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Un área cuadrada próxima a
 
Ruiz Hernández Conrado
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En la antigüedad los matemáticos pudieron calcular con exactitud las áreas de
las figuras geométricas planas limitadas por líneas rectas; pero tropezaron con
dificultades cuando se trataba del círculo. Para esto era indispensable conocer,
aunque fuera de manera imprecisa, el valor de p. En toda la historia a p se le
han asignado aproximaciones que ocupan un espectro de valores numéricos
desde 2.828 hasta 3.16. Por ser lo más conveniente y apegado a un criterio de
metrología, respondiendo a una necesidad pragmática, se utiliza por lo general la
aproximación 3.1416 (con redondeo a diezmilésimas).
fig1
figura 1
El método más directo para intentar el cálculo de p, que es el cociente proveniente
de la división entre la circunferencia o perímetro del círculo con su diámetro,
es hacerlo como a continuación se indica, todo esto resuelto con la mayor
meticulosidad y exactitud posibles. Se extiende una cuerda que sea igual a la
circunferencia y se compara con otra cuerda que tenga la longitud del diámetro,
de este modo se observará que la circunferencia es tres tantos y un trocito
de cuerda más larga que la longitud del diámetro (figura 1). Esa fracción, que
equivale aproximadamente a 1/7 de una de las tres partes enteras en que cabe el
diámetro en la extensión de la circunferencia, es lo que convierte a p en el número
irracional —adicionando a esto la peculiaridad de ser también trascendente (la
explicación de este concepto se da más adelante)— que más quebraderos de
cabeza ha ocasionado en toda la historia de las matemáticas. Se pueden aplicar
otros métodos, como por ejemplo inscribiendo polígonos regulares (con el mayor
número de lados que sea posible dibujar), dentro de un círculo o por medio de
cálculos teóricos (figura 2); todo esto con la pretensión de poder encontrar el valor
real de p. No obstante a pesar de estos intentos, esta constante geométrica será
siempre una aproximación inexacta, aunque muy cercana a su valor real.
fig2
figura 2
El cálculo moderno del número p proviene de un procedimiento infinitesimal
descubierto por el escocés James Gregory en 1671, mismo que se relaciona
con el límite de una serie infinita. De aquí que la versión más aceptada de
este número corresponda a la secuencia: 3.141592653589…;
guarismo que tiene un sinnúmero de decimales.
 
La ecuación que se aplica es:
 
 
 
p=4 (1–1/3+1/5–1/7+…).
 
 
 
Para este cálculo infinitesimal se requiere una serie de al menos mil fracciones,
nótese la alternancia de resta y suma. Ya entrado el siglo XIX se calcularon los
primeros quinientos decimales exactos de esta aproximación considerada
para p; aunque los mismos pueden continuarse hasta ocupar todo el universo,
haciendo falta todavía un mayor espacio (en la actualidad el cifrado de este
número, obtenido con ordenadores para cálculo masivo, rebasa los dos millones
de decimales). Esta peculiaridad no sólo es el inconveniente de los números
irracionales, los decimales periódicos (clasificados como racionales), poseen
también una fracción decimal infinita. En éstos hay un número o un grupo de ellos
que se repite un sinfín de veces (por ejemplo: 0.33333… o 0.142857142857…).
 
Cabe mencionar que en cualquiera de las aproximaciones de p utilizada, pudiendo
 
ser para cálculos astronómicos como en mediciones que ocurren en la pequeñez
de un átomo, a p siempre se le hace un ajuste: ya sea truncando casi la totalidad
del cifrado decimal o por redondeo (normalmente a diezmilésimas). No existe un
solo uso práctico de este número que se haga con el guarismo completo, ya que
el mismo, en su connotación irracional, es inconmensurable (esto significa que
no guarda una relación o proporción exacta con otra magnitud, por lo cual, es
inmedible) e imposible de escribirse completo. Esto ocasiona, que si bien el área
circular íntegra se contiene dentro de la circunferencia, el cálculo de la misma (p ×
radio2) siempre será un resultado aproximado; situación que es aceptada por los
usuarios de las matemáticas sin la menor preocupación.
 
