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José Luis Álvarez García y Damián Flores Sánchez
     
               
               
He conocido a algunos
que no podían entender que
al restar cuatro de cero quede cero.
 
Pascal
 
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La relación entre física y matemáticas a lo largo de la historia: de Pitágoras a Galileo (parte I)
Con el advenimiento del cristianismo como religión del
Estado romano en el siglo IV, el proceso del conocimiento sufrió un doloroso retroceso en el mundo europeo; por el contrario, a partir del siglo vii el mundo musulmán convirtió a Bagdad, Damasco y Córdoba en centros culturales en los que se preservó y desarrolló el saber de la Antigüedad clásica. En este periodo el estudio de las matemáticas se enfocó en la geometría y el álgebra; respecto a la física, el desarrollo se dio en la astronomía, que seguía siendo considerada parte de las matemáticas. El Almagesto, que es un tratado de astronomía matemática, llevaba el título original griego de Mathematike sintaxis y en un principio se le conoció como Megale sintaxis (la gran colección), pero llegó a ser tan importante que se le llamó Megiste sintaxis (la grandísima colección).
 
Los astrónomos árabes adoptaron el paradigma ptolomeico. La obra de Al-Farghani (805-880) llegó a ser una de las principales fuentes de la astronomía ptolomeica hasta el Renacimiento. El más famoso de ellos fue Al-Batani (858-929), quien en el siglo ix simpatizaba con la obra de Ptolomeo. Ibn Al-Haytam (962-1037), matemático y físico, apodado Ptolomeo II, introdujo el concepto aristotélico “esferas celestes” en sus investigaciones astronómicas. La sistematización definitiva de la sabiduría musulmana está representada por Ibn Sina o Avicenas (980-1037); y el punto más alto del aporte árabe se dio en Córdoba con la obra de Ibn Rushd o Averroes (1126-1198).
 
No sólo era posible leer el Almagesto en árabe y los tratados que derivaban de él, sino que los astrónomos musulmanes pronto estuvieron capacitados para hacer una crítica a las ideas de Ptolomeo, pues en la medida en que los datos astronómicos se volvían más numerosos y precisos, era más difícil conciliarlos con las teorías. Durante el siglo xii el filósofo Ibn Bayya puso de manifiesto estas dificultades; lo que hizo también Jabir Ibn Aflah en el tratado Islah al-Mayisti (La rectificación del Almagesto). Averroes, convencido de las imprecisiones y complejidades innecesarias del modelo ptolomeico, expresó: “la astronomía ptolomeica nada tiene que ver con lo existente, pero es útil para calcular lo no existente”. Con esta afirmación hacía patente el creciente descontento que había entre los astrónomos musulmanes con el sistema ptolomeico, iniciándose la crisis de este paradigma. En ese siglo, astrónomos musulmanes como Ibn Tufail y su discípulo Al-Bitruyi, creyeron resolver las dificultades rechazando las excéntricas y los epiciclos de Ptolomeo y volvieron a la teoría de las esferas homocéntricas de Eudoxo.
 
En cuanto a las matemáticas estudiadas por los árabes (en ramas distintas a la astronomía), el desarrollo se dio en la geometría y en el álgebra de manera desigual (esta última apareció como una ampliación de la aritmética); en la geometría el modelo a seguir no podía ser otro que Euclides. El siglo ix fue particularmente fructífero gracias a las obras de Al-Kindi, quien además se interesó por la óptica y sus estudios en matemáticas se extendieron a campos que no había considerado Euclides, como la numeración hindú. Otro matemático de la misma época fue Muhammad Ibn Musa. El primero que hizo la traducción al árabe de los Elementos fue Al-Hayyay Ibn Yusuf, quien realizó la traducción para el califa Harun Al-Rasid, famoso por las frecuentes menciones que se hacen de él en Las mil y una noches. Durante los doscientos cincuenta años siguientes, los matemáticos árabes se apegaron estrechamente a lo dicho por Euclides y sacaron a la luz otras traducciones y numerosos comentarios. En el primer cuarto del siglo x, Ibn Yaqub Al-Dimasqui dio un gran paso en el estudio de Euclides al traducir el Libro x.
 
