revista de cultura científica FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
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Joaquín Cifuentes Blanco
     
               
               
La palabra hongo se deriva del latín fungus que, al igual
que la raíz griega mucus (mices en castellano), se utilizó originalmente para un limitado grupo de especies macroscópicas, comestibles o venenosas. Posteriormente, el término se ha generalizado en varios idiomas, principalmente el inglés y el castellano, para referirse a todos los organismos considerados en este grupo.
 
Algunas creencias antiguas
 
La naturaleza, el origen y la posición de los hongos siempre ha sido objeto de especulación. En un principio, sobre todo, de nuestra cultura occidental, se dudó acerca de su naturaleza viva pues debido al grado de desarrollo del conocimiento biológico se ignoraba la existencia de los microorganismos y de la estructura celular de los seres vivos.
 
Por ejemplo Plinio (d.C. 23-29) en su Naturalis Historia (Libro XIX, sección 11) escribió su concepción sobrenatural de las trufas: “Hay dos tipos, uno arenoso que lastima los dientes y otro sin semejante material; se distinguen por sus colores que van del rojo al negro o blanco en su interior; aquellas provenientes del África son las más estimadas. Ahora, si tal imperfección de la tierra (vitium terrae), pues no puede decirse que sea otra cosa, crece o si en cambio alcanza súbitamente por completo su forma globosa son preguntas que, pienso, no pueden explicarse fácilmente. En su carácter putrescible estas cosas semejan la madera”. Más adelante (Loc. cit., Libro XIX sección 13) continúa: “…ciertas creencias peculiares sostienen que se producen durante las lluvias otoñales, especialmente con los truenos, que son la causa de su crecimiento, pues no duran más de un año y el mejor momento para comerlas es la primavera. Algunos piensan que se producen por semillas, porque las que crecen en las costas de las Mitelenos siempre aparecen con las inundaciones que acarrean semillas de Tiara donde se pueden encontrar muchas trufas. Crecen en playas donde hay mucha arena”. Muchos otros clásicos como Juvenal y Plutarco manifestaron ideas sobrenaturales semejantes.
 
Otras concepciones sobrenaturales son registradas por Iowy (1974) quien dice que la tradición indígena de los Altos de Guatemala y el Sur de México asocia la Amanita muscaria (seta de las moscas) con el rayo, Wasson (1968) asegura que de acuerdo con el Riq Veda de los hindúes, el Dios del Trueno es el padre del Sorna, una planta sagrada que posiblemente se trate del mismo hongo A. muscaria.
 
Pero en general, los hongos se asociaron al suelo bajo la idea de la generación espontánea, como Nicandro (185 a. C.) quien en su Alexipharmaca nos habla del “…fermento maligno de la tierra… que los hombres comúnmente conocen por el nombre de hongo”. Esta noción cambió poco durante la Edad Media y principios del Renacimiento. En uno de los primeros escritos después de la invención de la imprenta, el Herbolario alemán Jerome Bock (1552) escribe todavía: “Los hongos y las trufas no son ni hierbas, ni raíces, ni flores, ni semillas, sino tan sólo la humedad superficial de la tierra, los árboles y la madera o cosas podridas.
 
Giambattista della Porta (el reinventor de la cámara obscura) observó en 1588 por primera vez las esporas de los hongos y F. Pier Antonio Micheli realizó cultivos de hongos a partir de esporas sobre medios naturales (frutas y verduras). A pesar de esto, la naturaleza viva de los hongos se reconoció universalmente hasta después de los experimentos de Pasteur, que derrumbaron la teoría de la generación espontánea de los seres vivos; es decir, a mediados del siglo pasado.
 
La posición de los hongos
 
Paralelamente al desarrollo de las ideas sobre su naturaleza, se especuló también sobre su posición natural, es decir semejanzas y diferencias con otros organismos y clasificación como grupo. Esto ocurrió, principalmente, después del renacimiento cuando aparecen los primeros sistemas de clasificación de los seres vivos, período que culmina con la proposición del sistema natural por Linneo.
 
Debido a la variedad de formas reproductoras y vegetativas que presentan los hongos, existieron (y existen) dificultades para delimitarlos. Así, primero sólo se tomaron en cuenta grupos de hongos con formas macroscópicas ya que los hongos microscópicos, causantes de algunas fermentaciones y enfermedades en plantas y animales, se descubrieron después de la invención del microscopio.
 
Muchas veces, los diferentes grupos de hongos se clasificaron separadamente o como parte de otros organismos, como incluso ocurrió parcialmente con Linneo. De hecho los hongos se clasifican ya como un grupo (aunque dentro de los vegetales) con Persoon (1801) y posteriormente con Fries (1821) y, a diferencia de las plantas y los animales, tales fechas constituyen el punto de partida formal para su nomenclatura.
 
Simultáneamente se dieron opiniones contrarias en muchas ocasiones con base en observaciones confusas o incompletas de su morfología y fisiología, acerca de su carácter vegetal o animal; aunque en general prevaleció y se impuso la idea de su naturaleza vegetal. Builliard, siguiendo a Jussieu, en 1793 sostenía: “Si aquellos que obstinadamente rechazan dar a los hongos un lugar entre las formas del reino vegetal, si quienes pretenden que todos los hongos se engendran solamente por pudrición y que carecen de semillas y de caracteres constantes para distinguirlos, etc., se hubiesen molestado en estudiar su organización, de seguir su desarrollo, de analizarlos con detalle y compararlos, indudablemente que se ruborizarían por su error”.
 
En cambio antes, en 1766, el Barón Otto von Münchansen interpretó de modo opuesto sus propias observaciones: “Los hongos, ya maduros, y particularmente Lycoperda y todos los mohos, diseminan un polvo negruzco; si se observa éste bajo una lente de buen aumento veremos esferas semitransparentes llenas de puntos negros, con la substancia de un pólipo. He mantenido dicho polvo con agua y temperatura moderada y las esferas se hinchan y se vuelven ovales, móviles como animales. Estos pequeños animales (así los llamaré por su semejanza) se mueven en el agua y si se observan al día siguiente forman matas de una trama dura y de ellos surgen mohos u hongos. Cuando crecen los hongos, inmediatamente se ven venas blancas que uno asocia con raíces pero en realidad no son sino tubos dentro de los que se mueven los pólipos en ambas direcciones y que luego forman estructuras más grandes”. Esta idea del micelio como un sistema de tubos dentro del cual se mueve un protoplasto animal, la sostienen actualmente algunos para justificar la posición de los Mixomicetos y seres afines dentro de los hongos.
 