 
 
A nivel de su enseñanza se privilegia la memorización de una de las
aproximaciones con que se maneja este número (3.14 o 3.1416). Por lo general,
los alumnos que concluyen la educación básica, desconocen el procedimiento o
algoritmo que da lugar a este número (este dato es referido al caso mexicano,
aunque puede ser interesante hacer la indagación sobre lo que sucede con
alumnos de otros países). Esto se debe principalmente a las complicaciones
didácticas que contiene, así como también a la exclusión que se da al tratamiento
de los números irracionales en el currículo elemental de las matemáticas.
La habilidad principal que se fomenta, en el caso de tener que hacer frente
a un número irracional, es saber que se le puede “racionalizar” truncándolo
o redondeándolo. Es lamentable el desaprovechamiento que se hace del
número p, al menos para dar una noción introductoria, sobre lo que son los
números irracionales (aquellos que tienen una fracción decimal interminable y
desordenada).
 
 
 
Cuadratura y “triangulatura” del círculo
 
 
 
Pitágoras, en el siglo vi a.C., imprimió una mayor audacia intelectual y exigencia
tecnológica al servicio que se esperaba de las matemáticas. El teorema que lleva
su nombre, mismo que de manera primitiva era aplicado desde antes por los
babilonios y los egipcios (en la construcción de buena parte de las pirámides
por ellos edificadas, la pendiente de las mismas se resuelve con la aplicación
rudimentaria de ese principio) es considerado como la piedra angular que propició
el desarrollo avanzado de la geometría y de los procedimientos de cálculo.
Posterior a Pitágoras otro filósofo griego, Hipócrates de Quíos, en el siglo v a.C.,
se destacó por estudiar con gran profundidad la geometría del círculo. Este autor
fue quien formuló el problema de encontrar la cuadratura del círculo. La cuestión
básicamente consiste en construir un círculo y un cuadrado que posean áreas del
mismo tamaño. Desde su planteamiento original se estableció la condición de que
la solución contemplara el empleo de regla y compás; quizás debido a que eran los
instrumentos más confiables de que disponían los matemáticos en la antigüedad.
Conforme la solución del problema se demoraba con el transcurrir de los siglos
(más de dos mil años), surgió un número importante de críticos que cuestionaban
 
la restricción que obligaba el empleo ineludible de la regla y el compás. Sin
embargo, de todas maneras no se ofrecía un método alternativo que resolviera en
definitiva el problema. Asimismo, la implicación de ideas metafísicas (la manera
en que se imaginaban algunos pensadores como son o deben ser los fenómenos)
en que efectivamente incurrieron algunos de estos filósofos, particularmente en
la admiración que le profesaban a la figura del círculo, daba pie a sospechar que
tal circunstancia podía pertenecer a un marco referencial arcaico o de plano no
científico.
 
 
 
Al igual que lo mencionado para el teorema que formalizó Pitágoras, los egipcios
hicieron con anterioridad un intento por hacer coincidentes el área de un círculo
con la de un cuadrado. Hace cerca de cuatro mil años que el escriba egipcio Ahmes
dejó asentado en el detalle número 36 de un papiro descubierto a mediados del
siglo XIX (es el documento matemático más antiguo existente; lo encontró en un
bazar de Egipto un comerciante inglés de apellido Rhind), que tal igualdad se
puede lograr cuando un cuadrado tenga lados que sean 8/9 del diámetro de un
círculo. Esto da lugar a la aproximación de p más excedida (dos centésimas de
más) de todas las existentes: 3+13/81 (es decir 3.16…); sin embargo, considerando
los recursos de cálculo y medición que tenían a su alcance los matemáticos
egipcios, el intento realizado representó un trabajo laborioso y de gran mérito.
Este desarrollo respondió probablemente a la resolución de una necesidad técnica
relacionada con el almacenamiento de granos y la cubicación de materiales de
relleno o soporte (como por ejemplo arena y grava) requeridos en edificaciones;
en particular para encontrar equivalencias entre volúmenes cúbicos, piramidales y
cilíndricos.
 
