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| José Luis Álvarez García | |||||||||||||||||||||
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En una mansión de la campiña inglesa, propiedad de una
hermosa y rica viuda, se ha cometido un robo: un valioso reloj de oro, que pertenecía a la familia hacía ya varias generaciones, fue sustraído de la caja de seguridad. El Dr. Watson, después de realizar arduas investigaciones —aplicando las técnicas aprendidas durante sus andanzas con su famoso socio y de las cuales no nos quiso revelar nada—, llegó a la conclusión de que John, el mayordomo, y Elizabeth, el ama de llaves, eran las únicas personas que pudieron haber cometido el hurto. Además de eso, con respecto al día en que se llevó a cabo el delito, pudo establecer lo siguiente:
1. Si John sirvió el desayuno a las 8:00 horas, entonces estuvo en el pueblo toda la tarde.
2. Si Elizabeth lavó la ropa el día anterior, entonces permaneció todo el día en la casa.
3. Si John sirvió el desayuno a las 8:00 horas, entonces él fue el autor del robo.
4. Si Elizabeth no lavó la ropa el día anterior, entonces ella fue la autora del robo.
Después de investigar durante un par de días, Watson estaba completamente seguro de los siguientes hechos:
I. John estuvo en el pueblo toda la tarde.
II. Elizabeth se ausentó varias horas de la casa.
Con tal información, el Dr. Watson pudo determinar quién era el culpable, por lo cual fue posible aprehenderlo y obligarlo a devolver el reloj.
Este breve relato resultará un sencillo ejercicio de lógica proposicional para los lectores que estén familiarizados con el tema; sin embargo, hay quienes consideran estos temas, y a las matemáticas en general, como algo demasiado abstruso o incomprensible, con el consiguiente desagrado hacia esta ciencia.
Este rechazo hacia las matemáticas radica en buena parte en la incomprensión del lenguaje y los métodos que en ella se utilizan. En este trabajo consideraremos algunos aspectos de la precisión en el lenguaje matemático que, si bien es cierto que resulta sumamente restringido, evita problemas de ambigüedad en sus expresiones. Además, la precisión es fundamental en la elaboración de las teorías matemáticas.
En tal sentido, las matemáticas utilizan unos elementos de construcción que se denominan “proposiciones”. Éstas tienen una propiedad muy útil, que es la de satisfacer una, y solamente una, de las siguientes condiciones: son verdaderas o son falsas. A partir de relaciones entre proposiciones simples, podemos construir nuevas proposiciones que, como tales, cumplen también con la propiedad de ser verdaderas o falsas. Dos relaciones muy importantes entre las proposiciones son la de implicación y la de equivalencia, ya que los axiomas y teoremas de las matemáticas tienen dichas estructuras.
La relación de implicación entre dos proposiciones
Si tenemos dos proposiciones involucradas, p y q, y consideramos sus valores de verdad, hay 4 casos posibles: p verdadera y q verdadera; p verdadera y q falsa; p falsa y q falsa; p falsa y q verdadera.
La proposición “p implica q” es verdadera si es imposible que se dé el caso p verdadera y q falsa. (Es importante el orden, ya que es diferente “p implica q” a “q implica p”). Esto es, si “p implica q” es verdadera, solo se pueden dar, a lo más, los otros tres casos. Pongamos un ejemplo sencillo.
Sean las proposiciones p y q definidas como sigue:
p: “Juan nació en la República Mexicana”.
q: “Juan nació en la ciudad de México”.
Veamos cuáles casos pueden ocurrir.
Si Juan nació en la ciudad de México, p es verdadera y q también. Si Juan no nació en la República Mexicana, p es falsa y q también. Pero si Juan nació, por ejemplo, en Veracruz, p es verdadera y q es falsa.
Este último caso (p verdadera, q falsa) es el que determina que la proposición “p implica q” es falsa. En este ejemplo vemos que los casos posibles son: p verdadera y q verdadera; p verdadera y q falsa; p falsa y q falsa. Nótese que si Juan no nació en la República Mexicana es imposible que q sea verdadera (no se da el caso: p falsa, q verdadera).
Ya dijimos anteriormente que el orden de las proposiciones p y q es importante. La proposición “p implica q” en este caso es falsa, ¿cómo es la proposición “q implica p”?
Según la definición de la relación de implicación esta es verdadera si es imposible que la proposición de la izquierda (también llamada hipótesis) sea verdadera y la proposición de la derecha (también llamada tesis) sea falsa. En este ejemplo que estamos analizando, ya vimos que es imposible que p sea falsa y q verdadera. Por lo tanto, si nos referimos a la proposición “q implica p”, es imposible que la hipótesis sea verdadera y la tesis falsa. Esto es, la proposición “q implica p” es verdadera.
Resumiendo el ejemplo que nos ocupa, tenernos que “p implica q” es falsa, pero “q implica p” es verdadera. En otras palabras: si Juan nació en la República Mexicana, eso no implica que nació en la ciudad de México; pero si Juan nació en la ciudad de México, eso sí implica que nació en la República Mexicana.
Veamos ahora, para finalizar con la implicación entre proposiciones, algo sobre la nomenclatura en torno a ella.
Para referirse a la implicación entre dos proposiciones se utiliza el símbolo “⇒”. De esta manera, “p⇒ q” se lee: “p implica q”. Es importante señalar que en los textos se hace referencia a la implicación de muy diversas maneras, algunas de las cuales son las siguientes:
— “p implica q”.