En cuanto al álgebra, los hindúes y árabes que tomaron el relevo de las matemáticas después de la destrucción de Alejandría, violaron el concepto axiomático-deductivo que los griegos tenían de las matemáticas; utilizaron fracciones y enteros, y también emplearon sin vacilación números irracionales, de hecho, introdujeron reglas para operar con estos números pero su fundamentación no era lógica-deductiva sino por analogía. Señalaban que los radicales podían manejarse como los números enteros y no tuvieron las preocupaciones lógicas de los griegos y, a pesar de que cometieron errores al aplicar despreocupadamente las reglas de los racionales a los irracionales, contribuyeron al desarrollo de las matemáticas, pues toda su aritmética era independiente de la geometría.
 
Los hindúes acrecentaron los infortunios lógicos de las matemáticas al introducir los números negativos para representar las deudas (los positivos representaban los activos); hicieron también algunos progresos en álgebra, pues utilizaron abreviaturas de palabras y unos pocos símbolos para describir operaciones e incógnitas. Aunque no muy extenso, su simbolismo fue superior al de Diofanto, ya que tuvieron buenas ideas como la utilización de símbolos distintos para los números del uno al nueve, la conversión de la notación posicional de base 60 a base 10, los números negativos y el reconocimiento del cero como un nuevo número.
 
Los astrónomos árabes se sujetaron a la tradición instrumentalista de Ptolomeo, pero se percataron de las anomalías que presentaba este paradigma, lo que los obligó a dirigirse hacia una solución realista. Mejoraron los calendarios fundados en la astronomía ptolomeica y elaboraron eficaces tablas planetarias y afinaron los modelos del Universo aristotélico y ptolomeico antes de percatarse de la inexactitud y complejidad exagerada de este último. La preservación que los musulmanes hicieron de la ciencia antigua fue fundamental, pues eso permitió que posteriormente Occidente pudiera recuperarla.
 
En este periodo, la relación entre la física y las matemáticas en la cultura árabe se dio a través del Almagesto, en el cual la astronomía está supeditada totalmente a la geometría del círculo y la esfera; continuaba siendo una astronomía matemática.
 
La Edad Media
 
A partir del siglo XII las obras de Arquímedes, Euclides, Herón, Aristóteles y Ptolomeo llegaron a Europa. En este siglo, con la fundación de diversas universidades, el Occidente cristiano recuperó la obra de Aristóteles pero adecuada a su dogma, y así se convirtió en el centro de la cultura. En lo que a cosmología y astronomía se refiere, los paradigmas aristotélico y ptolomeico fueron asumidos plenamente, tamizados por la perspectiva cristiana.
 
El paradigma ptolomeico volvió a afirmarse a partir del siglo xiii por medio del Almagesto, ya que no existía otra teoría tan amplia y detallada; pero después nació una vigorosa corriente de crítica y oposición que había sido anunciada por los árabes y había quedado interrumpida.
 
El tratado Sobre el cielo de Aristóteles describía la globalidad del Universo en términos relativamente simples; el Almagesto se ocupaba casi exclusivamente del cálculo matemático de las posiciones planetarias y éste se correspondía perfectamente con la cosmología aristotélica. Las obras de estos filósofos se tradujeron hacia finales del siglo xii, pero hasta mediados del xv los europeos no produjeron una tradición propia capaz de rivalizar con la obra de Ptolomeo.
 
En lo que respecta a las matemáticas y a la física (fenómenos del movimiento), los eruditos medievales analizaron los textos aristotélicos y comenzaron el estudio del movimiento en los siglos xiii y xiv, fundamentalmente en el Merton College de la Universidad de Oxford y en la Universidad de París. En Oxford trabajaron en ello Robert Grosseteste (1175-1253), Roger Bacon (1214-1294), Thomas Bradwardine (1290-1349) y William Heytesbury (1313-1372); en París, Jean Buridan (1295-1358), Alberto de Sajonia (1316-1390) y Nicolás de Oresme (1323-1382). Los estudios matemáticos relativos al movimiento fueron realizados como ejercicios, es decir, como simples posibilidades en el terreno de la lógica, sin ser considerados jamás como hipótesis verdaderas acerca del mundo físico. Estos análisis llevados a cabo por mertonianos y parisinos fueron realizados dentro de la más estricta tradición escolástica y sin abandonar los fundamentos de la doctrina de Aristóteles, eran críticas a la explicación de los fenómenos del lanzamiento de proyectiles y a la caída libre, en particular, donde señalaban que matemáticas y física eran géneros diferentes y era imposible mezclarlos.
 
