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| Bárbara Utreras Rojas y Rodrigo Berrios Rojas |
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En Chile, la asignatura de ciencias naturales tiene como
principal objetivo la comprensión del entorno y los fenómenos que en éste ocurren, así como el desarrollo de habilidades científicas tales como observar, predecir, investigar, comunicar, entre otras; sin embargo, en la práctica la enseñanza de las ciencias naturales ha tenido un marcado desarrollo teórico, sin espacio para la indagación, manipulación de material concreto, desaprovechando así la curiosidad natural de los estudiantes. Esto hace necesario que los profesores en formación puedan consolidar sus aprendizajes tanto de experiencias pedagógicas como didácticas para posibilitar el enlace de la teoría con la construcción y el desarrollo práctico.
De lo anterior surge la idea de crear la Feria de Ciencias Naturales, un evento en donde se utiliza principalmente la metodología indagatoria que conduce al conocimiento y comprensión del mundo natural y artificial mediante la interacción directa con el entorno para explicar fenómenos y eventos, una metodología que propicia mejor adquisición de aprendizajes en los profesores en formación, enfocada hacia experiencias prácticas tales como instancias de investigación hacia la enseñanza o didáctica de las ciencias. Según Kennedy, éste es un proceso fundamental, ya que dicha metodología permite el desarrollo profesional docente, favoreciendo diversas competencias para que el estudiante sea responsable de su propio aprendizaje.
Autores como Labra, Montenegro, Iturra y Fuentealba, señalan explícitamente que las nuevas generaciones deben replantearse el concepto de enseñanza y buscar la comprensión de las necesidades de la sociedad por medio del procesamiento y el estímulo de la creatividad, desarrollando la capacidad de iniciar cambios para luego enfrentarse a él. La formación del profesorado es, por lo tanto, un elemento crucial, más aún si es mediante experiencias vivenciales, como apunta Cornejo, con procesos teóricos y prácticos que se basan necesariamente en la participación de los estudiantes en el contexto educativo de su futuro profesional, el cual incide directamente en el contexto de la Formación Inicial Docente en Chile estipulada por la ley 20.903, la cual implica que el Centro de Perfeccionamiento, Experimentaciones e Investigaciones Pedagógicas (CPEI—MINEDUC) debe garantizar acciones formativas desde el ingreso a las carreras de pedagogía hasta la formación que cada institución de educación superior debe cumplir por medio de estándares de aprendizaje, teniendo como punto central el aprendizaje de todos los estudiantes mediante experiencias personales y colectivas que apoyen directamente la reflexión crítica.
La Universidad Autónoma y la carrera de Pedagogía en Educación Básica abordan esta propuesta llevando a cabo distintas actividades de vinculación entre el aprendizaje teórico y la colaboración con escuelas de la comuna, favoreciendo situaciones de aprendizaje colaborativo y el desarrollo de destrezas, ya que el compromiso y propósito del profesorado es actuar como agente de cambio social y humano para el desarrollo de conocimiento y habilidades.
Considerando este contexto en la carrera de Pedagogía en Educación Básica, específicamente los estudiantes que cursan de segundo a cuarto año en las asignaturas de Ciencias de la Vida, Ciencias de la Tierra y Universo y Didáctica de las Ciencias respectivamente, organizan cuatro ferias de las Ciencias Naturales en cuatro establecimientos vulnerables (en Chile la vulnerabilidad es definida en la ley por el bajo nivel socioeconómico y educativo tanto de familias como de los padres respectivamente, por lo que las escuelas que se hacen cargo de esta situación se denominan vulnerables) de la comuna de Talca durante el año 2018. Para ello se consideran los tres ejes de la asignatura de ciencias Naturales, (Ciencias de la Vida, Ciencias de la Tierra y Universo y Ciencias Físicas y Químicas) y son abordados empleando la metodología indagatoria, la cual incluye el desarrollo de habilidades científicas y la construcción de conocimiento por parte de los estudiantes a partir de diferentes experiencias prácticas.
Es decir, los profesores en formación organizan el proceso de enseñanza aprendizaje centrado en el alumno, otorgando gran relevancia a la interacción y comprensión de conceptos en lugar de la memorización y pasividad del alumnado. Canalizar el interés por la ciencia y lograr una alfabetización científica que promueva la movilidad social es una responsabilidad y una oportunidad para los profesores y forma parte del modelo pedagógicoeducativo de la Universidad Autónoma, el cual indica que se debe: 1) promover una formación que permita el desarrollo de conocimientos, habilidades, destrezas, actitudes y valores propios de la profesión y complementarlas en su acercamiento a campos teóricos que permitan construir una visión plural sobre la realidad en el contexto de una sociedad cambiante; 2) incorporar, de forma continua, las demandas del contexto según la evolución del campo del saber respectivo en la construcción del conocimiento científico y tecnológico; y 3) diversificar las experiencias formativas promoviendo el aprendizaje colaborativo, el trabajo en equipo para el análisis y solución de problemas, entre otros.
Metodología seguida
Con el objetivo de enlazar íntimamente las experiencias prácticas de los profesores en formación con la realidad escolar, los estudiantes de Pedagogía en Educación Básica de la Universidad Autónoma de Chile analizan las características de las escuelas en donde se llevará a cabo la Feria de Ciencias a fin de elegir una temática en el currículum nacional y presentar una propuesta de enseñanza que comprenda la indagación, el contexto en que se ejecutará, el desarrollo de habilidades científicas y la utilización de modelos y material concreto en favor del aprendizaje.
En las de 2018 las principales temáticas seleccionadas fueron: sistema solar, ecosistemas, sistemas del cuerpo humano, fuerza y energía, de un total de siete escogidas en cada uno de los establecimientos, las cuales se abordaron en las distintas Ferias de Ciencias siguiendo la metodología indagatoria que, como señalan Cristobal y García, consta de cuatro etapas: focalización, exploración, reflexión y aplicación, los cuales son detalladas por Uzcátegui y Betancourt.
Focalización. en esta primera etapa se debe propiciar el interés y la motivación en el estudiante acerca de una situación problema, para lo cual se trata de contextualizar una situación, ya sea mediante la observación, el relato de un evento de la comunidad o la presentación de una situación desconocida, seguida de una pregunta bien diseñada que promueva el interés de los estudiantes y la necesidad de resolverla; en el proceso se registra las ideas previas de los estudiantes con respecto de la temática presentada.
Esto se lleva a cabo en la Feria de Ciencias Naturales depositando en los profesores en formación la iniciativa de preparar preguntas de indagación, las cuales son presentadas al comenzar la actividad; esto permite que el profesor pueda conocer los aprendizajes previos de los estudiantes, así como atraer su atención y motivarlos a que realicen predicciones que contrastarán con lo que será explorado en las etapas siguientes.
Exploración. Durante esta etapa se espera que se propicie el aprendizaje, ya que en ella los estudiantes desarrollan su investigación fundamentando ideas y buscando estrategias para desarrollar experiencias que los lleven a obtener resultados; es importante que los estudiantes elaboren sus procedimientos y el docente medie este aprendizaje con el monitoreo y la retroalimentación, permitiendo la argumentación, el razonamiento y la confrontación de sus puntos de vista. Para este caso, en especial, los estudiantes participantes se valen de los modelos y maquetas y el material concreto para la investigación y búsqueda de respuestas a las preguntas realizadas en la focalización, con la constante mediación de los profesores en formación.
Reflexión. En seguida el estudiante deberá confrontar la realidad de los resultados observados con sus predicciones, formulando así sus propias conclusiones; el docente, por su parte, debe estar atento para introducir términos y conceptos que considere adecuados. Las conclusiones deben presentarse en forma oral y escrita empleando un lenguaje sencillo, incluyendo en ellas los conceptos y términos que se crea necesario. En cada una de las ferias mencionadas, los participantes compararon sus predicciones, registradas en una bitácora, y las contrastaron con las nuevas ideas obtenidas en la exploración.
Aplicación. Es la última etapa, cuando se confirma el aprendizaje, por lo que el estudiante debe ser capaz de extrapolar el aprendizaje a eventos cotidianos, generando pequeñas investigaciones o extensiones del trabajo experimental, una transferencia de aprendizajes que constituye un gran desafío en el proceso de enseñanzaaprendizaje. Para cumplir con el modelo indagatorio, en esta etapa los profesores en formación preparan una actividad de aplicación como una manera de comprobar los aprendizajes de los estudiantes de los colegios a fin de que éstos utilicen, apliquen, nuevos conceptos en situaciones cotidianas.
Una pequeña evaluación
Las ferias de ciencias naturales de 2018 fueron organizadas por ochenta profesores en formación —de segundo a cuarto año de la carrera de Pedagogía en Educación Básica— y fueron éstos quienes diseñaron e implementaron la propuesta. Se llevaron a cabo en cuatro establecimientos vulnerables de la comuna de Talca y participaron todos los niveles, es decir, desde educación prebásica a octavo básico, esto es, un total de 1186 estudiantes (ver figura 1).
Con el fin de conocer, a modo de evaluación, la opinión general de los participantes en la feria, se solicitó a directivos, profesores y estudiantes de cada establecimiento que contestaran una encuesta centrada en tres grandes ámbitos: la utilidad de la actividad para el desarrollo profesional, el dominio de los contenidos por parte de los expositores y su satisfacción general, la cual arrojó como resultado 90% de acuerdo en cada uno de los indicadores.
Conclusión
A los objetivos establecidos en ambas propuestas responde y cumple de manera general el proyecto de la feria científica centrada en el modelo indagatorio como mecanismo para la enseñanza de las ciencias. El modelo educativo pedagógico de la Universidad Autónoma está centrado en el quehacer del estudiante y la utilización de metodologías activoparticipativas, lo cual lo ubica en la misma línea de autores como Zabala que, desde la concepción constructivista, proponen relaciones interactivas en clase tales como: 1) planificación y plasticidad en la aplicación; 2) tener en cuenta los aportes de los estudiantes durante toda la actividad; 3) apoyarlos para encontrar sentido en lo que están haciendo; 4) establecer metas alcanzables; 5) propiciar la ayuda; 6) promover la actividad mental autoestructurante; 7) establecer un ambiente que facilite la autoestima y el autoconcepto; 8) promover canales de comunicación; 9) propiciar la autonomía y el aprender a aprender; y 10) valorar según las posibilidades reales y motivar sus competencias.