— “q es implicada por p”. — “Si p, entonces q”. — “p es condición suficiente para que se cumpla q”. — “q es condición necesaria para que se cumpla p”. En el ejemplo mostrado vimos que la implicación entre p y q solamente era verdadera en un sentido, veamos ahora qué ocurre cuando la implicación es verdadera en ambos sentidos.
La relación de equivalencia entre dos proposiciones
Si la implicación “p⇒ q” es verdadera y también la implicación “q⇒ p”, se dice que p y q son equivalentes.
Supongamos que “p⇒ q” es verdadera, por lo tanto solo pueden ocurrir, a lo más, los siguientes casos: p verdadera y q verdadera; p falsa y q falsa; p falsa y q verdadera.
Ahora bien, si queremos que “q⇒ p” también sea verdadera, no debe ocurrir el último de estos tres casos (p falsa y q verdadera). Por lo tanto, para que la implicación se cumpla en ambos sentidos (“p⇒ q” y “q⇒ p”), los únicos casos posibles deben ser: p verdadera y q verdadera; p falsa y q falsa. En otras palabras, para que p y q sean equivalentes, deben tener siempre los mismos valores de verdad (las dos verdaderas o las dos falsas). En el ejemplo considerado en la sección anterior la proposición “p⇒ q” es falsa, pero la proposición “q⇒ p” es verdadera, o sea que p y q no son equivalentes. Esto es, decir “Juan nació en la República Mexicana” no es equivalente a decir “Juan nació en la ciudad de México”, y viceversa. Veamos ahora un ejemplo sencillo en el que las proposiciones p y q sí son equivalentes:
p: “Hoy es lunes”.
q: “Mañana es martes”. Si la proposición p es verdadera, es imposible que la proposición q sea falsa. Así también, si p es falsa, es imposible que q sea verdadera. Por lo tanto, los únicos casos que pueden ocurrir son: p verdadera y q verdadera; p falsa y q falsa. O sea, que se cumplen simultáneamente las proposiciones “p⇒ q” y “q ⇒ p” o, en otras palabras, p y q siempre tienen el mismo valor de verdad (ambas son verdaderas o ambas falsas). Tenemos, entonces, que p y q son equivalentes.
Si dos proposiciones, p y q, son equivalentes, se cumple la implicación en el sentido “⇒” y también en el sentido “⇐”. Por esta razón, la relación de equivalencia o de doble implicación entre dos proposiciones se denota con el símbolo “⇔”.
La proposición “p⇔ q”, que se lee: “p es equivalente a q”, es mencionada de diferentes maneras en los textos, algunas de las cuales se muestran a continuación:
— “p es equivalente a q”.
— “p si y solo si q”, — “p es una condición necesaria y suficiente para q”. — “q es una condición necesaria y suficiente para p”. — “p implica y es implicada por q”. — “p implica a q, y recíprocamente”. No es la intención de estas líneas desarrollar de manera precisa y exhaustiva el tema de la lógica proposicional, sino únicamente mencionar aspectos fundamentales del lenguaje de las matemáticas, e invitar al lector a que consulte alguno de los libros que señalamos al final para un estudio más amplio y sistemático de las relaciones entre proposiciones. Con este propósito, presentamos unos ejercicios un poco más elaborados mediante los cuales ejemplificamos tales relaciones, y que nos ayudarán a entender cómo resolvió el Dr. Watson el caso del reloj robado.
Ejemplo I
Se tiene un conjunto de tarjetas con las siguientes características: en el anverso tiene una letra A o una B y en el reverso llevan diagonales o cuadros.
Alguien revisa todas las tarjetas y encuentra que:
Todas las que tienen una A en el anverso, tienen cuadros en el reverso.
(Nótese que esta proposición tiene la forma “si tiene una A en el anverso, entonces tiene cuadros en el reverso”, o en otras palabras, “una A en el anverso implica cuadros en el reverso”).
Con este hecho, ¿cómo son las siguientes proposiciones: verdaderas, falsas o falta información?
1. Si tiene cuadros en el reverso, entonces tiene una A en el anverso.
2. Si tiene una A en el anverso, entonces tiene diagonales en el reverso.
3. Si tiene una B en el anverso, entonces tiene cuadros en el reverso.
4. Si tiene una B en el anverso, entonces tiene diagonales en el reverso.
5. Si tiene diagonales en el reverso, entonces tiene una A en el anverso.
6. Si tiene diagonales en el reverso, entonces tiene una B en el anverso.
7. Si tiene cuadros en el reverso, entonces tiene una B en el anverso.
8. Si tiene una A en el anverso, entonces tiene cuadros en el reverso.
Se tienen tarjetas con una A o una B en el anverso y cuadros o diagonales en el reverso. En general pueden existir 4 tipos de tarjetas: A en el anverso y cuadros al reverso; A en el anverso y diagonales al reverso; B en el anverso y cuadros al reverso; B en el anverso y diagonales al reverso.
De acuerdo con la información obtenida al revisar las tarjetas, sabemos que todas las que tienen una A en el anverso tienen cuadros al reverso. Esto significa que no puede haber tarjetas con A en el anverso y diagonales al reverso. También hay que darnos cuenta de que la información obtenida nos dice “una A en el anverso implica cuadros al reverso”, pero no nos da información sobre “cuadros al reverso implica una A en el anverso”. Esto es, “una A en el anverso” y “cuadros al reverso” no son equivalentes, pues pueden existir tarjetas con cuadros al reverso, pero con una B en el anverso. Por lo tanto, puede haber 3 tipos de tarjetas: A en el anverso y cuadros al reverso; B en el anverso y cuadros al reverso; B en el anverso y diagonales al reverso.