En el siglo vi, Juan Filopón retoma el concepto de impetus de Hiparco, como crítica y explicación alternativa a las teorías aristotélicas sobre el lanzamiento de proyectiles y caída de los cuerpos. La teoría del impetus fue utilizada por Jean Buridan y sus ideas son extendidas y profundizadas por su discípulo, Nicolás de Oresme, quien critíca la refutación que hace Aristóteles de la teoría de Heráclides, que explicaba el movimiento diario de las estrellas mediante la rotación de una Tierra central. Oresme no cree en la rotación de la Tierra, solamente señala que ningún argumento lógico, físico o incluso bíblico puede refutar la posibilidad de una Tierra en rotación. Oresme estudió la comprobación de las demostraciones aristotélicas y buscó nuevas doctrinas alternativas, que generalmente se descartaban una vez que se había demostrado su posibilidad lógica.
 
Al final del siglo XIV, una versión de la teoría del impetus, similar a la expuesta por Buridan y Oresme, había reemplazado la defectuosa explicación aristotélica del lanzamiento de proyectiles en prácticamente todas las obras científicas medievales. Así se enseñaba en Padua, cuando Copérnico fue a la universidad y Galileo la aprendió en Pisa de su maestro Bonamico (1565-1603). Esta teoría jugó un importante papel en la revolución copernicana y aparece en casi todos los argumentos en donde se considera como posible el movimiento terrestre, sin que los cuerpos lanzados desde la superficie de la Tierra se queden atrás. También en Inglaterra, en el Merton College de Oxford, con base en la teoría del impetus se desarrollaron alternativas para la explicación del movimiento. Durante el siglo xiv, tanto en Oxford como en París, se tenía una marcada actitud empírica y se realizaban elaborados cálculos matemáticos. Conceptos y definiciones básicas en este campo (que muchos atribuyen a Galileo) fueron establecidas por mertonianos y parisinos. En Oxford se manejaban definiciones de movimiento con rapidez uniforme y uniformemente acelerado, tal y como fueron adoptadas más tarde por Galileo. También aparece la definición de velocidad instantánea, casi exactamente igual a la utilizada por el físico italiano tres siglos más tarde. La famosa “regla mertoniana” o “teorema de la velocidad media” fue establecida allí, y es considerada como la más simple y primordial contribución de la ciencia medieval a la física. Una demostración original de este teorema fue realizada por Oresme alrededor de 1350 y señalaba que: “un cuerpo que se mueve uniformemente adquiriendo o perdiendo un determinado incremento [de rapidez] recorrerá en algún tiempo dado una distancia completamente igual a aquella que debería recorrer si se estuviera moviendo con rapidez uniforme durante el mismo tiempo con el grado medio [de velocidad]”.
 
Los siglos xiii y xiv contribuyeron a un progreso de la lógica y las matemáticas, pero faltaban dos elementos necesarios para dar a la ciencia un avance decisivo: emancipar por completo el cálculo del lenguaje cotidiano y romper totalmente con la concepción cualitativa de la ciencia.
 
El Renacimiento
 
El Almagesto seguía siendo “la biblia” de la astronomía hasta principios del siglo xvii, pues no existía otra obra que fuera tan amplia y detallada como ésta, pero en el siglo xv se manifestó una abierta rebelión debida al descontento que provocaba entre los astrónomos la imprecisión y extremada complejidad de este paradigma ptolemeico.
 
Esta rebelión aparece abiertamente en la obra de Nicolás de Cusa (1401- 1464), que fue el primero en oponerse a la estructura del Universo medieval. En su De docta ignorantia, escrita en 1440 e impresa en 1514, afirmó que el mundo no tenía límites ni periferia ni centro. El mundo no era infinito, sino “tan sólo indeterminado”. Nicolás de Cusa no era un astrónomo de profesión y no construyó ningún sistema, pero su doctrina confirma que mucho antes que Copérnico ya era seriamente cuestionada la cosmología aristotélica y el modelo ptolomeico.
 
Otros que conocían la obra del cusano fueron el astrónomo alemán Georg von Peuerbach (1423-1461) y su discípulo Johann Müller (1436-1476), quienes fueron figuras de transición y suscitaron en Europa la renovación de la astronomía como ciencia exacta.
 
En 1543, Copérnico recibe en su lecho de muerte un ejemplar de el De revolutionibus orbium coelestium. Pasarían cerca de cincuenta años sin que esta obra provocara la menor conmoción en la sociedad, y sólo hasta entonces el modelo copernicano empezaría a popularizarse y a establecerse definitivamente.
 
