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| Stephen Kcenichy y María Elvira Luna Escudero Alie |
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| Por el álgebra, palacio de precisos cristales. J.L Borges, “Otro poema de los dones” La línea está hecha de un número infinito de puntos; el plano de un número infinito de líneas; el volumen de un número infinito de números de planos; el hipervolumen de un número infinito de volúmenes. J.L Borges, El libro de arena A nuestro amigo Vitaliy S. Shvetsov |
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Los cursos de matemáticas tradicionalmente son, tanto
en el ámbito de la educación primaria y secundaria como en el de la educación superior, considerados difíciles y por ende tienen escasa popularidad entre los estudiantes. Es cierto también que en varios países asiáticos y europeos la educación escolar enfatiza el estudio de las matemáticas desde los primeros años de primaria, lo cual es, sin lugar a dudas, una excelente iniciativa que contribuye a que en años posteriores (educación secundaria y estudios superiores, por ejemplo), las matemáticas sean percibidas con menos aprensión y por ende su aprendizaje sea más efectivo. En Estados Unidos, el país más poderoso y rico del mundo, no es una excepción que las matemáticas no gocen de mucha simpatía entre el estudiantado; de hecho, su status de primera potencia global económica y militarmente no corresponde al nivel educativo del país: menos de 34% de los habitantes posee un título universitario de cuatro años.
Teniendo en cuenta este panorama luctuoso —visto desde nuestra perspectiva académica responsable—, en el Montgomery College, en el estado de Maryland, hemos creado un colectivo de aprendizaje para facilitar la comprensión de las matemáticas y hacer de su estudio una experiencia placentera y culturalmente enriquecedora para los estudiantes; una aventura pedagógica que los empuje a pensar críticamente. Con esto en mente, hemos tomado como base para nuestro colectivo de aprendizaje aquellos textos de Jorge Luis Borges (1899-1986) que poseen un relevante contenido matemático. En efecto, hemos encontrado varios conceptos matemáticos cruciales analizando su poesía, ensayos y cuentos, entre los que se destacan: la esfera de Pascal, el círculo de Euclides, la ecuación de Laplace, la paradoja de Russell, los números transfinitos y los conjuntos infinitos de Cantor, el infinito matemático, la línea, el plano y el volumen, entre otros más.
Nuestro objetivo consiste en utilizar los textos de Borges como puente para unir las matemáticas con las humanidades a fin de facilitar la aplicación de las matemáticas y hacer más interesante la didáctica del castellano como lengua extranjera. Los estudiantes que quieren participar de nuestro colectivo de aprendizaje se matriculan paralelamente en los dos cursos que conforman esta comunidad académica: uno de matemáticas y el otro de castellano como lengua extranjera. El curso de matemáticas comprende cálculo, estadística o álgebra, mientras que el de castellano puede ser de nivel básico, intermedio o avanzado. Como los alumnos son los mismos en ambos cursos, tendrán la oportunidad de estudiar y analizar por partida doble los textos de Borges con contenido matemático especialmente escogidos para nuestro colectivo.
Así, por ejemplo, el poema metafísico “Descartes”, publicado por Borges en 1981, nos sirve para efectuar una variedad de actividades en clase que realizamos en las dos asignaturas que conforman nuestro colectivo de aprendizaje.
Los estudiantes de nuestro colectivo de aprendizaje leen en la clase de castellano este poema en la lengua original y también en la traducción inglesa, dada la dificultad de la poesía conceptual del autor argentino. Luego reflexionan en grupos sobre la información presentada en clase con respecto del transfondo histórico y filosófico del poema, como: la relevancia e influencia de Elizabeth de Bohemia (1617-1680) en la vida y la obra del matemático y filósofo racionalista francés René Descartes (1596-1650), el “leitmotiv” del sueño en el poema, la importancia histórica de Cartago en la Tercera Guerra Púnica, la duda metafísica, el concepto y la percepción del tiempo, la incertidumbre sobre la existencia de dios, la referencia judeocristiana cuando la voz poética menciona el Gólgota y la trascendencia de la geometría, entre otras cosas.