Con estas consideraciones, veamos ahora cómo son las proposiciones 1-8.
Respecto a la proposición 1, falta información, ya que sabemos que todas las que tienen A en un lado tienen cuadros en el reverso, pero puede suceder que haya tarjetas con cuadros detrás y una B al frente. La proposición 2 es falsa, ya que todas las que tienen A en el anverso, tienen cuadros en el reverso. En la proposición 3 falta información, ya que esta combinación es posible, pero también existen tarjetas con una B en el anverso y diagonales detrás. En la 4 también falta información, por la misma razón que en la 3. La proposición 5 es falsa, ya que sabemos que todas las que tienen una A en el anverso llevan cuadros en el reverso. La 6 es verdadera, ya que si tiene diagonales en el reverso, sabernos que no puede tener una A en el anverso. Para la 7 falta información, ya que existe esa posibilidad, pero además sabemos que todas las que tienen A en el anverso, también tienen cuadros detrás. La 8 es verdadera, pues fue verificada directamente.
Ejemplo II
Ahora tenemos tarjetas que en el anverso tienen un 1 o un 2, y en el reverso son negras o blancas.
Una persona revisa todas las tarjetas y encuentra que:
i. Todas las tarjetas que tienen un 1 en el anverso, son negras al reverso.
ii. Todas las tarjetas que son blancas al reverso, llenen un 2 en el anverso.
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas y en qué casos falta información?
1. Si tiene un 1 en el anverso, entonces es blanca al reverso.
2. Si tiene un 1 en el anverso, entonces es negra al reverso.
3. Si es negra al reverso, entonces tiene un 1 en el anverso.
4. Si tiene un 2 en el anverso, entonces es negra al reverso.
5. Si tiene un 2 en el anverso, entonces es blanca al reverso.
6. Si es blanca al reverso, entonces tiene un 2 en el anverso.
7. Si es negra al reverso, entonces tiene un 2 en el anverso.
8. Si es blanca al reverso, entonces tiene un 1 en el anverso.
En este ejemplo, las tarjetas pueden tener en el anverso un 1 o un 2, y en el reverso son negras o blancas. En general pueden darse las siguientes posibilidades: un 1 en el anverso y negra al reverso; un 1 en el anverso y blanca al reverso; un 2 en el anverso y negra al reverso; un 2 en el anverso y blanca al reverso.
Según la proposición i, al revisar las tarjetas se encuentra que todas las tarjetas que tienen un 1 en el anverso, son negras al reverso. Esto elimina la posibilidad de que haya tarjetas con un 1 en el anverso y blancas al reverso, pero pueden aparecer las otras tres posibilidades.
También al verificar las tarjetas, según la proposición ii, se encuentra que todas las tarjetas que son blancas al reverso, tienen un 2 en el anverso. Esto elimina la posibilidad de que haya tarjetas blancas al reverso con un 1 en el anverso, pero persisten las otras 3 posibilidades.
Vemos, entonces, que las proposiciones i y ii nos dan exactamente la misma información: que no puede haber tarjetas con un 1 en el anverso y blancas al reverso. Estas dos proposiciones son equivalentes entre sí y hubiera bastado con la información proporcionada por cualquiera de ellas. Las tarjetas posibles en este ejemplo son: un 1 en el anverso y negras al reverso; un 2 en el anverso y negras al reverso; un 2 en el anverso y blancas al reverso.
Nuevamente, con estas consideraciones, veamos cómo son las proposiciones 1-8 del ejemplo II.
La proposición 1 es falsa, ya que sabemos que todas las que tienen un 1 en el anverso, son negras al reverso. La número 2 es verdadera ya que fue verificada directamente. En la proposición 3 falta información, ya que también puede suceder que haya tarjetas negras con un 2 en el anverso. En la proposición 4 también falta información, porque pueden existir tarjetas con un 2 en el anverso y ser negras o blancas al reverso. En la proposición 5 falta información por la misma razón que en la proposición 4. La proposición 6 es verdadera, pues fue verificada directamente. En la proposición 7 falta información, ya que puede haber tarjetas negras al reverso y con un 1 o un 2 en el anverso. La proposición 8 es falsa, ya que sabemos que todas las que son blancas al reverso tienen un 2 en el anverso.
Ejemplo III
Se tiene ahora un conjunto de tarjetas que en el anverso tienen un círculo o un triángulo, y en el reverso son rojas o verdes.
Se revisan las tarjetas y se encuentra que:
a. Todas las que tienen un círculo en el anverso, son rojas al reverso.
b. Todas las que tienen un triángulo en el anverso, son verdes al reverso.
Nuevamente, cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, cuáles son falsas y en dónde falta información.
1. Si es verde al reverso, entonces tiene un triángulo en el anverso.
2. Si es roja al reverso, entonces tiene un triángulo en el anverso.
3. Si es verde al reverso, entonces tiene un círculo en el anverso.
4. Si tiene un triángulo en el anverso, entonces es roja al reverso.
5. Si es roja al reverso, entonces tiene un círculo en el anverso.
6. Si tiene un triángulo en el anverso, entonces es verde al reverso.
7. Si tiene un círculo en el anverso, entonces es roja al reverso.
8. Si tiene un círculo en el anverso, entonces es verde en el reverso.
En general, las combinaciones posibles son: círculo en el anverso y roja al reverso; triángulo en el anverso y roja al reverso; círculo en el anverso y verde al reverso; triángulo en el anverso y verde al reverso.
Al revisarlas se encuentra que todas las que tienen un círculo en el anverso, son rojas al reverso. Esto elimina la posibilidad de que haya tarjetas con un círculo en el anverso y verdes al reverso.