Entres sus aspectos positivos, en particular se destaca el utilizar una feria de ciencias para propiciar el contacto directo de los profesores en formación con los contextos escolares reales, lo cual genera experiencias que posibilitan el constante diálogo entre la formación teórica y práctica, convirtiendo la formación general en un proceso coherente y de un mayor significado. De aquí se puede concluir que este tipo de actividades aleja a los profesores en formación de la metodología pasiva de la enseñanza de las ciencias, la cual otorga poca atención a la comprensión de conceptos, ya que se centra en el aprendizaje memorístico y una poca interacción, y en ella todavía el protagonista principal es el docente.
Finalmente, la metodología indagatoria permite que el estudiante construya su aprendizaje, investigue, comprenda su entorno por medio de la observación, busque información, utilice modelos y material concreto; asimismo, ofrece la posibilidad de aumentar la adquisición de requisitos previos para un aprendizaje exitoso, tanto de naturaleza cognitiva como motivacional, y contribuye a que los estudiantes sean capaces de organizar y regular su propio aprendizaje, aprendiendo de manera independiente e intercambiado experiencias con otros.
Se puede afirmar, en consecuencia, que el modelo indagatorio permite superar las dificultades en el aprendizaje, pues necesariamente genera una producción consciente de los propios procesos de pensamiento y enlaza estrategias de aprendizaje práctico y concreto con los métodos para el éxito del aprendizaje, como señala Harlen, convirtiéndolo en un proceso de adquisición absolutamente significativo. Por lo tanto, la realización de las ferias de ciencias como una actividad metodológica y práctica es un excelente medio para aumentar la participación de profesores en formación, así como de estudiantes y profesores, a la vez que una instancia de aprendizaje eficaz y significativo.
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Referencias Bibliográficas
Cadavieco, Javier Fombona, Marcos Jesús Iglesias Martínez e Inés Lozano Cabezas. 2016. “El Trabajo Colaborativo en la Educación Superior: Una Competencia Profesional para los Futuros Docentes”, en Educação & Sociedade, vol. 37, núm. 135, pp. 519-538. Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigaciones Pedagógicas. 2014. Documento de Política Nacional Docente. Modelo de formación para el desarrollo profesional Docente y Directivo. Ministerio de Educación, Chile. Cofré, Hernan, Johanna Camacho, Alberto Galaz, et.al. 2010. “La educación científica en Chile, debilidades de la enseñanza y futuros desafío de la educación de profesores de ciencia”, en Estudios Pedagógicos, vol. 36, núm. 2, pp. 279-293. Cornejo, José. 2014. “Prácticas profesionales durante la formación inicial docente: análisis y optimización de sus aportes a los que aprenden y a los que enseñan a aprender ‘a enseñar”, en Estudios pedagógicos, vol. 40, núm. especial, pp. 239-256. Cristobal, Carolina e Hilda García. 2013. “La indagación científica para la enseñanza de las ciencias”, en Horizonte de la Ciencia, vol. 3, núm. 5, pp. 99-104. Harlen, Wynne. 2013. Evaluación y Educación en Ciencias Basada en la Indagación: Aspectos de la Política y la Práctica. Global Network of Science Academies, Chile, (en: cutt.ly/Ef5wNsn). Kennedy, Mary. 2016. “Parsing the Practice of Teaching. Journal of Teacher Education”, en Journal of Teacher Education, vol. 67, núm. 1, p. 6-17. Korthagen, Fred A. J. 2010. “La práctica, la teoría y la persona en la formación del profesorado”, en Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, vol. 68, pp. 83-101. Labra G., Pamela, Gloria Montenegro, Carolina Iturra H. y Rodrigo Fuentealba J. 2005. “La Investigación-Acción como herramienta para lograr coherencia de acción en el Proceso de Practica Profesional durante la Formación Inicial Docente”, en Estudios pedagógicos, vol. 31, núm. 2, pp. 137-143. Ministerio de Educación. 2012. Bases curriculares de Ciencias Naturales. Chile, (en cutt.ly/Kf5e4CE). _____. Ley De Subvención Escolar Preferencial 20248. Chile, (en: cutt.ly/tf5ryvd). _____. 2019. Fichas de establecimientos, (en: cutt.ly/Mf5rqqX). Universidad Autónoma de Chile. 2015. Modelo Pedagógico, orientado a los resultados de los aprendizajes, Chile, (en: cutt.ly/Vf5roEW). Uzcátegui, Y. y C. Betancourt. 2013. “La metodología indagatoria en la enseñanza de las ciencias: una revisión de su creciente implementación a nivel de Educación Básica y Media”, en Revista de Investigación, vol. 37, núm. 78, pp. 109–127. Zabala Vidiella, Antoni. 1995. La práctica educativa. Como enseñar. Las relaciones interactivas en clase. El papel del profesorado y del alumnado. Graó, Barcelona. |
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| Bárbara Utreras Rojas Coordinadora de Práctica, Universidad Autónoma de Chile. Magíster en Educación Basada en Competencias. Coordinadora de Práctica de la carrera de Pedagogía en Educación Básica, Universidad Autónoma de Chile. Rodrigo Berrios Rojas Director de Carrera, Universidad Autónoma de Chile. Doctor en Ciencias de la Educación, Miembro de la Sociedad Española de Pedagogía y de la Sociedad Iberoamericana de Pedagogía. Miembro del comité científico de la revista Spécificités de Facultad de Educación de la Universidad Paris Ouest Nanterre la Défense. Director y presidente del comité curricular de la carrera de Pedagogía en Educación Básica, Universidad Autónoma. |
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| Juan Luis Hidalgo Guzmán |
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La reforma educativa impulsada el sexenio pasado puso
en el centro de la discusión la compleja y lamentable situación que vive la educación en México. Uno de los aspectos que más descontento generó entre los maestros fue el que no se les diera voz. No puede haber una reforma sin la participación de los docentes. Esta actitud del gobierno de ignorarlos es causante no sólo de la mala imagen que algunos tienen de los maestros por protestar ante ello —promovida por muchos medios—, sino también de lo poco que se conoce de los proyectos propios del magisterio, de sus propuestas para mejorar la educación. En México existe un movimiento de docentes de educación básica (de preescolar a secundaria) importante al menos desde finales de los cincuentas, centrado en la transformación radical de las prácticas y relaciones escolares e impulsado por organizaciones como el Movimiento Revolucionario del Magisterio (mrm) que, además de luchar por la democracia sindical, tenían como preocupación el trabajo en el aula día a día y procuraban la construcción de una propuesta de educación alternativa para que la escuela pública cumpla su papel formador y que las clases populares alcancen su anhelo de una sociedad libre, democrática y con buena calidad de vida. Entre esta década y la de los sesentas se propagaron en el medio educativo varias proposiciones pedagógicas consistentes y de posible realización con la contribución de académicos e investigadores educativos. La idea de una educación alternativa y la transformación posible de la escuela que éstas implicaban, generaron un movimiento magisterial por la democracia sindical con posiciones radicales e imaginación política que confluyó con el movimiento estudiantil de 1968.
En los setentas surgió en todo Latinoamérica un sólido movimiento para democratizar la educación que pretendía transformar la escuela y la práctica de profesores, maestros y educadoras, eliminando prácticas autoritarias, excluyentes y rutinarias, propias de lo que se denominó “tradicionalismo pedagógico”, caracterizado por una excesiva memorización y un atraso en los contenidos del programa escolar. A esto se sumó la situación laboral del magisterio —bajos salarios, rigidez de la estructura sindical—, generando en los ochentas movilizaciones masivas de maestros, que en México llevó a la creación de organizaciones como los Consejos Centrales de Lucha (ccl) y la Coordinadora Nacional de Trabajadores de la Educación (cnte).
La primera Asamblea Nacional de Educación Alternativa convocada por la naciente Coordinadora, realizada en la Universidad Pedagógica Nacional Ajusco, mostró que los académicos, teóricos e investigadores en educación podrían desempeñar un papel importante por su visión crítica de las prácticas y relaciones escolares, y allí se delimitó el estado del conocimiento, las líneas de trabajo teórico y las experiencias fundamentales para poder transformar la escuela. La discusión y búsqueda de alternativas que prosiguieron fueron animadas y difundidas en revistas sobre problemas educativos como Cero en conducta, periódicos de escuelas y zonas escolares, encuentros y proyectos de maestros de enseñanza básica e investigadores educativos, un intercambio de experiencias locales alternativas y cursos sobre didáctica, entre los que se destacan los talleres de la Casa de la Cultura del Maestro Mexicano A.C. (ccmm), en donde se discutía la educación alternativa desde la perspectiva de los docentes frente a grupo y en las condiciones del trabajo cotidiano en las aulas.
Entre los talleres organizados por la ccmm se destacan los impulsados por un grupo de docentes en 1986 en escuelas y zonas escolares de varios estados y cinco encuentros de educación alternativa, en los que se dieron a conocer hallazgos, aciertos y dificultades, y se consolidó la propuesta pedagógica denominada “aprendizaje operatorio”. “Dar la palabra al docente” fue su eje para conocer la problemática del aula, delimitar —con base en su experiencia y sus saberes— el campo de posibilidades y el sentido de los cambios en la docencia.