Pero el punto de vista que los consideraba vegetales logró consenso. Ya Linneo en su Philosophia Botanica de 1751 había reconocido sólo dos reinos de seres vivos, y dentro de las plantas inferiores habla colocado a los hongos. Aunque existe correspondencia que demuestra que sí consideró la posibilidad de que fueran animales, pero finalmente la desechó. Dada la influencia que tuvo su sistema natural de clasificación, esta concepción prácticamente ha prevalecido hasta la actualidad.
 
Las Teorías filogenéticas
 
Una vez que la naturaleza viva de los hongos quedó establecida, desechándose la idea de la generación espontánea, y que se establecieron las bases para su clasificación natural, con la aparición y aceptación de la Teoría de la evolución de Darwin (1858-1859), surge el problema del origen filogenético de los hongos.
 
Para empezar, la idea de su afinidad vegetal se fortaleció con el estudio de la morfología. Por la presencia de talo (cuerpo) filamentoso con paredes celulares y el tipo de órganos reproductores asexuales (esporangios con zoosporas) y sexuales (oogonio y anteridio) de los mohos acuáticos (fundamentalmente en los Oomycota) se sugirió un estrecho parentesco con las algas. Por eso Braun (1847) ya consideraba a los hongos simplemente como grupos colaterales de las algas.
 
Posteriormente mientras algunos como Winter (1879), de Bary (1884) y Gaümann (1926) derivaron a los hongos (a veces excluyendo a los mixomicetos) de un solo grupo de algas (teoría monofilética), otros como Cohn (1872), Sachs (1875) y Brefeld más bien reconocen en la diversidad de los hongos la base de una teoría polifilética de su origen a partir de diferentes grupos de algas (ver figura 1). Entonces aparece la discusión sobre la relación entre los hongos inferiores y los hongos superiores y si existe o no conexión evolutiva entre ellos. La posición polifilética ha predominado entre las proposiciones contemporáneas como las de Dodge (1914), Orton (1927), Jackson (1944) con énfasis en la sugerencia de las algas rojas como ancestros de los hongos superiores.
 
Pero en contraste, con base en la nutrición heterótrofa de los hongos y algunas características de los Myxomycota (ausencia de pared celular en el talo, pero producción de esporas con dicha pared), Gobi (1884), Scherffel (1901), Cook (1928), Heim (1952), Matin (1955) e Ingold (1959) han desarrollado una teoría monofilética a partir de un protozoario primitivo. Muy pocos como Fisher (1892) y Atkinson (1909), además de apoyar un origen derivado de algas, sugirieron la posibilidad de un ancestro, independiente de las plantas y los animales, unicelular heterótrofo. Esta idea retornada por Zuck (1953) nos plantea que las plantas, los hongos y los animales constituyen tres formas de nutrición diferenciadas en las primeras etapas evolutivas: la autotrofia, la lisotrofia (digestión extracelular y extracorporal) y la fagotrofia (digestión intracelular y la intracorporal); por lo cual existen cuando menos tres reinos, Phyta, Myketes y Zoa.
 
En general a partir de las concepciones anteriores se han planteado una serie de árboles filogenéticos los cuales pueden simplificarse en cinco grandes tipos (figura 2).
 
¿Por qué las algas?
 
Evidentemente la tradición linneana de dos reinos biológicos influyó para que la balanza se inclinara en favor de un origen mono o polifilético a partir de uno o varios tipos de algas. También la idea que consideraba que los primeros seres vivos debieron ser autótrofos, basada en la posición primaria de tales organismos en el ecosistema, fue un factor conceptual importante; pero ahora existen bases para suponer que las primeras formas de vida fueron heterótrofas, de acuerdo al desarrollo de la teoría del origen de la vida.
 
Sin embargo fue, fundamentalmente, la comparación morfológica la base para fortalecer la idea de la afinidad vegetal. Existen tantas semejanzas entre los hongos y las algas, que resultó lógico suponer que no se trataba de un mero fenómeno de convergencia evolutiva. Pero acaso ¿no existen también notables semejanzas, no sólo morfológicas sino funcionales, entre los diferentes grupos de hongos (exceptuando algunos Myxomycota)? ¿Cuáles son resultado de una evolución paralela o convergente? ¿Las que existen entre algas y hongos o aquellas que presentan los hongos entre sí?
 
Un planteamiento actualizado del parentesco vegetal lo encontramos con Dennison y Carroll (1966) y Demoulin (1974) quienes encuentran más semejanzas principalmente entre algas rojas y hongos superiores, a nivel de ultraestructura y bioquímica de algunas sustancias de reserva. Además, se argumenta por primera vez que las diferencias en la composición química de las paredes celulares entre hongos y algas se debe a la transición de la autotrofia a la heterotrofia. Pero también se han demostrado otras semejanzas de ultraestructura y bioquímica entre los hongos, lo que nos lleva de nuevo al dilema del párrafo anterior, sin resolverlo. Parece entonces que el enfoque seguido hasta ahora de buscar el mayor número de características comunes para apoyar una u otra posición no puede solucionar el problema: ¿existe o no parentesco entre los hongos inferiores y superiores o más bien se derivan de diferentes grupos de algas y algunos protozoarios (en el caso de los mixomicetos y afines).
 
¿Por qué no un origen animal o independiente?
 
El carácter animal de los hongos se ha argumentado principalmente con base en su nutrición heterótrofa y la presencia de quitina en la pared celular en la mayoría de ellos; aunque existen grupos con celulosa o una combinación de ambas (figura 3) lo que indica una cierta separación.
 