También, al revisarlas encontramos que todas las que tienen un triángulo en el anverso, son verdes al reverso. Esto, a su vez, elimina la posibilidad de hallar tarjetas con un triángulo en el anverso y rojas al reverso.
A diferencia del ejemplo II, aquí la información dada por a y b no es equivalente, sino que más bien se complementa para determinar que los únicos casos son: círculo en el anverso, rojas al reverso; triángulo en el anverso, verdes al reverso (ver figura inferior).
De aquí podemos concluir que la proposición “tiene un círculo en el anverso” es equivalente a “es roja al reverso” y la proposición “tiene un triángulo en el anverso” es equivalente a “es verde al reverso”. O, en otras palabras, “tiene un círculo en el anverso si, y sólo si, es roja al reverso” y “tiene un triángulo en el anverso si, y sólo si, es verde al reverso”.
Como un sencillo ejercicio para el lector le pedirnos que determine los valores de verdad de las proposiciones 1-8 de este último ejemplo. Observará, además, que en ningún caso falta información, pues las proposiciones a y b nos dan toda la necesaria.
A continuación, veamos cómo resolvió el caso el Dr. Watson.
Antes que nada, notemos que las proposiciones 1-4 de nuestra historia son relaciones de implicación no de equivalencia. Así, entonces, la proposición 1 nos dice que si John sirvió el desayuno a las 8:00 horas, entonces estuvo en el pueblo toda la tarde. Sabemos a ciencia cierta que John estuvo en el pueblo toda la tarde (proposición 1), pero como no son relaciones de equivalencia no podemos asegurar, a partir de esto último, que John sirvió el desayuno a las 8:00 horas. Y por la proposición 3 no podemos asegurar que él haya sido el autor del robo.
Luego sabemos, a ciencia cierta, que Elizabeth se ausentó varias horas de la casa (proposición II); entonces ella no permaneció todo el día en la casa y, por la proposición 2, podemos afirmar que Elizabeth no lavó la ropa el día anterior. Ahora, utilizando la proposición 4, podemos concluir que ella fue la autora del robo.
Como nuestro propósito es que el lector entienda perfectamente cómo resolvió el caso el Dr. Watson y que este artículo cumpla su objetivo que es el de ayudar un poco a entender cómo operan algunos de los métodos de las matemáticas, repasaremos el proceso con más detalle.
Las proposiciones 1-4 de nuestra historia son relaciones de implicación verdaderas; por lo tanto, para cada una de ellas puede ocurrir alguna o algunas de las tres posibilidades válidas para la implicación (verdadera-verdadera, falsa-falsa, falsa-verdadera).
Sabemos a ciencia cierta que John estuvo en el pueblo toda la tarde (proposición 1); esto es, la tesis de la proposición 1 es verdadera. Recordando los tres casos posibles para la implicación, la hipótesis de 1 (“John sirvió el desayuno a las 8:00 horas”), puede ser verdadera o falsa. Por lo mismo, la tesis de la proposición 3 (“él fue el autor del robo”), puede ser verdadera o falsa, y así no podemos saber si él cometió el delito.
Por otro lado, también sabemos, sin lugar a dudas, por la proposición II que Elizabeth se ausentó varias horas de la casa. Por lo tanto, la tesis de la proposición 2 es falsa. Escogiendo de los tres casos posibles para la implicación, donde la tesis sea falsa, solo hay un caso y es aquel en el que la hipótesis también es falsa (el caso falsa-falsa); por lo tanto, la hipótesis de la proposición 2 (“Elizabeth lavó la ropa el día anterior”) es falsa, siendo verdadera la proposición “Elizabeth no lavó la ropa el día anterior”. Ahora, tomando la proposición 4, vemos que el único caso en que la hipótesis es verdadera, es el caso verdadera-verdadera, esto es, la proposición “ella fue la autora del robo” es verdadera.
Es así, entonces, como el Dr. Watson halló al culpable. Por cierto, una vez recuperado el reloj, la bella viuda le manifestó a Watson que no sabía cómo darle las gracias y lo invitó a pasar el fin de semana con ella en su casa de campo. Por su parte, el Dr. Watson aceptó, y una vez allí pudo mostrarle a la hermosa mujer varias maneras mediante las cuales ella pudo hacer patente su agradecimiento…
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Referencias Bibliográficas
1. Ferrater Mora, J. y H. Lehlank, Lógica matemática, Fondo de Cultura Económica, México.
2. Fregoso, A., Los elementos del lenguaje de la matemática, CEMPAE, México, 1974. 3. Zubieta Russi, G., Manual de lógica para estudiantes de matemáticas, Edit. Trillas, México. |
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José Luis Álvarez García
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Álvarez García, José Luis. 1994. ¿Quién robó el reloj? Algo de lógica matemática. Ciencias, núm. 33, enero-marzo, pp. 11-16. [En línea].
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| Lorenzo Ochoa | ||||||||||
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Llama la atención el que los pueblos prehispánicos, sin haber
desarrollado una avanzada tecnología, en la moderna acepción del término, alcanzaran grandes logros en diversos órdenes del conocimiento, artes y ciencias, como las matemáticas, la medicina, la astronomía, la ingeniería hidráulica, el urbanismo, la intensificación agrícola, la metalurgia, la pintura, la escultura y la arquitectura, entre otras. Aquí, tan solo me ocuparé de analizar y discutir algunos juicios en torno al conocimiento y uso de la rueda y de la vela, cuya aplicación en el transporte habría sido relevante y, en el caso de la primera, su concurso hubiera sido primordial para el desarrollo de otras actividades.
