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Los orígenes de la ciencia moderna en México (1630-1680)
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Elías Trabulse
Breviarios del Fondo
de Cultura Económica,
Mexico, 1993.
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La apertura de la Nueva España a la ciencia moderna
en el segundo tercio del siglo XVII, uno de los temas centrales de este libro, fue un movimiento innovador que se abrió paso aliado de la ciencia verbalista y deductiva de la escolástica tardía. Al surgir, manifestó la voluntad de apertura ante un tipo de saber anquilosado. En este periodo se añadió un elemento muy importante: la aparición de “la conciencia criolla de patria”, que en el campo de las ciencias llevó a la lenta desvinculación con la metrópoli y a la búsqueda de una ciencia propia que pusiera de manifiesto la aptitud de los hombres de ciencia novohispanos.
La comunidad científica de esta época contó entre sus miembros más destacados astrónomos, matemáticos e ingenieros, mas la figura central en torno a la cual giró la apertura de la modernidad fue el fraile mercedario fray Diego Rodríguez, originario de Atitalaquia en el actual estado de Hidalgo.
El estudio de la vida y obra de este olvidado hombre de ciencia, matemático importante y el primero que expuso en su cátedra universitaria las teorías astronómicas de Copérnico y Kepler, la física de Galileo y la matemática de Neper, integra otro tema central del presente Breviario. Sobre estos dos ejes principales —que incluyen otros muchos de no menor interés—, tratados con la minuciosidad del erudito, el gusto por su trabajo que distingue al historiador y la amenidad del escritor que sabe manejar y trabar con justeza las múltiples piezas que le ha proveído su labor de investigación, el trabajo de Elías Trabulse nos lleva por las rutas que desembocan en Los orígenes de la ciencia moderna en México (1630-1680).
Elías Trabulse se recibió de químico en la UNAM y posteriormente se dedicó al estudio de la historia en El Colegio de México, donde se doctoró en esa especialidad. De su producción, vasta y de gran calidad, destaca su Historia de la ciencia en México, 5 vol., FCE, 1983-1989, obra en la que aparte de su calidad de historiador está siempre presente su vocación científica.
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Elías Trabulse
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cómo citar este artículo →
Trabulse, Elías. 1994. Los orígenes de la ciencia moderna en México (1630-1680). Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 85-86. [En línea].
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Manejo de recursos naturales y pobreza rural
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Julia Carabias, Enrique Provencio y Carlos Toledo
Fondo de Cultura Económica. México, 1994, 138 p.
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En esta obra los autores ponen de manifiesto los profundos
rezagos en que se encuentra inmersa la población rural mexicana, en especial en las regiones en donde habitan grupos indígenas; zonas que, por otro lado, tienen a su favor un gran potencial de recursos naturales. Por tanto, es urgente, dicen, que se lleve a cabo una reformulación del proyecto de desarrollo rural que permita elevar la calidad de vida de la población con oferta alimentaria y de materias primas, y al mismo tiempo que busque la restauración de la degradación ambiental. Manejo de recursos naturales y pobreza rural es resultado del trabajo interdisciplinario de un conjunto de profesionales, académicos e investigadores de la Facultad de Ciencias de la UNAM, que, con base en el Programa de Aprovechamiento Integral de Recursos (PAIR), desde 1984, en que se iniciaron sus actividades en la región de la Montaña de Guerrero, ha aportado nuevas directrices para una reformulación de la política de desarrollo rural adecuada a las actuales condiciones de nuestro país. El proyecto ha recibido el apoyo y financiamientos de diversos organismos públicos y privados y es administrado por la propia Facultad de Ciencias. Además de la montaña de Guerrero, el grupo de trabajo del PAIR realizó estudios en otras zonas ecológicas de los estados de Oaxaca, Michoacán y Durango.
La hipótesis principal que sostienen los autores de este libro se resume en que “es posible articular una política rural que responda coherentemente a objetivos sociales, productivos y ambientales”. Así, las investigaciones se orientaron hacia la búsqueda de las formas ideales de uso de los recursos naturales, que respete las condiciones ambientales y culturales particulares de los ecosistemas sometidos a explotación.
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Julia Carabias, Enrique Provencio y Carlos Toledo
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Carabias L., Julia. Provencio Enrique, Toledo Carlos. 1994. Manejo de recursos naturales y pobreza rural. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 85. [En línea].
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| bibliofilia | |
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Order and diversity in the living world:
Teaching Taxonomy and Systematics in Schools
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Crisci, V., J. D. McInerney and Patricia McWethy.
UNESCO, 1993.
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“Los estudiantes, de todos los niveles, deben ser motivados
para valorar la biodiversidad, entender y apreciar el papel que tiene la sistemática biológica en preservar esta diversidad. Se les debe enseñar que la sistemática es más que la recolecta de ejemplares y el darles un nombre, que incluye métodos de investigación y razonamiento además de ser un medio de comunicación de la información y un sistema completo de retroalimentación informativa”. Con este objetivo en mente Jorge V. Crisci, Joseph D. McInerney y Patricia J. McWethy, apoyados por la Comisión para Educación Biológica de la Unión Internacional de Ciencias Biológicas en cooperación con la UNESCO, escribieron el libro Orden y diversidad en el mundo vivo: la enseñanza de la Taxonomía y la Sistemática en las escuelas.
Los autores se preguntan en este texto: ¿por qué enseñar orden y diversidad en el mundo vivo?, ¿por qué valorar la biodiversidad y la sistemática?
Argumentan que la gente debería tener un entendimiento básico de la biodiversidad para entender el mundo vivo y tomar decisiones acerca de su conservación. Esto no implica, remarcan, que todos los estudiantes o adultos se conviertan en especialistas, sino que tengan una clara idea de la diversidad biológica y el papel que los principales grupos de organismos juegan en la biósfera. Además, toda persona debería entender algo acerca de las interacciones entre los organismos vivos y el mundo abiótico y la forma en que esas interacciones afectan nuestro planeta. La biodiversidad, plantean, es importante para los humanos por razones utilitarias, científicas, éticas y estéticas.
El producto fundamental de la Taxonomía es un sistema de clasificación de los organismos vivos, inmensamente útil para guardar información y retroalimentarla. La sistemática se relaciona con la conservación, el monitoreo ambiental, las ciencias agrícolas, la biotecnología y la prospección geológica.
La educación debe desarrollar en los estudiantes un sentido de apreciación de la sistemática como una disciplina que les permita contestarse las siguientes preguntas:
a. ¿Por qué estudiar sistemática?
b. ¿Cuántos grupos diferentes de organismos hay en la Tierra?
c. ¿Cómo podemos organizar esta diversidad, de manera que podamos entenderla mejor? ¿Cómo podemos definir, nombrar e identificar a los organismos?
d. ¿Cómo puede nuestro sistema de organización permitirnos incorporar nueva información?
e. ¿Cómo se relacionan los organismos en la Tierra?
f. ¿Qué factores producen un incremento o un decremento en la diversidad y qué papel juegan los humanos en este proceso?
Crisci, McInerney y McWethy, plantean que los estudiantes, además de responder a las anteriores interrogantes, deberían comprender que nuestro sistema de clasificación es una construcción humana cambiante, lo cual es una lección fundamental que demuestra la naturaleza dinámica de la ciencia y el papel que las múltiples hipótesis juegan en el progreso científico. Por lo tanto, los salones de clase deben convertirse en lugares donde los estudiantes exploren, en forma regular, problemas interesantes utilizando herramientas biológicas importantes.
Para apoyar su objetivo, los autores, además de proveer una amplia bibliografía sobre investigación, enseñanza y discusión en esta área, incluyen como parte central de su libro dos grupos de ejercicios como ejemplos de enseñanza, divididos en dos rubros: actividades para niños de 6 a 12 años y actividades para jóvenes de 13 a 18 años.
En el primer caso, como puede imaginarse, se trata de ejercicios sencillos, pero claros, donde el objetivo fundamental es acercar al niño a las diferentes características de los objetos, seleccionarlos y registrar sus observaciones. Uno de los ejemplos utiliza imanes para separar objetos y el otro, a través de materiales diversos, hipótesis y conteos, lleva a los niños a entender el problema de la extinción de las especies de murciélagos.
En el segundo caso, entre las actividades dirigidas a adolescentes, los nombres son tan atractivos como: el método musical de aprender a clasificar; la clasificación de tuercas y tornillos; cómo construir claves dicotómicas; la clasificación de plantas y animales en una escuela pública; gatos confundidos; y filogenia: la relación entre taxonomía y evolución.
Todas las actividades contienen las instrucciones completas para que los maestros, con material relativamente fácil de conseguir y actividades lúdicas y procedimientos sencillos acerquen a los estudiantes al interesante mundo de la clasificación biológica.
Se trata de un texto altamente recomendable para maestros, que esperemos que pueda ser editado en español y promovido a nivel primaria y secundaria para los cursos de ciencias naturales, que motive en los niños el interés por entender la naturaleza y preocuparse por su conservación.
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Patricia Magaña Rueda
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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Magaña Rueda, Patricia. 1994. Order and diversity in the living world. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 84-85. [En línea].
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| de la solapa | |
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Ciencia sin seso,
locura doble
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Marcelino Cereijido,
Siglo XXI, 1994, 287 p.
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Cuando oigo que en nuestro vapuleado tercer mundo
un científico maduro trata de convencer a un joven de que se dedique a la investigación, evoco, por supuesto, los amables consejos de los maestros que me iniciaron en la profesión de investigador: una de las más fascinantes que el ser humano puede desempeñar. Pero cuando le oigo hacer las consabidas referencias a Galileo, Darwin, Pasteur y Einstein y, sobre todo cuando asevera que su país necesita investigadores, no puedo evitar entonces una sensación de abochornada culpa ante la involuntaria estafa que se perpetra, pues sé muy bien que no le explicará al joven en qué consiste la profesión científica en el tercer mundo, cuál será su integración al resto del quehacer local una vez que haya completado su formación ni en qué condiciones económicas deberá vivir y trabajar.
Es el momento en que llamaría aparte a ese joven, lo invitaría a tomar un café… y yo también trataría de convencerlo para que se dedique a la ciencia —actividad que, de nacer de nuevo, yo volvería a elegir—, pero sin ocultarle otros aspectos de nuestra profesión. Lo haría con muchísimo cuidado, evitando que mi conversación lo disuadiera, pues los científicos latinoamericanos somos demasiado proclives a desgarrarnos las vestiduras; pero también con todo respeto, tomándolo como una persona sensata que está por consagrar nada menos que su vida a una tarea que desconoce, y no como a un futuro sabio que comienza su carrera cometiendo la estupidez de dedicarse a ella sin saber de qué se trata. En realidad, he tomado tantos de esos cafés, que hoy se me ha ocurrido redactar un texto, este texto, con mis puntos de vista sobre los temas que surgen con más frecuencia en esas charlas.
Pero, ¿no hay acaso miles de libros que narran la historia de la ciencia y de cada una de sus lumbreras? ¿No hay ya tratados enteros sobre su filosofía, su estructura, su política y su economía? ¿No hay suficientes manuales detallando carreras, becas e instituciones? ¿No hay oficinas repletas de solicitudes, pliegos de condiciones, fechas de presentación y directorios? ¿No hubo ya ejércitos enteros de sabios eminentes que escribieron sus memorias? ¿Para qué un texto más? En el presente libro, Marcelino Cereijido no describe los fundamentos, mecanismos y personajes del aparato científico desde el punto de vista de un filósofo o de un sociólogo de la ciencia, pues confiesa que no lo es, sino del investigador maduro que toma un café con el joven que se dispone a transitar sus mismos pasos. Quiere evitar, declara, que ese muchacho inicie su camino hacia la profesión científica sin saber en qué se mete. Quiere, en suma, que trate de hacer ciencia con seso.
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Marcelino Cereijido
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Cereijido, Marcelino. 1994. Ciencia sin seso, locura doble. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 86. [En línea].
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| del herbario | |
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Zapotlán Salinas:
el calor de la biología.
Parte I
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| Santiago Arizaga, Eduardo Peters, Fernando Ramírez de Arellano y Ernesto Vega | ||||||||||||||
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En nuestro país se puede encontrar una enorme cantidad
de tipos de vegetación, con excepción tal vez de los propios de regiones muy frías. Las zonas áridas y semiáridas ocupan alrededor del 60% del territorio y contribuyen con aproximadamente el 20% de la flora de México, cerca de 6000 especies,1 dato que rompe con la idea tan extendida de que las zonas áridas son lugares inhóspitos y poco interesantes.
El Laboratorio de Ecología de Comunidades del Centro de Ecología de la UNAM se ha dedicado al estudio de estos ecosistemas, y desde 1988 trabaja en el valle de Zapotitlán Salinas, en dos grandes líneas de investigación: ecología básica y la reintroducción de plantas en peligro de extinción.
El valle de Zapotitlán Salinas, Puebla, es una región semiárida del centro de México, no muy distante del Distrito Federal. Su abrupta topografía y sus bosques de cactos columnares llaman enormemente la atención de quien la visita por vez primera. Esta zona semiárida tiene características que la hacen única en México, en muy diversos sentidos. Una de las particularidades de Zapotitlán son las altas temperaturas —cercanas a los 40°C— que se alcanzan en ciertas épocas del año. Semejantes condiciones ambientales pueden dificultar el establecimiento de las plantas, por lo que es básico conocer cómo cambian las condiciones ambientales, en especial en escalas pequeñas. Se ha encontrado que orientación y exposición del terreno juegan un papel importante en las fluctuaciones micro-climáticas. Así, la ladera sur del jardín botánico es la más propicia —en términos generales— para el establecimiento y desarrollo de las plantas, pues su exposición y orientación minimizan la evaporación y la radiación solar. La ladera norte, en cambio, es la menos adecuada para el desarrollo vegetal.2
El jardín botánico “Helia Bravo Hollis”, localizado en las faldas de una pequeña loma en el extremo oriente del valle está en medio de una tetechera, en la que abunda particularmente el cacto Neobuxbaumia tetetzo (conocido como tetecho). Esta planta de crecimiento lento que puede alcanzar alturas de 11 metros, tiene grandes densidades (1000 individuos mayores a 1 metro de altura en una hectárea). Con el uso de técnicas de modelación matemática se ha intentado estimar las edades de estas plantas.3 Un tetecho de siete metros de alto puede tener entre 150 y 200 años de edad, dependiendo de la zona en donde se desarrolle.
