta­ño, Jo­sé Al­fre­do. 1990. For­cing y prue­bas de in­de­pen­den­cia. Apor­ta­cio­nes Ma­te­má­ti­cas, Co­mu­ni­ca­cio­nes 9, XXIII Con­gre­so smm, Mé­xi­co.
Ál­va­rez Ve­las­co, Ana. 2003. Axio­ma de elec­ción y Teo­ría de la Me­di­da. Te­sis de Li­cen­cia­tu­ra, Fa­cul­tad de Cien­cias, unam, Mé­xi­co.
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Men­del­son, Elliot. 1987. In­tro­duc­tion to Mat­he­ma­ti­cal Lo­gic. Wads­worth Books, 3a. edi­ción.
Mo­ta Gay­tán, Mi­guel Án­gel. 2003. ¿Qué se pue­de des­de zfe so­bre el car­di­nal del con­ti­nuo? Te­sis de Li­cen­cia­tu­ra, itam, Mé­xi­co.
So­lo­vay, Ro­bert. 1970. “A mo­del of set theory in which every set of reals is Le­bes­gue me­su­ra­ble”, en An­nals of Mat­he­ma­tics 92.
Sier­pins­ki, Wa­claw. Hy­pot­hè­se du con­ti­nu. 1956. Chel­sea, Nue­va York.
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como citar este artículo

Álvarez Velasco, Ana y Mota Gaytán, Miguel Angel. (2005). Forcing: otros mundo posibles. Ciencias 78, abril-junio, 66-73. [En línea]
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