A pesar de no usar la rueda, los antiguos mexicanos atravesaban su territorio en todas las direcciones; de la costa y las selvas a los altiplanos y de las feroces selvas del trópico húmedo a los desiertos norteños.
En cuanto a la navegación, en el sur de la Huaxteca, hasta hace unas cuantas decenas de años, en lugar de vela no pocas veces se usó una rama de mangle. Este detalle, en apariencia insignificante, es, paradójicamente, de gran relevancia, pues “la rama de mangle no sustituyó el uso de la vela, más bien la vela sustituyó a la rama de mangle, porque éstas se empezaron a fabricar con bolsas de manta de harina Minsa allá por los años cincuenta. Antes nadie las usaba”, me platicaba L. Pérez.
La anécdota no necesita mayores comentarios y sí, en cambio, junto con la particularidad del uso de la rueda en ciertas miniaturas, me permite hacer los siguientes planteamientos: la rueda se conoció en el México antiguo pero no se aplicó para el transporte. A pesar de ello, se trazó y desarrolló una amplia red de caminos que cruzaba el territorio de norte a sur y de oriente a poniente. Más aún, como apoyo construyeron verdaderas calzadas y puentes allí donde eran necesarios, con el fin de salvar todo tipo de obstáculos.
Los antiguos habitantes de México, a pesar de haber desconocido la vela, desarrollaron una actividad de cabotaje de tal magnitud, que llegó a cubrir varios miles de kilómetros. Incluso, donde fue necesario y por ubicación estratégica, construyeron grandes puertos de comercio en el Caribe, el Golfo y tierra adentro. Esto pudieron hacerlo por la habilidad alcanzada en la fabricación de embarcaciones, algunas de las cuales eran tan grandes, que contaban con espacio para más de cuarenta hombres, dice Bernal Díaz del Castillo. Aquellas embarcaciones, hechas de un solo tronco y de poco calado, facilitaron la comunicación y el transporte a lo largo de costas, ríos y lagunas, como también los favoreció en las regiones lacustres del Valle de México y de Michoacán.
Caminos y calzadas
El desarrollo y dominio de esa red de caminos terrestres y acuáticos, así como la apertura de numerosos puertos, permitieron el comercio de una amplia variedad de objetos que eran llevados desde donde se producían hasta las más apartadas regiones. Casas Grandes, en Chihuahua, importaba plumas finas o las aves mismas de la costa del Golfo de México y de las zonas tropicales del sur, aunque también adquiría caracoles y conchas del Mar de Cortés. A Guasave, Sinaloa, llegaban cerámicas de la Mixteca, y a los valles centrales de Oaxaca arribaban mercaderes con cerámica de Tabasco. A Yucatán eran llevadas vasijas de alabastro hechas en la región de Puebla y objetos de oro de Centroamérica. De la Huaxteca transportaban pescado y camarones secos a Tenochtitlan, así como diversos tipos de mantas finas, famosas por su rica y variada decoración. Del suroeste de los Estados Unidos se exportaba turquesa a diferentes puntos de Mesoamérica, área a la cual, por rutas marítimas costaneras, también llegaba la metalurgia de Sudamérica vía Michoacán.
De ahí tal vez que, durante la Colonia, cuando serían afectados los intereses mercantiles de los pueblos, éstos se opusieron a cualquier cambio, como sucedió cuando se quiso hacer la congregación de los ahualulcos, que alegaron: “…de quitar los pueblos de Aguelulcos se resultarán muchos inconvenientes y pérdida de maravedís a su majestad, por ser el camino muy pasajero de mercaderes y de contratación...”.
Los caminos, de acuerdo con sus características, recibían distintos nombres. El genérico en náhuatl era uhtli: “Así se dice conjuntamente, de todo aquello que puede recorrerse, andarse,...” En tarasco se denominan Xangari; bey en cakchiquel y Acan bel le llamaban los huaxtecos. De hecho se les nombraba según su trazo o sus cualidades: veredas, atajo, camino sinuoso, camino nuevo y camino viejo, entre otros. Sin embargo, la vía principal, que era ancha, recibía el nombre de uchpantli entre los mexicas, que también nombraban así a las rutas que conducían al exterior. Al respecto, Castillo Farreras apunta que:
“Molina lo registra en su Vocabulario como ‘camino ancho y real’, Simeón, como ‘gran camino, ruta espaciosa, larga’ y en el Códice Florentino se advierte en español que se trata de ‘caminos anchos, hechos como calzadas’. Era, por lo visto, la principal vía de comunicación del mundo náhuatl. El texto alude tanto a los mejores tramos del uchpantli —sin duda los que unían a ciudades cercanas—, como a los que penetraban por lugares más abruptos”.
Pero independientemente de tales distinciones, en la época precolombina la preferencia por buscar las distancias más cortas fue, más que una regla, una norma que dependía del clima, el terreno y el peso que se transportaba. A estos atajos los mexicas los llamaban ixtlapaluhtli: “camino de través”. “Es propiamente un atajo [...] a través de lugares buenos o malos, pero siempre acortando distancia”.
Vale la pena hacer hincapié que por tierra, los largos caminos eran recorridos por gente especializada en el porteo de mercancías (tlameme en náhuatl, uycatzinon en tzeltal, quitay inic en huaxteco o ah cuch en maya-yucateco). Francisco Javier Clavijero menciona que los cargadores podían hacer viajes de cinco leguas por jornada y llegaban a cubrir distancias de hasta 80 o 100 leguas transportando maíz, algodón u otros productos en una caja tejida con caña y recubierta con cuero, llamada petlacalli. Pero si las condiciones climáticas y las del terreno eran malas, se avanzaba y transportaba menos.