Una idea muy difundida entre quienes estudian desiertos es que el agua es el principal factor que controla la mayoría de los fenómenos biológicos. En Zapotitlán no todo ocurre según esta interpretación.
Puede decirse que la etapa más difícil para el establecimiento de una planta es cuando está recién germinada, debido a su poca resistencia. La plántula del tetecho es particularmente sensible a la deshidratación, proceso que ocurre frecuentemente en las plantas del desierto. En Zapotitlán se ha detectado un fenómeno denominado “nodricismo”: las plantas tienden a germinar y desarrollarse bajo la sombra de arbustos ya establecidos. Las condiciones ambientales bajo la planta “nodriza” no son tan severas como a cielo abierto, por lo que las semillas que llegan bajo el dosel de un arbusto tienen mayor posibilidad de sobrevivir.4 Así, resulta que los tetechos jóvenes generalmente se hallan asociados a un arbusto, que en muchas ocasiones es la leguminosa conocida como “uña de gato” o “mimosa” (Mimosa luisana).
El binomio tetecho-mimosa es aún más complicado e interesante. Conforme el tetecho crece, aumenta su capacidad de captación de agua, a tal grado que es capaz de “quitarle” el agua a la planta nodriza, pudiendo, a largo plazo, ocasionar su muerte.4
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Referencias Bibliográficas
1. Rzedowsky, J., 1991, “Diversidad y orígenes de la flora fanerogámica de México”, Acta Botánica Mexicana, 14:3-21.
2. Peters, R. E. M., 1993, Variaciones micro-climáticas de un desierto intertropical en el centro de México: algunas implicaciones sobre la vegetación, Tesis de Licenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM, México, D.F. 3. Núñez, H. C., 1993, Determinación de edades de una cactácea columnar gigante Neobuxbaumia tetetzo (Coulter) Backeberg, en Zapotitlán de las Salinas, Puebla, Tesis de Licenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM, México, D.F. 4. Valiente-Banuet, A., 1991, Dinámica del establecimiento de cactáceas: patrones generales y consecuencias de los procesos de facilitación por plantas nodrizas en desiertos, Tesis doctoral, Centro de Ecología, UNAM, México. |
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Santiago Arizaga, Eduardo Peters, Fernando Ramírez de Arellano
y Ernesto Vega
Centro de Ecología,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Arizaga, Santiago. Peters Eduardo, Ramírez de Arellano Fernando, Vega Ernesto. 1994. Zapotitlán Salinas: el calor de la biología (I). Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 42-43. [En línea].
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| de lo soluble y lo insoluble | |
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El descubrimiento del ADN como molécula de la herencia
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| Antonio R. Cabral |
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El 1 de febrero de 1994 marcó el cincuentenario de la
publicación del ya famoso artículo en el que Oswald T. Avery, Colin M. MacLeod y Maclyn McCarty describieron los experimentos que los condujeron al descubrimiento de la actividad biológica del ácido desoxirribonucleico (ADN).1 De este hallazgo, resultado de por lo menos treinta años de trabajo de Avery en el Hospital of The Rockefeller Institute for Medical Research, deriva mucho de lo que hoy explora la biología experimental, y de alguna manera señala el nacimiento de la biología molecular.
Este artículo fue publicado nuevamente en el Journal of Experimental Medicine a los 35 años del descubrimlento2 y parcialmente en febrero de 1994 a propósito de sus bodas de oro.3 El texto relata uno de los grandes momentos de la ciencia universal y muestra el gran vigor que tiene la medicina experimental cuando la ejecutan mentes simples, precisas y sabias. La que sigue es, a manera de homenaje, una breve crónica del descubrimiento y de algunos antecedentes científicos: los neumococos.
Los neumococos son bacterias que cuando no tienen cápsula, crecen en el laboratorio formando colonias con superficie rugosa; si tienen esa envoltura su apariencia se torna lisa. La diferencia pudiera parecer menudencia estética, pero no. Según datos emanados del laboratorio de Avery, precisamente la cápsula es causante de la virulencia. En 1928, el patólogo inglés Frederick Griffith descubrió que al inyectar a ratones con pequeñas dosis de neumococos no virulentos junto con grandes cantidades de neumococos patógenos pero “muertos” por calentamiento, los animales no sólo mueren de neumonía sino que muestran en su sangre bacterias encapsuladas ¡vivas! Es decir, en estas condiciones experimentales el neumococo no virulento adquiere la información para sintetizar la cápsula (se transforma, diría Griffith) en el cuerpo del ratón y, con ella, la capacidad de producir enfermedad.
Avery y MacLeod, que conocían bien esos resultados y los de Dawson, Sia y Alloway, que ya habían demostrado la transformación —transfección, diríamos ahora— en tubos de ensaye, el 22 de octubre de 1940 emprendieron la tarea de identificar el principio transformador del neumococo “para, cuando menos, poder colocarlo en un grupo de sustancias químicas conocidas”.1 Tres meses después los investigadores tenían ya suficientes datos experimentales para anotar en su cuaderno de trabajo: “Parecería que los extractos transformadores tienen un poco de ácido desoxirribosonucleico, además de una gran cantidad de ácido ribosonucleico”.4 Según McCarty, la condicionalidad de la frase se debió a, por lo menos, dos razones: 1) los extractos bacterianos para esas fechas eran aún muy crudos, y 2) en 1941 ni siquiera había certeza de que el neumococo, o cualquier bacteria, tuviera ADN.
Otro contaminante del extracto bacteriano era precisamente la cápsula del microbio. Por ello, la primera tarea de McCarty, después de haberse unido al grupo en septiembre de 1941, fue evaluar si ese componente celular era el inductor de la transformación; tal cosa la descartó en dos meses. En adelante se dedicó a diseñar tácticas que eliminaran el polisacárido capsular. Para el verano del 42 los experimentos estaban tan adelantados que sus esfuerzos se centraron en demostrar que el ADN de sus muestras era el principio transformador. La metodología de la época para probar tal hipótesis era, por razones obvias, imprecisa. No obstante, sus argumentos (químicos, enzimáticos, espectrofotométricos, etcétera) convencen al lector de 1994 de que sus preparaciones biológicamente activas contenían “casi” exclusivamente ácido desoxirribonucleico. Avery y McCarty (McLeod dirigía desde julio de 1941 el Departamento de Microbiología de la Universidad de Nueva York) incluso contaban en esos días con algunas muestras de ADN obtenido de varios mamíferos por Alfred Mirsky —investigador del mismo Instituto Rockefeller—, que utilizaron para familiarizarse con el manejo de esta “viscosa sustancia” y para comparar, hasta donde fue posible, sus características físico-químicas.
En mayo de 1943 el trabajo estaba listo para publicación. Avery utilizó su cabaña de Deer Isle, Maine, para escribir la primera versión de la introducción y la discusión, mientras que McCarty se quedó en Nueva York encargado de la metodología. Durante el otoño siguiente ambos investigadores se reunieron en un pequeño cubículo de la biblioteca del hospital neoyorquino; “permanecieron muchas y largas horas revisando y puliendo el manuscrito” hasta que, para “alivio” de McCarty, entregaron la versión final a Peyton Rous el 1 de noviembre de 1943”.4
De la lectura del histórico artículo de 1944, lo primero que salta a la vista es su extensión: 21 páginas; de ellas la sección “experimental” ocupa catorce, con todo y que están impresas con letra menuda y apretada. En esa sección, contrariamente a lo que ahora se estila, los autores muestran los resultados conforme narran los experimentos; el capítulo de discusión llena sólo cuatro páginas en letra discretamente más grande. Dicho de otro modo, más de las dos terceras partes del texto están dedicadas a la metodología y a los resultados.5
La escritura del artículo de Avery, por simple y puntual se asemeja más a una narración literaria. A pesar de su extensión da la impresión de que nada sobra; la claridad de los conceptos sin necesidad de adjetivos y la precaución en la interpretación de los resultados son, quizá, sus rasgos más característicos.6
A quienes encuentran tranquilidad en aplicar valores numéricos a fenómenos biológicos para llamarlos “significativos”, ergo importantes, les gustará saber que el artículo de Avery no incluye ninguna sección de análisis estadístico; dicho de otra manera, no deberán buscar valores de p, t, medias, medianas, desviaciones o errores estándar en el texto ni en sus cuatro tablas. Tengo la certeza de que si Avery y colaboradores enviaran hoy su artículo a publicación sería rechazado o por lo menos fuertemente cuestionado, pues su trascendental conclusión está sustentada en la experimentación de una sola muestra (la preparación 44) que, para cerrar el cuadro, no está controlada.7 A pesar de esta “falla metodológica”, la fecha de recepción del manuscrito que aparece en la hoja frontal del artículo princeps, es la misma en que lo entregaron personalmente al editor,4 lo que hace pensar que inmediatamente fue aceptado para publicación, sin cambios.
Actualmente está tan arraigada la noción de que el ADN es la molécula de la herencia, que resulta interesante saber que tan revolucionario artículo no tuvo el impacto que uno supone debió haber tenido entre los círculos científicos. Sin embargo, no es difícil entender tal reacción si se toma en cuenta que en los años cuarenta prevalecía la idea de que los genes eran proteínas y que varios científicos influyentes de la época —Alfred Mirsky entre ellos— pensaban que el ADN utilizado por Avery y sus colaboradores contenía cantidades no detectables de proteínas.
No obstante hubo algunos científicos que reconocieron inmediatamente la jerarquía de los hallazgos de Avery,8 por ejemplo, Erwin Chargaff, quien después de leer el artículo en cuestión cambió su fructífera línea de investigación sobre los lípidos de la membrana celular del Mycobacterium tuberculosis y sobre algunas proteínas de la coagulación por la del estudio de la composición química del ADN;9 tal giro lo llevó a concluir lo que ahora conocemos como las “Leyes” de Chargaff. Estos conocimientos, junto con los de Wilkins y su grupo 10 y los de Franklin y Gosling,11 fueron fundamentales para la genial tormenta cerebral de Watson y Crick en la que concibieron la famosísima doble hélice del ADN12 y que les redituó, aliado de Wilkins, el Nobel de Medicina en 1962.
Incidentalmente, Avery murió el 20 de febrero de 1955 sin haber recibido este Premio y sabiendo que su artículo no fue citado ni mencionado por Watson y Crick.12 El artículo de Avery sólo tuvo 17 citas promedio al año entre 1966 y 1969, la mayoría en artículos como éste13 y no aparece en una lista publicada recientemente sobre los artículos científicos más citados,14 cuando tendría la potencialidad de ser referido por lo menos 14400 veces al año.15 Aunque este asunto pudiera tener explicaciones varias,14 muestra, sin embargo, la gran falibilidad que tiene el número de citas a los trabajos científicos como índice de su impacto, más cuando todos sabemos que la trascendencia de un descubrimiento científico es precisamente lo más difícil de pronosticar.
No cabe duda que la investigación biológica actual es diferente a la que se practicaba en tiempos de Avery; los conocimientos generados después de su fértil artículo la hacen necesariamente distinta. También es otra porque la manera en que hoy hacemos ese tipo de investigación, que es el que mejor conozco, ha tenido que crecer junto con su tiempo; podría decirse que su progreso ha sido una especie de evolución de lo imposible. Friederich Miescher descubrió el ADN en 1869 y, como Colón, murió sin conocer la trascendencia de su descubrimiento; la ciencia necesitó sólo tres cuartos de siglo para conocer la actividad biológica del ácido desoxirribonucleico y menos de una década en esclarecer su estructura y, con ella, los mecanismos que utiliza para almacenar y transmitir la información genética. Lo más notable es que todos esos conocimientos están relacionados directamente con el proceso mismo de la vida y con el orden biológico que gobierna, diversifica, mantiene y perfecciona a todos los seres vivos.
Este fin de milenio la agenda de los biólogos moleculares incluye el conocimiento detallado de todos los genes humanos. Es difícil imaginar las consecuencias que este formidable logro traerá a la biología en general y a la biomedicina en particular. Si hoy conociéramos ipso facto el 100% del genoma humano, dudo, sin embargo, que el entendimiento de la biología progresara con la misma rapidez incluyendo, por supuesto, el de las enfermedades humanas de causa y mecanismos desconocidos. Quizá la algarabía nos haría olvidar que la mayoría de esos genes estarían aún en busca de función. En estas circunstancias, el Dr. Joshua Lederberg hace poco llamó la atención sobre la importancia de los maravillosos experimentos de Avery y su grupo en el contexto de la observación clínica; sin ella —dice el descubridor del primer gene bacteriano— el culminante hallazgo del ADN como molécula de la herencia tal vez nunca hubiese sido llevado a cabo.16 El artículo de Avery, McLeod y McCarty es también modelo de la muy saludable relación entre ciencia clínica y ciencia básica, y de la gran potencialidad de ambas actividades para beneficiarse y retroalimentarse cuando una toma en cuenta a la otra.
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Notas
1. Avery, O. T., C. M. McLeod, M. McCarty, 1944, “Studies on the chemical nature of the substance inducing transformation of pneumoccocal types. Induction of transformation by a desoxyribonucleic acid fraction isolated from pneumococcus type III”. J. Exp. Med. 79:137-158.