El paradigma ptolomeico estaba íntimamente relacionado con el aristotélico y este último comprendía una cosmología que correspondía con una física particular; por lo tanto, para poder establecer el modelo heliocéntrico de Copérnico era necesario elaborar una física del movimiento acorde con la idea de una Tierra móvil alrededor del Sol.
 
La astronomía se fue alejando de su concepción instrumentalista, debido a los desacuerdos que había entre las observaciones y la teoría pero, sobre todo, a la ya mencionada complejidad exagerada que presentaba. La lucha por el establecimiento del modelo heliocéntrico se dio en dos frentes del conocimiento científico: en la astronomía y en la física del movimiento.
 
En lo que respecta a las matemáticas, cuando los europeos de la baja Edad Media y del Renacimiento recuperaron el conocimiento clásico enfrentaron el dilema planteado por los dos tipos de matemáticas: las auténticas parecían ser las de la geometría deductiva de los griegos, pero no podían negar la utilidad y eficacia de la aritmética y el álgebra que se venía desarrollando, los cuales, por su parte, no tenían una fundamentación lógica.
 
El primer problema que enfrentaron fue el de qué hacer con los irracionales. El matemático italiano Luca Pacioli (1445-1514), el monje alemán y profesor de matemáticas Michael Stifel (1486-1567), el físico, matemático y erudito Jerome Cardan (1501-1576)y el ingeniero militar Simon Stevin (1548-1620) utilizaron los números irracionales siguiendo la tradición de los hindúes y los árabes e introdujeron más y más elementos a esta clase de números. François Viète (1540-1603) realizó aproximaciones para el número por medio de polígonos regulares de 4, 8, 16,... lados inscritos en un círculo de radio unitario. Los números irracionales fueron usados libremente en una de las nuevas creaciones del Renacimiento: los logaritmos, inventados por John Napier (1550-1617), que fueron bien recibidos por el resto de los matemáticos debido al ahorro de trabajo que aportaban, aun cuando los logaritmos de los números positivos son en su mayoría irracionales. Los cálculos con irracionales fueron muy utilizados, pero el problema de si eran realmente números preocupaba a algunos que trabajaban con ellos.
 
Los europeos tuvieron también que enfrentarse a los números negativos, pues los llegaron a conocer por medio de los textos árabes, pero la mayor parte de los matemáticos de los siglos xvi y xvii no los aceptaron como números o no los consideraban como raíces de ecuaciones. Nicolás Chuquet y Michael Stifel en el siglo xvi se referían a ellos como números absurdos. Cardan planteó números negativos como raíces de ecuaciones, pero los consideraba soluciones imposibles, meros símbolos, por lo que las llamó soluciones ficticias, mientras a las positivas las nombró reales.
 
Uno de los primeros algebristas que colocó un número negativo dentro de una ecuación fue el astrónomo Thomas Harriot (1560-1621), quien no aceptaba las raíces negativas y “demostró” que tales raíces eran imposibles. Rafael Bombelli, en el siglo xvi, dio definiciones bastante claras de los números negativos pero no pudo justificar las reglas de las operaciones, pues todavía no se disponía de la fundamentación necesaria, incluso para los positivos. Por otro lado, Michael Stevin utilizó coeficientes positivos y negativos en las ecuaciones y aceptó las raíces negativas.
 
En general, no fueron muchos los matemáticos de los siglos xvi y xvii que se sintieron cómodos con los números negativos o los aceptaron y, por supuesto, no los reconocieron como soluciones o verdaderas raíces de las ecuaciones. Incluso ya en pleno siglo xvii, Pascal (1623-1662) consideraba la sustracción de cuatro a cero como un absurdo.
 
Bombelli y Stevin propusieron una representación que contribuyó a la aceptación final del sistema completo de los números reales. Bombelli supuso que existe una correspondencia exacta entre los números reales y los segmentos sobre una recta (habiendo elegido una unidad) y definió para las longitudes las cuatro operaciones básicas. Consideraba los números reales y sus formas de operar como definidos por esas longitudes y las correspondientes operaciones geométricas. De esta forma, el sistema de los números reales fue racionalizado sobre bases geométricas.
 
Sin haber resuelto todavía sus dificultades con los números irracionales y los negativos, los europeos aumentaron su pesada carga al tropezar con los que hoy conocemos como números complejos. Éstos también fueron objeto de incomprensión durante algún tiempo, incluso por los más ilustres pensadores como Leibnitz y Newton.
 