Un obstáculo para aceptar un origen animal o bien independiente de los hongos, ha sido el peso que se ha dado a los caracteres morfológicos separados de su fisiología. Por eso a los hongos siempre se les ha reconocido por su capacidad para producir esporas, formar pared celular y carecer de clorofila; todo tipo de organismos con tales características han formado parte del grupo. De esta manera se incluyeron los mixomicota (que en un principio se clasificaron con los Gasteromícetos); pero cuando se observaron sus esporas germinando y se descubrió que en realidad son amebas fagotróficas que forman plasmodios (o pseudoplasmodios en los Acrasiomicota) de vida libre, se les definió como falsos hongos. Entonces ¿los hongos verdaderos se derivaron de los falsos o más bien de las algas? Como se mencionó, algunos piensan que el micelio, de los hongos inferiores fundamentalmente, no es más que un sistema de tubos a través del cual se traslada un plasmo dio que adquirió vida parásita; por esta razón consideran a los plasmodios Foromicota, un grupo que conecta a los falsos con los primeros hongos interiores. En cambio si se les separa de los hongos parece que no queda más alternativa que la de considerar a las algas como origen de los hongos verdaderos.
Pero poco se ha tomado en cuenta el funcionamiento de su cuerpo. Si separamos a los mixomicota y Acrasiomicota porque fagocitan, todos los demás grupos se caracterizan por su lisotrofia (que en general no existe en otros grupos de eucariotas): primero degradan, por medio de exoenzimas, total o parcialmente el sustrato donde crecen y entonces absorben las sustancias solubles de esa descomposición (figura 4). Además, el telo filamentoso de la mayoría de los hongos es de crecimiento indeterminado (micelio) y pueden invadir totalmente sustratos complejos como la madera.
 
Si se considera que muchos hongos son celulíticos pero la lignina prácticamente sólo es degradada por hongos superiores mediante un complejo proceso, aún desconocido, con intervención de muchas exoenzimas, debemos preguntarnos seriamente ¿pudieron las algas rojas transformarse, mediante selección natural, en organismos (hongos superiores) con esa capacidad? En el momento que aparecen las plantas leñosas surge con la lignina un nuevo nicho ¿quiénes lo ocuparon?, ¿las algas rojas que debieron transformarse drásticamente, habiendo perdido su capacidad fotosintética?, ¿o los hongos inferiores, que con la aparición de la heterocariosis se habían transformado en los llamados superiores? Desde un punto de vista fisiológico, es más probable que entre los hongos inferiores hallan aparecido mutaciones en su sistema de exoenzimas, las cuales seleccionadas naturalmente, llevaron a su transformación. Además se han observado hongos que producen las llamadas enzimas de adaptación, es decir, un hongo puede carecer de las enzimas necesarias para digerir el almidón, por ejemplo, pero al transferirlo a un medio con ese nutriente eventualmente puede producir las enzimas adecuadas y utilizarlo.
 
Por otra parte Cantino (1966), mediante un estudio de las capacidades sintéticas de los diferentes grupos inferiores acuáticos, comprobó que las formas “primitivas” todavía son capaces de utilizar nitrógeno y azufre inorgánicos, pues pueden sintetizar algunos aminoácidos y vitaminas, pero las formas “no primitivas” presentan pérdidas parciales o totales de sus capacidades sintéticas. Su trabajo sugiere que en los hongos ha ocurrido un desarrollo hacia una mayor heterotrofia mediante una mayor capacidad degradadora, lo que relaciona o separa diferentes grupos.
 
Igualmente, si analizamos los patrones genéticos del ciclo de vida o algunas vías metabólicas, existen bases para relacionar algunos grupos inferiores con los superiores, pero a la vez otros claramente quedan separados.
 
Por ejemplo, en la mayoría, el talo es haptoide excepto en los Oomycota en que es diploide y podemos decir que la alternancia de generaciones (tan común en las algas) es muy rara en los hongos. En cambio aparece el fenómeno de la heterocariosis o dicariofase de los Ascomicota y Basidiomicota o la parasexualidad en los Fungi Imperfecti (Deuteromycota) En cuanto a los procesos metabólicos tenemos que para la síntesis de la lisina los Quitridiomicota, Zigomicota, Ascomicota y Basidiomicota emplean la vía del ácido adípico (como en Euglenofita) pero los Oomicota y los Hifoquitridiomicota usan la del ácido diaminopimélico (como las algas verdes sensu lato, helechos, fanerógamas y bacterias).
 
Los hongos ¿un reino separado?
 
Considerando los planteamientos anteriores, su origen está directamente relacionado con la evolución de los tipos de nutrición y desde este punto de vista, separando a los Mixomicota y Acrasiomicota, todos los hongos quedan relacionados por su nutrición lisotrófica. ¿Significa esto que los hongos son monofileticos? Mientras algunos grupos de hongos cada día aparecen más estrechamente relacionados (Quitridiomicota, Zygomicota, Ascomicota y Basidiomicota) por el tipo de pared celular, sus vías metabólicas y sus patrones genéticos y otros se separan claramente (Myxomicote, Hifoguitridiomicota y Oomicota). Aunque aún falta información de grupos menores o poco conocidos (Trichomicota o Labirintulomicota) puede plantearse que los hongos, igual que las algas, presentan varias líneas de origen y evolución (figura 5) que representa los ensayos que aparecieron de organismos eucariotes degradadores. Esta cuestión está íntimamente relacionada con el origen y evolución de los primeros eucariotes: ¿apareció una sola forma y tipo de nutrición que dio lugar a las demás) o por el contrario ¿desde un principio surgieron diferentes formas de eucariontes y tres tipos de nutrición a partir de diferentes procariotes? Esta última posibilidad puede explicarnos la gran diversidad de los grupos llamados primitivos, de algas, hongos y animales (protozoarios) y su intergradación, pero sin embargo se separan en tres formas de nutrición.
 
Origen propuesto para los diferentes tipos de hongos 
Antepasados sugeridos División de hongos Grupo de hongos
Flagelados desconocidos Mixomicota  
Crisofitinas Plasmodioforomicota Falsos
Crisofitinas Labirintulomicota hongos
Amebas Acrasiomicota  
Amebas Tricomicota  
Heterosifonales Oomicota  
Flagelados desconocidos Hifoquitridiomicota  
Flagelados desconocidos Quitridiomicota  
  Zigomicota  
Rodofitas Ascomicota  
  Baidiomicota  


Hongos inferiores
Hongos superiores
Hongos verdaderos
 
ESQUEMAS FILOGENETICOS, SIMPLIFICADOS, PROPUESTOS PARA LOS HONGOS
Algas
Hongos
Animales
Algas
Hongos*
Animales
Algas
Hongos*
Animales
Algas
Hongos
Animales
Algas
Hongos
Animales
* Generalmente se excluye a los Myxomicota y afines
 
Composición de las paredes celulares en los hongos
División Componentes principales
Mixomicota celulosa
Acrasiomicota celulosa-glucógeno
Labirintulomicota celulosa
Plasmodioforomicota quitina
Quitriodiomicota quitina-glucano
Hifoquitridiomicota celulosa-quitina
Oomicota celulosa-glucano
Tricomicota Poligalactosamin-galactana
Zigomicota quitina-quitinosa
Ascomicota quitina-glucano o quitina-manana
Basidiomicota quitina-glucano
 
     

Notas

1. Buffon y Erasmo Darwin, abuelo de Charles, habían precedido a Lamarck en su pensamiento transformista, en el siglo anterior.
 