2. Lederberg, J., 1979, Introduction to the paper by Avery, MacLeod y McCarty, J. Exp. Med., 149:299-301. 3. Steinman, R. M., C. L. Moberg, 1994, “A triple tribute to the experiment that transformed biology”, J. Exp. Med. 179:379-384. 4. McCarty, M., 1994, A retrospective look: How we identified the pneumococcal transforming substance as DNA, J. Exp. Med. 179:385-394. 5. Esto también es contrario a lo que acostumbran la mayoría de los autores actuales quienes ocupan más espacio en justificar y discutir sus hallazgos que en los resultados mismos. 6. Avery conocía bien la gran relevancia biológica de su descubrimiento. En la ya famosa carta dirigida a su hermano Roy en mayo de 1943 incluso menciona que está “lidiando con genes”. 7. ¿Quiere decir esto que cuando un resultado biológico es contundente por sí mismo no necesita de las estadísticas? 8. En 1945, Oswald T. Avery recibió la Medalla Copley que otorga la Royal Society de Londres y que alguna vez albergó entre sus lilas nada menos que a Newton y Darwin. 9. Chargaff, E., 1978, Heraclitean fire. Sketches from a life before nature, New York, The Rockefeller University Press, pp. 82-86. 10. Wilkins, M. H. F, A. R. Stokes, H. R. Wilson, 1953, Molecular structure of deoxypentose nucleic acids, Nature 171:738-740. 11. Franklin, R. E., R. G. Gosling, 1953, “Molecular configuration in sodium thymonucleate”, Nature 171:740-741. 12. Watson, J. D., F. H. C Crick, 1953, “A structure for deoxyribose nucleic acid”, Nature 171:737-738. 13. Wyatt, H. V., 1972, “When does information become knowledge?” Nature, 235:86-89. 14. Garfield, E., A. Welljams-Dorof, 1992, “Of Nobel Class, A citation frequency on high impact research authors”, Theor. Med., 13:117-135. 15. El número de artículos publicados mensualmente acerca de la actividad biológica del ADN es alrededor de 1200. 16. Lederberg, J., 1992, “The interface of science and medicine”, Mt. Sinai J. Med., 59:380-383. |
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Antonio R. Cabral
Departamento de Inmunología y Reumatología,
Instituto Nacional de Ciencias Médicas y Nutrición, Salvador Zubirán.
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cómo citar este artículo →
Cabral R., Antonio. 1994. El descubrimiento del ADN como molécula de la herencia. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 26-29. [En línea].
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| historia de la ciencia | |
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Galileo
y el milagro de Josué
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| José E. Marquina Fábrega | ||||||||||||||
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“De lo que no se puede hablar, es mejor callarse”
Ludwing Wittgenstein
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Generalmente se suele pensar que la aparición, en 1543,
del libro “De Revolutionibus Orbium Coelestium”, de Nicolás Copérnico, generó inmediatamente una extraordinaria polémica en los ámbitos intelectuales y religiosos de la Europa del siglo XVI. Sin embargo, llama la atención el hecho de que dicho libro no apareciera en el “Índex” de libros prohibidos por la Iglesia católica sino hasta 1616. En realidad, el impacto del planteamiento de Copérnico fue restringido, como lo demuestra el que los mil ejemplares de la primera edición, realizada en Nuremberg, nunca llegaron a venderse y que hasta 1617 solamente se reimprimiese en dos ocasiones, en Basilea (1566) y en Ámsterdam (1617), mientras que por ejemplo el “Tratado de las esferas” del jesuita Christophe Clavio, publicado en 1570, tuvo diecinueve reimpresiones en los cincuenta años siguientes.
En lo que a las Iglesias se refiere, es interesante constatar que los primeros que reaccionaron violentamente ante las tesis de Copérnico, fueron las altas autoridades protestantes, mientras que el bando católico mantuvo una actitud que podría calificarse de indiferente; Así, la primera condena (que enfatizaba claramente las dificultades de armonizar los planteamientos copernicanos, en particular el movimiento de la Tierra, con las Sagradas Escrituras) vino de parte de Martín Lutero, que, refiriéndose a Copérnico, señaló: “Se habla de un nuevo astrólogo que pretende demostrar que la Tierra se mueve, y que gira en círculo, en lugar de hacerlo el cielo, el Sol y la Luna… Ese necio desea trastocar todo el arte de la astronomía de arriba a abajo. Sin embargo, como nos lo dicen las Sagradas Escrituras, Josué mandó al Sol que se detuviera y no a la Tierra”.*
El resultado de la actitud asumida por Lutero y después por Philipp Melanchton fue paradójico, pues fueron precisamente los astrónomos protestantes de Wittenberg los que desarrollaron la astronomía copernicana, bajo la óptica de no considerar los planteamientos de Copérnico más que como un modelo que permitía simplificar los cálculos.
En cambio, en el bando católico, el impacto de las tesis de Copérnico fue poco apreciable, a no ser por la famosa condena a Giordano Bruno, en la que en realidad el copernicanismo de éste, fue lo menos importante para el fatal desenlace al que se vio condenado el extravagante filósofo-científico-mago-teólogo-memorista.
En lo que a Galileo se refiere, él era copernicano desde varios años antes de 1597, si hemos de creerle a la carta que le mandó en ese año a Kepler, para agradecerle que le hubiera enviado un ejemplar del “Mysterium Cosmographicum”. En dicha carta señala que ha escrito numerosos argumentos en favor de Copérnico, los cuales no han visto “… la luz pública, temeroso de la suerte que corrió el propio Copérnico, nuestro maestro, quien, aunque adquirió fama inmortal, es para una multitud de otros (que tan grande es el número de necios) objeto de burla y escarnio”.
Tendrán que pasar trece años para que Galileo haga su primera defensa pública del heliocentrismo, en un pasaje al final del “Sidereus Nuncius”, en el cual señala:
“Tenemos aquí un argumento notable y óptimo para eliminar los escrúpulos de quienes, aceptando con ecuanimidad el giro de los planetas en torno al Sol según el sistema copernicano, se sienten con todo turbados por el movimiento de la sola Luna en torno a la Tierra, al tiempo que ambas trazan una órbita anual en torno al Sol, hasta el punto de considerar que se debe rechazar por imposible esta ordenación del universo”.
A partir de esta pálida defensa, Galileo irá adquiriendo mayor seguridad, probablemente a raíz de los éxitos (monetarios y académicos) obtenidos con sus observaciones telescópicas.
En 1613, en las “Cartas sobre las manchas solares” señala, refiriéndose a Saturno: “Y acaso también este planeta, en no menor medida que la cornígera Venus, armoniza admirablemente con el gran sistema copernicano, a favor de cuya revelación universal soplan ahora propicias brisas que nos disipan todo temor de nubarrones o vientos cruzados”.
En diciembre de este mismo año ocurrió un evento a todas luces intrascendente, que tendría particular importancia en la historia del copernicanismo. En una cena con la Duquesa Cristine de Lorena, el padre Castelli, amigo de Galileo, se enfrascó en una discusión con el Doctor Boscaglia, profesor de filosofía, sobre los problemas teológicos que conllevaba el aceptar el movimiento de la Tierra. Castelli defendió los planteamientos heliocéntricos y aparentemente ganó la batalla verbal a Boscaglia. Cuando Castelli le escribió a Galileo contándole esta anécdota, la reacción de Galileo fue absolutamente desproporcionada y redactó un escrito, conocido como la “Carta a Castelli”, que para 1615 se convirtió en la “Carta a la gran Duquesa Cristina”. Galileo suponía que dichas cartas debían de circular profusamente, lo cual, para su desgracia, ocurrió.
Con su prosa característica, Galileo empezaba atacando a todos aquellos profesores que han publicado “… algunos escritos, llenos de discusiones inútiles y salpicadas de citas a las Sagradas Escrituras, tomadas de pasajes que no entendieron adecuadamente y las cuales aducían inapropiadamente”. En su ataque los acusaba de “… ocultar las falacias de sus argumentos con la capa de una religiosidad simulada” para “… difundir entre la gente común, la idea de que tales proposiciones (la teoría heliocéntrica) eran en contra de las Sagradas Escrituras y por lo tanto condenables y heréticas”. Hasta aquí, aunque el ataque a sus opositores era extraordinariamente virulento, no pasaba de ser un exabrupto que le ganaría muchos enemigos, pero Galileo era especialista en ello, e incluso parecía producirle una peculiar fascinación. No contento con lo anterior, Galileo se lanzaba a explicar su forma particular de entender la teología, según la cual “… para acomodarse al entendimiento de la gente común, es costumbre de las Escrituras, decir muchas cosas que son diferentes de la verdad absoluta…”, y ya metido en honduras continuaba asegurando que “… por lo tanto, después de tener la certeza de algunas conclusiones físicas, deberíamos usar éstas como argumentos muy apropiados para la correcta interpretación de las verdades que deben contener” … “ya que las “… conclusiones físicas, las cuales han demostrado ser verdaderas, no se les debe dar un lugar más bajo que a los pasajes escriturales, sino que uno debe aclarar cómo dichos pasajes no son contradictorios con tales conclusiones…”.
En apoyo de sus tesis, Galileo citaba a San Agustín, San Jerónimo, Santo Tomás, Diego de Zúñiga y algunos más, sin percatarse del peligro que corría al enfrascarse, sin necesidad alguna, en una controversia teológica. Pareciera que Galileo desconocía que en el Concilio de Trento (1545-1563) se había prohibido explícitamente la interpretación de las Escrituras de manera contraria al acuerdo común de los Santos Padres, que era precisamente lo que él estaba haciendo, pero curiosamente Galileo mostraba en la “Carta a la gran Duquesa Cristina” que conocía tal prohibición, pero explicaba que el mandato conciliar se refería únicamente a “aquellas proposiciones que son artículos de fe o involucran la moral…” y “… el movimiento o reposo de la Tierra o del Sol no son artículos de fe y no están en contra de la moral…”, con lo cual Galileo no sólo atacaba a los profesores e interpretaba libremente las Escrituras, sino que además interpretaba los acuerdos del Concilio de Trento.
Como si no bastase con lo anterior, Galileo continuaba afirmando:
“Con respecto a éstas y otras proposiciones similares que no involucran directamente la fe, nadie puede dudar que el Sumo Pontífice siempre tiene el poder absoluto de permitirlas o condenarlas…”, lo cual era absolutamente obvio en el siglo XVII, pero terminaba aseverando que “… sin embargo, ninguna criatura tiene el poder de hacerlas verdaderas o falsas…”.
Esta auténtica declaración de guerra a las autoridades académicas y eclesiásticas, era rematada con el análisis del milagro de Josué, ya que, según Galileo, “… dado el sistema Ptolemaico, es necesario interpretar las palabras de una manera diferente de su significado literal”. La interpretación correcta se basaba, a decir de Galileo, en el hecho de que “… aunque el cuerpo del Sol no se mueve desde el mismo lugar, él gira sobre sí mismo, completando una rotación entera en aproximadamente un mes, como siento que he demostrado en mis “Cartas sobre las Manchas Solares”… y como “… el Sol es ambos, la fuente de luz y el origen del movimiento, y dado que Dios quería que todo el sistema del mundo permaneciera sin moverse por varias horas como un resultado de la orden de Josué, fue suficiente con parar al Sol, y entonces su inmovilidad pasó a todos los otros girantes, así que la Tierra, como la Luna y el Sol (y todos los otros planetas) permanecieron en el mismo arreglo; y durante todo ese tiempo la noche no se acercó, y el día milagrosamente fue más largo. De esta manera, parando al Sol, y sin cambiar o perturbar de ninguna manera la apariencia de las otras estrellas, o su arreglo mutuo, el día en la Tierra pudo ser prolongado en acuerdo perfecto con el significado literal del texto sagrado”.
En este párrafo llama la atención que, aunque Galileo aseguraba que las Escrituras no debían necesariamente ser interpretadas literalmente, su explicación concordaba a la perfección con el sentido literal del texto bíblico.
Adicionalmente, es sorprendente que Galileo (que aunque no formuló la ley de la inercia, estuvo muy cerca de hacerlo) no se percatase, o pretendiese no hacerlo, de lo que ocurriría si la Tierra se detuviera repentinamente en su movimiento en torno al Sol. Efectivamente, fue el propio Galileo el que años más tarde, en la segunda jornada del “Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo” (1632), señalaba: “Si el globo terrestre encontrara un obstáculo tal, como para resistir completamente su giro y frenarlo, creo que en ese momento no sólo los animales, edificios y ciudades serían derribados, sino montañas, lagos y mares y puede que hasta el mismo mundo cayera en pedazos”.
La “Carta a la Gran Duquesa Cristine”, terminaba señalando que el resto de pasajes escriturales que parecían contradecir el punto de vista de Copérnico podrían explicarse sin dificultad, si los teólogos agregaran a su conocimiento de las Sagradas Escrituras algo de conocimiento astronómico.
El resultado de las cartas (en realidad una con ampliaciones) no pudo haber sido peor; las denuncias ante el Tribunal del Santo Oficio no se hicieron esperar, y Galileo tuvo que comparecer ante él, en Roma en diciembre de 1615.
Como consecuencia de la comparecencia, el 5 de marzo de 1616, la Congregación General del Índex publicó un decreto en el que señalaba que la doctrina que intenta demostrar la inmovilidad del Sol y el movimiento de la Tierra, es falsa y opuesta a las Sagradas Escrituras, y que “… para que esta opinión no continúe difundiéndose para perjuicio de la verdad católica, la Santa Congregación ha decretado que “De Revolutionibus Orbium Coelestium” del citado Nicolás Copérnico y “Sobre Job” de Diego de Zúñiga queden suspendidos hasta que se les corrija…”.
Aunque el nombre de Galileo no aparece por ninguna parte, él fue el responsable de esta condena.
Años más tarde, cuando Galileo creyó que los nubarrones que él mismo provocó, se habían disipado, regresó a la batalla, siendo, ahora sí, totalmente derrotado. Esta historia sin final feliz se cierra en 1633 con estas famosas palabras:
“Yo, Galileo Galilei, hijo del difunto Vincenzo Galilei, florentino, de setenta años de edad, constituido personalmente en juicio y arrodillado ante vosotros, eminentísimos y reverendísimos cardenales de la Iglesia Universal Cristiana, inquisidores generales contra la malicia herética, teniendo ante mis ojos los Santos y Sagrados Evangelios que toco con mis manos, juro que he creído siempre, y que creo ahora, y que, Dios mediante creeré en el futuro, todo lo que sostiene, practica y enseña la Santa Iglesia Católica, Apostólica Romana… Por eso, hoy, queriendo borrar de las investigaciones de vuestras eminencias y de las de todo cristiano católico esta sospecha vehemente, justamente concebida contra mí, con sinceridad de corazón y fe no fingida, abjuro, maldigo y detesto los antedichos errores y herejías… Ayúdame pues, Dios y estos Santos Evangelios que toco con mis manos.”
* Aunque este comentario se produjo en 1539, Lutero debía saber de Copérnico, por su obra previa, el “Commentariolus”.
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Referencias Bibliográficas
Koestler, A., 1981, Los sonámbulos, Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. México.
Kuhn, T. S. 1978, La revolución copernicana, Ariel Barcelona. Galileo y Kepler, 1988, El mensaje y el mensajero sideral, Alianza Editorial, México. Finocchiaro, M. A., 1989, The Galileo affair, University of California Press, USA. |
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José E. Marquina Fábrega
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Marquina Fabrega, José Ernesto. 1994. Galileo y el milagro de Josué. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 14-17. [En línea].