Enseguida los estudiantes, nuevamente en grupos, analizan el poema respondiendo a las preguntas que, adecuadas al nivel de suficiencia lingüística del curso, son las siguientes: 1) ¿cuál es la voz poética en el poema?, ¿por qué crees que Borges escogió precisamente esta voz poética?, ¿cómo cambiaría el poema si la voz poética fuera la de Elizabeth de Bohemia?; 2) ¿qué significa la constante referencia al sueño en el poema?, ¿qué es el sueño para ti y con qué metáforas puedes asociarlo?; 3) explica el verso: “Acaso sueño haber soñado”, ¿cómo podrías parafrasear este verso?; 4) ¿cuál es el concepto del tiempo en el poema?, ¿estás de acuerdo?, ¿el tiempo existe?; y 5) ¿cómo explicarías, de acuerdo con lo expresado en el poema, el famoso enunciado de Descartes: Cogito, ergo sum (pienso, luego existo)?
En la clase de matemáticas, los mismos estudiantes aprenden el concepto de la parametrización de las curvas, coordenadas polares y funciones integrales, así como a parametrizar curvas en formas diferentes usando para esto las coordenadas polares; luego analizarán los versos del poema “Descartes” relativos a los colores y la geometría: “He soñado la geometría. He soñado el punto, la línea, el plano y el volumen. He soñado el amarillo, el azul y el rojo.”
Tomando en cuenta estos versos, los estudiantes construirán ecuaciones paramétricas asociando las referencias a los varios colores mentados en el poema, y luego vincularán tales ecuaciones a las dimensiones cambiantes para, finalmente, hacer una actividad en la que, nuevamente divididos en grupos, encontrarán las dimensiones para cada color asignado a cada grupo respectivo.
Borges es, sin duda alguna, el maestro de la precisión estilística, de la prosa elegante, inteligente y, por si fuera poco, conceptual: plena de referencias multiculturales tan sofisticadas como profundas. En sus magníficas obras nos invita a reflexionar de manera ontológica acerca de temas como el tiempo, la historia, el ajedrez, el infinito, el laberinto, el sueño, los espejos, la filosofía, y... las matemáticas. Su poesía metafísica nos abre un universo de posibilidades al incitarnos a dudar sobre la existencia de dios, a cuestionarnos sobre la mera existencia de las dimensiones espaciotemporales, al brindarnos la posibilidad incluso de tener la audacia de dudar de nuestra propia existencia. No obstante, la obra de Borges ofrece ciertas dificultades por su grado de sofisticación y sus referencias multiculturales tan vastas como intensas —somos conscientes de ello—, pero confiamos en que al sobrepasar en grupo estas dificultades, los estudiantes saldrán empoderados de la experiencia pedagógica y sabrán que el aforismo popular: “el cielo es el límite”, puede en efecto plasmarse en su realidad académica cotidiana.
Es importante destacar que hay investigaciones que prueban que el “desequilibrio cognitivo”, al que se refería Jean Piaget en su epistemología genética, explicada con base en el paradigma psicogenético, es muy efectivo para encaminar el aprendizaje. Este desequilibrio se crea, por ejemplo, cuando se incorpora una nueva información al educando o al efectuar actividades mentales que van del hemisferio derecho al izquierdo y viceversa. En nuestro colectivo de aprendizaje hay muchas oportunidades de crear situaciones de “desequilibrio cognitivo”, lo cual resulta muy útil para visualizar y contextualizar los conceptos matemáticos que suelen ser abstractos y, para algunos educandos, se antojan por ende casi inalcanzables. Por esta razón es que estamos convencidos de que nuestro colectivo de aprendizaje servirá para enriquecer la experiencia académica de los alumnos participantes en este intercambio al percibir las matemáticas de manera más cercana, flexible, cotidiana, y acaso poética.
Otro poema, esta vez épico, “Hengist quiere hombres (449 A.D.)”, nos ha servido para crear algunas actividades didácticas. Recopilado en el libro El oro de los tigres, de 1972, este poema narrativo nos presenta desde la omniscencia al histórico guerrero en su afán de juntar mercenarios para la gesta bélica que le llevó a trascender en la historia.
En la clase de castellano de nuestro colectivo de aprendizaje los estudiantes leen con antelación el poema y además se informan sobre el personaje histórico que le da nombre, de su hermano Horsa —quien no figura en el texto— sobre el contexto histórico del poema y las referencias multiculturales que éste subraya. Luego, en el salón de clase responderán en grupos a las siguientes preguntas: 1) el poema está escrito desde la omniscencia, ¿podrías escoger algunos versos y parafrasearlos desde el punto de vista del propio Hengist, del de su hermano Horsa o de ambos?; 2) ¿qué verbos encuentras en el poema empleados en el tiempo futuro imperfecto del modo indicativo?, ¿por qué crees que Borges utiliza tantos verbos en futuro en este poema?; 3) ¿cómo es Hengist de acuerdo con el poema?, ¿el Hengist de Borges difiere del personaje histórico?; 4) ¿cómo son los mercenarios que busca y encuentra Hengist?, descríbelos; 5) ¿qué imagen de la mujer y de los hijos presenta el poema?; 6) ¿qué relación habría entre Hengist, Nelson, Shakespeare, Withman, Adán y Eva, de acuerdo con el poema?; y 7) ¿por qué hay verbos en el presente del modo subjuntivo en el poema (canten, dominen, se alejen, trace)?