2. Tal vez sea necesario precisar terminología genética para la mejor comprensión de los párrafos siguientes. Hablamos de marcadores genéticos para referirnos a las mutaciones dentro de un gene que nos permiten seguir su comportamiento en los descendientes de una cruza. Nos referimos a locus para señalar un lugar específico del cromosoma. Alelos son las variaciones de un gene colocadas en el mismo locus de cromosomas homólogos. Finalmente, hablamos de mapeo genético para referirnos a la técnica que nos permite conocer el lugar preciso que ocupa un gene a lo largo de un cromosoma. Esta técnica consiste en la observación de la frecuencia de recombinación genética de un par de caracteres. Entre más distantes estén entre sí estos caracteres dentro del cromosoma, su frecuencia será mayor.
 
3. Debe mencionarse no obstante, en descargo de la genética clásica, que experimentos diseñados con sumo ingenio le han permitido el saltar ciertas barreras técnicas para alcanzar también el mapeo intragenético en los eucariontes.
 
4. Se refiere aquí al concepto de homología proteica (N. del T.).
 
5. Previamente, Anfinsen había mostrado que se podían remover, enzimáticamente dichos residuos de la ribonucleasa, sin afectar su función.
     
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Joaquín Cifuentes Blanco
Profesor e investigador del Departamento de Biología, de la Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.

 
 
cómo citar este artículo
Cifuentes Blanco, Joaquín 1984. Los hongos: ¿plantas o animales? Ciencias 5, enero-marzo, 10-15. [En línea]
     

 

       
 
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  R05B01

 
Nosotros también hablamos del Mepsicron
 
Nota de los editores
   
   
     
                     
                   
Durante los primeros días de noviembre de 1983, aparecióuna noticia en algunos medios de difusión que después fue ampliada por la revista Información Científica y Tecnológica y la Gaceta UNAM: el diseño, por un grupo de científicos mexicanos, de un detector de alta resolución temporal y espacial para fuentes luminosas muy débiles, llamado Mepsicron. El que se diera esa cobertura a una noticia de ese tipo no deja de llamar la atención. Probablemente esto se deba a la importancia intrínseca del instrumento diseñado, que mejora considerablemente las observaciones astronómicas; otra es la connotación tecnológica que representa tanto el instrumento como el diseño electrónico que le acompaña.
 
Existe una gran variedad de sensores en Astronomía y constantemente se realizan esfuerzos para mejorarlos. La razón es simple, ya que tener mejores sensores significa “ver” más lejos y mejor el universo que nos rodea, pleno de misterios que parecen escapados de los cuentos, como hoyos negros, estrellas de neutrones o cúmulos globulares. El Mepsicron significa un considerable aporte en este sentido, ya que puede analizar un evento en el tiempo con una precisión de un micro segundo, lo cual supera en 10 000 veces la de otros instrumentos. Espacialmente, tiene un poder de resolución de 1 000 X 1 000 elementos, en un área de 25 mm de diámetro, que representa lo mejor que se ha logrado hasta la fecha.
 
Los componentes esenciales de este instrumento son un juego de X placas microcanal y un ánodo resistivo. “Una placa microcanal consiste de una oblea de vidrio de aproximadamente medio milímetro de espesor, en el cual se han realizado un número enorme de perforaciones cilíndricas con un diámetro de 12.5 mm, con una separación centro a centro de 15 mm y con un ángulo de inclinación entre el eje del cilindro y la normal a la placa de aproximadamente 7°. Entre las dos caras de la placa se produce una diferencia de potencial de 1 000 voltios, de tal manera que cuando un electrón incide sobre la cera negativa, produce la emisión de 3 electrones, que por un efecto de cascada se convierten en 104 electrones. Se pueden poner unas placas a continuación de otras para aumentar la ganacia; sin embargo, debe cuidarse el no producir saturación que distorsione el sistema. Los dispositivos de placas microcanal ya se conocen desde hace algún tiempo; la aportación mexicana que permitió aumentar la eficiencia —al parecer la idea fue de Claudio Firmani— consistió en la introducción de ciertos voltajes entre las placas que controlen la saturación y permitan aumentar la ganacia (hasta 107 electrones). Esta corriente de carga incide sobre el ánodo resistivo, provocando pulsos en cada una de sus terminales. Todo el dispositivo fue construido por la ITT, y la electrónica asociada para probar el detector, fue realizada eh los Estados Unidos.
 
Después de probado, y entregado al Instituto de Astronomía de la UNAM, hizo falta la electrónica que permitiese operarlo, ya que los norteamericanos, no dieron ninguna información de los circuitos de prueba. Esta situación planteó un serio problema a los electrónicos del IAUNAM (Elfego Ruiz, Leonel Gutiérrez, Luis Salas, Rogerio Enríquez y María Helguera) que sin embargo, consiguieron producir un diseño más barato, con mayor cociente de señal a ruido y mejor resolución temporal, el cual fue luego construido en los talleres del propio Instituto.
 
No cabe duda que el diseño del Mepsicron y la construcción de la electrónica que le acompaña, dicen mucho de la capacidad de innovación tecnológica que existe entre algunos de los investigadores en Astronomía. En otros centros también han cristalizado esfuerzos de este tipo como el diseño y construcción de un electrocardiógrafo en el Instituto de Cardiología, con un costo aproximado de $250 000 pesos (los que se importan cuestan del orden de un millón de pesos) o el equipo científico construido en el Instituto de Ciencias de la Universidad Autónoma de Puebla.
 