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| Faustino Sánchez Garduño y Lourdes Esteva Peralta | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un amplio rango de fenómenos en la naturaleza exhiben
comportamientos ondulatorios que pueden observarse desde un nivel microscópico hasta escalas astronómicas, pasando, desde luego, por la escala humana, trátense o no de sistemas vivientes.
Ondas son los círculos concéntricos que produce una piedra al caer en un estanque y que se propagan a través de su superficie al transcurrir el tiempo y lo hacen conservando su forma. Ondas son también ese subir y bajar del nivel del mar durante el día (mareas), que son el resultado de las fuerzas de atracción gravitacional. Igualmente, ondas son el ir y venir de las aguas marinas en las playas, que conocemos como olas y que las interacciones de océano-viento y de océano-litoral, hacen que aparezcan ante nuestra vista como formas más bien complicadas, pero que son, al fin y al cabo, ondas.
¿Quién no ha visto en las dunas del desierto esas pequeñas o grandes ondulaciones en ocasiones de formas caprichosas que aparecen a lo largo y a lo ancho de las superficies arenosas? La sola observación de las formas geométricas de esos cúmulos de arena nos recuerda a los correspondientes patrones espaciales producidos por el movimiento de un fluido “espeso” …así se ven las ondas de arena. Cuando los copos de nieve son semejantes a los gránulos arenosos, el viento forma con ellos ondas similares a las ondas de arena (Véase la figura 1).
Nuestro universo está compuesto por estrellas, planetas, satélites, asteroides, cometas, gases y polvos interestelares, etcétera, todos en constante movimiento, y las agrupaciones de éstos forman galaxias, las que, como un todo, cambian de posición… también se mueven; pero no lo hacen de cualquier forma. Algunas se trasladan de tal manera que sus elementos constituyentes siguen una disposición espacial reconocible: se trata de espirales que rotan; este comportamiento también es de tipo ondulatorio.
De la misma manera en sistemas químicos, fisiológicos y biológicos, hay múltiples ejemplos de fenómenos ondulatorios.
Algunas de las ondas más impresionantes que podemos encontrar en el mundo de la ciencia, son las que aparecen en química. La riqueza geométrica de los patrones observados en ellas, dependen de la concentración de los reactivos y catalizadores, de la temperatura, de la dimensión del espacio en el cual la reacción tiene lugar, etcétera.
Las ondas químicas unidimensionales se producen en sistemas en los que hay reacciones autocatalíticas. La reacción puede iniciarse en una región particular, en la que inicialmente los reactivos se distribuyen homogéneamente. A medida que la reacción se efectúa y la concentración del catalizador se incrementa, éste se difunde a la solución adyacente y es ahí donde se inicia la reacción. Mientras esto sucede, el catalizador se difunde a la región contigua de la solución y así sucesivamente. Si la razón catalítica es suficientemente grande en comparación con la razón de difusión, se produce una onda química que se propaga a través de la solución. El anterior fenómeno puede observarse en la oxidación del ácido nítrico.
Los patrones ondulatorios que aparecen en la famosa reacción de Belousov-Zhabotinsky, en dos o tres dimensiones, han llamado la atención de muchos investigadores, aunque no tiene nada de particular, en cuanto a los reactivos que intervienen en ella. Una típica preparación consiste de sulfato de cesio, ácido malónico y bromato de potasio, todos ellos disueltos en ácido sulfúrico; por medio de este sistema químico se pueden apreciar varios tipos de comportamiento, dependiendo de las condiciones experimentales en las que se efectúe la reacción. En dos dimensiones, el comportamiento puede ser el de círculos de concentración, el de espirales simples rotando y el de espirales de concentración con varias ramas, también girando. Ondas similares a éstas se producen en el fenómeno de agregación quemotáctica por poblaciones de células de Dictyostelium discoideum, sobre una superficie de agar (Figura 2).
La introducción a principios de este siglo de la ardilla gris Scirus carolinensis en varias zonas de la Gran Bretaña produjo, después de algunos años de coexistencia con la ardilla autóctona Scirus vulgaris, ondas de invasión de la ardilla introducida. El efecto que esto ha tenido es un desplazamiento constante de la ardilla roja Scirus vulgaris de regiones de Inglaterra, Gales y de las praderas de Escocia.
La propagación de algunas epidemias dentro de las poblaciones, también sigue patrones ondulatorios. Un ejemplo de ello es el de la rabia, epidemia que se ha estado propagando desde hace varias décadas entre poblaciones de zorras y que actualmente, aún está presente en Europa.
Los ejemplos de ondas que podemos encontrar tanto en química como en ciencias de la vida, es muy extensa y variada, y como ejemplo podrían citarse sólo algunos como: los impulsos eléctricos a través del axón de neuronas; las ondas de concentración de calcio en los huevecillos de algunos peces; las ondas en el miocardio, etcétera. Pero además de este tipo de variedad, las ondas también son muy variadas en cuanto a sus formas; así las hay: sinusoidales, circulares, espirales rotando, teniendo una o varias ramas, pulsos, frentes, etcétera. Ondas que se propagan lenta o rápidamente a través de espacios físicos de una, dos o tres dimensiones. Hay ondas visibles, pero también las hay invisibles, como lo son las ondas de radio y las sonoras.
Ya el lector podrá imaginar que, ante esta variedad de ondas, son muchos los problemas matemáticos que aparecen, como también son variados los enfoques que se han propuesto para poder describir estos fenómenos ondulatorios. Nosotros aquí vamos a intentar hacer la revisión de solo un tipo particular de ondas: las ondas viajeras, surgidas en distintos ámbitos dentro de las ciencias químico-biológicas.
A fin de no abrumar al lector por la cantidad de información, hemos decidido dividir en dos partes este trabajo. En la primera de ellas, que es la que el lector tiene ante sus ojos, se expone tanto el lenguaje y la notación necesarios, así como una revisión de los trabajos pioneros en el análisis de existencia de ondas viajeras para dos familias de ecuaciones de reacción-difusión. En la segunda parte,13 que será publicada en el siguiente número de Ciencias exponemos, dos aplicaciones de las ondas viajeras, quizás de las más representativas; una en epidemiología y la otra en neurofisiología. También contendrá un resumen de los más recientes resultados obtenidos en relación a la existencia de ondas viajeras en ciertas familias de ecuaciones de reacción-difusión, así como una breve lista de los problemas de actualidad en el área.
1. Conceptos y notación necesarios
Un enfoque (el de los llamados modelos continuos) que ha sido usado con mucho éxito en la descripción de fenómenos ondulatorios en química, biología y fisiología, es el que utiliza las así llamadas ecuaciones de reacción-difusión. Trataremos de exponerlo de manera sucinta, diciendo que éstas describen la dinámica de la concentración de sustancias (densidades poblacionales) que reaccionan (interaccionan) y se difunden (dispersan) en el medio (hábitat), al transcurrir el tiempo. La parte difusiva de aquéllos en su versión más elemental, proviene de la Ley de Fick, según la cual:
“La cantidad de materia transportada en una dirección dada a través de una unidad de área transversal en una unidad de tiempo, esto es, el flujo (Entra fórmula 01), es proporcional al gradiente de la concentración de materia.”
Si denotamos por (Entra fórmula 02) a la concentración del i-ésimo reactivo en el punto (Entra fórmula 03) al tiempo t, entonces la ley fickiana se escribe en términos matemáticos así:
(Entra fórmula 04)(1)
donde Di es una constante positiva llamada difusividad y ∇ui = (∂ui/∂x, ∂ui/∂y, ∂ui/∂z). La ecuación de difusión de Fick puede ser obtenida sustituyendo (1) en la ecuación de continuidad o de balance (véase el recuadro)
(Entra fórmula 06)(2)
donde (Entra fórmula 07), para darnos
Aquí hemos adoptado la notación
∇2ui = ∂2ui/∂x2 + ∂2ui/∂y2 + ∂2ui/∂z2. (3)
En tanto, la parte reactiva o cinética (de interacción) está dada en términos que describen la cinética de las reacciones involucradas. Típicamente la Ley de Acción de Masas, misma que puede enunciarse así:
“Si una reacción química irreversible se efectúa a temperatura y presión constantes, entonces la velocidad de la reacción es directamente proporcional al producto algebraico de la concentración de los reactivos que intervienen.”
En términos matemáticos, la Ley de Acción de Masas toma la forma
∂ui/∂t = -kiu1u2,..., un. (4)
donde ki es una constante positiva, llamada constante cinética.
Si ambos fenómenos (reacción y difusión) ocurren simultáneamente en el sistema que se está describiendo, entonces la dinámica espacio-temporal de las sustancias reaccionantes, está dada por las ecuaciones de reacción-difusión:
∂ui/∂t = Di ∇2ui + fi(u1,u2,...,un) (5)
en las que hemos escrito en la parte reactiva a funciones fi, que contienen como caso particular a aquéllas que provienen de la Ley de Acción de Masas (4).
Nótese que, incluso en (4) las funciones fi no dependen linealmente de las concentraciones u1,u2,…,un. La característica de no linealidad de las ecuaciones de reacción-difusión (5) hace que, por regla general, la búsqueda de soluciones analíticas para ellas sea nada más que un buen deseo. Las aproximaciones numéricas, así como la determinación de propiedades cualitativas de las soluciones, juegan un papel fundamental en los análisis de casi cualquier sistema de reacción-difusión que describa algún sistema físico, en el sentido más amplio de la palabra.
Casos particulares (para formas específicas de las funciones fi) de sistemas de reacción-difusión, aparecen en una amplia gama de áreas científicas. Las variables de estado (u1,u2,…,un) pueden tomar distintas interpretaciones. Por ejemplo: la frecuencia génica en una población que se dispersa, el potencial de membrana en modelos de conducción nerviosa, las densidades poblacionales de especies que se dispersan en medios heterogéneos; la concentración de células en modelos de crecimiento de tumores cancerosos, etcétera. Dentro de esta gama de aplicaciones de los sistemas (5), debemos mencionar el preponderante papel que éstas han jugado en la descripción de formación de patrones (morfogénesis) químicos y biológicos. En estos patrones se incluyen aspectos que van desde la coloración del pelaje de algunos mamíferos, hasta la forma y la coloración de las figuras geométricas que se observan en las conchas de algunos moluscos.10
El sistema, (5) junto con las condiciones iniciales (Entra fórmula 11), para todo punto (Entra fórmula 12) en el espacio físico ? en el que se efectúe la reacción, donde las n funciones (Entra fórmula 13), son conocidas y las condiciones de fronteraa constituyen el problema matemático que da origen a la situación física que se pretenda describir.
Los siguientes son algunos de los problemas matemáticos asociados a sistemas de reacción-difusión que se han venido investigando en años recientes:
1. Existencia y unicidad de soluciones. Dar las condiciones bajo las cuales un problema con condiciones iniciales y de frontera admite solución clásica o fuerte; es el problema planteado aquí. Sin embargo, frecuentemente sucede que tales problemas no tienen solución en este sentido, pero sí la tienen cumpliendo condiciones menos severas, por ejemplo, que en lugar de ser dos veces diferenciables, respecto a la variable espacial, sean sólo continuas. Cuando esto ocurre, se dice que el problema tiene solución débil.
2. Fenómenos de bifurcación. Frecuentemente en este tipo de ecuaciones aparecen parámetros con interpretación química o biológica precisa. Al considerar el espacio de las soluciones, junto con el de los parámetros, resulta importante determinar la pareja (solución, parámetro), para la que se dan los cambios cualitativos en aquéllas. Este es el problema central aquí.
3. Inestabilidad inducida por difusión. Este fenómeno ocurre cuando un estado estacionario y homogéneo, cambia su comportamiento cualitativo al incorporar el término difusivo en las ecuaciones. La inestabilidad de Turing, que es un caso particular de lo anterior, ocurre cuando un estado estacionario y homogéneo es desestabilizado por la difusión. Indagar las condiciones cuando esto ocurre, es el problema central en este caso.
4. Estabilidad global. Uno de los problemas a analizar aquí, es el de la influencia que tienen los términos difusivos en la estabilidad global de las soluciones homogéneas de (5). Precisemos. Supongamos que (Entra fórmula 14) es un estado estacionario globalmente estable del sistema (5) con Di = 0 para todo i. Las funciones (Entra fórmula 15) constituyen una solución estacionaria y homogénea de (5). El problema es determinar si ésta es una solución globalmente estable de (5).
5. Existencia de soluciones especiales. Sobre este punto se abundará más adelante.
Algunos aspectos de estos problemas ya han sido analizados en la literatura científica que versa sobre estas cuestiones.2,4
Para los fines del presente artículo es necesario precisar lo enunciado en el punto número 5 de la lista anterior. Así, se tiene que algunas veces el fenómeno a ser modelado “sugiere” la existencia de soluciones espacialmente heterogéneas, pero relativamente ordenadas. Tales situaciones aparecen, por ejemplo en la reacción de Belousov-Zhabotinsky10 y en el fenómeno de agregación quemotáctica de la amiba Dictyostelium discoideum.10 En ambos casos, uno puede ver espirales rotando: de concentración de reactivos en el primer caso y de densidad de células en el segundo (véase la figura 2).
En otras situaciones, uno puede observar soluciones que viajan en el espacio con perfil y velocidad constantes. Ejemplos de ello son: los pulsos de voltaje que viajan a lo largo de nervios, los frentes de invasión de especies, las ondas de propagación de epidemias, etcétera. Este tipo de soluciones reciben el nombre de ondas viajeras, cuya expresión matemática en el caso escalar (una sola ecuación) y en una dimensión, es:
u(x,t) = Φ(x-ct) (6)
donde c es la velocidad de la onda. Dependiendo del signo de c, la onda viaja hacia la derecha (si c > 0) o hacia la izquierda (si c < 0) (véase la figura 3).
A su vez, dentro del tipo de ondas viajeras unidimensionales que se han reportado en la literatura, se encuentran las ilustradas en la figura 4.
En este trabajo haremos una revisión de la existencia de ondas viajeras para diferentes ecuaciones de reacción-difusión, surgidas en distintos ámbitos de las ciencias naturales; trataremos de hacerlo desde sus orígenes, hasta el enunciado de algunos problemas de actualidad en esta área científica.