La diversidad cultural de los docentes permitió advertir los vicios de la organización escolar, así como problemas externos que hacían difícil la labor docente: irregularidades en la labor cotidiana, contextos de violencia social, relaciones autoritarias, prácticas excluyentes, excesos en las tareas administrativas, lasitud en la evaluación, burocratismo en la planeación, oportunidades de actualización de baja calidad, cursos inscritos en ese mecanismo absurdo de transmitir la información “en cascada” y otros obstáculos como el apresuramiento y las relaciones burocráticas. Tres grandes problemas fueron puestos en relieve: 1) es imposible que un docente atienda los múltiples y variados intereses de sus alumnos y que logre, aunque sea en lo mínimo, la participación de todo el grupo y evitar la pesada carga de la enseñanza individual; 2) por la carga administrativa, el docente “se ve obligado a ser autoritario” e imponer las tareas de aprendizaje; y 3) el programa escolar obliga a trabajar o simular un exceso de contenidos, agrupados en bloques temáticos con una lógica que no se corresponde con los ritmos del aprendizaje ni con las expectativas del grupo escolar. El resultado de tal situación era la pasividad de los estudiantes, sin interés ni entusiasmo ante las actividades de aprendizaje; el programa se consideraba muy amplio y sin la menor posibilidad de modificar el orden ni alterar el alcance de los contenidos, muchos no significativos y fácilmente olvidables —lo que hacía inevitable los periodos de reforzamiento.
Por último, entonces y como ahora, las intensas campañas de desprestigio, la devaluación pública de la docencia y la acusación en los medios de que el magisterio había deteriorado la educación escolar con tantas protestas, marchas y plantones. De sus propuestas nunca se hablaba.
Una propuesta pedagógica alternativa
De los análisis y conclusiones de los talleres de docentes frente a grupo, en términos teóricos se destacan los siguientes problemas: ¿cómo lograr que los estudiantes tengan voluntad de saber de tal modo que se superen tanto los intereses individuales como las necesidades propias de su condición social?, ¿cómo hacer que emerjan amplias expectativas culturales que los disponga a participar en las experiencias de aprendizaje que organiza el docente?, ¿cómo seleccionar y organizar los contenidos del programa escolar para que sean significativos y tengan un sentido formativo?, ¿cómo configurar y organizar el grupo para que cada estudiante disponga de los apoyos necesarios de manera oportuna e incondicional?, ¿cómo suscitar y animar diálogos y conversaciones entre los estudiantes y con el docente? En suma, ¿cuál es el papel del docente en la organización de experiencias de aprendizaje relevantes y efectivas, qué puede hacer para alentar la participación de sus estudiantes, cómo trabajar el programa escolar y de qué manera organizar los contenidos para que tengan sentido?
Muy pronto se advirtió que las cuestiones anteriores estaban en propuestas teóricas y de investigación, aunque no siempre de manera explícita, que su estudio estaba en marcha en el campo académico e incluso algunas ya estaban en la línea de instituciones formadoras de docentes. Había cierta efervescencia, en las discusiones se aludía a proposiciones del aprendizaje significativo, la pedagogía operatoria, la escuela nueva, a varios textos de las corrientes de la psicología cognitiva y la evolutiva.
Las discusiones tuvieron un primer efecto: destacar que el foco del problema se había desplazado del énfasis en las dificultades de los estudiantes para participar en experiencias de aprendizaje al papel del docente, su capacidad para dar el apoyo que requieren sus estudiantes, y la necesidad de que se apropiara de versiones teóricas para poder participar de manera efectiva en un proyecto de educación alternativa. En cuanto a la cuestión didáctica, se abordó en términos de experiencias relevantes de aprendizaje, esto es, cómo lograr que los estudiantes participen con “voluntad de saber”. En resumen, la cuestión decisiva no era tanto cómo enseñar, sino entender cómo aprenden los estudiantes y qué estrategias didácticas requiere el docente para orientar las experiencias y los procesos de aprendizaje.
Al llevar tales conclusiones a la práctica cotidiana se perfilaron varias cuestiones específicas: cómo piensan los estudiantes cuando aprenden, qué puede hacer el docente para ponerlos a pensar, de qué manera los estudiantes expresan y concretan sus pensamientos en actividades prácticas y pertinentes para el aprendizaje. En sentido estricto, qué aprendizajes reales y específicos logran los estudiantes, y cuáles son las propuestas teóricas que necesita conocer y dominar el docente para transformar el vínculo pedagógico, generar voluntad de saber en sus estudiantes y dirigirlos en la adquisición de conocimientos.
El aprendizaje significativo
La primera proposición para cambiar el papel del docente y que causó sorpresa a muchos, acaso por su sencillez, se desprende de las concepciones de Jerome Bruner sobre el aprendizaje significativo: para poner a pensar a los estudiantes (y en general a cualquier persona) es necesario contar historias. Éste autor sostiene que la mente humana se activa en el sentido de una narración; es la configuración de acontecimientos y situaciones, a través de una historia, la que suscita conversación, entusiasmo, preguntas y la elaboración de variadas relaciones como analogías y metáforas, inferencias para anticipar los sucesos, organización de clases y relaciones de pertenencia y contención, también ofrece indicios de relaciones simétricas, causales o de implicación, iterativas, de sucesión, de identidad y diferencia relativa (análisis y reflexión).
En consecuencia, el docente necesita cambiar el sentido de su discurso, no se trata de acaparar la palabra para exponer explicaciones, hacer deducciones obvias, ni pretender ilustrar, en el mejor de los casos, mediante metáforas o proposiciones formales generalmente poco pertinentes; el docente debe contar historias, suscitar preguntas y comentarios, en suma, animar las conversaciones entre sus estudiantes.
El punto siguiente fue decantar del conjunto de historias susceptibles de hacer pensar a los estudiantes, aquellas que trataran sobre algún suceso particularmente interesante. En el caso de las ciencias: un acontecimiento científico que pudiera suscitar preguntas y conjeturas y, sobre todo, plantear cuestiones relacionables con los contenidos del programa escolar.
Después de muchos ejercicios narrativos, de contar historias sobre acontecimientos científicos y efectuar ejercicios de análisis, plantear preguntas y comentarlas, se consideró necesario formalizar el proceso de narrativa-conversación-análisis y proponer una estructura formal para organizarlas a fin de guiar el aprendizaje. Se dividieron en seis tipos las preguntas que suelen hacer los estudiantes: las cotidianas, que expresan sus saberes previos, creencias y supuestos, nociones de sentido común por así decirlo; las de implicación social, que aluden a posibles efectos y consecuencias sociales del acontecimiento que se narra, útiles para agregarle el entorno social; las de debate o valoración moral, que refieren a preocupaciones e inquietudes sobre las posibles consecuencias.
Por otra parte, están las preguntas que debe plantear el docente, aunque en ocasiones son los estudiantes quienes las anticipan: las de carácter histórico, que en general refieren a las experiencias del pasado o los orígenes de algunos conceptos mencionados en la narración; las de tipo científico, para profundizar o lograr una versión formal de algunos conceptos destacados en el relato que se pueden vincular con el programa escolar; y las puente o andamio, que sirven al docente para puentear o presentar de manera accesible cuestiones difíciles o de no fácil comprensión para los estudiantes, útiles para dar contenido y sentido científicos a preguntas cotidianas, particularmente simples o de sentido común. Es claro que tales preguntas (de 12 a 18 para primaria y de 24 a 30 para secundaria y bachillerato) van colmando de significados la historia narrada y sirven para que los estudiantes transiten de meros escuchas a personas que analizan, preguntan y manifiestan expectativas de aprendizaje.
La propuesta pedagógica se perfiló así desde la perspectiva del aprendizaje como investigación en el aula, en donde el objeto de investigación es un acontecimiento relevante o de carácter científico, que es entonces tema de un relato y, a partir del cual, se elabora un cuestionario con los estudiantes.
Dado que las discusiones sobre la selección y organización de contenidos de aprendizaje se efectuaban, inicialmente, con docentes de escuelas primarias encargados de los contenidos de las distintas asignaturas, de manera natural vino el interés de cómo relacionar esto con el programa escolar, lo que llevó a su vez a ver qué conceptos se tratan en la historia, las preguntas relacionadas, cuáles en el programa de dicha asignatura y cómo relacionarlas. En la medida que un relato no es fijo ni definitivo, la historia se podría ampliar, modificar la situación o los acontecimientos, agregar episodios o una ficción —un personaje de la historia es un docente que interroga—, todo ello con el fin de agregar contenidos importantes.
El criterio en principio fue poco riguroso, tan sólo advertir si un término formaba parte de los textos científicos como un concepto o, en caso contrario, si era de uso corriente en las pláticas, una mera noción o un significado de sentido común. Después de muchos ejercicios de análisis, se propusieron cuatro niveles de conceptualización o de formalización en los ejercicios de planeación didáctica: 1) los datos, esto es nombres convencionales de lugares y magnitudes, referencias usuales en el habla como las distancias y alturas, los nombres de ciudades y países, nomenclaturas básicas de distintas disciplinas; 2) las nociones, de uso cotidiano que no requieren explicación pues remiten a significados negociados, compartidos y transmitidos en las conversaciones del diario acontecer; 3) los conceptos, que provienen del vocabulario de las disciplinas y refieren a objetos, fenómenos, hechos, situaciones y acontecimientos, tecnicismos que forman parte del lenguaje científico y tienen definiciones; y 4) las categorías, expresiones que aluden a conceptos fundamentales de un campo científico, integrando o articulando otros conceptos para sustentar explicaciones teóricas.
Con base en tal selección de conceptos y categorías, para organizar los contenidos de las experiencias de aprendizaje se recurrió a una propuesta del aprendizaje significativo: pensar los conceptos en contexto y organizarlos en un diagrama. Se dice que un concepto adquiere significado al estar en contexto, cuando no se considera aislado o en abstracto, es decir, si se proponen relaciones significativas con otros conceptos (implicaciones, analogías, metáforas); el número de relaciones significativas refiere a los contextos desde los que concibe y se puede decir que decide el nivel de comprensión.