Pero no solo traficaban mercancías. La red de caminos se aprovechaba para enviar mensajes por medio de relevos que se encontraban cada dos leguas. De esta manera los mensajeros recorrían distancias considerables, a una velocidad promedio de cuatro a cinco leguas por hora, en un solo día (acaso un poco más de veinticinco kilómetros en números redondos).
Y aun cuando no siempre puede hablarse de caminos hechos en toda forma, a los que se abrían por decisión de las comunidades o del Estado, las autoridades de los lugares por donde cruzaban les daba mantenimiento adecuado. En ciertos casos hasta contaban con posadas para el descanso de los viajeros, según cuenta Francisco J. Clavijero.
Calzadas y caminos construidos de manera excepcional los había en el área maya y en el Altiplano Central. En el área maya estaban pavimentados y se aplanaban con pesados cilindros de piedra para darles solidez. Se trata de los llamados sacbeoob (sacbé en singular).
Esos sacbeoob a veces conformaban redes bastante complejas, ocasionalmente atravesando terrenos pantanosos y lagunas. Así sucedió en El Tigre [ltzamka-nac] donde, para unir dos conjuntos de edificios separados por terrenos bajos, se construyó un sacbé de poco más de 250 metros entre el puerto y el río Candelaria. En este caso, el sacbé fue cortado por medio de canales para impedir el estancamiento del agua y servir al mismo tiempo para la entrada de canoas al puerto.
Aunque la mayor parte de las veces aquellos caminos sólo eran de carácter interno y enlazaban conjuntos de edificios y pueblos cercanos, ocasionalmente unían centros político-religiosos separados por decenas de kilómetros. En este sentido, a pesar de haberse buscado una explicación razonable a la construcción de dichos caminos, todavía quedan dudas acerca de su verdadera función. Para unos autores, el uso que parecen haber tenido esos caminos fue el de ser transitados por personajes de alto rango que, según ciertas representaciones, en algunos casos eran llevados en literas. Para otros, su utilidad respondía más a criterios de orden económico que religioso; incluso Navarrete, Con y Martínez asientan que “fueron primordialmente construidos con un fin menos suntuoso y más práctico…”
En el Altiplano Central fueron de gran importancia las calzadas que unían a Tláhuac con Tulyehualco y Mexicalcingo; pero, sin lugar a duda, las más famosas eran las que articulaban a México-Tenochtitlan con tierra firme. Por la del poniente se salía a Tlacopan; la del norte enlazaba con Tepeyac y para alcanzar Coyoacán e Iztapalapa, se tomaba la del sur.
La rueda
El conocimiento y uso de la rueda en Mesoamérica es inobjetable, pero como un aditamento para desplazar objetos miniatura que, desde el siglo pasado, erróneamente se les identificó como “juguetes”. Son pequeñas representaciones de animales que van montados sobre cuatro ruedas sostenidas por unos ejes. Este tipo de piezas, que aparecen entre los siglos V-VI y se conservan hasta los siglos XI-XIII, no son raras en la costa del Golfo, donde se han encontrado desde Pánuco hasta el sur de Veracruz entre los siglos V-XI. Asimismo, aunque un poco más tardías pero semejantes a éstas, son las encontradas en El Salvador. En el resto de Mesoamérica, si bien no son desconocidas, estas miniaturas resultan menos comunes.
Desde esta perspectiva, es obvio el conocimiento y uso de la rueda entre los pueblos mesoamericanos. La realidad, sin embargo, es que resulta difícil explicar es por qué su empleo no se extendió a funciones más prácticas. ¿Cuáles fueron las causas de tal restricción? Poco es lo que puedo decir. Entre las explicaciones que se ofrecen, está la de la ausencia de animales de tiro, aunque este supuesto carece de un verdadero fundamento. En efecto, no necesariamente se requiere esta clase de animales para hacer uso de la rueda, como tampoco se necesita hierro, indispensable según otros para la fabricación de ejes. En México existían, y existen, maderas tan fuertes como para sustituir tal elemento.
En fin, argumentos y contrargumentos, pero lo cierto es que a pesar de haber conocido y utilizado la rueda, se ignora por qué no desarrollaron su aplicación para solucionar problemas más prácticos. Acaso, como quedó anotado, los únicos en utilizarla para apoyar el trabajo físico pesado fueron los mayas. De acuerdo con las descripciones de Alfonso Villa Rojas y una fotografía que dan a conocer Carlos Navarrete, Mª. José Con y Alejandro Martínez, se aplicó en la construcción de caminos con la modalidad de rodillo-aplanadora. Asimismo, el uso de rodillos para transportar las rocas con que se tallaron las grandes esculturas parece innegable. ¿De qué otra forma hubieran podido movilizar rocas de varias toneladas de peso? A veces recorriendo distancias de más de cien kilómetros, como la que hay entre Los Tuxtlas, Veracruz y La Venta, Tabasco.
Puentes
Otro punto de bastante importancia es la construcción y uso de puentes para salvar obstáculos y aun para acortar distancias. En el diccionario náhuatl de Molina encontramos el término quappantli, o quauhpanauaztli, que significa “puente de madera”. Y aquí quiero destacar que en los diversos diccionarios antiguos de idiomas indígenas, aunque se registra con cierto detalle el asunto, llama la atención no encontrar referencia a los “puentes de hamaca”. Estos puentes tan prácticos y de uso tan extendido, todavía se utilizan en algunos lugares para cruzar ríos o salvar grandes barrancas. Hago referencia a ellos porque, según Francisco Javier Clavijero tal tipo de “puentes” se hacía con un tejido de bejucos y, para mayor seguridad de los usuarios, se les ponían pasamanos.