Durante los siglos en que los europeos lucharon por entender los distintos tipos de números, surgió otro problema lógico de importancia: el de aportar al álgebra una fundamentación lógica. El primer libro que organizó de forma significativa los nuevos resultados fue el Ars magna de Cardan, en el cual mostraba cómo resolver ecuaciones particulares de tercer y cuarto grado. Otro algebrista que había desarrollado fórmulas para resolver una clase particular de ecuaciones de tercer grado fue Niccolo Fontana, mejor conocido como Tartaglia (Tartamudo). El Tartamudo era también hábil para solucionar ecuaciones algebraicas y participaba en competencias para resolverlas; también se interesó en problemas físicos de artillería. Durante unos cien años fueron añadiéndose al cuerpo del álgebra una gran cantidad de resultados sin demostraciones, sugeridos por ejemplos concretos.
 
Hasta antes del trabajo de Vieta, los matemáticos resolvían ecuaciones lineales, cuadráticas, de tercer y cuarto grado con coeficientes numéricos particulares, y eran consideradas diferentes unas de las otras. Por tanto, había muchos tipos de ecuaciones del mismo grado y cada una era tratada por separado. La aportación de Vieta consistió en introducir coeficientes literales, de esta forma todas las ecuaciones del mismo grado, podían ser tratadas de una sola vez. Vieta llamó a su nueva álgebra logistica speciosa (cálculo con letras), en contraposición a la logistica numerosa (cálculo con números), distinción con la que trazó la línea entre la aritmética y el álgebra. Sin embargo, aún no se definían bien ni se aceptaban todos los distintos tipos de números, así que su aportación fue de una generalidad limitada. El mismo Vieta rechazó los números negativos y los complejos. Las reglas de las operaciones para los números negativos existían desde hacía unos ochocientos años y daban resultados correctos. Vieta no podía oponerse a esas reglas, porque eso era más o menos todo lo que el álgebra tenía que ofrecer en esa época, pero éstas carecían del significado intuitivo y físico que poseían los positivos. Parece claro que no era la lógica sino la intuición la que determinaba lo que los matemáticos estaban dispuestos a aceptar. Fue hasta 1657 cuando Johann Hudde (1633-1704) aceptó que estos coeficientes literales representaban tanto números negativos como positivos. A partir de ese momento, la mayoría de los matemáticos lo hicieron sin reserva.
 
La segunda innovación que dio impulso al álgebra fue el uso de fórmulas algebraicas para representar en la física cantidades relacionadas entre sí. El brío del álgebra fue pronto reconocido hasta tal punto que los matemáticos comenzaron a usarla ampliamente y pasó a ocupar una posición preponderante sobre la geometría.
 
Kepler
 
“Johannes Kepler, Keppler, Khepler, Kheppler o Keplerus, fue concebido el 16 de mayo de 1571 a las 4:37 de la mañana y nació el 27 de diciembre a las 2:30 de la tarde, después de un embarazo que duró 224 días, 9 horas y 53 minutos”. Así empieza la biografía que Arthur Koestler realiza del gran astrónomo alemán, quien elaboró su propio horóscopo, y en el cual resalta la importancia que tenían para él los números y la precisión, mostrando además que creía que la realidad última, la verdad y la belleza radicaba en el lenguaje de los números, contrastando con la forma imprecisa de escribir su nombre.
 
Kepler se graduó en la Universidad de Tübingen, en la Facultad de Artes, a la edad de veinte años. Ahí conoció a Michael Maestlin, su profesor de astronomía, quien lo inició en el estudio de la obra de Copérnico. A la edad de veinticuatro años, en julio de 1595, en Gratz, se le aparece como una auténtica revelación divina que el Universo está construido con base en ciertas figuras geométricas. Los sólidos perfectos o pitagóricos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Dado que son simétricos, cada uno puede ser inscrito dentro de una esfera, de modo que sus vértices se apoyen en la superficie de la misma. Del mismo modo, cada uno de ellos puede ser circunscrito en torno a una esfera, de forma que ésta toque el centro de cada una de las caras del sólido correspondiente. Euclides había demostrado que sólo pueden ser construidos esos cinco sólidos con esas características. En aquel entonces sólo se conocían seis planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) entre cuyos espacios —pensó Kepler— se podían insertar los cinco sólidos pitagóricos. Para él era muy difícil creer que esto fuera producto del azar y no de la disposición divina. Esta coincidencia respondía a que sólo había seis planetas conocidos y no veinte o cien, también permitía comprender el porqué de las distancias entre las órbitas planetarias; éstas debían estar dispuestas de tal manera que los cinco sólidos pudieran encajar perfectamente dentro de ellas. Al interior de la órbita o esfera de Saturno, Kepler inscribió un cubo, y dentro del cubo otra esfera, que era la de Júpiter; inscrita en ésta se hallaba el tetraedro e inscrita en él la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio estaba el octaedro. El misterio del Universo había sido resuelto por el joven Kepler y así lo expresa en el Mysterium Cosmographycum.
 