Inspirándose en un texto de S. Elam, se seleccionó la estructura sintáctica propuesta por Joseph Shwabs que liga los conceptos y sus relaciones con los métodos y procedimientos de su elaboración, por ser consistente con el aprendizaje significativo. La organización de contenidos que resultó en los talleres con base en la estructura sintáctica es la siguiente: 1) se seleccionan del cuadro de contenidos dos categorías, una del campo de las ciencias naturales y otra del de las ciencias sociales; 2) se relaciona ambas para disponer de una base para organizar los demás conceptos; 3) se distribuyen los demás conceptos y nociones en torno a tal relación, sea mediante bloques lógicos o el modelo de arborescencia; y 4) se propone un concepto como mediación que potencie el sentido de la relación entre las categorías. El fin es lograr una estructura conceptual significativa que posibilite la integración de todos los conceptos y nociones.
En la medida que el propósito pedagógico de la estructura conceptual es colmar de significado los contenidos del aprendizaje, se consideró necesario proceder de acuerdo con las siguientes proposiciones: presentar los conceptos científicos en el marco de una narrativa, destacar los conceptos más relevantes mediante un análisis en términos de preguntas, y presentar los conceptos en contexto mediante diagramas conceptuales.
Se puede advertir que en la estructura —hasta aquí descrita— solamente están organizados conceptos y categorías. Aún no se agregan los contenidos procedimentales, aquellos que se relacionan con los usos de los lenguajes, como las orientaciones para la lectura de comprensión y la redacción en el caso de la comunicación comprensiva oral y escrita, reglas del lenguaje matemático para la medición y el cálculo; en términos específicos, reglas gramaticales, algoritmos matemáticos, operaciones para obtener y procesar información, ejercicios de tipo experimental y, en general, el conjunto de procedimientos propios del trabajo escolar y del quehacer científico, como el trabajo bibliográfico, la medición y el cálculo, la experimentación y la ilustración gráfica, la exploración de lugares naturales y las entrevistas.
Por tanto, apegados a la propuesta de Joseph Shwabs que distingue en la estructura, los conceptos de las distintas disciplinas científicas en su diferente grado de formalización y los procedimientos del método científico, en su versión formal, como los del trabajo escolar en el currículo, se procedió a la organización de contenidos del currículo con el fin de presentar los contenidos del programa, a manera de una versión escolar del método científico.
De esta forma se logró que la elaboración de la estructura conceptual sintáctica durante los ejercicios de planeación didáctica fuera sencilla. Después de la narración, el cuestionario y la elaboración del cuadro de nociones y conceptos, se propuso que cada relación conceptual se pensara de acuerdo con los procedimientos que, según cada disciplina, se deberían realizar, seleccionando los que se consideraran pertinentes y accesibles para trabajar en clase. Al ser efectuados varios ejercicios de planeación didáctica se consiguió organizar los procedimientos y agruparlos de acuerdo con su pertenencia en cada tarea de investigación, de manera que en la planeación didáctica se relacionaran y agruparan, por un lado, con las versiones formales de la investigación científica y, por el otro, se adecuaran a las condiciones del trabajo escolar; es decir, que cada tarea conservara el rigor científico de acuerdo con el sentido heurístico atribuido a la propuesta, pero que no excedieran las posibilidades de participación de estudiantes y docentes. Así se llegó a establecer tareas de investigación que hasta hoy forman parte de la planeación didáctica y que se describen brevemente a continuación.
Trabajo bibliográfico. Comprende los procedimientos usuales para obtener y procesar información en textos, básicamente forman parte de esta tarea las actividades del programa escolar relacionadas con lectura y redacción.
Trabajo de campo. Se efectúa mediante entrevistas y encuestas y demás procedimientos para obtener información que circula en conversaciones cotidianas, que no está en libros y suele considerarse como saber popular.
Experimentación. Es el conjunto de actividades para estudiar fenómenos naturales en las condiciones del aula en sus diversas modalidades: para explorar relaciones causa-efecto (aprendizaje por descubrimiento), acotar el rango de variación de las condiciones (uso de escalas de medición), comprobar datos (coeficientes) y relaciones (fórmulas) que explican fenómenos naturales; tradicionalmente ha sido la versión escolar de hacer ciencia.
Exploración. Son recorridos fuera del aula, organizados para elaborar explicaciones “sobre la marcha o en el terreno”, también para recrear momentos del pasado y versiones relacionadas con acontecimientos memorables para la comunidad (paisajes, zonas arqueológicas, lugares simbólicos, singularidades de la flora y fauna, formaciones del suelo, zonas arqueológicas y ubicación de acontecimientos históricos).
Medición y cálculo. Se trata de procedimientos matemáticos para organizar información, elaborar estructuras espaciales, plantear problemas, ensayar estrategias heurísticas y desarrollar habilidades de razonamiento plausible (algoritmos numéricos, resolución de ecuaciones y fórmulas, trazado de figuras geométricas).
Elaboración de dibujos y diagramas. Necesarios para ilustrar y hacer más comprensibles los productos de la investigación, así como promover la creatividad mediante versiones artísticas sobre lo que se investiga (dibujos, prototipos, murales, maquetas, gráficos).
Aprendizaje operativo y por construcción
El proceso descrito hasta aquí se sustenta en muchas experiencias con docentes de escuelas primarias, realizadas a lo largo de más de una década, contenidas en el libro Aprendizaje operatorio, publicado en 1993 por quien esto escribe, y en donde se encuentran también las proposiciones pedagógicas teóricas que sustentan el papel de los estudiantes en el aprendizaje con un sentido de investigación, una participación autónoma y en colectivo, pues la investigación implica un compromiso de entreayuda que potencia habilidades y destrezas. Las experiencias docentes mostraron así que cuando los contenidos del aprendizaje son significativos, los estudiantes se asumen y comprometen como protagonistas y aprenden por construcción en la perspectiva de la investigación; y no dependen ya de la información que transmite el docente.
Después de unos catorce años de trabajar la propuesta pedagógica, los maestros que habían respondido a las convocatorias de la Casa de la Cultura del Maestro Mexicano aportaron elementos para comenzar la construcción en colectivo de una propuesta didáctica que orientara el papel del docente en el aula para organizar experiencias efectivas de aprendizaje. Se disponía ya de una explicación teórica del aprendizaje significativo y de las posibilidades de hacer investigación en el aula, así como cierto dominio en los ejercicios de planeación didáctica descritos anteriormente. Se podía entonces acometer la tarea de elaborar una versión pedagógico-didáctica, para lo cual se recurrió al llamado aprendizaje por construcción, cuya puesta en práctica por un número importante de maestros frente a grupo, que trabajan en las condiciones de la escuela pública y en distintos grados del nivel básico, resultó en siete principios básicos que permiten orientar el papel de estudiantes y maestros en el aula en la construcción de conocimiento.
1. En una experiencia de aprendizaje, los estudiantes construyen conocimientos solamente si tienen amplias posibilidades de participar, es decir, no se trata de seguir un proceso dirigido ni apegarse a un instructivo; es tarea del docente trabajar y configurar el campo que haga posible la participación de los estudiantes (disponer un escenario de objetos atractivos y sugerentes, suscitar conversaciones, generar expectativas).
2. La construcción de conocimientos, como lo expresa la psicogenética, ocurre por aproximaciones; no hay elaboraciones súbitas de conceptos, la comprensión de las relaciones entre los objetos del entorno y sus propiedades no es espontánea. Por el contrario, ocurre mediante procesos que alternan momentos de análisis y reflexión, acciones concretas y de tanteo que se someten a prueba para su comprobación.
3. No es un proceso lineal ni sigue un único camino predeterminado, más bien ocurre por varios caminos y en tiempos distintos; en la construcción de conocimientos cada estudiante tiene un estilo específico, una perspectiva de análisis particular y un ritmo propio.
4. Un aspecto importante de la intervención del docente es plantear preguntas “que pongan a pensar” a los estudiantes, que no sean de respuesta simple o automática (preguntas de canevá), ni cuestiones que sólo confirman su discurso; deben ser preguntas que obliguen a la elaboración de conjeturas, susciten análisis, desarrollen habilidades propias del razonamiento plausible.
5. Para construir versiones sobre los hechos que tengan sustento teórico, los estudiantes requieren constante ayuda: pedagógica, por parte del docente; recíproca, del colectivo; de un par, lo que les permite comprobar un procedimiento, saber si la información que recibe es relevante y de calidad. La conversación, por lo tanto, afina las preguntas y asegura su pertinencia, integra al colectivo y tiende puentes, fomenta el compartir y enriquecer ideas.
6. En sentido estricto, la adquisición de conocimientos es una construcción de estructuras relacionadas con objetos, acontecimientos y situaciones. En un proceso de aprendizaje se distinguen elementos, se proponen relaciones entre éstos, se destacan y configuran analogías, se advierten contradicciones, iteraciones, cambios súbitos o rupturas, simetrías y procesos sujetos a normas, se formalizan algoritmos.
7. En el proceso de construcción de conocimientos es necesario efectuar “retornos reflexivos”, esto es hacer un alto y regresar al comienzo, analizar para advertir fallas y proceder por otro camino o corregir algún error.
La ciencia en la escuela
En septiembre de 2000 se acordó con un grupo de Jefes de enseñanza de Escuelas Secundarias Técnicas de Oaxaca adecuar el aprendizaje operatorio con una propuesta de asesoría a docentes, para lo cual se realizaron varios talleres en escuelas en la Mixteca con el apoyo de la cnte, Sección 22, y en 2002 se incorporó un grupo numeroso de docentes de la Región del Istmo.
Hasta entonces los talleres se habían centrado en la planeación de cada maestro para realizar su labor con su grupo. Ahora había que orientar a los colectivos de docentes para organizar y generar experiencias de aprendizaje para todos los grupos y grados de la comunidad escolar. La participación de los docentes en la elaboración de los proyectos implicó nuevos retos y condiciones diferentes, que ampliaron las expectativas para el desarrollo de la propuesta.