La vela
El uso de la vela en la navegación, así como la navegación marítima han sido asuntos bastante debatidos. Clinton R. Edwards, discute y cuestiona con fundamento, el dominio marítimo en el México prehispánico, como antes, con sólidos argumentos lo hiciera Henrich Berlin. Por su lado Eric J. S. Thompson y Carl O. Sauer, entre otros, defienden la posición contraria. Pero las noticias utilizadas para sostener tal punto de vista proceden de fuentes históricas tardías y, cuando tempranas, se antojan ambiguas y muy cuestionables.
En torno a ello citaré unos cuantos ejemplos. Bernal Díaz del Castillo, transcurridas varias decenas de años de sus primeras andanzas, entresaca de sus recuerdos que una mañana vieron venir, “a remo y vela”, cinco canoas grandes, hechas “de maderos gruesos y […] que hay muchas dellas en que caben en pie cuarenta y cincuenta indios”. Esto es interesante porque Hernando Colón, en la descripción que dejó de unas canoas avistadas en el Caribe, se ocupó de pormenorizar qué llevaban, cómo lucían, cuánto median, de qué estaban hechas y, más aún, quiénes y cómo las desplazaban. Detalles por demás impresionantes; pero, sin que parezca descuido, curiosamente olvidó apuntar si tenían o no velas:
“[Arribó a Guanja] una embarcación cargada de mercancía que decían venía de una cierta provincia llamada Maian (Maya), de Yucatán […] que tenía en el centro un cobertizo hecho con hojas de palma, no distinto de aquellos que tienen las góndolas de Venecia, que protejen cualquier cosa que estuviera debajo […] los niños, las mujeres y todo el equipaje y la mercancía…
Por otra parte, en la Primera Carta-Relación de Hernán Cortés se registra que Jerónimo de Aguilar arribó a su encuentro en una “canoa con vela” aunque Bernal Díaz, que también acota este pasaje, no menciona en ninguna parte que Aguilar viniera a “remo y vela”, sino que la canoa la traían a remo unos indios según observa Ma. Eugenia Romero.
En una noticia de 1586 dejada por fray Alonso Ponce en relación a un viaje que hiciera por el Pacífico hondureño, se lee que las canoas “ordinariamente las llevan a remo, aunque algunas veces les ponen velas de mantillas de algodón o de petates”. Para entonces, ésta, como otras innovaciones, habían sido introducidas en la navegación. Tan claro es el asunto que en los diccionarios podemos encontrar el registro del término o de asuntos relacionados con el arte de navegar valiéndose de velas. Pero se trata de recopilaciones tardías. Así, en el Calepino Maya de Motul; compilado hacia las últimas décadas del siglo XVI, se encuentran, entre otras, las entradas bub: “vela de navegar” y bubil: “navegar con velas” o “a vela”. El Diccionario grande de la lengua de Michoacán, igualmente de la segunda mitad del mismo XVI, entre otras, registra la expresión Tasta hatzicucata himbo paricupani: “yr a la vela navegando”, así como Tasta tariyata ondataqua: “vela de navío”. Varias entradas semejantes se encuentran en otros vocabularios. Pero, con todo, no debe olvidarse que Francisco Javier Clavijero acotó que en la cuenca de México “los barcos eran […] sin quilla ni velas”. Anotación que bien vale la pena sumarla al resto de los cuestionamientos.
Navegación costanera
Aun así, el aprovechamiento del sistema costanero fue de primer orden. A través de él se llegaban a cubrir distancias considerables. Los maya-chontales circunnavegaban la península de Yucatán y, cos¬teando, llegaban hasta Honduras, o tal vez más allá; por el norte alcanzaban de esa manera las costas de la Huaxteca. Eran tan hábiles que, probablemente, cubrían trechos tan grandes como el que hay entre Centro y Sudamérica con las costas occidentales de México. Los contactos marítimos costeros entre aque¬llas áreas parecen evidentes y se mantuvieron desde unos cuantos siglos antes de la era cristiana, hasta épocas cercanas al momento del contacto europeo.
Hacia la llanura costera de Campeche-Tabasco-Veracruz, la navegación interior fue de primera importancia y conectaba con los sistemas costaneros de lagunas y estuarios. En cuanto a lo intrincado que resultaba la ruta entre Yucatán y Tabasco por este medio, fray Diego de Landa apuntó “que los indios ponen señales en los árboles para acertar el camino para ir o venir navegando”. Más aún, para la comunicación interior, Hernán Cortés en su Quinta Carta-Relación, cuando se dirigía a Hibueras, al pasar por Tabasco anotó que los indígenas de esas partes no usaban caminos terrestres y se servían de mapas donde estaban señaladas las rutas acuáticas para desplazarse en sus canoas con remos, a través de ríos, arroyos y lagunas.