No obstante, hay que señalar que dentro del sistema científico mexicano son pocos los grupos que realizan esfuerzos en la dirección de la innovación tecnológica, lo cual tiene raíces históricas y económicas. Hay quienes agregan a los factores antes mencionados el factor ideológico: “a muchos científicos mexicanos sólo interesa hacer la ciencia que tiene el prestigio en el extranjero, sin importar si tiene alguna trascendencia local; esto provoca que no existan proyectos propios y llega a suceder que corrientes progresistas dentro de los centros de investigación sean más conservadores y acríticos sobre su quehacer, que la burocracia oficial”. La anterior es una opinión interesante; habría que escuchar la respuesta que pudieran dar otros investigadores, tal vez del propio IAUNAM.
  articulos  

 

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cómo citar este artículo
Nota de los editores 1984. Nosotros también hablamos del Mepsicrón. Ciencias 5, enero-marzo, 8-9. [En línea]
     
 
     
       
 
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R05B07
 
Problemas y acertijos
 
Nota de los editores
   
   
     
                     
                   
1. Un globo aerostático es arrastrado por el viento en
dirección norte ¿hacia que lado tenderán las banderas que hay en la barquilla?
 
2. La rueda de un automóvil da vueltas hacia la derecha, es decir, en el sentido de las manecillas del reloj. ¿En qué dirección se desplaza el aire que hay dentro del neumático?
 
3. Los trece ratones que rodean a este gato están condenados a ser devorados por él. Pero él gato se los quiere ir comiendo en un orden determinado, a saber, cada vez cuenta los ratones en el sentido que miran los roedores y al que hace trece se lo come. ¿Por cual ratón deberá empezar, para que el último que se coma sea el negro?
 
4. A un almacén arribaron 6 barriles de cerveza. La figura indica cuántos litros había en cado barril El primor día se presentaron dos profesores del Departamento de Matemáticas; uno compró dos barriles y el otro tres, con la particularidad de que el primero compró dos veces menos cerveza que el segundo. No hubo que destapar ni un solo barril. De los 6 barriles sólo quedó uno en el almacén, ¿cuál?
 
5. Dos pastores decidieron hacer tortillas, uno de ellos echó en el caldero 200 g. de harina y el otro, 300 g. Cuando las tortillas estuvieron a punto y los pastores iban a comer, se unió a ellos un caminante. Cuando se marchó, les dio, por haber comido ellos, cincuenta pesos. ¿Cómo deberán los pastores repartirse el dinero recibido?
 
 
Pregunta sorpresa
 
Tres amigos jugaron a las damas. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? (Debe contestarse en no más de cinco segundos).
 
 
Respuestas al número anterior
 
1. “Una piedra lanzada al agua…”
Las ondas serán circulares pues el cuerpo de agua se mueve en todo punto lejos de las orillas, con la misma velocidad, por lo que la formación de ondas será equivalente a las formadas en un lago.
 
2. “Un explorador se extravió…”
Con una bandeja hizo lentes de ¡hielo! Haciendo pasar los rayos solares por esta sui generis lupa encendía la leña.
 
3. “Distribuir los números…”
 
4. “Se compraron 100 frutas…”
A pesar de la aparente indeterminación, el problema sólo tiene una solución” una sandía, 39 manzanas y 60 ciruelas. Numéricamente se debe encontrar la solución a las ecuaciones 50x 10y z 500; x y z 100 dónde x sandías, y no. de manzanas y z no. de ciruelas.
 
5. “En la antigua Roma una viuda…”
La viuda debía recibir 1 000 denarios, el hijo 2 000 y la hija 500. En este caso se cumplirá con la voluntad del padre, ya que la viuda recibe la mitad que el hijo y el doble que la hija.
 
 
Pregunta sorpresa
 
¿Por qué el agua apaga el fuego?
 
Porque al entrar en contacto se evapora parte del agua, desplazando este gas (vapor de agua) al aire circundante, de tal modo que la combustión no puede continuar por falta de oxígeno.
  articulos  

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cómo citar este artículo
Nota de los editores 1984. Problemas y acertijos. Ciencias 5, enero-marzo, 62-63. [En línea]
     
 
     
R05Articulos3   menu2
   
   
Carlos Marx
     
               
               
Presentación
 
Los Manuscritos matemáticos de Carlos Marx están dedicados a esclarecer la esencia del Cálculo Diferencial.
 
La explicación propuesta por Marx respecto a los conceptos fundamentales y métodos del Cálculo Diferencial permite, desde el punto de vista del materialismo dialéctico aún en la actualidad, explicar en esencia el cálculo simbólico de la matemática y de la lógica matemática.
 
Aquí presentaremos la versión castellana de sólo dos manuscritos sobre la noción de derivada.
 
La versión castellana, es traducción de una parte de la edición bilingüe alemán ruso, cuyo título original es Matematischeskie rukopisi, Naura, M., 1968. Esta edición original incluye por primera vez todos los textos de trabajos de Marx que presentan sus aspectos más terminados, así como sus propias anotaciones en apuntes y transcripciones. La edición original contiene comentarios y observaciones de carácter matemático, histórico y de fuentes bibliográficas que la hace accesible a un círculo muy amplio de lectores. La edición estuvo a cargo de Yanovskaya S. A., Rybkin A. Z., Rybnikov K. A. con recomendaciones de Kolmogorov, A. N. y Petrovskii, I. G.
 
A manera de introducción
 
Desde el prólogo a la segunda edición del Antidühring (1885) escrito por Engels, se tiene noticias de que entre los manuscritos de Marx había algunos de contenido matemático a los cuales Engels confería un gran valor y deseaba publicar. Los manuscritos matemáticos están constituidos por aproximadamente 1000 páginas.
 
En el 50 aniversario de la muerte de Marx (1933), una parte de tales manuscritos fue publicada en ruso con los títulos: Bajo la bandera del marxismo, 1933, no. 1, 15-73 y El Marxismo y las ciencias naturales, 1933, 5-61.
 
La edición bilingüe original está dividida en dos partes. En la primera, están concentrados los trabajos propios de Marx. En la segunda se da la relación completa de todos sus apuntes y transcripciones de contenido matemático. No obstante tal separación, para una cabal comprensión de las ideas de Marx respecto a sus apuntes y más aun de las citas textuales de otros autores, frecuentemente es necesario conocer la literatura matemática por él resumida. Evidentemente tal imagen sólo fe da el libro en su conjunto y no dos de sus manuscritos; sin embargo, en el centésimo aniversario de su muerte, quisimos mostrar un botón que propicie la atención por tales manuscritos.
 