Al efectuar los ejercicios de planeación didáctica se le dio particular preferencia a la tarea de investigación denominada exploración, acaso por el entusiasmo que produce en los estudiantes (y en los docentes) salir del aula y romper la rutina. En el primer taller se elaboraron varios proyectos escolares centrados en la exploración de paisaje y redactaron en colectivo narraciones o historias con sentido, en esta ocasión relacionadas con los orígenes y el pasado de las comunidades. Además, se hicieron los ejercicios de análisis y elaboraron cuestionarios se detallaron las tareas de investigación en listados de actividades por cada asignatura del programa. Después se organizaron encuentros de docentes para evaluar las experiencias.
Además de orientar las experiencias de aprendizaje con base en proyectos de investigación, los colectivos docentes elaboraron proyectos con la comunidad escolar: un vivero, la producción, comercialización y distribución de miel, la elaboración de galletas a partir del cultivo de gusanos, recipientes de cantera para el cultivo de plantas y algunos museos escolares.
Entonces los encuentros de experiencias organizados por los docentes se transformaron en acontecimientos para informar a las comunidades denominadas de evaluación pública, y se organizaron congresos estudiantiles y, acaso lo más importante, se fueron perfilando ideas más claras sobre el significado de una propuesta didáctica con sustentos pedagógicos y orientaciones precisas sobre el aprendizaje por construcción. Asimismo, a partir de la exploración de paisaje surgió una propuesta didáctica que se denominó campamento científico, en donde la relación entre paisaje y comunidad sirvió para vincular asignaturas de ciencias naturales y sociales con aquellas que integran los lenguajes (español, matemáticas, computación, lenguajes gráficos) y resolver el problema de la separación de asignaturas académicas y de tecnologías.
Así, desde 2000 se han organizado numerosos campamentos científicos, mostrando su pertinencia, profundizando en su concepción y, recientemente, estableciendo vínculos entre la ciencia y los saberes comunitarios. Además, la evaluación pública que se propuso como cierre del campamento científico, no sólo legitima el trabajo de los maestros ante las comunidades, sino ha marcado etapas para el cumplimiento del programa escolar, pues su planeación implica la organización de contenidos para dos o tres meses. Y ha sido también clave en la organización de los colectivos docentes, potenciando las relaciones entre las asignaturas, a la vez que ha impulsado las tareas de investigación por el apoyo recibido de especialistas invitados.
Por ejemplo, el taller Matemáticas en contexto vincula el estudio de las sucesiones numéricas, los algoritmos básicos y los cálculos geométricos con las condiciones y la variación de los indicadores del clima, el crecimiento de las plantas, la estructura de los suelos y las cuencas; están los de producción forestal, usos y costumbres de las comunidades, calendarios agrícola y cívico, suelos y cultivo, así como el de Física sobre la marcha, que integra observación, dibujo, medición, uso de escalas y realización de experimentos con las artes plásticas para ilustrar conceptos que explican fenómenos singulares.
Todos estos procesos llevaron a la propuesta didáctica la ciencia en la escuela, que proviene de una expresión (“hacer presente la ciencia en la escuela”), utilizada desde los noventas para denominar las actividades escolares con base en una pedagogía sustentada en el aprendizaje significativo y por construcción, que potenció un movimiento de educación alternativa. La propuesta encontró sede con la constitución de la Casa de las Ciencias de Oaxaca (CaCiO) en octubre de 2007, fruto del mismo movimiento, en donde ha convergido un grupo importante del magisterio de escuelas secundarias técnicas de Oaxaca con académicos que trabajan sobre ciencia y sociedad, divulgación de la ciencia (Revistas ¿Cómo ves? de la dgdcunam, Ciencias de la Facultad de Ciencias de la unam, Pandillas científicas, iteso, inaoe, cidirtipn y otros) y especialistas de distintas disciplinas con cuyo apoyo se organizaron conferencias, talleres y visitas a centros de difusión de las ciencias (jardines botánicos, zonas arqueológicas, museos de ciencias). Todo esto derivó en una línea formativa en el campo de la investigación educativa que ha dado sustento teórico al trabajo de la CaCiO, ampliando además las posibilidades de actualización y profesionalización de docentes.
La propuesta didáctica
Dos preguntas fueron definiendo los alcances y contenidos de la propuesta didáctica de la ciencia en la escuela: ¿qué significa hacer presente la ciencia en la escuela?, y ¿qué concepción de ciencia sustenta una propuesta pedagógica y didáctica en el marco de un movimiento de educación alternativa?
En algún tiempo se pensó que hacer presente la ciencia en la escuela era una tarea resuelta con la inclusión de contenidos científicos en el currículo, que los docentes expusieran o dictaran algunas definiciones, hicieran memorizar algoritmos o ejercicios hasta su mecanización, todo lo cual resultó intrascendente. En otros casos se promovió la visita de científicos que impartían conferencias y cursos breves, generalmente a docentes, con escasos resultados; al igual que sucedió al llevar a los estudiantes a museos o lugares de singular naturaleza.
En el caso de la propuesta didáctica se pretende que los estudiantes, con la orientación y el apoyo del docente, se constituyan en una comunidad para hacer ciencia en la escuela, es decir, participen en la construcción de un acontecimiento singular (objeto de investigación) mediante una narrativa, que los lleve a efectuar ejercicios de análisis y reflexión, a definir las tareas de investigación con base en una metodología clara que incluya procedimientos, técnicas e instrumentos relacionados al máximo con los contenidos centrales del programa escolar, y que su realización se sustente en acciones propias de la cultura científica bajo las condiciones del quehacer escolar.
Sus características son las siguientes: 1) tiene que ser pertinente y no contravenir las orientaciones pedagógicas, es decir, sus contenidos deben ser comunicables, comprensibles y vinculados con y realizables en las prácticas escolares; 2) tiene que asumir las críticas al cientificismo y evitar implicaciones excluyentes basadas en la falsa suposición de una única racionalidad válida, la científica, por encima de la condición social y cultural de docentes, estudiantes y comunidades; 3) las concepciones científicas deben inscribirse en proyectos orientados a superar las condiciones de pobreza y marginación de las familias usuarias de la educación pública, asumirse incluso como recursos para las estrategias de lucha y resistencia de grupos trabajadores y comunidades; y 4) dado que muchos docentes participantes laboran en escuelas de comunidades de pueblos originarios y afrodescendientes, debe posibilitar un diálogo simétrico con los saberes comunitarios.
La continuidad de la propuesta
Un problema de los proyectos de educación alternativa ha sido que, cuando se supone y se festeja que hubo cambios decisivos en las prácticas y relaciones pedagógicas, para desconcierto de quienes promueven el cambio los docentes regresan a la didáctica tradicional, al dictado y la memorización, a los ejercicios agotadores y a las tareas, al autoritarismo y a delegar en los familiares la responsabilidad del aprendizaje con las famosas “tareas para la casa”.
Una explicación sobre el papel de la pedagogía en la transformación de las prácticas y relaciones escolares asevera que el regreso al tradicionalismo pedagógico ocurre porque la escuela se ha pensado básicamente como el espacio cultural, en donde sólo se transmiten conocimientos elaborados en otros espacios.
En consecuencia, pensar en la vitalidad de las propuestas educativas alternas implica un aspecto escencial: trabajar para mostrar que en las relaciones y prácticas escolares se producen conocimientos; pues aunque se suele sostener que la docencia es una profesión que produce saberes, ciertamente no siempre reconocidos o valorados, lamentablemente no parece que esto sea suficiente para sostener la voluntad de cambio e innovación.
En este sentido, la propuesta la ciencia en la escuela ha intentado ir más allá, proponiendo diversas iniciativas que conlleven la producción de conocimientos en cada escuela y así evitar el retorno a las prácticas autoritarias y el verticalismo. Una es la construcción de una estación científica escolar, en donde los estudiantes dispongan de un lugar adecuado, con instrumentos de trabajo pertinentes y se propicie la conversación y la discusión con el fin de traspasar su territorio de acción cotidiana y desde la perspectiva del quehacer científico crucen la frontera, logrando que en las escuelas básicas se produzcan conocimientos.
Está también la propuesta de que la CaCiO pueda ofrecer estudios de posgrado (especializaciones y maestrías), mantener programas de difusión propia (hasta ahora dos números de la revista Barricada científica y algunas cápsulas radiofónicas) la fundación en Oaxaca de un Museo de ciencia y cultura de las comunidades, y la participación en programas de investigación como el de un diálogo entre las ciencias y los saberes comunitarios en el aula.
Todos esto proyectos, algunos en marcha y otros aún sólo en el papel, a pesar de los obstáculos encontrados para su plena realización, son muestra de una idea que guía nuestro trabajo: la pertinencia y el potencial de la cultura científica como sustento de un proyecto de educación alternativa.
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Referencias Bibliográficas
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| Juan Luis Hidalgo Guzmán Asesor de la Casa de las Ciencias de Oaxaca y Coordinador de la Casa de la Cultura del Maestro Mexicano, A.C. Maestro de escuela primaria (1964-82), licenciatura en Física y Matemáticas, IPN. Académico Escuela Normal Superior de México. Investigador educativo egresado Maestría die ipn. Durante 30 años trabajos de educación alternativa de la cnte. Elaboró una propuesta didáctica: La ciencia en la escuela. Asesor de la Casa de las Ciencias de Oaxaca y Coordinador de la Casa de la Cultura del Maestro Mexicano, A.C. |
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| Gil Bor y Sergei Tabachnikov | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Desde su invención, a principios del siglo XIX, la bicicleta
ha ejercido una constante fascinación por distintos aspectos, tanto prácticos como teóricos; uno de ellos es su desplazamiento, su trayectoria, que aquí abordamos. Veamos si en un terreno arenoso o lodoso encontráramos las marcas que dejan las ruedas delantera y trasera de una bicicleta (figura 1), ¿sabríamos en qué dirección se desplazaba la bicicleta?
A primera vista, tales trayectorias parecen un par de curvas aleatorias; sin embargo, no es así. ¿Cómo deducir cuál de éstas corresponde a la rueda delantera y cuál a la trasera con base únicamente en la forma de las trayectorias?, ¿cómo dilucidar en qué dirección iba la bicicleta, si de izquierda a derecha o al revés?