Los puertos
Consecuencia de aquella actividad náutica en el Caribe y el Golfo, fue el desarrollo de un notable sistema portuario desde los primeros siglos de nuestra era. Polé, Cozumel y Tulum, entre otros en la costa caribeña, según los estudios realizados por Anthony P. Andrews, Xicalango y Potonchán destacaron por su importancia y enclave cercano a la costa del Golfo de México. Hacia el interior, relevantes serían: Jonuta sobre el río Usumacinta; Itzamkanac, en el Candelaria y, por el norte, cerca de la desembocadura del Tuxpan, Amoyoc (Tabuco). Poco se puede decir en relación a la costa del Pacífico de Mesoamérica, salvo una temprana alusión a Zacatula, que pudo funcionar como puerto hacia la desembocadura del Balsas y fue relevante para la navegación entre Sudamérica y la costa occidental de Mesoamérica. Esta información se encuentra en una carta del Archivo General de Indias, que enviara el contador Rodrigo de Albornoz en diciembre de 1525:
“Hay nuevas de indios que dicen que en el camino (de la especiería) hay islas ricas de perlas y piedras, y siendo a la parte del Sur, ha de haber, según razón, oro en abundancia; y preguntando a los indios de aquella costa de Zacatula cómo saben que debe haber por allí islas, dicen que muchas veces oyeron a sus padres y abuelos que de cierto en cierto tiempo solían venir a aquella costa indios de ciertas islas hacia el Sur que señalan, y que venían en unas grandes piraguas y les traían allí cosas gentiles de rescate y llevaban ellos otras de la tierra, y que algunas veces, cuando la mar andaba brava, que suele haber grandes olas en aquella parte del Sur más que en otra parte ninguna, se quedaban los que venían acá cinco a seis meses, hasta que venía el buen tiempo, e sosegaba la mar e se tornaban a ir; y así se tiene por cierto hay islas cerca, y que hay razón de ser ricas…”
Como en este pasaje se menciona que viajaban en “grandes piraguas” y “traían allí cosas gentiles” y a cambio “llevaban ellos otras de la tierra”, Robert C. West, sugiere que pudo tratarse de dos grupos: los indios cueva de la cultura coclé, que habitaban la costa de Panamá, o los indios monteño de la costa de Ecuador. Con esto se agrega un poco más de información a las supuestas relaciones transpacíficas.
En este sentido, se ha puesto mayor atención en el estudio de la navegación en el litoral del Pacífico ecuatorial. Allá, por otra parte, el empleo de la vela en la navegación prehispánica no deja muchas dudas. Esto se puede apreciar tanto por la interpretación de algunos documentos escritos, como por las representaciones de balsas con velas. Por el contrario, en la plástica mesoamericana nunca aparecen embarcaciones con velas. Como ejemplos ahí están los huesos tallados de Tikal, los murales de Chichén Itzá o la batalla acuática representada en un disco de oro recuperado en el cenote de dicho lugar. De la misma manera, representaciones de barcas se encuentran en dos láminas del Códice Nuttall y las canoas en la Relación de Michoacán, por citar algunas fuentes tempranas.
Resumen y discusión
Lo descrito hasta aquí no lo considero un ejercicio gratuito. Uno de los objetivos de este trabajo ha sido el de intentar un mayor acercamiento a la tecnología prehispánica relacionada con el transporte y las comunicaciones, con el propósito de explicar cómo se llevaron a cabo. Los comentarios relativos al trans¬porte acuático, sin embargo, nos ayudan a entender cómo su dominio no solo facilitó que se cubrieran mayores distancias de manera más cómoda, sino que también aumentó el volumen y peso de las mercancías que podían transportarse en menor tiempo, a pesar de no haber aprovechado la fuerza del viento por medio de la vela.
Por el contrario, aunque no se desconoció la rueda, resulta imposible explicar por qué su empleo no se extendió a la solución de otras necesidades como el desarrollo del torno de alfarero o al transporte de grandes pesos. Aun así, los habitantes del México antiguo desarrollaron una infraestructura de caminos, puentes y puertos que permitió el dominio de una amplia red de comunicaciones y transportes, fundamental para el intercambio comercial y cultural. Incluso por medio de canoas se establecieron contactos a larga distancia.
En el Pacífico, sin poder todavía identificar quiénes lo hicieron, excepto por la sugerencia de Robert C. West, son evidentes las relaciones entre las costas occidentales mesoamericanas con Centro y Sudamérica. En este sentido, si algunas técnicas metalúrgicas pudieron pasar del Perú a Michoacán, fue gracias a los contactos marítimos costeros. En el Golfo, los chontales alcanzaban por el norte la Huaxteca y por el sur llegaban a Honduras.
Con base en los planteamientos presentados, sin negar los contactos entre Sudamérica y las costas occidentales de México, y que pudieron ocurrir contactos accidentales, pongo en tela de juicio la práctica del comercio a mar abierto. En el caso de los chontales, en modo alguno puede aceptarse que practicaran un comercio regular con grupos de algunas islas caribeñas.
Henrich Berlin, con serios argumentos y por la falta de elementos que corroborasen el contacto entre Yucatán y las islas antillanas —donde se desconocía el cacao, la cerámica y elementos de la religión, entre otros rasgos que hubieran podido pasar de Mesoamérica a las Antillas—, cuestionó, con justificada razón, la posibilidad de que los mayas hubieran llevado a cabo deliberados viajes largos con fines comerciales a mar abierto. Tecnología, en su concepción moderna, y habilidad humana, no necesariamente van de la mano. Sin embargo, el conocimiento de un oficio va ligado con la habilidad del saber hacer, que sustituye las limitaciones que impone el escaso desarrollo de la primera, como sucedió en el México antiguo.
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Referencias Bibliográficas
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Lorenzo Ochoa
Profesor de la Facultad de Filosofía y Letras e investigador
Instituto de Investigaciones Antropológicas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Ochoa, Lorenzo. 1994. La rueda y la vela en Mesoamérica. Ciencias, núm. 33, enero-marzo, pp. 4-10. [En línea].
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