Asimismo, en el curso de matemáticas, el poema nos servirá para ilustrar el concepto de cardinalidad y la teoría de conjuntos de Cantor; los educandos reflexionan en grupos acerca de las siguientes preguntas y luego llevan a cabo la siguiente actividad: 1) ¿puedes señalar qué versos del poema “Hengist quiere hombres” aluden a la noción matemática de conjunto que no es enumerable?; 2) ¿por qué crees que la palabra “Mal” está con mayúsculas en el siguiente verso?: “de lobos, en cuyo centro indefinido está el Mal”, y explica tu respuesta usando el concepto de conjuntos; por ejemplo, ¿crees que “Mal” podría representar el conjunto no enumerable de todo el mal del mundo?; 3) ¿en qué versos del poema el autor alude al concepto de “contabilidad infinita”?; 4) en el verso siguiente: “Los labradores dejarán el arado y los pescadores las redes”, ¿sería el conjunto de peces un conjunto infinito enumerable, y por qué?; 5) consideremos que el conjunto de peces es un conjunto infinito enumerable; puesto que en cualquier red repleta de peces podríamos contar la cantidad de peces, ¿puedes comentar esta afirmación empleando el argumento de la diagonal de Cantor?; y 6) tomando en cuenta el concepto de cardinalidad y la teoría de conjuntos de Cantor, ¿qué otros títulos le podrías dar al poema?, por ejemplo, “Hengist quiere un conjunto infinito enumerable de hombres cuyo amor a la batalla sea un infinito no enumerable".
Otra actividad que se puede efectuar es, con base en los elementos que puedes encontrar en el poema, graficar conjuntos de elementos enumerables y conjuntos de elementos no enumerables, y explicar la relación entre los elementos de tales conjuntos que haya sido encontrada.
La prosa de Borges presenta igualmente gran interés por su erudición. A partir de la lectura del famoso cuento breve “Los dos reyes y los dos laberintos”, publicado en El Aleph en 1949, se pueden efectuar distintas actividades.
En la clase de castellano los estudiantes leen con antelación el cuento y se congregan en grupos para responder a las siguientes preguntas y luego realizar la actividad que después señalaremos: 1) ¿por qué crees que Borges narra este relato como si se tratara de una leyenda?; 2) ¿cómo era el rey babilonio?; 3) ¿cómo era el rey árabe?; 4) ¿cómo era el laberinto del rey babilonio?; 5) ¿en qué consistía el laberinto del rey árabe?; 6) ¿qué referencias al Islam hay en el cuento?; y 7) ¿de qué manera es representada la venganza en el cuento?, ¿estás de acuerdo con ella?
Enseguida se forman grupos de dos estudiantes y deben escribir dos veces el cuento, primero desde la perspectiva del rey babilonio y luego desde la del rey árabe.
Por otro lado, en la clase de matemáticas, los estudiantes efectúan la siguiente actividad, que se encuentra basada en nociones de probabilidades y estadística: supongamos que hay 1 000 personas, entre babilonios y árabes, que ingresan al laberinto del rey babilonio y tratan de salir airosos de los recovecos de bronce, algunos lo logran y otros nos. Los datos que de ello resultan se pueden presentar en una tabla y son los siguientes:
B = una persona de Babilonia, A = una persona de Arabia, K = la persona es el rey, F = la persona terminó el laberinto de manera exitosa, F’ = la persona no terminó el laberinto con éxito. B A K Total F 137 174 238 549 F’ 119 143 189 451 Total 256 317 427 1000 A partir de la definición de frecuencia se debe encontrar la probabilidad de cada uno de estos eventos: 1) salió del laberinto con éxito; 2) la persona es árabe; 3) la persona no es un rey; 4) la persona es un rey que no logra salir del laberinto con éxito; 5) la persona es de Babilonia y no pudo salir del laberinto; 6) la persona es un rey y sí terminó el laberinto; y 7) la persona terminó el laberinto o es árabe.