Para lograr este análisis utilizaremos un modelo simple para el movimiento de la bicicleta, en donde la bicicleta se representa por un segmento TD de longitud fija L, que conecta el centro de la rueda trasera T con el de la delantera D (figura 2). La única restricción que imponemos al movimiento del segmento TD es la condición de “no derrapar”, es decir, en cada momento el segmento TD es tangente a la trayectoria de la rueda trasera.
Retomemos ahora la figura inicial con el par de trayectorias (figura 3) y supongamos primero que una de ellas, digamos la sólida (no punteada), es la trasera; para comprobar si es cierto, trazamos una recta tangente a esta curva en algún punto T1, marcando las intersecciones de esta recta tangente con la otra curva, la punteada; estos puntos, a la izquierda (i) y a la derecha (d) de T1, constituyen los candidatos para ser el centro de la rueda delantera. El segmento que une T1 a uno de estos puntos de intersección determinaría la longitud (L) de la bicicleta. Si repetimos este procedimiento en otro punto de la curva sólida (T2), obtenemos tamaños distintos de L sin importar en qué dirección viaja la bicicleta. Como el tamaño de la bicicleta (L) es fijo, concluimos que la curva sólida no puede ser la trayectoria de la rueda trasera.
En cambio (figura 4), si intentamos hacer lo mismo pero suponiendo que la otra curva (la punteada) es la trasera y que la bicicleta viajaba de izquierda hacia la derecha, obtenemos que los segmentos resultantes son de la misma longitud (L), como debe ser el tamaño de una bicicleta.
Trayectorias ambiguas
Comúnmente, se puede decidir en qué dirección viajaba una bicicleta; sin embargo, hay casos especiales en donde no es posible. Un ejemplo trivial es el de la trayectoria de una bicicleta que deja como marca un par de círculos concéntricos (figura 5), en donde el círculo interior es claramente la trayectoria de la rueda trasera; el problema es que no se puede decidir en qué dirección va la bicicleta, ya que ambos sentidos, siguiendo las manecillas del reloj o en contra, son consistentes bajo la condición de no derrapar.
Una pregunta natural es entonces: ¿existen otros pares de trayectorias ambiguas pero no circulares? La respuesta es positiva, y aquí podemos ver tres ejemplos de tales trayectorias cerradas (figura 6).
Este problema está relacionado con otros muy interesantes. Mencionemos primero una caracterización de la trayectoria de la rueda delantera (Γ) de un par “ambiguo”: si tomamos un segmento de longitud fija (2L), lo apoyamos en Γ en dos puntos (D1 y D2), y lo deslizamos a lo largo de Γ, manteniendo sus extremos sobre Γ, su punto medio se mueve en la dirección del segmento mismo (figura 7). Esto es porque el punto medio traza la curva trasera común γ a las dos bicicletas que forman el segmento D1-D2, y por lo tanto, según la condición de no derrapar, debe ser tangente a γ en todo momento. Resulta que esta condición es también equivalente a que el área sombreada entre el segmento y el arco de Γ delimitado por él se mantiene constante al mover el segmento a lo largo de Γ.
El problema de flotación de Ulam
Consideramos ahora dos problemas relacionados con el problema de las llamadas trayectorias ambiguas. En El libro escocés, cuyo nombre se debe al café en donde se reunía un grupo de matemáticos polacos en Lwow durante la década de los treintas del siglo pasado, hay un problema que trata de la flotación de los cuerpos, es el número 19 y se puede resumir así: ¿cuáles son los cuerpos homogéneos que flotan en equilibrio en todas las posiciones?
En dimensión tres no se conoce ningún ejemplo más que el caso trivial de una esfera con densidad relativa menor a 1 y el problema sigue abierto; en dimensión dos (un “tronco flotante”), el problema es el mismo que el de encontrar la trayectoria de la rueda delantera en un par de trayectorias ambiguas cerradas: el papel de la densidad relativa del tronco lo desempeña la longitud relativa del arco de la trayectoria delantera, sostenido por el segmento D1-D2 con longitud 2L (figura 8). Esta relación permite encontrar muchas soluciones no triviales al problema de flotación en dimensión dos. Sin embargo, hasta la fecha no se conocen todas estas curvas, a pesar de muchos años de investigación por matemáticos como Aurbach, Zindler, Wegner y nosotros mismos en colaboración con M. Levi y R. Perline.
Curvas elásticas
Estudiadas desde hace siglos por matemáticos como Euler y Bernoulli para modelar las formas que toman ciertas estructuras las vigas bajo estrés, de las curvas de longitud fija (con extremos fijos o curvas cerradas), las elásticas son curvas que minimizan la curvatura cuadrada total. Las soluciones a la ecuación diferencial asociada con este problema variacional se expresan en términos de las llamadas funciones elípticas, un tema clásico de análisis matemático.
Un problema variacional relacionado es el de las curvas elásticas presurizadas que, de las curvas con longitud y área fijas, son aquellas que minimizan la curvatura cuadrada total. Otra caracterización interesante de estas curvas, que ya Euler había notado, es que la curvatura de las curvas elásticas varía linealmente con la distancia a una recta fija en el plano; por lo que la curvatura de las curvas elásticas presurizadas varía cuadráticamente con la distancia a un punto fijo en el plano.
La relación con las trayectorias de bicicleta es la siguiente. Resulta que en casi todas las trayectorias ambiguas de bicicletas que conocemos (figura 9), la trayectoria de la rueda delantera es una curva elástica presurizada (las excepciones son las curvas delanteras que corresponden al problema de flotación de Ulam con densidad relativa ½, que al parecer forman una clase de curvas muy distintas).
La relación entre los dos temas es actualmente un área activa de investigación (el sitio en la red de donde tomamos el artículo de F. Wegner aborda la relación entre las curvas elásticas y las trayectorias ambiguas con ejemplos y animaciones interesantes).
La tractriz
Hay otras propiedades llamativas de las trayectorias de bicicletas, algunas clásicas, otras más recientes. El ejemplo más básico (no trivial) de trayectorias de bicicleta es cuando la trayectoria de la rueda delantera (Γ) es una línea recta (figura 10). Notemos que si la bicicleta no está inicialmente alineada con Γ y corremos la rueda delantera hacia la izquierda sobre la recta Γ, en algún momento la bicicleta se vuelve perpendicular a la Γ y se forma un “pico” en la línea γ. La trayectoria de la rueda trasera completa γ, la cual resulta infinita hacia la derecha y la izquierda; es una curva clásica llamada tractriz.
Ahora, ¿cuál es el área debajo de la tractriz? Sabemos la respuesta, (es πL2/2) pero una demostración sin cálculo se obtiene al dividir el área en triángulos infinitesimales y luego trasladarlos para volver a formar un semidisco de radio L.
Este mismo argumento se puede usar para demostrar una propiedad que comparten todas las trayectorias cerradas de bicicletas: el área que queda entre las dos trayectorias es πL2.
La tractriz es una curva con unas propiedades extraordinarias. Fue estudiada en los siglos XVII-XVIII, la “época de oro” del cálculo infinitesimal e integral, principalmente por Newton, Leibniz, Huygens y Euler. Veamos dos de sus propiedades: 1) la evoluta de la tractriz (la envolvente de sus rectas normales) es la catenaria, otra curva clásica famosa (figura 13); y 2) la superficie de revolución generada por la tractriz es la “pseudoesfera”, esto es, una superficie de curvatura constante negativa cuyo nombre se debe a que la esfera ordinaria tiene curvatura constante positiva (figura 14).
Monodromía, planímetros y una conjetura Si la rueda delantera atraviesa una trayectoria cerrada Γ, generalmente la bicicleta no regresa a su orientación inicial, por lo que la trayectoria trasera no se cierra. La relación entre la orientación inicial y final de la bicicleta se llama monodromía de Γ, y depende de la longitud de la bicicleta (L). Para cualquier Γ y L, la monodromía es una transformada de Möbius, de la cual existen dos tipos genéricos: las hiperbólicas y las elípticas. Las transformadas hiperbólicas son las que tienen dos puntos fijos; un punto fijo de la monodromía significa una trayectoria trasera cerrada como las que ocurren cuando la L es pequeña comparada con Γ (lo que suele suceder en una bicicleta verdadera). Las transformadas elípticas se parecen a rotaciones (sin puntos fijos) y ocurren cuando la bicicleta es suficientemente grande (como veremos más adelante).
Ésta es la base teórica del planímetro de hacha —un simple instrumento de medición de área de figuras inventado a finales del siglo XIX por Holger Prytz, oficial danés de caballería, y que consiste en una barra metálica con una punta en un extremo y una cuchilla paralela a la barra por el otro (figura 15); como el perfil de la cuchilla es usualmente curvo se le llama “planímetro de hacha”. Se utiliza guiando la punta a lo largo del perímetro Γ de la figura cuya área queremos medir, cuidando de no imponer ningún esfuerzo de torsión a la barra; como consecuencia, la cuchilla se desliza a lo largo de una curva γ, siempre tangente a la barra. Dado que el planímetro satisface la condición de no derrapar, al igual que en nuestro modelo de la bicicleta, la punta y la cuchilla desempeña el papel de la rueda delantera y la trasera, respectivamente.
Parece casi increíble que algo tan simple (hasta primitivo) como el planímetro de hacha sirva para medir áreas. Si la figura es pequeña comparada con la longitud L de la barra, la cuchilla sigue una curva γ en forma de zigzag, similar a la curva seguida por las ruedas de un coche al estacionarse en un espacio reducido (figura 16). Cuando la punta regresa a su posición inicial la barra del planímetro regresa a una orientación ligeramente distinta, formando un ángulo θ con su orientación original; el área de la figura está dada aproximadamente por la fórmula A = θL2. La falta de exactitud de este aparato lo convierte matemáticamente en algo más interesante que otros muy populares en aquella época, la mayoría basados en el teorema de Stokes del cálculo integral.