El interés de Marx hacia la matemática surgió ante necesidades que le planteó la elaboración de su obra El Capital, usualmente la estudiaba durante sus convalecencias (1858-1860), habiendo empezado con aritmética comercial, álgebra y rudimentos de geometría. En 1878 el estudio de la matemática empezó a tener en Marx un carácter sistemático. En el análisis de las crisis, Marx intentó varias veces calcular las alzas y bajas como curvas irregulares, de suerte que matemáticamente pudieran deducirse de esto las principales leyes. El mejor asesor en matemáticas que tuvo Marx fue Samuel Moore, de modestos conocimientos matemáticos, quien consideró que tal descripción no podía realizarse.
 
Incluso leyendo globalmente todos sus manuscritos es un gran enigma el por qué Marx pasó del estudio de la aritmética comercial al cálculo diferencial; lo que sí queda claro es que Marx se propone explicar cuál es la esencia del cálculo simbólico que opera con el símbolo de la diferencial. Marx basó sus estudios matemáticos en textos usados en la Universidad de Cambridge y textos conocidos de la época como el de Sauri, Boucharlat, Euler, MacLaurin, Lacroix, Hind, Hall y otros. Es digno de recordarse que en la década de los setenta del siglo pasado en el continente europeo se estaba fraguando el análisis clásico contemporáneo, antes que nada en los trabajos de Dedekind, Cantor y Weierstrass y sobre todo con la teoría de números reales y límite. Fue una lástima que Marx no haya tenido mejores contactos matemáticos que el señor Moore, aunque en ese época en todo el Reino Unido no hubiere encontrado personas enteradas, ni mucho menos entusiastas, de los trabajos que se realizaban en el continente, pues aún en 1917 Hardy se lamenta de que su libro está escrito en un estilo patético, que ahora se antoja risible, pero que respondía a que en Cambridge en esa época el análisis matemático era menospreciado.
 
Ésta es la causa del por qué seguramente Marx no reacciona respecto a esa problemática que conlleva interesantes conceptos e ideas más modernas. A pesar de ello, sus ideas acerca de la esencia del cálculo diferencial simbólico representan, aún hoy, un cierto interés.
 
Guillermo Gómez Alcaráz*
 
 
Sobre el Concepto de Derivada de una función1 (manuscrito 4147)
 
I
 
Supongamos que la variable independiente x crece hasta el valor x1 y por lo tanto la variable dependiente y crece hasta y1.2
 
Aquí en la parte I se considera el caso más simple, cuando x aparece solamente a la primera potencia
1) y = ax si x crece hasta x1, entonces
 
y1 = ax1
 
luego
 
y1 - y = a(x1 - x)
 
Si ahora realizáramos la operación de derivación, esto es si permitiéramos a x1 disminuir hasta x, obtendríamos
 
x1 = x ; x1 - x = 0 
 
por consiguiente
 
a(x1 -x) = a · 0 = 0
 
Luego, dado que y creció hasta y1 sólo como consecuencia de que x creció hasta x1, entonces también tendríamos:
 
y1 = y ; y1 - y = 0
 
Por lo tanto
 
y1 - y = a(x1 - x)
 
se convertiría en
 
0 = 0
 
Primeramente la formación de diferencias y luego inversamente quitarlas nos lleva literalmente a la nada. Toda la dificultad para entender la operación de derivación (como también para entender la negación de la negación, en general) consiste precisamente en apreciar en qué se distingue dicha operación de tal procedimiento simple y cómo lleva por lo tanto a resultados reales.
 
Si dividimos a(x1 - x) y respectivamente el primer término de la última ecuación entre el factor (x1 -x),obtendremos
 
ecuación...
 
Puesto que y es la variable dependiente, ella en general no puede realizar ningún cambio en forma independiente. Debido a esto (puesto que aquí y = ax no es posible hacer y1 = y por consiguiente no puede hacerse y1 – y = 0, sin que antes x1 sea igual a x.
 
Por otro lado vimos que x1 no puede ser igual a x en la función
a(x1 - x), sin qua esta última se reduzca a cero. Por esto el factor
(x1 - x) necesariamente resulta una diferencia finita3 en el momento en que dividíamos entre dicho factor ambos lados de la ecuación. De este modo en el momento en que formamos la relación
 
ecuación...
 
la expresión (x1 – x) representa siempre una diferencia finita y por lo tanto y1 – y / x1 – x es una relación entre diferencias finitas; correspondientemente a esto
 
ecuación...
 
Es así que
 
ecuación...    o4    ecuación...
 
donde la constante a aparece como límite de la relación de las diferencias finitas de ambas variables.5
 
Puesto que a es constante, ni a, ni la parte derecha de la ecuación reducida a ella admiten cambio alguno. En tal caso, el proceso de derivación ocurre en la parte izquierda de la ecuación:
 
ecuación...    o    ecuación...
 
y esta resulta ser una característica de funciones-simples tales como a x1.
 
Supongamos que en el denominador de la relación (variable), x1 decrece aproximándose a x; la frontera de su decrecimiento será alcanzada cuando x1 se reduce a x de manera que la diferencia
(x1 – x) resulta igual a x – x = 0 y consecuentemente también
y1 – y = y – y = 0. En esta forma obtenemos
 
0 / 0 = a
 
Dado que en la expresión 0 / 0 se esfumó toda huella de su procedencia y valor, entonces la sustituimos por dy / dx donde las diferencias finitas x1 – x o Δx, y y1 – y o Δy, y aparecen en forma simbólica como diferencias eliminadas o desaparecidas, de manera que Δy / Δx se convierten en dy / dx.
 
Así
 
dy / dx = a
 
Ciertos matemáticos racionalizadores se regocijan fuertemente del hecho consistente en que las magnitudes dy y dx cuantitativamente parecen como si sólo fueran magnitudes infinitamente pequeñas (y que su relación) es sólo cercana a 0 / 0, resultan una quimera, como será mostrado palpablemente en la parte II. Vale además la pena recordar, como particularidad del caso considerado, que tanto
Δy / Δx = a como dy / dx = a, esto es, el límite (de la relación) de las diferencias finitas resulta también el límite (de la relación) de diferenciales.
 