2. Primeros análisis sobre la existencia de ondas viajeras
En la literatura sobre estas cuestiones, frecuentemente uno encuentra que los primeros análisis sobre la existencia de ondas viajeras están asociados al estadístico y biólogo teórico inglés R. A. Fisher,5 y a los matemáticos rusos A. Kolmogorov, I. Petrovsky y N. Piskounov.8 Sin negar la importancia de la contribución hecha por estos autores, ciertamente no fueron los primeros que aportaron algo al estudio de este tipo de fenómenos ondulatorios en las ciencias químico-biológicas. Hasta donde sabernos, el primero fue el científico alemán R. Luther,9 quien, para estudiar la propagación de un impulso nervioso, hizo una analogía entre este fenómeno y la propagación de una onda química. Basándose en este símil, Luther obtuvob la fórmula (Entra fórmula 17), donde a es una constante, κ es la constante cinética de la reacción, D es el coeficiente de difusión y E es una concentración, para la velocidad de propagación de la onda química (del impulso nervioso).
Una versión moderna, así como una discusión del trabajo de Luther, puede verse en el artículo de Showalter y Tyson.14
Justamente 31 años después del trabajo de Luther, en 1937, se publicaron el par de artículos mencionados al inicio de esta sección, los que actualmente se consideran clásicos en esta área. Ambos surgieron en el contexto de la genética de poblaciones; de hecho fueron escritos específicamente para describir la propagación de un gene ventajoso dentro de una población.
Aunque los autores citados al inicio de esta sección no las establecen explícitamente, las siguientes son las premisas sobre la población y sobre el hábitat en las que se basa la ecuación por ellos analizada:
P.1. La población es diploide, esto es, los individuos de ésta tienen dos juegos de cromosomas apareados. Un locus (es decir, un lugar específico en un cromosoma) puede ser ocupado por dos alelos que denotaremos por A y a. Un individuo hijo de padres con estos alelos, puede tener cualquiera de los tres genotipos: AA, aa y Aa. Los primeros dos son llamados homocigóticos y el tercero heterocigótico.
P.2. La población se encuentra en equilibrio Hardy-Weinber, i. e., los apareamientos son al azar, no hay mutación y tampoco hay movimientos migratorios.
P.3. La población crece en generaciones continuas traslapadas.
P.4. La población es homogénea i. e., no se considera, algún tipo de estructura (de edad, por ejemplo).
P.5. El hábitat es unidimensional e infinito.
Para la construcción del modelo, denotemos por u(x,t) a la probabilidad de ocurrencia del alelo A en el punto x al tiempo t. La correspondiente para el alelo a resulta ser 1–u(x,t). En estos términos, la probabilidad de los genotipos AA, Aa y aa mencionados en P.1., resulta ser u2, 2u(1–u) y (1–u)2, respectivamente.
Puede probarse1,2 que bajo estas premisas, u satisface la siguiente ecuación diferencial parcial de tipo reacción-difusión:
∂u/∂t = ∂2u/∂x2 u(1-u) [ρ - τ - (2ρ - σ - τ) u] (7)
donde ρ, σ y τ son las adecuaciones de los genotipos AA, Aa y aa respectivamente. Dependiendo de la combinación de las distintas adecuaciones, Aronson y Weinberger1 consideran los casos que se consignan en el Cuadro 1. Claramente cada uno de éstos corresponde a diferentes aspectos geométricos de la parte reactiva en la ecuación (7).
En esta clasificación general queda incluida (el caso 1) la ecuación analizada por Fisher y por Kolmogorov et al.
En lo que resta de esta sección, nos restringiremos a revisar las principales líneas de trabajo de estos autores. Si el lector está interesado en revisar los detalles técnicos, puede consultar los artículos originales o bien versiones modernas que han sido publicadas. Dentro de éstas, figuran.2,4
Fisher consideró la ecuación
∂u/∂t = D∂2u/∂x2 + ru(1-u) (8)
donde D es el coeficiente de difusión y r es la intensidad de selección en favor del gene mutante A.
Para determinar la velocidad de propagación de la onda de avance del gene A, el científico inglés usó el siguiente razonamiento.
Según sus propias palabras: “Si buscamos una solución de (8), representando una onda de forma estacionariac avanzado con velocidad c, debemos poner ∂u/∂t = -c ∂u/∂x, y obtener la ecuación diferencial (9) que involucra una sola variable independiente. Dd2u/dx2 + cdu/dx + ru(1-u) = 0” (9)
A continuación, y debido a que en esta ecuación no aparece x explícitamente, Fisher introduce la variable S como S(x) = S(u(x)) = du/dx, para reducir el orden de (9). Así se llega a la ecuación:
DS dS/du = cS + ru(1-u) = 0.
Enseguida, Fisher argumenta: “En el punto de inflexión (Entra fórmula 24) Si S/u tiende a un límite k, cuando u ? 0, entonces k debe satisfacer la ecuación cuadráticad
Dk2-ck + r = 0
la cual tiene raíces reales solamente si c2 ≥ 4Dr”.
Nótese que si c satisface esta desigualdad, entonces el equilibrio u(x) ≡ 0 es localmente estable, siendo monótonamente decreciente la forma de acercarse a él.
Mediante otros argumentos de plausibilidad, Fisher concluye que sólo para esos valores de c existe solución de forma estacionaria para la ecuación (8).5
3. Análisis del retrato fase: el enfoque clásico
En el artículo de Kolmogorov et al., se encuentra el primer tratamiento formal sobre el análisis de existencia de soluciones del tipo onda viajera para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. Las ideas centrales de la metodología introducida por estos autores aún continúa usándose en la actualidad. Kolmogorov et al., consideran una ecuación de reacción-difusión que, por su generalidad, incluye a aquélla que describe el caso I del cuadro 1. Esta es
∂u/∂t = D∂2u/dx2 + f(u) (10)
donde D es una constante positiva y la función f es diferenciable en [0,1] y satisface las condiciones:
(Entra fórmula 29)
A la ecuación (10) siendo f como lo hemos indicado aquí, le llamaremos ecuación clásica de Fisher-KPP.
Previo al análisis formal, los autores dan el siguiente razonamiento de plausibilidad para determinar, tanto la forma de la onda de avance del gene ventajoso, como las condiciones a la frontera que ha de satisfacer la solución de (10) que describa la situación biológica. Supóngase que en el momento inicial (en t = 0) la probabilidad u del alelo A, u(x,0) = u0(x) es uno a la izquierda de un punto x0 y cero a la derecha de x0. Esta situación puede interpretarse así: el alelo A domina en la región x < x0 y está ausente en aquella región del hábitat para la que x > x0. En términos matemáticos, lo anterior implica que en t = 0 la probabilidad de u está dada por
(Entra fórmula 31) (11)
En la figura 5(a) se puede observar lo expresado aquí. En ésta, hemos tomado por comodidad x0 = 0.
Debido al carácter dominante del alelo A en la región x < 0, se esperaría que al transcurrir el tiempo se difundiera a la derecha de x = 0 y, eventualmente (después de trascurrido un tiempo suficientemente grande), se establezca para x > 0. Igualmente uno esperaría que la forma en que se diera este proceso difusivo fuera “suave”, según lo ilustra la figura 5(b). De ésta se tienen los dos comportamientos asintóticos:
u → 1 para x → - ∞ y u → 0 para x → + ∞.
Determinar el perfil límite (para t → + ∞) de esta onda de avance, así como la velocidad de movimiento (de izquierda a derecha) de aquélla, son dos de los problemas centrales aquí.
Dicho lo anterior, centrémonos en la línea de trabajo de los matemáticos rusos. Para ello enunciemos el siguiente problema:
Problema 1. (P.1). Investigar la existencia de soluciones del tipo onda viajera u(x,t) = Φ(x-ct) para la ecuación (10), con condición inicial u(x,0) = u0(x) tal que 0 ≤ u0(x) ≤ 1 para toda x, cumpliendo las condiciones de frontera Φ(- ∞) = 1 Φ(+ ∞) = 0 y sea tal quee 0 ≤ Φ(ξ) ≤ 1 para todos ξ = x-ct.
La metodología introducida por Kolmogorov et al., consiste en escribir la ecuación (10) como un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias y re-enunciar el problema P.1., en términos de determinar su retrato fase cuando los parámetros (en ellos se incluye la velocidad c) cambian. Precisemos. Supóngase que (10) tiene soluciones de la forma u(x,t) = Φ(x-ct). Sustituyendo Φ en (10) obtenemos una ecuación diferencial de 2.° orden y considerando las condiciones iniciales y de frontera en P.1., damos lugar al siguiente problema:
(Entra fórmula 40)
Introduciendo la variable v como dΦ/dξ = v, la ecuación diferencial de segundo orden puede ser escrita como un sistema autónomo de dos ecuaciones diferenciales, el que, junto con las condiciones de frontera anteriores, conduce al siguiente problema:
Problema 2. (P.2). Investigar la existencia de soluciones del siguiente problema con condiciones de frontera.
(Entra fórmula 41) (12)
Puede demostrarse que los problemas P.1 y P.2 son equivalentes en el sentido de que la existencia de una solución a P.1 implica la existencia de una solución P.2 y viceversa.4
Dado que el sistema (12) no es lineal, no debe esperarse que se pueda determinar de inmediato la solución (Φ,v) de (12), cumpliendo las condiciones de frontera expresadas en P.2. En vez de este enfoque cuantitativo, preferimos analizar el comportamiento cualitativo de las trayectorias de (12). Aquí, el primer paso es encontrar las soluciones de equilibrio de (12), es decir, aquellas que no cambian con ξ por lo que
dΦ/dξ = dv/dξ = 0
y por lo tanto satisfacen el par de ecuaciones algebraicas
(Entra fórmula 43)
Usando las condiciones impuestas a f se tiene que P0 = (0,0) y P1 = (1,0) son los únicos estados de equilibrio de (12). Debido a las condiciones de frontera en P.2. buscaríamos el juego de parámetros para el que existen trayectorias6 de (12) que conectan P1 con P0 y lo hagan de tal manera que 0 ≤ Φ(ξ) ≤ 1, v(ξ) < 0 para toda ξ∈ (- ∞, + ∞).
Mediante técnicas cualitativas, se concluye que el comportamiento local, i. e., en vecindades de los puntos de equilibrio P0 y P1, de las trayectorias de (12) es, según lo ilustra la figura 6(a), siempre que (Entra fórmula 45), mientras que si (Entra fórmula 46), es el mostrado en la figura 6(b).
El siguiente paso en este análisis consiste en ir más allá del comportamiento local y completar el retrato fase de (12). La obtención del comportamiento global de las trayectorias de (12), requiere del uso de técnicas de análisis un tanto más finas, cuya exposición rebasa las pretensiones de este trabajo. El lector interesado puede consultar [2]. Por ahora baste decir que para cada c tal que (Entra fórmula 47) el retrato fase es como se muestra en la figura 7(a). El correspondiente para cada c cumpliendo (Entra fórmula 48) es como en la figura 7(b) .
Examinemos los retratos fase de la figura 7. En el primero de ellos (figura 7(a)), vemos que la trayectoria de (12) que “viene” de P1 (esto es, tal que Φ(- ∞) = 1 y v(- ∞) = 0) y termina en P0 (esto es, tal que Φ(+ ∞) = 0 y v(+ ∞) = 0) lo hace girando en espiral alrededor de P0. Este comportamiento implica que una de las condiciones que ha de cumplir Φ es violada. A saber, aquella que expresa 0 ≤ Φ(ξ) ≤ 1 para todo ξ. Por lo tanto este retrato fase no es el consistente con la realidad biológica que se pretende describir. Situación diferente se da en la Figura 7(b). En ésta, la trayectoria que “viene” de P1 i. e., tal que Φ(- ∞) = 1 y v(- ∞) = 0, tiende a P0 cuando ξ → + ∞, es decir, Φ(+ ∞) = 0 y v(+ ∞) = 0, y para todo ξ ocurre que 0 ≤ Φ(ξ) ≤ 1, siendo Φ’(ξ) < 0 para - ∞ < ξ < + ∞.
De la discusión anterior tenernos la siguiente conclusión: para cada (Entra fórmula 56) el problema P.2. posee una solución. Equivalentemente: para cada (Entra fórmula 57) existe una trayectoria heteroclínica (véase la nota f), que conecta el punto P1 con P0 y 0 ≤ Φ(ξ) ≤ 1. En virtud de la equivalencia entre P.1 y P.2., la conclusión anterior significa: para cada (Entra fórmula 59), la ecuación (10) posee una única solución del tipo onda viajera, cuyo perfil es de frente (véase la figura 4) y satisface las condiciones a la frontera Φ(- ∞) = 1 y Φ(+ ∞) = 0.
En los últimos años se ha refinado la cota para la velocidad c, para la que la ecuación (10) admite soluciones del tipo onda viajera. De hecho, puede probarse4 que para cada (Entra fórmula 61)
(Entra fórmula 62)
la ecuación (10) tiene por solución a una única onda viajera u(x,t) = Φ(x-ct) que satisface las condiciones expresadas en P.1. Además de su resultado sobre existencia, Kolmogorov et al., probaron (por cierto, de una forma nada trivial) que la solución de (10) con condición inicial (11), al transcurrir el tiempo se convierte en una onda viajera cuya velocidad es (Entra fórmula 64)
4. Ondas viajeras en la ecuación de Nagumo
Aquí consideraremos brevemente el caso heterocigótico inferior del cuadro 1, en el que la parte reactiva f tiene tres raíces en el intervalo [0,1]. Típicamente un polinomio cúbico de la forma f(u) = u(1-u) (u-α) con 0 < α < 1, satisface las propiedades cualitativas bosquejadas ahí. Cabe mencionar que, además de la interpretación genética anterior, una ecuación de reacción-difusión, con parte reactiva como la aquí mencionada, también surge en otros contextos. Desde el punto de vista de la ecología, esta ecuación puede ser vista como una que describe la difusión de una población que exhibe un efecto Allee. Esta es la situación en la que la razón neta de crecimiento de la población biológica es negativa, si su densidad cae por debajo de un cierto nivel de umbral (α).
Con parte reactiva como la citada en el párrafo anterior, la ecuación (10) es conocida como la ecuación de Nagumo, que aparece como una versión simplificada en modelos de conducción nerviosa. En este caso u es el potencial de membrana en el axón de una neurona y las raíces 0, α y 1 de f son soluciones estacionarias y homogéneas de la ecuación (10), cuya interpretación fisiológica es la siguiente: u(x,t) ≡ 0 es el estado de reposo; u(x,t) ≡ α es el umbral que un estímulo puede exceder para excitar al nervio y u(x,t) ≡ 1 es el estado excitado.