Como hemos mencionado arriba, para una bicicleta pequeña en comparación con la curva de la rueda delantera Γ, la monodromía es hiperbólica, lo cual significa que admite dos puntos fijos, uno de ellos un atractor, lo que resulta en una trayectoria trasera cerrada “atractora”. Según la conjetura de Menzin formulada en 1906 (la cual permaneció abierta más de cien años, hasta que fue demostrada finalmente en 2009), esto ocurre cuando A > πL2.
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Referencias Bibliográficas
Auerbach, H. 1938. “Sur un problème de M. Ulam concernant l’èquilibre des corps flottants”, en Studia Mathematica, vol.7, pp.121-42. Bor, Gil Mark Levi, R. Perline, Serge Tabachnikov. 2018. “Tire Tracks and Integrable Curve Evolution”, en International Mathematics Research Notices, núm.9, pp.1-71. Foote, Robert, Mark Levi, Serge Tabachnikov. 2013. “Tractrices, Bicycle Tire Tracks, Hatchet Planimeters, and a 100-year-old”, en The American Mathematical Monthly, vol.120, núm.3, pp.199-216. Konhauser, Joseph D.E, Dan Velleman, Stan Wagon. 1996. Which way did the bicycle go? ... and other intriguing mathematical mysteries, Dolciani Mathematical Expositions Series of the Mathematical Association of America, núm.18, pp. 253. |
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| Gil Bor Centro de Investigación en Matemáticas A. C., Guanajuato. Gil Bor se doctoró en 1991 en la Universidad de California en Berkeley, EUA. Desde 1994 es investigador en el Centro de Investigación en Matemáticas en Guanajuato. Su área principal de investigación es la geometría diferencial. Es el creador y promotor de varios programas de divulgación científica en México, entre ellos el Taller de Ciencia para Jóvenes. Sergei Tabachnikov Department of Mathematics, Penn State, University Park, Pennsylvania, Estados Unidos. Sergei Tabachnikov se doctoró en 1987 en la Universidad Estatal de Moscú (USSR). Se trasladó a los Estados Unidos en 1990, primero a la Universidad de Arkansas y actualmente en la Universidad Estatal de Pensilvania. Sus áreas principales de interés son los sistemas dinámicos y la geometría. Es coeditor en jefe de la revista Mathematical Intelligencer. |
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| Stephen Kcenichy y María Elvira Luna Escudero Alie |
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| Por el álgebra, palacio de precisos cristales. J.L Borges, “Otro poema de los dones” La línea está hecha de un número infinito de puntos; el plano de un número infinito de líneas; el volumen de un número infinito de números de planos; el hipervolumen de un número infinito de volúmenes. J.L Borges, El libro de arena A nuestro amigo Vitaliy S. Shvetsov |
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Los cursos de matemáticas tradicionalmente son, tanto
en el ámbito de la educación primaria y secundaria como en el de la educación superior, considerados difíciles y por ende tienen escasa popularidad entre los estudiantes. Es cierto también que en varios países asiáticos y europeos la educación escolar enfatiza el estudio de las matemáticas desde los primeros años de primaria, lo cual es, sin lugar a dudas, una excelente iniciativa que contribuye a que en años posteriores (educación secundaria y estudios superiores, por ejemplo), las matemáticas sean percibidas con menos aprensión y por ende su aprendizaje sea más efectivo. En Estados Unidos, el país más poderoso y rico del mundo, no es una excepción que las matemáticas no gocen de mucha simpatía entre el estudiantado; de hecho, su status de primera potencia global económica y militarmente no corresponde al nivel educativo del país: menos de 34% de los habitantes posee un título universitario de cuatro años.
Teniendo en cuenta este panorama luctuoso —visto desde nuestra perspectiva académica responsable—, en el Montgomery College, en el estado de Maryland, hemos creado un colectivo de aprendizaje para facilitar la comprensión de las matemáticas y hacer de su estudio una experiencia placentera y culturalmente enriquecedora para los estudiantes; una aventura pedagógica que los empuje a pensar críticamente. Con esto en mente, hemos tomado como base para nuestro colectivo de aprendizaje aquellos textos de Jorge Luis Borges (1899-1986) que poseen un relevante contenido matemático. En efecto, hemos encontrado varios conceptos matemáticos cruciales analizando su poesía, ensayos y cuentos, entre los que se destacan: la esfera de Pascal, el círculo de Euclides, la ecuación de Laplace, la paradoja de Russell, los números transfinitos y los conjuntos infinitos de Cantor, el infinito matemático, la línea, el plano y el volumen, entre otros más.
Nuestro objetivo consiste en utilizar los textos de Borges como puente para unir las matemáticas con las humanidades a fin de facilitar la aplicación de las matemáticas y hacer más interesante la didáctica del castellano como lengua extranjera. Los estudiantes que quieren participar de nuestro colectivo de aprendizaje se matriculan paralelamente en los dos cursos que conforman esta comunidad académica: uno de matemáticas y el otro de castellano como lengua extranjera. El curso de matemáticas comprende cálculo, estadística o álgebra, mientras que el de castellano puede ser de nivel básico, intermedio o avanzado. Como los alumnos son los mismos en ambos cursos, tendrán la oportunidad de estudiar y analizar por partida doble los textos de Borges con contenido matemático especialmente escogidos para nuestro colectivo.
Así, por ejemplo, el poema metafísico “Descartes”, publicado por Borges en 1981, nos sirve para efectuar una variedad de actividades en clase que realizamos en las dos asignaturas que conforman nuestro colectivo de aprendizaje.
Los estudiantes de nuestro colectivo de aprendizaje leen en la clase de castellano este poema en la lengua original y también en la traducción inglesa, dada la dificultad de la poesía conceptual del autor argentino. Luego reflexionan en grupos sobre la información presentada en clase con respecto del transfondo histórico y filosófico del poema, como: la relevancia e influencia de Elizabeth de Bohemia (1617-1680) en la vida y la obra del matemático y filósofo racionalista francés René Descartes (1596-1650), el “leitmotiv” del sueño en el poema, la importancia histórica de Cartago en la Tercera Guerra Púnica, la duda metafísica, el concepto y la percepción del tiempo, la incertidumbre sobre la existencia de dios, la referencia judeocristiana cuando la voz poética menciona el Gólgota y la trascendencia de la geometría, entre otras cosas.
Enseguida los estudiantes, nuevamente en grupos, analizan el poema respondiendo a las preguntas que, adecuadas al nivel de suficiencia lingüística del curso, son las siguientes: 1) ¿cuál es la voz poética en el poema?, ¿por qué crees que Borges escogió precisamente esta voz poética?, ¿cómo cambiaría el poema si la voz poética fuera la de Elizabeth de Bohemia?; 2) ¿qué significa la constante referencia al sueño en el poema?, ¿qué es el sueño para ti y con qué metáforas puedes asociarlo?; 3) explica el verso: “Acaso sueño haber soñado”, ¿cómo podrías parafrasear este verso?; 4) ¿cuál es el concepto del tiempo en el poema?, ¿estás de acuerdo?, ¿el tiempo existe?; y 5) ¿cómo explicarías, de acuerdo con lo expresado en el poema, el famoso enunciado de Descartes: Cogito, ergo sum (pienso, luego existo)?
En la clase de matemáticas, los mismos estudiantes aprenden el concepto de la parametrización de las curvas, coordenadas polares y funciones integrales, así como a parametrizar curvas en formas diferentes usando para esto las coordenadas polares; luego analizarán los versos del poema “Descartes” relativos a los colores y la geometría: “He soñado la geometría. He soñado el punto, la línea, el plano y el volumen. He soñado el amarillo, el azul y el rojo.”
Tomando en cuenta estos versos, los estudiantes construirán ecuaciones paramétricas asociando las referencias a los varios colores mentados en el poema, y luego vincularán tales ecuaciones a las dimensiones cambiantes para, finalmente, hacer una actividad en la que, nuevamente divididos en grupos, encontrarán las dimensiones para cada color asignado a cada grupo respectivo.
Borges es, sin duda alguna, el maestro de la precisión estilística, de la prosa elegante, inteligente y, por si fuera poco, conceptual: plena de referencias multiculturales tan sofisticadas como profundas. En sus magníficas obras nos invita a reflexionar de manera ontológica acerca de temas como el tiempo, la historia, el ajedrez, el infinito, el laberinto, el sueño, los espejos, la filosofía, y... las matemáticas. Su poesía metafísica nos abre un universo de posibilidades al incitarnos a dudar sobre la existencia de dios, a cuestionarnos sobre la mera existencia de las dimensiones espaciotemporales, al brindarnos la posibilidad incluso de tener la audacia de dudar de nuestra propia existencia. No obstante, la obra de Borges ofrece ciertas dificultades por su grado de sofisticación y sus referencias multiculturales tan vastas como intensas —somos conscientes de ello—, pero confiamos en que al sobrepasar en grupo estas dificultades, los estudiantes saldrán empoderados de la experiencia pedagógica y sabrán que el aforismo popular: “el cielo es el límite”, puede en efecto plasmarse en su realidad académica cotidiana.
Es importante destacar que hay investigaciones que prueban que el “desequilibrio cognitivo”, al que se refería Jean Piaget en su epistemología genética, explicada con base en el paradigma psicogenético, es muy efectivo para encaminar el aprendizaje. Este desequilibrio se crea, por ejemplo, cuando se incorpora una nueva información al educando o al efectuar actividades mentales que van del hemisferio derecho al izquierdo y viceversa. En nuestro colectivo de aprendizaje hay muchas oportunidades de crear situaciones de “desequilibrio cognitivo”, lo cual resulta muy útil para visualizar y contextualizar los conceptos matemáticos que suelen ser abstractos y, para algunos educandos, se antojan por ende casi inalcanzables. Por esta razón es que estamos convencidos de que nuestro colectivo de aprendizaje servirá para enriquecer la experiencia académica de los alumnos participantes en este intercambio al percibir las matemáticas de manera más cercana, flexible, cotidiana, y acaso poética.