 
 
Se cuenta con evidencia suficiente que permite entrever que Arquímedes,
abordó de manera tangencial el problema de encontrarle la cuadratura al círculo.
Primeramente calculó las aproximaciones más exactas del número p que pudieron
tenerse en el mundo antiguo: 3+10/71 (es decir 3.1408…) y 3+1/7 (de igual
manera 3.142857…); ambas provenientes de los perímetros de dos polígonos
regulares, mismos que se construyen con la mayor semejanza posible a la longitud
de la circunferencia, el primero de ellos inscrito y el segundo circunscrito. La
primera de las aproximaciones mencionadas configura un valor numérico
irracional y la segunda un valor numérico racional infinito: 3.142857 (toda la
fracción decimal es un periodo, mismo que se repite un sinfín de veces). Cada una
de estas dos aproximaciones mencionadas representa los límites entre los que se
encuentra el valor verdadero de este número (3.14159265…).
 
 
 
Tiempo después este científico notable formalizó de manera axiomática, o si se
prefiere esquemática, la demostración de la “triangulatura” del círculo. Esto se
establece del modo siguiente: un triángulo rectángulo posee la misma área de un
círculo cuando el primero tiene como base una longitud igual al radio del segundo
y como altura toda la extensión de la circunferencia del mismo. Un ejemplo
sencillo se puede realizar de esta manera: diámetro=5 cm; radio=2.5 cm; y p =
3.14 (la aproximación de este número más utilizada para fines escolares). (Área
del círculo=3.14 × (2.5 cm)2=19.625 cm2. Área del triángulo rectángulo=(2.5
cm × 15.7 cm)/2 =19.625 cm2. El valor 15.7 cm es la longitud calculada para la
 
circunferencia (3.14 × 5 cm) que se toma como la altura del triángulo rectángulo.
Nótese la sencillez de esta solución, sobre todo cuando no se cuestiona la elección
de una aproximación al número p que convenga para la consecución del fin
pretendido, lo que comúnmente se acepta cuando se realizan cálculos semejantes.
Haciendo una conjetura, si es que Arquímedes efectivamente buscó la solución
de la cuadratura, con la demostración de la “triangulatura” del círculo dio por
terminada su pesquisa sobre esta cuestión (figura 3).
fig3
figura 3
Con estos trabajos realizados por Arquímedes, se ilustra que en el abordaje de
este problema ancestral las cuadraturas propuestas por lo general no siempre
son precisamente cuadradas; es decir que pueden ser triangulares o por medio
de polígonos regulares e irregulares con más de cuatro lados. Esta multiplicidad
de posibilidades es una consecuencia de la fusión de los problemas, en principio
diferentes, aunque relacionados, de la cuadratura del círculo (que antecede con
mucho al segundo) y la rectificación de la circunferencia.
 
 
p x radio2 pudo provenir de un cuadrado
 
 
Sin embargo, ¿cuál sería la razón verdadera que originó la búsqueda por igualar
las áreas de un círculo y un cuadrado, a pesar de las dificultades ya conocidas?
Encuentro que puede tener fundamento esta conjetura que me doy la libertad
de formular, misma que se expone más adelante. Tanto los babilonios como los
egipcios, remontándonos hace más de cuatro milenios, ya dominaban el cálculo
para la obtención del área del círculo aplicando la ecuación: p × radio2, (con el
vocabulario y signos que ellos entendían; la letra griega p se adoptó para hacer
referencia a este número al comienzo del siglo XVIII).
 
 
Considerando el manejo de una matemática demasiado elemental, ¿cómo supieron
que se requería para el cálculo del área circular el cociente que resulta de la
división entre la circunferencia o perímetro y el diámetro? Es de pensarse, como
se hace en la mayoría de las investigaciones, que se contó con al menos un modelo
eficiente que les permitió deducir la ecuación del área en el círculo. El punto de
partida debió ser el cuadrado. Este cuerpo geométrico, en lo que se refiere a sus
parámetros básicos (lado, perímetro y área), demanda la aplicación de operaciones
realmente sencillas y sin ninguna complicación matemática. Se plantea la conjetura
siguiente: “la ecuación que resuelve el cálculo para la obtención de un área circular
se dedujo y comprobó primero, teniendo como ejemplo a una ecuación para el
cálculo del área de un cuadrado que fuera en cierto modo análoga con respecto
a la del círculo”. Los matemáticos de la antigüedad seguramente estaban mejor
enterados de las etapas de todo este desarrollo (tanto por documentos escritos, en
la actualidad desconocidos, como por tradición oral).
 