Para mayores detalles sobre la deducción de los modelos generales de conducción nerviosa y del comportamiento ondulatorio asociado a ellos, pueden consultarse.7, 11, 13
Los análisis sobre la existencia de ondas viajeras para la ecuación de Nagumo, fueron concluidos en la segunda mitad de la década de los años 70. La variedad de soluciones del tipo onda viajera para tal ecuación es notablemente mayor que la observada para la ecuación de Fisher-KPP. Esto se debe a que el correspondiente sistema autónomo de ecuaciones diferenciales tiene tres puntos de equilibrio (P0 = (0,0), Pα = (α,0) y P1 = (1,0)) en lugar de dos como ocurre en el que está asociado a la ecuación clásica de Fisher-KPP. Como el lector imaginará, los análisis para probar la existencia de trayectorias, conectando pares de puntos de equilibrio (heteroclínicas) al variar la velocidad c, se vuelve un tanto más elaboradog. No obstante ello, se ha probado3,6 la existencia, para valores positivos de c, de los siguientes tipos de ondas viajeras para la ecuación de Nagumo: oscilatorias, frentes y frentes amortiguados. En la figura 8 se ilustran, tanto los retratos fase del sistema de ecuaciones diferenciales, como los perfiles de las ondas viajeras, asociadas a las distintas trayectorias heteroclínicas. Es de destacarse aquí la existencia de un único valor de la velocidad c para el que existe una onda viajera de tipo frente conectando los estados u(x,t) ≡ 1 y u(x,t) ≡ 0.
El problema de la convergencia hacia ondas viajeras de soluciones de la ecuación (10) siendo f como en esta sección, para ciertas funciones condición inicial, también ha sido ya completamente resuelto.3
Notas
a. Las condiciones de frontera pueden ser de tres tipos: i) Dirichlet, la cual da la concentración de los reactivos para todo tiempo en la frontera, ∂Ω de Ω, ii) Neumann, ésta da el flujo de los reactivos a través de la frontera del sitio en el que se lleva a cabo la reacción y iii) Robin, ésta es una combinación de ambas, la de Dirichlet y la de Neumann.
b. Cuando Luther expuso su trabajo en 1906, dentro de los escuchas se encontraba el Profesor G. Nerst, descubridor de la Tercera Ley de la Termodinámica, quien, entre otras cosas, preguntó: ¿quién dedujo esta fórmula? y ¿ha sido publicada ya? Las respuestas de Luther fueron: “yo mismo” y “no, pero es una consecuencia inmediata de la ecuación diferencial”, respectivamente. Cuando el propio Nerst le preguntó el valor numérico de a, Luther replicó: “su valor es entre 2 y 10 y no tiene dimensiones”.8
c. La onda de forma estacionaria de Fisher corresponde a la onda viajera nuestra. En efecto, si abusamos de la notación y escribimos u(x,t) = u(x-ct) = u(ξ), tenemos ∂u/∂t = du/dξ ∂ξ/∂t = -cdu/dξ, y ∂u/∂x = du/dξ ∂ξ ∂x = du/dξ. Usando ambas expresiones se llega a la sustitución que propone Fisher.
d. Realmente, además de suponer que S/u → k cuando u → 0, Fisher hace la aproximación dS/du ≈ S/u cuando u → 0, pues si tal es el caso, efectivamente k satisface la ecuación cuadrática mencionada en el texto.
e. En virtud de que u(x,t) es una función de probabilidad, debe satisfacer 0 ≤ u(x,t) ≤ 1 para toda pareja (x,t). Por otro lado, bajo las condiciones impuestas a la función f y a la condición inicial u, puede probarse4 que para cada u0 existe una única solución u de (10) cumpliendo 0 ≤ u(x,t) ≤ 1 para todo (x,t). Por lo demás, en virtud de lo expresado al inicio de esta nota, son éstas las soluciones aceptables.
f. A las trayectorias de un sistema de ecuaciones diferenciales que conectan pares de puntos de equilibrio, se les llama heteroclínicas. En caso de que se trate del mismo punto de equilibrio, a tal trayectoria se le llama homoclínica.
g. Y por lo tanto, según la equivalencia entre P.1 y P.2., la existencia de ondas viajeras para (10). Las condiciones a la frontera que éstas satisfagan dependerá del tipo particular de conexión que se dé.
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Referencias Bibliográficas
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2. Britton, N. F., 1986, Reaction-Diffusion Equations and Their Applications to Biology, Academic Press, New York. 3. Fife, P. C. and J. B. McLeod, 1977, “The Approach of Solutions of Nonlineal Diffusion Equations to Travelling Fronts Solutions”, Arch. Rat. Mech. Anal. 65, 335-361. 4. Fife, P. C., 1979, Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems, Springer Verlag, New York. 5. Fisher, P. C., 1979, “The Wave of Advance of Advantageous Genes”. Ann. Eugenics., 7, 353-369. 6. Hadeler, K. P., 1976, “Nonlinear Diffusion Equations In Biology”, en: Ordinary and Partial Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics 564, Springer Verlag. 7. Hastings, S. P., 1975, “Some Mathematical problems from neurobiology”, Am. Math. Monthly, 82, 881-894. 8. Kolmogorov, A. M., I. Petrovsky and I. Piskounov, 1937, “Study of the diffusion equation with growth of the quantity of matter and its applications to biological problem”, in: Applicable Mathematics of Non-Physical Phenomena. Ed. E. Oliveira Pinto and B. W. Conolly. Ellis Horwood Series Chichester. Mathematics and Its Applications, John Wiley and Sons, 1982. 9. Luther, R., 1906, en: “Räumliche Fortpflanzung Chemister Reaktionen”, Z. für Elektrochemie and angew. Physikalische Chemie, 12(32), (Existe traducción al inglés hecha por Arnold, R. Showalter, K and Tyson J. J.: Propagation of Chemical Reactions in Space, J. Chem. Educ. Volume 64. Number 9, September 1987). 10. Murray, J. D., 1989, “Mathematical Biology”, Biomathematics Texts 19, Berlin, Heidelberg New York London, Paris, Tokio. Springer-Verlag. 11. Rinzel, J., 1978, “Integration and propagation of neuroelectric signals”, MAA. Studies in Mathematics, Vol. 15, Studies in Mathematical Biology, Part I. Ed. S. A. Levin. 12. Rothe, F., 1980, “Asymptotic Behavior of the Solutions of the Fisher Equation”, in: Lecture Notes in Biomathematics, 38, Biological Growth and Spread. Eds. W. Jäger, J. Rost and P. Tautu, Springer Verlag. 13. Sánchez Garduño, F. y L. Esteva Peralta, “Ondas viajeras en Ciencias Químico Biológicas II: algunas aplicaciones y problemas actuales”, Por aparecer en ciencias. 14. Showalter, K., Tyson, J. J., 1987, “Luther’s 1906 Discovery and Analysis of Chemical Waves”, J. Chem. Educ. Volume 64, Number 9, September. |
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Faustino Sánchez Garduño y Lourdes Esteva Peralta
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Sánchez Garduño, Faustino. Esteva Peralta, Lourdes. 1994. Ondas viajeras en ciencias químico-biológicas I: motivación y trabajos pioneros. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 71-83. [En línea].
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| Ma. Luisa Fanjul Moles | |||||||||||
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La ritmicidad que se observa en algunas alteraciones
psiquiátricas, tales como la epilepsia y ciertas psicosis como la esquizofrenia, las manías depresivas, etcétera, ha despertado el interés de los científicos y los especialistas clínicos que se dedican a la investigación biomédica y en particular a la cronobiología.
En la década pasada, la caracterización de un síndrome de depresión cíclica, que parece recurrir anualmente durante los meses de invierno, llevó a establecer un área de investigación común a médicos, psicólogos y biólogos para tratar de encontrar paralelismos entre este síndrome en particular y ciertos modelos de comportamiento animal. Este síndrome psiquiátrico denominado “síndrome de desorden afectivo estacional”, SAD en lengua inglesa, posee características muy interesantes para este tipo de estudios multidisciplinarios.
1. Es una enfermedad psiquiátrica relativamente susceptible a tratamientos fototerapéuticos.
2. Su recurrencia en los meses de invierno parece sugerir la posibilidad de que sea un síndrome relacionado con fenómenos estacionales normales y muy bien estudiados en algunos grupos de animales, como son los mecanismos de hibernación y diapausa, fenómenos estrechamente relacionados con los ritmos biológicos.
La acción de la luz sobre los ritmos biológicos es bien conocida y, a su vez, la idea de exponer pacientes deprimidos a fuentes de luz artificial no es nuevo. Desde las primeras décadas de este siglo se han escrito tratados sobre este tema. Sin embargo, existen diferencias importantes entre la fototerapia que se administraba a principios y mediados de este siglo y la que se utiliza actualmente, con base en el conocimiento de los ritmos biológicos y en especial de los circadianos (ritmos con un periodo de oscilación de aproximadamente 24 horas). En los tratamientos antiguos la fototerapia se contemplaba como un tratamiento de amplio espectro, que podía utilizarse en una gran cantidad de enfermedades psiquiátricas o no. La luz ultravioleta se consideraba un componente importante del tratamiento, por lo que se exponía todo el cuerpo del paciente a la luz, excepto los ojos. Las fuentes luminosas utilizadas actualmente contienen una cantidad pequeña de luz UV y la luz entra justamente a través de los ojos y ya no por la piel. Por otra parte se considera muy importante la hora del día en la cual se administra el tratamiento, puesto que la hora determinará que la luz incida en ciertas fases de los ritmos endógenos del paciente, como el ciclo sueño-vigilia, la secreción de melatonina de esteroides, etcétera. Es decir, en este tipo de tratamiento se están tomando en cuenta ciertas características de los ritmos circadianos.
La posibilidad de asociar un síndrome psiquiátrico a una forma de comportamiento animal, como la hibernación, abre perspectivas muy interesantes para tratar de conocer la etiología de este tipo de enfermedades. En la investigación biomédica la experimentación animal ha sido la ruta más eficiente para desarrollar metodologías que describan y clasifiquen ciertos comportamientos animales para, a posteriori, aplicarse en estudios humanos. Las características de un comportamiento particular, en una especie dada, se pueden entender mejor si este comportamiento se ha investigado en varias especies, y los experimentos animales proveen perspectivas muy interesantes a la “inigualdad” del comportamiento humano.
La hibernación y la diapausa son fenómenos que ocurren estacionalmente en diferentes grupos de vertebrados, especialmente en reptiles, aves y mamíferos. Este tipo de fenómenos se caracterizan por poseer una ritmicidad circanual endógena, relacionada con los cambios de intensidad y duración de la luz que se producen estacionalmente en nuestro planeta, de tal modo que las especies que presentan estos fenómenos se pueden considerar como fotoperiódicas y el sustrato circadiano, provisto de un “reloj biológico” endógeno, les permite medir los cambios en la longitud del día a través de los cambios estacionales rítmicos producidos por la traslación de la tierra. La similaridad entre estos fenómenos cíclicos normales y el SAD ha permitido que algunos investigadores hayan propuesto la hibernación como un modelo neurobiológico potencial, mediante el cual se estudie este síndrome psiquiátrico. Lo anterior está apoyado en dos hallazgos:
1. La imipramina, un fármaco antidepresivo, reduce la cantidad de torpor en ciertos tipos de ardillas hibernantes.
2. El litio, fármaco utilizado en el tratamiento de algunas psicosis, reduce la hibernación en el hamster. Ya Kripple en 1981 había señalado un paralelismo entre depresión e hibernación, en donde la manía del síndrome podría ser una forma de la respuesta de brama de los animales. Existen similaridades fisiológicas importantes entre el SAD y la hibernación. El primero se caracteriza por un aumento de peso debido a que el paciente manifiesta un ansia de carbohidratos con hiperfagia de los mismos, hipersomnio, depresión e inactividad. En la hibernación existe también un aumento de peso así como un aumento en ciertas fases de sueño, inactividad y reducción de la temperatura corporal (torpor). Es debido a lo anterior que los síntomas del SAD podrían estar coordinados por sistemas neurofisiológicos que variarían estacionalmente y en forma correlacionada a la hibernación. N. Rosenthal y sus colaboradores proponen que el SAD es la manifestación patológica de un ciclo estacional, filogenéticamente antiguo y —“atávico”, le llaman estos autores—, señalando que “a un nivel más primitivo la depresión podría representar comportamientos y cambios fisiológicos relacionados con la conservación de energía. Los modelos animales del SAD son la hibernación y la estivación, que ocurren en fases opuestas del ciclo geofísico anual, pero son fisiológicamente distinguibles, de tal forma que se pueden comparar con las depresiones de primavera-verano y de otoño-invierno, que ocurren en tiempos opuestos pero poseen síntomas similares”.
A todo lo anterior se podría objetar que un animal en estado de hibernación o de estivación no está necesariamente “deprimido”, sin embargo, paradójicamente, la dificultad que tenemos los biólogos para poder llevar a cabo estudios formales sobre el carácter de los animales no es ningún obstáculo para hacer comparaciones entre el SAD y estas formas normales de comportamiento. No hay evidencias particulares de que los cambios de humor en los pacientes de SAD sean anteriores al resto de los síntomas descritos; las alteraciones en el sueño, los hábitos alimenticios y los niveles de actividad, bien podrían ser la causa que altera la capacidad de los pacientes para funcionar suficientemente en la sociedad, y una forma de esta inadecuación sería la depresión.
Entonces como biólogos podríamos preguntarnos: ¿Existen ritmos estacionales que tienen un valor adaptativo para los animales y que lo podrían haber tenido también para nuestros ancestros, pero cuya expresión en el hombre contemporáneo conlleva comportamientos no deseados en la sociedad posmoderna, lo que se acompaña de depresión?