Kepler estaba convencido de la realidad de su anhelo y empezó a trabajar para hallar los datos que lo comprobarían; sin embargo, éstos no encajaban con su modelo. En un principio lo atribuyó a la inexactitud de la información que poseía, provenientes de Copérnico y Ptolomeo; así que desvió su atención hacia otro problema y tuvo una idea que nunca se le había ocurrido a ningún otro astrónomo: buscar una relación matemática entre la distancia que separaba a un planeta del Sol y el tiempo que necesitaba para completar una revolución. Los periodos orbitales se conocían desde la Antigüedad con suficiente precisión y no coincidían con la distancia del planeta al Sol, suponiendo el principio del movimiento orbital con rapidez uniforme. Kepler encontró que los planetas se movían más deprisa cuando se encontraban más cerca del Sol y su movimiento se tornaba más lento cuando se alejaban, así que se preguntó: ¿por qué esto es así?, ¿por qué había sólo seis planetas? La primera pregunta resultó enormemente fecunda y la segunda científicamente estéril. Se trataba no solamente de describir los movimientos planetarios utilizando algún modelo geométrico, sino también de explicar por qué ocurría de esa manera, es decir, asignarles un origen físico. La respuesta de Kleper fue que la causa radicaba en el Sol, pues obligaba a los planetas a girar en torno suyo; y la razón por la que a veces los planetas se movían más rápido y otras más lento era porque había una resistencia a moverse que radicaba en el planeta mismo. La primera idea es el embrión de la ley de la atracción gravitacional y la segunda de la propiedad de inercia. Esta explicación revela la unión de física y astronomía por medio de las matemáticas después de dos mil años de divorcio.
 
Volviendo con el problema del ajuste entre los datos observacionales y el modelo de los sólidos pitagóricos, Kepler se dio cuenta que para lograr el ajuste deseado necesitaba tener información confiable, y sólo había un hombre que poseía lo que necesitaba: Tycho Brahe. La unión del trabajo de estos dos hombres dio como resultado el nacimiento de la astronomía moderna. Kepler publica sus tres leyes de los movimientos planetarios en Astronomía nova (primera y segunda) y en Harmonice mundi (tercera).
 
Kepler es el primer constructor de leyes de la naturaleza, y lo que le permitió lograr eso fue, primero, mantener la creencia de regularidades matemáticas dentro de los movimientos planetarios y, segundo, la introducción de la causalidad física en la geometría formal de los cielos. Mientras que la cosmología estuvo regida por reglas puramente geométricas, independientemente de las causas físicas, las discrepancias entre teoría y hechos podían ser superadas insertando otra rueda dentro del sistema.
 
Galileo
 
Al final del siglo xvi, aun con todas las críticas y explicaciones alternativas a la teoría de Aristóteles sobre el movimiento, no existía ninguna teoría que pudiera rivalizar con su interpretación global del Universo. Todas las descripciones alternativas surgieron de los restos del pensamiento aristotélico, desgarrado por la crítica escolástica, y fueron el telón de fondo que posibilitó el desarrollo conceptual en el siglo xvii. Ahora bien, ¿cuál es la diferencia entre lo que hacían los mertonianos y parisinos y la actitud de Galileo (1564-1642), si utilizaban prácticamente las mismas definiciones en sus respectivos análisis del movimiento?
 
En lo que respecta a los estudios del movimiento, Galileo hizo sus análisis de manera similar a como lo hacían los pensadores medievales con la regla mertoniana de la velocidad media, y utilizó muchas de las argumentaciones hechas por los nominalistas y los filósofos de la teoría del impetus. La diferencia es que cuando Galileo aplicaba la regla mertoniana estaba describiendo cómo caen “realmente” los cuerpos. La naturaleza de la transición que diferenció la revolución científica de la ciencia medieval radica en diversos factores; uno de ellos es fundamental y consiste en el papel que juegan las hipótesis y la explicación en la ciencia. No se trataba de “salvar las apariencias”, sino de plantear hipótesis verdaderas respecto de la realidad del mundo físico. En este sentido, es diferente el uso que hacían los eruditos medievales de las matemáticas (pues sólo eran ejercicios lógicos), del uso que Galileo hace de ellas y que se refieren al mundo físico. También es dispar la actividad empírica que los eruditos medievales realizaban en comparación con la “interrogación metódica” de la naturaleza que realizaba Galileo, que fue la base del experimento moderno.
 