2) Como 2° ejemplo del mismo caso puede servir:
 
y = x ; y1 = x1 , y1 - y = x1 - x    
ecuación...    o    ecuación...    ecuación...    o    ecuación...
 
II
 
Cuando tenemos la expresión y = f (x) donde particularmente en el segundo miembro de esta ecuación aparece una función (de) x en su expresión algebraica desarrollada6 llamaremos a tal expresión función original de x; a su primera modificación obtenido mediante el planteamiento de incrementos —“derivada previa” de la función (de) x— mientras que la forma final que toma como resultado del proceso de derivación la llamaremos “derivada” de la función de x.7
 
1) y = ax3 + bx2 + cx - e
 
Si x crece hasta x1, entonces 
 
 y = ax13 + bx12 + cx1 - e
 
 y1 - y = a(x1 - x)3 + b(x1 - x)2 + c(x1 - x)
 
 = a(x1 - x) (x12 + x1x + x2) + b(x1 - x) (x1 + x) + c(x1 - x)
 
De dónde:
 
ecuación...    o    ecuación... = a(x12 + x1x + x2) + b(x1 + x) + c
 
La "derivada" previa
 
a(x12 + x1x + x2) + b(x1 + x) + c
 
aquí resulta ser el límite del cociente de incrementos, es decir, no importa que tan pequeños sean tomados estos incrementos el valor de Δy / Δx quedará dado por esta “derivada”. Sin embargo, tal valor no coincide como en la parte I, con el límite del cociente de diferenciales.*
 
Si en la función
 
a(x12 + x1x + x2) + b(x1 + x) + c
 
la variable x1 decrece, hasta no alcanzar la frontera de su disminución, esto es, hasta no llegar a ser igual a x, entonces x12 se transforma en x2, x1x en x2 y x1 + x en 2x y así obtenemos la “derivada” de la función (de) x:
 
3ax2 + 2bx + c
 
Aquí claramente se resuelve lo siguiente:
 
En primer lugar, para la obtención de la “derivada” es necesario hacer x1 igual a x, lo que significa desde un punto de vista matemático estricto que x1 – x = 0 sin rodeos debidos solamente a la aproximación infinita.
 
En segundo lugar, el hecho de hacer x1 = x por lo tanto x1 – x = 0, no agrega absolutamente nada simbólico a la “derivada”.** La magnitud x1 introducida originalmente a través de la variación de x no desaparece, tal magnitud solamente se reduce a su límite mínimo = x y permanece como cierto elemento de nuevo introducido en la función (de) x original. Esta magnitud x1 en combinaciones parciales consigo misma y parcialmente con la x de la función original nos da la derivada definitiva, o sea, la “derivada” previa reducida a su magnitud mínima.
 
La reducción de x1 a x dentro de la función primera derivada (previa) transforma la parte izquierda de Δy / Δx en 0 / 0 o en
dy / dx, lo cual significa que
 
ecuación...
 
de tal manera que la derivada aparece como el límite de la relación de las diferenciales.
 
La tribulación trascendente o simbólica ocurre solamente en la parte izquierda de la expresión, pero ya habiendo perdido su forma horripilante, dado que ahora aparece solamente como una expresión del proceso, cuyo contenido real aparece en la parte derecha de la misma ecuación.
 
En la “derivada”
 
3ax2 + 2bx + c
 
la variable x se encuentra en condiciones totalmente distintas a las que se encontraba en la función original (de) x precisamente en
ax3 + bx2 + cx – e. Por esto, ella (esta derivada) a su vez puede aparecer como función original y mediante la reanudación del proceso de derivación establecido ser de nuevo fuente de una cierta “derivada”. Esto puede repetirse hasta que la variable x no sea finalmente eliminada de alguna derivada, por lo tanto, esto puede extenderse infinitamente sólo en aquellas funciones de x representables como sumas infinitas lo que ocurre en la mayoría de los casos.
 
Los símbolos d2y / dx2, d3y / dx3, etc., indican sólo la “derivada” genealógica respecto de la función original (de) x dada inicialmente. Sólo aparecen como símbolos mágicos en caso de interpretarlos como punto de partida del movimiento y no simplemente como expresiones de las funciones (de) x deducidas. Entonces en efecto parece sorprendente que la relación de magnitudes que se anulan deben nuevamente pasar por grados superiores de anulación, mientras que a nadie le sorprender que por ejemplo 3x2 puede recorrer el proceso de derivación tan exitosamente como su progenitora x3. Dado que de 3x2 podemos partir como de una función original de x.
 
Sin embargo notabene. El cociente de incrementos Δy / Δx es el punto de partida del proceso de derivación prácticamente sólo en ecuaciones como las tratadas en la parte I, donde x aparece sólo a la primera potencia. Pero entonces como se muestra en la parte I, obtendremos como resultado que:
 
ecuación...
 
Por ende, aquí mediante el proceso de derivación, por el que pasa Δy / Δx, efectivamente no se determina ningún nuevo límite. Esto (la búsqueda del nuevo límite) es posible sólo debido a que la “derivada” previa contiene a la variable x, es decir, porque dy / dx permanece como símbolo de cierto proceso real.*
 
Esto, evidentemente de ninguna forma impide el que en el cálculo diferencial los símbolos dy / dx, d2y / dx2, etc., y sus combinaciones aparezcan en el lado derecho de la ecuación. Pero entonces sabremos también que tales ecuaciones simbólicas puras sólo señalan aquellas operaciones que luego hay que realizar sobre las funciones reales de sus variables.
 
2) y = axm
 
Si x se convierte en x1, entonces y1 = axm y
 
y1 - y = a(x1m - xm)
 
= a(x1 - x) (x1m-1 + x1m-2x + x1m-3x2 + etc.
 
hasta el término x1m-mxm-1)
 
tendremos
 
ecuaci/ecuación = a(x1m-1 + x1m-2x + x1m-3x2 + . . . + x1m-mxm-1) 

Si ahora aplicamos a esta “derivada previa”* el proceso de derivación, de manera que al hacer x1 = x o x1 + x = 0 tendremos que
 
x1m    Se transforma en    xm-1
 
x1m-2x    Se transforma en    xm-2x = xm-2+1 = xm-1
 
x1m-3x2    Se transforma en    xm-3x2 = xm-3+2 = xm-1
 
y finalmente
 
x1m-mxm-1    Se transforma en    xm-mxm-1 = x0+m-1 = xm-1
 
Obtenemos de este modo, m veces la función xm–1 y la “derivada” es consecuentemente maxm–1.
 