La respuesta no es simple y la proposición tampoco, existen diferencias importantes entre el SAD y la hibernación. Durante los episodios de depresión estacional los individuos, aunque hipersomnes, duermen menos profundamente, además no hay cambios dramáticos en la temperatura corporal como en el caso del torpor. Durante la hibernación en los mamíferos hay un aumento en los periodos de sueño de ondas lentas, sin embargo, es cierto que en la hibernación profunda la amplitud del registro eléctrico de la actividad cerebral, así como del movimiento de los globos oculares, son tan bajos que es imposible reconocer los episodios de sueño paradójico (MOR), así como el sueño de ondas lentas; aunque durante la “entrada” a la hibernación o en el torpor ligero (22°C) la proporción de ondas lentas aumenta.
Existen también diferencias en la preferencia alimentaria así como en las relaciones de fase entre el aumento de peso, la hibernación y la reproducción. A pesar de que se conoce poco acerca de la preferencia alimentaria de los animales hibernantes, hay indicios de que es la grasa, más que los carbohidratos, el alimento seleccionado durante la fase de aumento de peso. Por otra parte el aumento de peso precede al torpor en la hibernación; es decir, el pico de aumento de peso y el comienzo de inactividad total, ocurren en forma paralela. La relación entre la ingesta alimentaria y el aumento de peso es interesante. La fase de ingesta comienza a decrecer a la mitad de la fase de ascenso del aumento de peso, sugiriendo un decremento en el gasto de energía y un aumento en la eficiencia de la utilización del alimento.
En el SAD no parece existir esta relación pues el paciente continúa ingiriendo gran cantidad de carbohidratos a pesar de la inactividad.
Por otra parte existen relaciones interesantes entre el aparato reproductor y la hibernación. En diversos hibernantes, especialmente en los pequeños mamíferos, hay una involución en el tamaño de las gónadas y una disminución de los niveles circulantes de esteroides sexuales cuando comienza la fase de inactividad y aumento de peso. En el SAD parece existir un paralelismo entre la ingesta de carbohidratos, el peso y el decremento de la libido, sin embargo se requieren más estudios al respecto para hacer comparaciones válidas con los hibernantes.
La idea de una terapia luminosa para tratar el SAD deriva de la suposición de que las características del fotoperiodo son factores cruciales en la recurrencia estacional de los síntomas de este tipo de depresión. Entre los hibernantes, el hámster dorado y algunas otras especies de hámster, dependen de los cambios en la longitud del día. En estos casos, los cambios fisiológicos estacionales están determinados directamente por los cambios en la longitud del fotoperiodo; si los días no se acortan, los testículos no involucionan. En este caso el fotoperiodo conduce el ritmo actuando como un mecanismo de “reloj de arena”, de tal modo que el ritmo no persiste sin esta entrada.
En otro tipo de hibernantes, el mecanismo utilizado para efectuar los cambios fisiológicos estacionales parece estar basado en relojes biológicos internos. Tanto las ardillas como las marmotas poseen un ciclo de hibernación estacional endógeno, que continúa oscilando a pesar de que la luz y la temperatura se conserven constantes. La periodicidad en esas condiciones es circanual, no anual. Después de pasar varios años en cautiverio el ciclo de hibernación se adelanta hasta la primavera o aun antes. Sin embargo, en condiciones naturales estos ritmos circanuales se sincronizan con el año solar. Tanto el fotoperiodo como la temperatura, son los sincronizadores (zeitgebers) de estos ritmos. La acción del fotoperiodo, en este caso, se limita a sincronizar, pero no determina el ritmo.
Debido a que existen diferentes especies de hibernantes que responden en forma distinta a las claves temporales externas, el tomar un modelo biológico de esta naturaleza para analizar el SAD, acorde a las características de cada especie.
Para concluir quisiera ejemplificar con alguna forma de fototerapia basada en el conocimiento de los cambios rítmicos en los animales. Tanto en los vertebrados nocturnos como en los diurnos, la melatonina producida por la glándula pineal es quiescente durante el día; es decir comienza con el crepúsculo y termina al amanecer. La exposición a la luz durante la noche causa una supresión abrupta en la producción de esta hormona. Durante mucho tiempo se creía que la producción de melatonina humana no se vería cancelada debido a la luz. Sin embargo, hace algunos años se demostró que la producción de melatonina en el hombre sí se puede suprimir por la luz, con la condición que esta sea suficientemente intensa. Tal descubrimiento tiene dos implicaciones importantes; en primer lugar el hombre posee ritmos biológicos que dependen de la luz solar, luz que no debe ser confundida con la luz interior ordinaria, que no es suficientemente brillante para ser efectiva. En segundo lugar, la luz artificial brillante podría utilizarse experimentalmente, y quizá terapéuticamente, para manipular estos ritmos.
Lewy y Sach probaron estas dos implicaciones en un paciente que se deprimía regularmente en el otoño, cuando los días comenzaban a acortarse. Estos investigadores establecieron la hipótesis de un ritmo estacional endógeno, que estaba regulado por un fotoperiodo. Al exponer a este paciente a un régimen de luz brillante, de 2000 lx, entre las 6 y las 9 horas y las 16 y 19 horas, durante varios días, en los cuales se extendía la longitud del fotoperiodo al igual que en la primavera, el paciente salía de la depresión invernal. En este, como en otros ejemplos, el efecto antidepresor de la luz se debe a la corrección de ritmos circadianos y en este caso específico, a los ritmos de sueño, vigilia y melatonina que, por alguna causa han sufrido un retraso y la exposición a la luz brillante de la mañana y la tarde tenderá a adelantarlos, poniéndolos en la fase correcta.
Para los biólogos el problema no puede ser más fascinante; mecanismos de adaptación al medio, que sufren alteraciones por las modificaciones ecológicas de lo que el hombre llama “civilización”, pero que, por medio del conocimiento científico las podemos recuperar.
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Referencias Bibliográficas
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Ma. Luisa Fanjul
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Fanjul de Moles, María Luisa. 1994. Ritmos biológicos, hibernación y depresión. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 67-70. [En línea].
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| Linda Manzanilla | |||||||||||||||||||||||
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Para los pueblos prehispánicos las cuevas tuvieron una
pluralidad de significados: refugio, sitio de habitación, boca o vientre de la tierra, inframundo, espacio fantástico, morada de los dioses del agua y los de la muerte, recinto funerario, lugar de ritos de linaje y de pasaje, observatorio astronómico, cantera.
El primer uso que el hombre hizo de cuevas y túneles naturales fue el de habitación. En el territorio mexicano se tienen testimonios arqueológicos del Horizonte Arcaico en los valles de Tehuacán, Valsequillo, Oaxaca, Tamaulipas y en la Depresión Central de Chiapas, entre otros.
Sin embargo, en horizontes posteriores, como el Posclásico (900-1500 d. C.), algunos nómadas continuaron con la tradición del uso habitacional de la cueva. Particularmente en el Valle de Teotihuacán y región de Texcoco, grupos chichimecas de nómadas —que otrora poblaron los desiertos del norte de México— habitaron cuevas en Oztotícpac, Tepetlaóztoc, Tzinacanóztoc, Huexotla, Techachalco, Oztotlítec Tlacoyan, Tlallanóztoc y Tenayuca. Y es que en lengua náhuatl la palabra óztotl significa cueva, vocablo que frecuentemente formó parte de los topónimos de Mesoamérica.
En el área maya, la cueva de Loltún ha proporcionado invaluable información sobre fauna de características pleistocénicas y sobre la ocupación de la región hacia 5000 a. C. Lo mismo ocurre con el Abrigo de Santa Marta en Chiapas.
Las cuevas también han sido un lugar de refugio. Por ejemplo, Mercer cita que la gruta de Calcehtok sirvió para tal fin durante la Guerra de Castas.
Extracción de materias primas
Las Grutas de Loltún fueron usadas principalmente para explotar los yacimientos de arcilla y material pétreo con el fin de elaborar cerámica y lítica pulida. De igual forma, numerosas cuevas someras del Valle de Teotihuacan fueron sitios de extracción de toba y tezontle, materiales que formaron el núcleo de las estructuras y muros.
Es frecuente que la cueva sea recipiente de manantiales o ríos subterráneos. De ahí que las poblaciones prehispánicas acudiesen a ellas para proveerse del líquido que, en el caso del área maya, llegó a considerarse “agua virgen” (zuhuy há) para rituales.
Para el caso de Teotihuacan, los túneles y cuevas fueron excavados para extraer tezontle, un material piroclástico de origen volcánico, poroso y ligero, que fue la base de la construcción de la ciudad.
Un lugar de culto
En el México prehispánico, las oquedades naturales (túneles, abrigos rocosos, cuevas) estuvieron íntimamente ligados a la religión y a la mitología. Varios mitos refieren la creación del Sol y de la Luna haciéndolos surgir de una cueva. En otros, la humanidad completa o ciertos grupos (por ejemplo, las siete tribus de Chicomóztoc) emergieron del interior de la tierra. Los alimentos mismos fueron obtenidos del mundo subterráneo cuando Quetzalcóatl robó el maíz a las hormigas.
Las cuevas fueron lugares de culto, desde el Formativo hasta el Posclásico (2200 a. C. - 1500 d. C). En las faldas del volcán Iztaccíhuatl que bordea la Cuenca de México por el Este, Carlos Navarrete exploró la Cueva de Calucan. De su estudio se concluye que el sitio tuvo un carácter religioso, relacionado con el culto al Dios Tláloc de la lluvia y agua. Se obtuvieron materiales formativos, clásicos y posclásicos, lo que implica una muy larga tradición religiosa. Actualmente en el interior de la cueva hay un pequeño manantial junto al cual se han hallado sahumerios.
En Totemihuacan, Puebla, existe un templo del Preclásico tardío (200 a. C.) con un túnel artificial y un receptáculo para agua, decorado con ranas. Esto evoca quizá un culto al agua con dioses batracios, que pudo haber precedido el culto a Tláloc en el Centro de México. Por su parte Francisco de Burgoa, cronista de Oaxaca, señala que los dioses prehispánicos que controlaban agua, semillas y frutos vivían en cuevas.
Las cuevas servían para hacer culto al Dios Jaguar, desde tiempos olmecas hasta el Clásico maya, particularmente en la región sur del área, y a Tláloc, deidades de la lluvia y del agua corriente. En numerosas cuevas, como Balankanché en Yucatán y Calucan, estado de México, se han hallado vasijas Tláloc, ollas, cántaros, vasijas y metates miniatura relacionados a este culto. Muchas cuevas eran sitios de petición de lluvia y buenas cosechas.
El culto a Quetzalcóatl es documentado por Du Solier en Ecatepec. Del culto al Dios Sol se han hallado testimonios en la cueva de los Andasolos, Chiapas, del Clásico tardío (650-900 d. C). La descripción que hacen Navarrete y Martínez de ella, presenta la figura del sol rodeada de tierra, agua y vegetación. Aparece también la figura de un individuo que emerge de las fauces abiertas de una serpiente. Probablemente se trate del sol del inframundo.
Un recinto funerario y ritual
Los ritos funerarios dentro de las cuevas fueron comunes particularmente en la Mixteca, pues en ellas se enterraba a los señores. Sin embargo, Brady y Stone mencionan la posibilidad de que cuevas como Naj Tunich, en Guatemala, pudiesen haber sido sitios de enterramiento para miembros de la realeza maya. Esto podría también ser válido para las cuevas usadas ritualmente en el Centro de México.
Mary Pohl, citando al Obispo Núñez de Vega, señala que los huesos de los fundadores de linajes que introdujeron el calendario maya eran guardados en cuevas. La gente los veneraba ofrendándoles flores y copal. Pohl afirma que hay varios centros mayas que tienen conexión ceremonial con cuevas; entre ellos cita a la Tumba del Gran Sacerdote en Chichén Itzá, que es un templo construido sobre una cueva. La investigadora menciona también que el rito cuch era efectuado por los gobernantes mayas al ascender al trono, para renovar la energía de su linaje; la parte más sagrada del rito se hacía en la cueva, a la que el gobernante descendía para recibir las profecías de los dioses. Por su parte, Zapata señala que las cuevas mayas también servían de recipientes de objetos sagrados desechados ceremonialmente, además de ser sitios de autosacrificio y sacrificios.
Entre otros pueblos de Mesoamérica, pero también del área Andina, existía la idea de que sus antepasados habían surgido de cuevas. Mixtecos, zapotecos, tzeltales y otomíes compartían esta idea, y algunos enterraban a sus nobles en cuevas. La idea de Chicomóztoc como lugar de origen, tiene paralelismo con la creencia. Aquí, quizá el elemento que domina es la idea de la cueva como vientre de la Tierra.
También entre los zuñi se cree que los gemelos creados por el Padre Cielo y la Madre Tierra descendieron a una cueva para guiar a los ancestros de los zuñi en su emergencia a la luz.
Un observatorio astronómico
Un ejemplo destacado de este uso es el observatorio de Xochicalco (“Cueva de los Amates”); allí, a mediados de mayo se puede ver penetrar el sol cenital en línea recta por el agujero principal. En Teotihuacan contamos con un ejemplo parecido: la “cueva astronómica” que yace detrás de la Pirámide del Sol (a 250 metros al sureste), sobre el circuito empedrado que rodea a la malla. Esta cueva fue excavada y estudiada por Enrique Soruco; su forma es semejante a un botellón y tiene 4.20 metros de altura. El acceso, de menos de un metro de diámetro, fue tallado en la roca. En su interior se halló un altar con una lápida de basalto por la cual se observa la entrada perpendicular del sol. A su alrededor encontraron numerosas ofrendas de ollas, cajetes, miniaturas, vasos, una figurilla de Xipe Tótec, tiestos de la Costa del Golfo y veinte navajillas prismáticas. Según el informe paleobotánico, a cargo de Lauro González Quintero, las ofrendas consistían de pigmentos rojos y verdes, húmeros de ranas, amaranto , chile, tomate, quelites, nopal y maíz, además de carbón bañado con resina de copal.
Entrada al inframundo
El área maya
Los mayas del siglo XVI hablan de un sitio subterráneo denominado Mitnal o Xibalbá. Tanto en Landa, como en Las Casas y el Popol Vuh, se menciona esta región a la cual Sotelo Santos dedicó un apartado de su libro. Los mayas pensaban que la entrada a este plano inferior se encontraba en Carchá, cercano a Cobá, en el Departamento de la Alta Verapaz de Guatemala. El descenso a Xibalbá está sembrado de dificultades: escaleras muy inclinadas, un río de fuerte corriente entre dos barrancos, un lugar de cruce de cuatro caminos, de los cuales el negro conduce a Xibalbá. Posteriormente se encuentra una Sala del Consejo de los Señores, un jardín de flores y aves, la casa del juez supremo, el juego de pelota, un árbol, un encinal, un barranco, una fuente de donde brota un río y seis casas de donde surgen tormentos y muerte. Según Sotelo, en el pensamiento maya “… el Xibalbá y el Mitnal se encuentran en la parte más baja del inframundo, no forman todo el mundo subterráneo”.