En la obra de Galileo Galilei se ve reflejado todo el desarrollo de la revolución científica de los siglos xvi y xvii. Tal vez la característica más notable de su obra es que, por un lado, se da en la convergencia de varias tradiciones de pensamiento y, por otro, su obra no obedece a ninguna filosofía previa en particular.
 
Galileo aporta un espíritu realmente nuevo a la ciencia, al margen de todo esquema preestablecido y, paradójicamente, ésta es la razón por la cual la obra galileana es emparentada con diversas filosofías: la platónica, la aristotélica, la atomista, el empirismo, etcétera. Galileo utilizó muy hábilmente elementos platónicos renacentistas, apeló al “verdadero Aristóteles”, inventó hechos y resultados acordes con el marco teórico que iba desarrollando, recurrió continuamente a la anamnesis platónica y escribió en forma de diálogos su obra de difusión. Todo lo anterior lo realizó de una manera extraordinariamente flexible sin parangón en la historia de la ciencia. La obra galileana, tan vasta y compleja, es utilizada como base o referente de prácticamente cualquier análisis que se haga de las metodologías científicas en la actualidad.
 
La obra de Galileo presenta múltiples y variados aspectos, y en lo que se refiere a la relación entre física y matemáticas aparece nuevamente la unión entre ambas disciplinas, después de siglos de divorcio impuesto por la filosofía aristotélica. Además, inicia la construcción de una sola física para las regiones terrestre y celeste.
 
Galileo inicia sus estudios del movimiento en el punto donde habían llegado los seguidores de la teoría del impetus medieval. Concretamente, estudia el fenómeno de la caída de los graves y el lanzamiento de proyectiles. Estaba consciente también de la estrecha relación que había entre física y cosmología; si quería convencer a sus contemporáneos de la teoría heliocéntrica, tenía que construir una física acorde con la idea de una Tierra en movimiento.
 
Para Galileo, la caída de un cuerpo se efectúa debido a una fuerza constante: su peso (o gravedad); por lo tanto, ésta no puede tener otra velocidad que la constante. La velocidad no está determinada por algo exterior al cuerpo, sino que es algo inherente y propio del objeto. Así, a un cuerpo con mayor peso le corresponde una mayor velocidad y a un cuerpo de menor peso le corresponde una menor velocidad. De esta manera —señala en De Motu— la velocidad de caída de un cuerpo es proporcional a su peso y de un valor constante para cada uno.
 
Sin embargo, Galileo estaba obligado a reconocer que una piedra que cae lo hace cada vez más rápido y esta aceleración ocurre hasta que el cuerpo adquiere su velocidad característica; a partir de este momento su movimiento se efectúa con una velocidad constante; y esta velocidad está en función del peso, pero no del peso absoluto, sino del peso específico de los cuerpos. Un pedazo de plomo caerá más rápido que uno de madera, y dos pedazos de plomo caerán con igual velocidad. Más aún, Galileo introdujo en su física que no se trata del peso específico absoluto de los cuerpos, sino de su peso específico relativo.
 
No obstante, Galileo continuó con sus estudios sobre la caída de los cuerpos, la velocidad en ese entonces, no estaba definida por su peso absoluto, sino por el específico y relativo. Estas precisiones le permitieron trascender el aristotelismo y la dinámica del impetus, al hacer la sustitución de la contraposición de cualidades (levedad y gravedad) por una escala cuantitativa y este método le fue proporcionado por la hidrostática de Arquímedes: un trozo de madera que cae en el aire, se elevará si es colocado en el fondo del agua. Así, la fuerza (y la velocidad) con la cual desciende o sube un objeto, está en proporción con la diferencia entre el peso específico del objeto y el peso de un volumen del medio que es desalojado por el mismo cuerpo; concluye que no hay cuerpos leves, todos son graves.
 