Enseguida se debe dibujar un diagrama de árbol para representar esta situación.
Finalmente, responder a las siguientes preguntas: 1) ¿son los eventos B y F exclusivos, por qué sí o por qué no?; y 2) ¿son los eventos A y F’ independientes, por qué sí o por qué no?
Conclusiones
A manera de conclusión nos aventuramos a afirmar que la obra de Borges, especialmente los textos escogidos que contienen evidentes nociones matemáticas, son muy útiles para convertir el estudio de las matemáticas y la introducción a la literatura de Borges en experiencias académicas inolvidables y tremendamente enriquecedoras culturalmente. Consideramos asimismo que los colectivos de aprendizaje son espacios académicos eficientes para desarrollar e implementar las mejores prácticas educativas, para ayudar a los alumnos a estudiar colaborativamente y a vincular diferentes asignaturas y, definitivamente, también contribuyen a pensar críticamente.
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Referencias Bibliográficas
Alazraki, Jaime. 1974. La prosa narrativa de Jorge Luis Borges: Temas – Estilo. Gredos, Madrid. Almeida, Iván. 1999. “Borges, o los laberintos de la inmanencia”, en Rafael Olea Franco y Roberto González, Borges: Desesperaciones aparentes y consuelos secretos. El Colegio de México, México, pp. 3559. Borges, Jorge Luis. 1947. Ficciones. Emecé, Buenos Aires, 1996. ______. 1949. El Aleph. Emecé, Buenos Aires, 1996. ______. 1972. El oro de los tigres. Emecé, Buenos Aires. ______. 1975. El libro de arena. Emecé, Buenos Aires. Kcenich, Stephen, María Elvira Luna Escudero Alie. 2019. “The Symmetry of Spanish Poetry”, en Language Magazine, octubre, vol. 19, núm.2, Malibu, California, pp. 4548. ______. 2014. “La visión de la geometría, el espacio y el tiempo en el poema metafísico ‘Descartes’ de Jorge Luis Borges: Una perspectiva interdisciplinaria”, en Revista Crítica cl., Santiago de Chile, (en cutt.ly/af0IM2g). ______. 2015. “El infinito en el poema ‘Hengist quiere hombres’, de J.L.Borges: Una perspectiva interdisciplinaria”, en Revista Crítica.cl., Santiago de Chile, (en cutt.ly/df0InqJ). ______. 2016. “El infinito en aplicaciones de probabilidades y estadísticas vinculadas a ‘Los dos reyes y los dos laberintos’ de J.L. Borges” en Sincronía, Universidad de Guadalajara, año. XX, núm. 69, enerojunio, (en cutt.ly/mf0ITye). |
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| Stephen Kcenich Departamento de Matemáticas y Estadística y Ciencia de Datos, Montgomery College, Takoma-Park/Silver Spring Campus, Maryland. MS. Docente estadounidense. Bachelor of Science y Master of Science de Pennsylvania State University. Es profesor principal de matemáticas y estadística en Montgomery College, Takoma-Park, Silver Spring Campus, Maryland. También trabajó como profesor adjunto en American University, en Washington DC, en la Universidad de Maryland, College Park, enseñando matemáticas, y en la Universidad de Towson, en Maryland, enseñando matemáticas y economía. Ha escrito varios artículos académicos sobre matemáticas en diferentes revistas especializadas. Actualmente está escribiendo un libro con su colega María-Elvira Luna-Escudero-Alie sobre el contenido matemático en algunos textos de Jorge Luis Borges. María Elvira Luna Escudero Alie Departamento de Humanidades, Montgomery College, Takoma-Park/Silver Spring Campus, Maryland. PhD. Investigadora peruana (Lima). Reside en Virginia (ee.uu). Tiene licenciaturas en filosofía, literatura, y lingüística de la Pontificia Universidad Católica del Perú, y un doctorado de literatura y cultura ibero-americana, con una segunda especialidad de la Universidad de Georgetown, en Washington, dc. Su tesis doctoral se titula Estructura temporal en el teatro de Mario Vargas Llosa. Ha publicado ensayos de ingüística aplicada, filosofía, literatura y cultura ibero-americana en revistas especializadas. Enseña cursos de francés y castellano en Montgomery College, en Takoma Park-Silver Spring Campus, Maryland. En 2002 recibió un premio de excelencia pedagógica de la Universidad de Harvard, Massachusetts. |
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