Es interesante observar que el inframundo mixteco descrito en el Códice Colombino-Bécker en torno al viaje de 8 Venado hacia la morada de 1 Muerte es semejante al maya: se inicia en una cancha de juego de pelota; para acceder a él se cruzan aguas turbulentas, un cerro encorvado, un edificio en llamas, y además pelea contra seres de cabezas grotescas.
Debemos recordar que para los mayas, las canchas del juego de pelota mismas se abrían hacia el otro mundo. Citando a Freidel, Schele y Parker, diríamos que la cancha no sólo era un lugar de sacrificio, sino un portal de entrada al tiempo y espacio de la última creación. “Ayala asoció un agujero bajo el pasillo central del juego de pelota de Toniná con una representación consistente de dicho agujero en juegos de pelota de los códices de los grupos Mixteco y Borgia. En estas fuentes, el juego de pelota está también representado como una entrada al Otro Mundo, que jugó un papel crucial en la mitología de orígenes y creación”.
Hellmuth señala que el inframundo maya es acuoso, pues ciertas divinidades antropomorfas deben sufrir metamorfosis reptilianas en su viaje al inframundo. Esta idea también aparece en el arte maya del Clásico temprano (200 d. C). La presencia de peces, plantas acuáticas, cormoranes, tortugas y ranas sugieren que la capa serpentina es agua clara y de flujo lento por la presencia de lirios acuáticos. La presencia de peces exóticos podría hacer pensar que los mayas estaban concibiendo el inframundo como agua de mar.
En fechas recientes, Brady y Bonor han hecho trabajo de campo en cuevas del área maya, incorporando estos datos al estudio de la geografía sagrada de la región. Siguiendo a Eliade, señalan que la fundación de las ciudades antiguas repite la creación del mundo, y éstas son, por ende, copias del cosmos. La pirámide principal representa la montaña sagrada y el axis mundi, el lugar donde es posible la conexión entre los tres niveles verticales del universo: el cielo, la tierra y el inframundo. Generalmente estos centros están relacionados con tierras, cuevas, rocas, montañas o manantiales.
Debemos recordar que algunas cuevas del área maya —como sería aquélla bajo Kinich Kakmó en Izamal o el Satunsat de Oxkintok— comienzan en minas de sascab, un material usado para formar morteros de construcción y estucos. Este hecho será relevante cuando abordemos el caso de Teotihuacan.
Los nahuas
Son tres los conceptos relacionados con el inframundo entre los nahuas: el Mictlan, el Tlillan y el Tlalocan. En relación al Mictlan, los nahuas pensaban que yacía al norte y estaba guardado por Mictlantecuhtli y Mictecacíhuatl. En la mitología nahua existía, según Broda, el concepto de que el sol entraba al Mictlan durante el primer mes de pasaje cenital del sol, es decir, Tóxcatl (a mediados de mayo), mes que anuncia las lluvias. De ahí que los observatorios como la chimenea del Edificio P de Monte Albán, el observatorio de Xochicalco y la cueva astronómica de Teotihuacan sirvan para ubicar estos pasos cenitales.
El Mictlan está descrito por Sahagún como un sitio “… en medio de dos sierras que están encontrándose una con otra”. Al difunto le decían que debía pasar por “… el camino donde está una culebra guardando el camino”, por donde está la lagartija verde, por ocho páramos, por ocho collados y donde estaba el viento de navajas. El muerto debía llevar consigo un perro de color bermejo para pasar el río de la muerte (denominado Chiconahuapan).
Los popolucas conciben al inframundo como una región con pasajes peligrosos y en la que existen dos caminos: el de la derecha es estrecho, malo, con escombro y ascendente hacia el cielo; el de la izquierda es amplio, liso, limpio y desciende suavemente al infierno. Junto a la entrada al Más Allá hay un árbol de cacao, y el alma del difunto puede pasar sólo cuando los vivos hayan brindado con chocolate. Para los totonacos, bajo la tierra está el reino de los muertos, donde viven el Dios del Fuego y el Dios de los Muertos.
El Tlillan es una cueva artificial donde la diosa Cihuacóatl presidía sobre pequeños ídolos llamados tecuacuiltin. Su sacerdocio estaba también dedicado al culto a Huitzilopochtli. Cihuacóatl es la patrona del sur de la Cuenca de México, y según Broda, es una vieja diosa de la tierra, esposa de Tláloc.
De acuerdo con Anderson, el Tlalocan era concebido de muchas maneras entre los pueblos nahuas. Según el Códice Florentino, era un lugar de riqueza, donde no había sufrimiento ni faltaba el maíz, la calabaza, el amaranto, el chile y las flores. En la “Plegaria a Tláloc” del Códice Florentino, traducida por Sullivan, se dice que los mantenimientos no han desaparecido, sino que los dioses los han escondido en el Tlalocan. Pero también era un lugar de belleza donde cantan aves de bellos plumajes, encima de pirámides de jade (existen varios ejemplos de poesía náhuatl con estos temas), una construcción de cuatro cuartos alrededor de un patio, con cuatro tinas de agua. Una de ellas era buena y las otras tres traían heladas, esterilidad y sequía. Durán menciona que este Tlalocan fue representado en el Monte Tláloc como un recinto amurallado con un patio y una figura de Tláloc alrededor de la cual se dispusieron otras más pequeñas, representando a los montes más pequeños. Sahagún señalaba que la montaña es un disfraz, ya que es como una vasija llena de agua.
Una cuarta idea es la que Durán y Tezozómoc señalan: el Tlalocan se puede equiparar con el Cincalco. Se entraba a él por una caverna. Del Códice Florentino, Sullivan traduce una “Plegaria a Tláloc” en la que al final se dice: “Y ustedes que habitan los cuatro cuadrantes del universo, ustedes Señores del Verdor, ustedes los Proveedores, ustedes los Señores de las Cimas Montañosas, ustedes, Señores de las Profundidades Cavernosas”.
A este respecto, existen dos estudios etnográficos de grupos de habla náhuatl en la Sierra de Puebla que versan sobre el Tlalocan; fueron escritos por María Elena Aramoni y Tim Knab. Aramoni habla de las cuevas como la entrada a este inframundo, y sus informantes señalan que Tamoanchan es la parte más profunda del Talokan. Dice ella: “Más allá de las puertas del inframundo, en las profundidades, hay un mundo esplendente. Allí reside el milagro de la fertilidad…”. “En el Talokan se encuentran, además, los seres humanos que vendrán al mundo, así como todas las especies de animales…”. “Las semillas, plantas y demás sustentos del hombre se piensa que brotan en el Talokan... De Talokan surge también todo poder, dinero y riqueza; la cual se encuentra concentrada en el Corazón del Cerro, el Tepeyólot o “tesoro del cerro”. Los nahuas de Cuetzalan hablan de tres caminos como destino ulterior del hombre: “uno con Dios (cielo); otro por debajo de la tierra (Talokan) y otro por las cuevas, que es el camino del diablo, es decir, el Miktan o infierno”.
En su reciente estudio sobre los grupos de habla náhuatl de la Sierra de Puebla, Tim Knab describe la geografía del inframundo, o Talocan, concebida por los moradores de San Miguel Tzinacapan. Las cuevas son entradas al inframundo; éste posee todas las características de la superficie del mundo: montañas, ríos, lagos, cascadas, pero no tiene plantas. Existe un gran árbol de tierra en el centro del inframundo, sobre el cual se apoya la tierra.
El Talocan es un mundo de oscuridad; no hay luz, día ni sol. Tiene cuatro entradas, de las cuales la del oriente y el occidente son entradas y salidas para el sol en su viaje por el inframundo. Debajo de la plaza de San Miguel hay una cueva, que es la residencia de Táloc melaw, Señor del Inframundo; la posición de la iglesia y la presidencia municipal no son azarosas; y también en la parte central de la plaza existe un pozo de donde sale una corriente de agua que se dirige a la cueva. Esta última, denominada “la iglesia del Talocan” ha sido equiparada con la cámara tetralobulada debajo de la Pirámide del Sol de Teotihuacan.
En el inframundo, la entrada del norte se llama mictalli o miquitalan, y está representada por una “cueva de los vientos” y el acceso al mundo de los muertos. Los dueños de esta porción son el Señor de los Vientos y el Señor de la Muerte, que viven en grandes cuevas. La entrada del sur se llama atotonican y es un lugar de calor. El punto focal es un manantial de agua hirviendo que produce vapor y nubes. Este manantial se encuentra al fondo de una cueva. El acceso del oriente es apan, un gran lago en el inframundo que se une con el mar. En medio del lago viven los Señores del Agua. La entrada del occidente está en un sitio denominado tonalan, en el que hay una montaña donde se detiene el sol en su viaje. El portal del inframundo del oeste está encima de la montaña que captura al sol y sólo se puede pasar después de medianoche.
Un hecho que llamó nuestra atención es que de las cuatro entradas, dos son topónimos cercanos al Valle de Teotihuacan, que tiene la cuenca lacustre de Apan al Este (paralela al lago del inframundo que se llama apan también en el mito) y el monte Tonalan al oeste (paralelo a la montaña tonalan del Oeste en el mito).
Por otra parte, es bien sabido que Teotihuacan tiene manantiales al suroeste, por lo cual también habría un paralelismo a este respecto. En relación con el acceso al norte, es decir la cueva del viento, nos vino a la mente un relato que publica Tobriner respecto de una barranca en la porción noreste del Cerro Gordo, con una cueva que tenía sonido de agua. En un mapa de 1580 se marca esta quebrada con el ruido, en la porción sureste del cerro. Tobriner incluso propone que la Avenida de los Muertos de Teotihuacan fue construida apuntando al Cerro Gordo, por la asociación de la montaña con el Dios del Agua. La distribución geográfica de estos cuatro elementos en Teotihuacan sigue el patrón noreste, noroeste, suroeste y este, quizá guardando simetría con el eje teotihuacano de 15.5 grados azimuth.
Es probable que el mito de los grupos de habla náhuatl de la Sierra de Puebla haya sido copiado de un esquema proveniente del Valle de Teotihuacan y de su geografía sagrada, pero también es probable que tanto uno como la otra estén sujetos a un arquetipo mesoamericano del inframundo.
Desde 1987, bajo mi dirección, un equipo interdisciplinario del Instituto de Investigaciones Antropológicas de la UNAM ha hecho estudios geofísicos, geográficos, geológicos y arqueológicos en los túneles que pasan bajo la antigua ciudad de Teotihuacan. De las tres cuevas excavadas hasta ahora, y que fueron originalmente zonas de extracción de materiales constructivos a principios de la Era Cristiana, una contuvo contextos arqueológicos funerarios tanto de adultos sedentes como de niños recién nacidos, así como 13 fondos de probables silos. Así, hemos interpretado los contextos funerarios de adultos en relación a la idea del inframundo como mundo de los muertos; los siete entierros de niños recién nacidos como parte de un rito a Tláloc, según la tradición mesoamericana, precisamente bajo un agujero en el techo del cual seguramente en tiempos de lluvias caía un chorro imponente de agua; y los trece fondos de silos, algunos prácticamente a los pies de los entierros adultos, como parte de ritos de propiciación de fertilidad en el vientre de la tierra. Algunos ejemplos de fauna marina (tortugas, caudas de mantarraya, concha nácar) subrayan el aspecto acuoso de este Tlalocan.
El túnel bajo la Pirámide del Sol podría ser parte de un sistema de túneles excavados por los teotihuacanos para construir la ciudad sagrada con material del inframundo, parodiando la creación del hombre con los huesos molidos de los antepasados robados por Quetzalcóatl del inframundo de Mictlantecuhtli. Teotihuacan sería, pues, el modelo más perfecto del cosmos mesoamericano, con un plano celestial representado por las cimas de los templos y el cielo mismo; un plano terrestre dividido en los cuatro rumbos del universo, con la intersección de la Calzada de los Muertos y la Avenida Este-Oeste; y un inframundo constituido por los túneles bajo la ciudad.
Hacia fines de la era teotihuacana, otro sitio heredero de la tradición —Xochicalco— parece haber contemplado una creación similar, extrayendo la caliza de revestimiento de las numerosas cuevas en el cerro. Y, por último, varias fuentes coinciden en que el lugar de la fundación de México-Tenochtitlan se hallaba en un carrizal donde manaba agua dulce. Algunos hablan de que el o los manantiales fluían de peñas y cuevas. Era el lugar donde había sido tirado el corazón de Copil (sobrino de Huitzilopochtli).
Durán menciona que hallaron un ojo de agua hermosísimo al pie del cual crecía una sabina blanca. Tovar añade que el agua manaba clara entre dos peñas, pero que otro día se tornaría bermeja, casi como sangre, y que se dividía en dos arroyos, del segundo salía agua azul. Tezozómoc señala que en el lugar del ahuehuete blanco también crecían una caña y un junco blancos, además de que salían ranas, peces y culebras de agua blancos. Había una cueva por el oriente llamada Tleatl (“agua de fuego”), Atlatlayan (“lugar del agua abrasada”), y otro escondrijo o cueva por el norte llamado Matlálatl (“agua azul oscuro”), Tozpálatl (“agua color de papagayo”: agua amarilla). En nuestro trabajo hemos localizado varios de estos manantiales bajo la construcción de la actual Catedral, por lo que el escenario de la fundación de Tenochtitlan se torna presente.
Agradecimientos
El proyecto “Estudio de túneles y cuevas en Teotihuacan. Arqueología y geohidrología” ha sido posible gracias al financiamiento del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (proyecto H9106-060) y del Instituto de Investigaciones Antropológicas de la UNAM, así como al permiso del Consejo de Arqueología del Instituto Nacional de Antropología e Historia. Agradecernos a Fernando Botas y César Fernández por los dibujos.
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Linda Manzanilla
Instituto de Investigaciones Antropológicas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Manzanilla, Linda. 1994. Las cuevas en el mundo Mesoamericano. Ciencias, núm. 36, octubre-diciembre, pp. 59-66. [En línea].
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