 
Desde una perspectiva diferente —con todas las ventajas que proporciona el
mundo moderno— es posible proponer con cierta audacia intelectual que la
primera versión de la ecuación para calcular el área de un círculo se obtuvo de ésta
 
que también funciona para el caso del cuadrado: área = (perímetro/mediatriz)
× (mediatriz/2)2; siendo realmente la versión más barroca de una ecuación que
puede concebirse para calcular el área de este cuerpo geométrico (cuya fórmula
típica es sencillamente base × altura). La mediatriz, línea recta que divide al
cuadrado (a la mitad de sus lados) en dos partes iguales, desempeña el mismo
papel del diámetro. En esta ecuación sui generis, la razón perímetro/mediatriz
es análoga a la que representa en el círculo el número p (en el cuadrado es igual
a cuatro). El paso siguiente, sin requerirse demasiados recursos matemáticos
(tomando en cuenta las limitaciones de la época), fue el adecuar el ejemplo a las
características propias del círculo: área = (circunferencia/diámetro) × (diámetro/
2)2. Esto en buena medida puede explicar la búsqueda de la igualdad —como un
interés intelectual de algunos matemáticos— para ambas superficies. El desarrollo
esquemático de la figura 4 ilustra esta suerte de transposición, de cómo el ejemplo
probado tentativamente primero en el cuadrado pudo servir para deducir la
fórmula que resuelve el cálculo del área de un círculo, aunque debe aceptarse que
esta conjetura no podrá verificarse —quizás nunca— de manera consistente.
fig4
figura 4
El morbo ciclométrico
 
 
El problema de encontrarle la cuadratura al círculo se convirtió en un pasatiempo
elegante —aunque en ocasiones enfermizo— para matemáticos y filósofos durante
la Edad Media y el Renacimiento. En la jerga popular se asume que el intentarlo
es ocuparse en una tarea ociosa e inútil, ya que el sentido común indica que tal
logro es imposible, creencia que es compartida por gran parte de las culturas del
orbe. Tras varios miles de años de búsqueda infructuosa en el intento de resolver
la cuadratura exacta del círculo, aunado a la moda intelectual incubada al interior
de los claustros académicos durante la ilustración en Europa de discernir sobre
una abundante cantidad de cuadraturas disparatadas, se consideró conveniente
(dado lo ocioso del tema) prohibir la aceptación de trabajos y disertaciones sobre
dicho tópico, censura que se aplicó desde el final del siglo xviii en las principales
sociedades científicas europeas. Augustus De Morgan, en un anecdotario sobre
curiosidades matemáticas, describió en 1872 la enfermedad (que de acuerdo a su
parecer) padecen los buscadores de la cuadratura del círculo, a quienes considera
afectados del morbus cyclometricus.
 
 
Me tomé la libertad de indagar en el medio psiquiátrico sobre el reconocimiento
clínico del presumible desorden mental que puede ocasionar la búsqueda de la
cuadratura del círculo. Se trata de una mera broma para ridiculizar al que con
pleno conocimiento de causa o al ingenuo que se toma el atrevimiento de indagar
en lo prohibido, es decir, a quien cuestiona un paradigma establecido y que de
plano por convicción o por ignorancia no lo toma en cuenta.
 
 
Es cierto que toda indagación intelectual obsesivamente tratada (de cualquier
índole, no necesariamente sólo lo que concierne a las matemáticas) puede
provocar al implicado alteraciones mentales. Sobre este particular hay casos de
 
matemáticos sumamente célebres que mostraron —ocupados ellos en cuestiones
ajenas a la cuadratura— signos severos de desorden mental: como ejemplos se
tienen a Kurt Göedel y a John Nash (el personaje principal del filme Una mente
brillante; aunque en este último caso la esquizofrenia que padece el protagonista
tiene un origen psicosomático). Asimismo, Apóstolos Doxiadis en una novela
reciente, El tío Petros y la conjetura de Goldbach, relata las consecuencias que
trae consigo el manejo emocionalmente inapropiado de un objeto de estudio. Otro
ejemplo fílmico, en el terreno de la ciencia ficción, se tiene en el drama p, el orden
del caos, en donde el investigador (un joven doctor en matemáticas) con el fin de
curarse de la obsesión que lo acosa por descifrar el patrón oculto del número p, se
aplica él mismo una grotesca lobotomía con un taladro casero.
 