A partir de aquí, Galileo comenzó a construir la nueva física, donde el único movimiento natural que reconoce es el de los cuerpos pesados que son atraídos hacia abajo. La distinción entre peso absoluto y relativo y la repetida afirmación de que la velocidad de caída de un cuerpo está en función de su peso relativo en un medio determinado (y no de su peso absoluto), conduce a la inevitable conclusión de que es en el vacío, y sólo en él, donde los cuerpos tienen un peso absoluto y todos caen con la misma velocidad, ésta es la mitad de la ley de la caída de los cuerpos, la otra mitad es cuando establece que la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo, relacionando así dos cantidades físicas por medio de una expresión matemática. El físico italiano, además, realiza otra serie de experimentos en los que demuestra la trayectoria seguida por un móvil después de abandonar un plano inclinado: línea semiparabólica.
 
Aunque Galileo hereda el pensamiento platónico sobre la existencia de regularidades matemáticas en la naturaleza, tiene una diferencia fundamental con Platón pues, según éste, sólo se puede acceder a la auténtica realidad del mundo mediante la razón, mientras que para Galileo estas regularidades se pueden hallar sabiendo preguntar a la naturaleza; aquí nace la experimentación en el sentido moderno. Galileo fue consciente de que sólo abstrayendo las propiedades (matemáticamente hablando) de un objeto real, a fin de transformarlo en un objeto geométrico, se podía adecuarlo para un análisis cuantitativo. El genio galileano conjuga razón y experiencia, matemáticas y física, en contra de la posición aristotélica de no mezclar géneros.
 
Galileo se percató de la diferencia entre lo abstracto y lo concreto, pero supo igualmente reconocer las similitudes entre uno y otro. También se percató de esa asombrosa concordancia entre teoría y observación y las conjuga para iniciar la construcción de la nueva ciencia. Realizó experimentos aplicando, en muchos casos, un análisis matemático ideal (plano liso sin fricción, bola perfectamente esférica) a una situación real (plano rugoso con fricción, bola cuasiesférica), lo cual demuestra cómo se comenzaba a reconocer la importancia de la abstracción matemática en la descripción de los fenómenos naturales. Esto, además, nos muestra una característica importante de la epistemología galileana, que es la de ofrecer experimentos construidos a partir de una teoría, y en donde el papel de ellos es confirmar la validez de esta última. En la obra de Galileo aparecen los fundamentos de la nueva física: el movimiento en el vacío, el movimiento como un estado, el principio de la inercia, la matematización del mundo físico, la geometrización del espacio, la concordancia entre la teoría y la observación, etcétera.
 
Galileo contribuye de manera esencial a la unión entre matemáticas y física a partir de la herencia que recibe, principalmente de Pitágoras, Platón y Arquímedes. Esta actitud epistemológica caracteriza la ciencia actual y puede ser resumida en una famosa cita de Il Saggiatore: “la filosofía está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto ante nuestros ojos (lo llamo Universo). Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, círculos y figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender una palabra; sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto”.
 
Referencias Bibliográficas

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 Galilei, Galileo. 1623. Il Saggiatore. Aguilar, Buenos Aires. 1981.
_____. 1632. Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo: ptolomaico y copernicano. Aguilar, Buenos Aires. 1980.
_____. 1638. Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias. Editora Nacional, Madrid. 1981.
Koyré, Alexandre. 1981. Estudios galileanos. Siglo XXI, Madrid.
Uritam, Rein A. 1974. “Medieval science, the Copernican revolution and physics teaching”, en American Journal of Physics, vol. 42, núm. 10, pp. 809-819.
 
     
Nota
 
La primera parte de este texto apareció en el número 113-114 de la revista Ciencias: La relación entre física y matemáticas a lo largo de la historia: de Pitágoras a Galileo (parte I).
     
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José Luis Álvarez García
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
Es físico y maestro en ciencias por la Facultad de Ciencias de la UNAM; es doctor en filosofía de la ciencia por la Facultad de Filosofía y Letras y el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la UNAM. Actualmente es profesor titular del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias, UNAM. Sus áreas de trabajo son la enseñanza de la física y las matemáticas, así como la historia y la filosofía de la física.
 
Damián Flores Sánchez
Colegio de Ciencias y Humanidades,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
Damián Flores Sánchez es físico por la Facultad de Ciencias, UNAM. Sus áreas de trabajo son la enseñanza de la física y las matemáticas. Actualmente trabaja en el Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM.
     
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cómo citar este artículo
 
Álvarez García, José Luis y Flores Sánchez, Damián. 2015. La relación entre física y matemáticas a lo largo de la historia. De Pitágoras a Galileo (parte II) Ciencias, núm. 117, julio-septiembre, pp. 64-74. [En línea].
     

 

 

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Facultad de Ciencias
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