Otro poema, esta vez épico, “Hengist quiere hombres (449 A.D.)”, nos ha servido para crear algunas actividades didácticas. Recopilado en el libro El oro de los tigres, de 1972, este poema narrativo nos presenta desde la omniscencia al histórico guerrero en su afán de juntar mercenarios para la gesta bélica que le llevó a trascender en la historia.
En la clase de castellano de nuestro colectivo de aprendizaje los estudiantes leen con antelación el poema y además se informan sobre el personaje histórico que le da nombre, de su hermano Horsa —quien no figura en el texto— sobre el contexto histórico del poema y las referencias multiculturales que éste subraya. Luego, en el salón de clase responderán en grupos a las siguientes preguntas: 1) el poema está escrito desde la omniscencia, ¿podrías escoger algunos versos y parafrasearlos desde el punto de vista del propio Hengist, del de su hermano Horsa o de ambos?; 2) ¿qué verbos encuentras en el poema empleados en el tiempo futuro imperfecto del modo indicativo?, ¿por qué crees que Borges utiliza tantos verbos en futuro en este poema?; 3) ¿cómo es Hengist de acuerdo con el poema?, ¿el Hengist de Borges difiere del personaje histórico?; 4) ¿cómo son los mercenarios que busca y encuentra Hengist?, descríbelos; 5) ¿qué imagen de la mujer y de los hijos presenta el poema?; 6) ¿qué relación habría entre Hengist, Nelson, Shakespeare, Withman, Adán y Eva, de acuerdo con el poema?; y 7) ¿por qué hay verbos en el presente del modo subjuntivo en el poema (canten, dominen, se alejen, trace)?
Asimismo, en el curso de matemáticas, el poema nos servirá para ilustrar el concepto de cardinalidad y la teoría de conjuntos de Cantor; los educandos reflexionan en grupos acerca de las siguientes preguntas y luego llevan a cabo la siguiente actividad: 1) ¿puedes señalar qué versos del poema “Hengist quiere hombres” aluden a la noción matemática de conjunto que no es enumerable?; 2) ¿por qué crees que la palabra “Mal” está con mayúsculas en el siguiente verso?: “de lobos, en cuyo centro indefinido está el Mal”, y explica tu respuesta usando el concepto de conjuntos; por ejemplo, ¿crees que “Mal” podría representar el conjunto no enumerable de todo el mal del mundo?; 3) ¿en qué versos del poema el autor alude al concepto de “contabilidad infinita”?; 4) en el verso siguiente: “Los labradores dejarán el arado y los pescadores las redes”, ¿sería el conjunto de peces un conjunto infinito enumerable, y por qué?; 5) consideremos que el conjunto de peces es un conjunto infinito enumerable; puesto que en cualquier red repleta de peces podríamos contar la cantidad de peces, ¿puedes comentar esta afirmación empleando el argumento de la diagonal de Cantor?; y 6) tomando en cuenta el concepto de cardinalidad y la teoría de conjuntos de Cantor, ¿qué otros títulos le podrías dar al poema?, por ejemplo, “Hengist quiere un conjunto infinito enumerable de hombres cuyo amor a la batalla sea un infinito no enumerable".
Otra actividad que se puede efectuar es, con base en los elementos que puedes encontrar en el poema, graficar conjuntos de elementos enumerables y conjuntos de elementos no enumerables, y explicar la relación entre los elementos de tales conjuntos que haya sido encontrada.
La prosa de Borges presenta igualmente gran interés por su erudición. A partir de la lectura del famoso cuento breve “Los dos reyes y los dos laberintos”, publicado en El Aleph en 1949, se pueden efectuar distintas actividades.
En la clase de castellano los estudiantes leen con antelación el cuento y se congregan en grupos para responder a las siguientes preguntas y luego realizar la actividad que después señalaremos: 1) ¿por qué crees que Borges narra este relato como si se tratara de una leyenda?; 2) ¿cómo era el rey babilonio?; 3) ¿cómo era el rey árabe?; 4) ¿cómo era el laberinto del rey babilonio?; 5) ¿en qué consistía el laberinto del rey árabe?; 6) ¿qué referencias al Islam hay en el cuento?; y 7) ¿de qué manera es representada la venganza en el cuento?, ¿estás de acuerdo con ella?
Enseguida se forman grupos de dos estudiantes y deben escribir dos veces el cuento, primero desde la perspectiva del rey babilonio y luego desde la del rey árabe.
Por otro lado, en la clase de matemáticas, los estudiantes efectúan la siguiente actividad, que se encuentra basada en nociones de probabilidades y estadística: supongamos que hay 1 000 personas, entre babilonios y árabes, que ingresan al laberinto del rey babilonio y tratan de salir airosos de los recovecos de bronce, algunos lo logran y otros nos. Los datos que de ello resultan se pueden presentar en una tabla y son los siguientes:
B = una persona de Babilonia, A = una persona de Arabia, K = la persona es el rey, F = la persona terminó el laberinto de manera exitosa, F’ = la persona no terminó el laberinto con éxito. B A K Total F 137 174 238 549 F’ 119 143 189 451 Total 256 317 427 1000 A partir de la definición de frecuencia se debe encontrar la probabilidad de cada uno de estos eventos: 1) salió del laberinto con éxito; 2) la persona es árabe; 3) la persona no es un rey; 4) la persona es un rey que no logra salir del laberinto con éxito; 5) la persona es de Babilonia y no pudo salir del laberinto; 6) la persona es un rey y sí terminó el laberinto; y 7) la persona terminó el laberinto o es árabe.
Enseguida se debe dibujar un diagrama de árbol para representar esta situación.
Finalmente, responder a las siguientes preguntas: 1) ¿son los eventos B y F exclusivos, por qué sí o por qué no?; y 2) ¿son los eventos A y F’ independientes, por qué sí o por qué no?
Conclusiones
A manera de conclusión nos aventuramos a afirmar que la obra de Borges, especialmente los textos escogidos que contienen evidentes nociones matemáticas, son muy útiles para convertir el estudio de las matemáticas y la introducción a la literatura de Borges en experiencias académicas inolvidables y tremendamente enriquecedoras culturalmente. Consideramos asimismo que los colectivos de aprendizaje son espacios académicos eficientes para desarrollar e implementar las mejores prácticas educativas, para ayudar a los alumnos a estudiar colaborativamente y a vincular diferentes asignaturas y, definitivamente, también contribuyen a pensar críticamente.
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Referencias Bibliográficas
Alazraki, Jaime. 1974. La prosa narrativa de Jorge Luis Borges: Temas – Estilo. Gredos, Madrid. Almeida, Iván. 1999. “Borges, o los laberintos de la inmanencia”, en Rafael Olea Franco y Roberto González, Borges: Desesperaciones aparentes y consuelos secretos. El Colegio de México, México, pp. 3559. Borges, Jorge Luis. 1947. Ficciones. Emecé, Buenos Aires, 1996. ______. 1949. El Aleph. Emecé, Buenos Aires, 1996. ______. 1972. El oro de los tigres. Emecé, Buenos Aires. ______. 1975. El libro de arena. Emecé, Buenos Aires. Kcenich, Stephen, María Elvira Luna Escudero Alie. 2019. “The Symmetry of Spanish Poetry”, en Language Magazine, octubre, vol. 19, núm.2, Malibu, California, pp. 4548. ______. 2014. “La visión de la geometría, el espacio y el tiempo en el poema metafísico ‘Descartes’ de Jorge Luis Borges: Una perspectiva interdisciplinaria”, en Revista Crítica cl., Santiago de Chile, (en cutt.ly/af0IM2g). ______. 2015. “El infinito en el poema ‘Hengist quiere hombres’, de J.L.Borges: Una perspectiva interdisciplinaria”, en Revista Crítica.cl., Santiago de Chile, (en cutt.ly/df0InqJ). ______. 2016. “El infinito en aplicaciones de probabilidades y estadísticas vinculadas a ‘Los dos reyes y los dos laberintos’ de J.L. Borges” en Sincronía, Universidad de Guadalajara, año. XX, núm. 69, enerojunio, (en cutt.ly/mf0ITye). |
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| Stephen Kcenich Departamento de Matemáticas y Estadística y Ciencia de Datos, Montgomery College, Takoma-Park/Silver Spring Campus, Maryland. MS. Docente estadounidense. Bachelor of Science y Master of Science de Pennsylvania State University. Es profesor principal de matemáticas y estadística en Montgomery College, Takoma-Park, Silver Spring Campus, Maryland. También trabajó como profesor adjunto en American University, en Washington DC, en la Universidad de Maryland, College Park, enseñando matemáticas, y en la Universidad de Towson, en Maryland, enseñando matemáticas y economía. Ha escrito varios artículos académicos sobre matemáticas en diferentes revistas especializadas. Actualmente está escribiendo un libro con su colega María-Elvira Luna-Escudero-Alie sobre el contenido matemático en algunos textos de Jorge Luis Borges. María Elvira Luna Escudero Alie Departamento de Humanidades, Montgomery College, Takoma-Park/Silver Spring Campus, Maryland. PhD. Investigadora peruana (Lima). Reside en Virginia (ee.uu). Tiene licenciaturas en filosofía, literatura, y lingüística de la Pontificia Universidad Católica del Perú, y un doctorado de literatura y cultura ibero-americana, con una segunda especialidad de la Universidad de Georgetown, en Washington, dc. Su tesis doctoral se titula Estructura temporal en el teatro de Mario Vargas Llosa. Ha publicado ensayos de ingüística aplicada, filosofía, literatura y cultura ibero-americana en revistas especializadas. Enseña cursos de francés y castellano en Montgomery College, en Takoma Park-Silver Spring Campus, Maryland. En 2002 recibió un premio de excelencia pedagógica de la Universidad de Harvard, Massachusetts. |
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