 
Finalmente Ferdinand Lindemann encontró en 1882 que p es un número
trascendente, lo que constituye la mayor calamidad que puede contener un
número irracional; esto ocasiona que su raíz cuadrada no pueda ser una solución
para ecuaciones como la siguiente: a2–2=0. En el ejemplo la solución es a=
(esto sí es posible dado que dicha raíz da como resultado un número irracional
algebraico, es decir, no trascendente). Con este hallazgo se terminó de tajo con la
ilusión de poder igualar de manera exacta las áreas de un círculo y un cuadrado.
La explicación es sumamente comprensible: no pudiendo la raíz cuadrada de los
números trascendentes ser la solución en ecuaciones con coeficientes enteros
positivos, un cuadrado con área igual a p no es posible que tenga lados que
sean iguales a su raíz cuadrada. No obstante la contundencia axiomática de
este teorema, dos matemáticos de primer nivel, Specht en 1836 y Ramanujan
en 1913, intentaron antes y después de la formulación de este teorema sendas
soluciones aproximadas muy bien elaboradas. El primero calculó un área para p
de 3.1415919… mientras el segundo obtuvo 3.14159292…; en ambos casos los
cuerpos geométricos proyectados son cuadrados.
 
 
Un cuadrado con área igual a p
fig5
figura 5
La aceptación del teorema de Lindemann obliga a que la intención de igualar un
área circular con una cuadrada se realice a priori en los términos de una mera
aproximación, pero, ¿qué tan cercana podrá ser ésta con el valor verdadero del
número p? Partiendo del análisis de una aproximación romboidal, inscrita en
el escenario del teorema I-1 de Euclides (figura 5), en donde se alcanzó un área
igual a 3.10… (resultado que guarda proximidad, utilizando la función tangente
del ángulo inferior izquierdo del rombo, con la serie infinita descubierta por
Euler, cuyo límite es p2/8), se pudo determinar que la bisectriz al cuadrado de un
triángulo equilátero —descrito en el teorema de Euclides mencionado— sí permite
proyectar un área cuadrada infinitesimalmente próxima con el valor verdadero del
número p (figura 6).
fig6
figura 6
El área señalada (b2) se puede calcular de manera expedita
con la aplicación del teorema de Pitágoras, considerando la base (a) y la altura (b)
respectivas, procediendo para su resolución la ecuación siguiente (en donde se
 
incluyen dos versiones reducidas de la misma):
 
 
b2=a2–(a/2)2=(a/2
 
 
Para una base (a) con valor racional finito las ecuaciones primera y tercera
producen un resultado racional, en cambio la segunda de ellas, que es
matemáticamente semejante a las anteriores, da lugar a un numeral irracional
(más parecido al guarismo p aceptado por la comunidad matemática).
 
Teniendo una base (a) de un triángulo equilátero igual a 2.046653415893
—longitud que con los recursos de metrología actuales se puede medir
exactamente— se genera un área b2 = 3.14159265358986391874058675 (cálculo
realizado sin redondeo y utilizando la tercera de las ecuaciones señaladas), que
para los efectos de este reporte se propone como una aproximación al número p
coincidente a billonésimas —en los primeros doce decimales hay similitud y en los
catorce restantes no— con el valor más aceptado de esta razón, misma en que se
puede mejorar su precisión prácticamente de manera ilimitada.
 
 
Cabe mencionar que esta aproximación del número p, efectivamente contenida
de manera íntegra (con valoración completa) en un cuadrado, difícilmente
puede alcanzarse con los procedimientos de rectificación de la circunferencia
realizados por medio de polígonos regulares, en donde siempre se obtienen
residuos decimales interminables. Un comentario final: el cuadrado proyectado
que tiene un área infinitesimalmente próxima al valor reconocido de p sí se puede
construir con regla y compás, a condición de que estos recursos estén equipados
con aditamentos de alta tecnología; la medición exacta de las longitudes implicadas
requiere precisiones a nivel de ángström e inclusive en décimas de esta misma
unidad (o sea 1 × 10-8 milímetros).
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Conrado Ruiz Hernández

 

Facultad de Estudios Superiores Iztacala, Universidad Nacional Autónoma de México.

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como citar este artículo

Ruiz Hernández, Conrado. (2004). Un área cuadrada próxima a p. Ciencias 73, enero-marzo, 64-72. [En línea]

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