Gracias a la igualdad de x1 = x en la “derivada previa”* el lado izquierdo el cociente Δy / Δx se transforma en 0 / 0 o dy / dx, de donde
 
ecuación...
 
Podrían exponerse de esta manera todas las operaciones del cálculo diferencial, pero resultaría un pedantismo diabólico innecesario. De todas formas plantearemos aquí un ejemplo adicional, ya que en los anteriores la diferencia x1 – x aparecía en la función (de) x sólo una vez y por eso al formar la expresión
 
ecuación...
 
desaparecía de la parte derecha. Esto no ocurre en el siguiente caso:
 
y = ax
 
Si x se transforma en x1, entonces
 
y1 = ax1
 
de donde
 
y1 - y = ax1 - ax = ax(ax1-x - 1)
 
[pero]
 
ax1-x = { 1 + (a - 1)}x1-x
 
y
 
{1 + (a - 1)}x1-x = 1 + (x1 -x) (a - 1) + ecuación... + etc.8
 
de donde
 
y1 - y = ax(ax1-x - 1) = ax {(x1 - x) (a - 1)
 
ecuación...
 
ecuación...
 
9 símbolo...
 
ecuación...
 
ecuación...
 
Si ahora hacemos x1 = x y por consecuencia x1 – x = 0, obtendremos entonces como “derivada”
 
ax{(a - 1) - ½(a - 1)2 + ¹⁄³(a - 1)3 - etc.     }

y así:
 
dy/dx = ax{(a - 1) - ½(a - 1)2 + ¹⁄³(a - 1)3 - etc.     }
 
Si designamos ahora la suma de constantes en las llaves a través de A, entonces
 
dy/dx = A ax

aquí, sin embargo A = al logaritmo neperiano del número a, resulta ser igual que la dy/dx o, si se sustituye a y por su valor,
dax/log a · ax, y
 
dax = log a· ax dx
 
 
Complemento10
 
Teníamos
 
 1) Los casos considerados, donde el factor (x1 – x) aparece sólo una vez en [la expresión, que lleva a] “derivada previa”, o sea a la ecuación en diferencias finitas11, como consecuencia de lo cual al dividir ambos lados por x1 – x se forma [una expresión para]
 
ecuación...
 
[que no contiene la diferencia introducida x1 – x], es decir este factor se simplifica de la función (de) x.
 
 2) (En el ejemplo: d(ax)) los casos considerados, donde permanecen factores (x1 – x) en la función (de) x luego de formar [la relación]
Δy / Δx.12
 
 3) Falta considerar aún aquel caso, donde el factor x1 – x directamente no se elimina de la primera ecuación en diferencias [que nos lleva a] la “derivada previa”.
 
ecuación...
ecuación...
ecuación...
 
dividimos esta función de x —consecuentemente también la parte izquierda— entre x1 – x. Entonces
 
ecuación...
 
Para librar al lector de las irracionalidades, multipliquemos numerador y denominador por  ecuación... y obtenemos:
 
ecuación...
 
ecuación...
 
pero
 
ecuación...
 
por lo tanto
 
ecuación...
 
Si ahora se hace x1 = x o x1 – x = 0, entonces
 
ecuación...
 
por lo tanto
 
ecuación...
 
 
 
Textos citados
 
Bouchalart S. L., Elements de calcul differentiel et de calcul integral, 5-me éd., París, 1838.
 
Euler, L., Institutiones calculi differetialis cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, Berlín, 1755.
 
Hall Th., G., The elements of algebra, 3rd. ed., Cambridge, 1850.
 
Hind J., The principles of the differential calculus; with its application to curves and curve surfaces, 2nd ed., Cambridge, 1831.
 
Lacroix, S. F., Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 3 vol., 2nd éd., París, 1810-1819.
 
MacLaurin, C. A., Treatise of algebra in 3 parts, 6th. ed., London, 1976.
Sauri, Cours complet de mathámatiques, 5 vol., París, 1778.
 
     

Notas

1. Este manuscrito fue elaborado por Marx en 1881 para Engels. Es el primer trabajo, del ciclo de manuscritos pensados por Marx, dedicado a la exposición sistemática de sus ideas relativas a la naturaleza e historia del cálculo diferencial. En él, introduce la noción de derivación algebraica que le pertenece y el correspondiente algoritmo para calcular la derivada de ciertas clases de funciones. En el sobre adjunto al manuscrito está una leyenda escrita por Marx: “Para el General”. Así llamaba a Engels la familia de Marx por su artículo referente a problemas militares. En cuanto Engels conoció este manuscrito respondió a Marx con carta del 18 de agosto de 1881 (véase las obras de Marx K. y Engels F., tomo 35 pags. 16-18). El texto alemán del manuscrito se publica con las rectificaciones hechas por Marx al texto original. Algunos de los materiales preparatorios (bosquejos, complementos) se publican en el manuscrito 4 146 de la presente edición. Las referencias a borradores no publicados son señaladas con anotaciones al pié de página. Este manuscrito fue publicado por primera vez (incompleto) en 1933 en ruso en la revista Markszim y Estiestvoznznanie, Partizdat, Moscú, 5-11 y en la revista Pod znamieniem Markszim No. 1 (I933) 15. En la edición bilingüe por primera vez aparece en alemán.
 
2. Para evitar errores con le notación de derivada aquí y en lo subsecuente en casos similares las notaciones usadas por Marx x1, y1, … para los nuevos valores de las variables serán sustituidos por x1, y1,…
En las fuentes que Marx utilizó no aparecía la noción de valor absoluto (módulo). Por esto Marx con frecuencia (por lo visto para fijar ideas) considera sólo los valores crecientes de las variables, pero hay veces (véase por ejemplo en los manuscritos 4001, 4302) que habla también sobre el “crecimiento” de x en un incremento h positivo o negativo".
 
3. De acuerdo a la terminología acostumbrada en fuentes utilizadas por Marx, al decir diferencia finita se sobreentiende una diferencia no igual a cero.
 
4. En toda ecuación, Marx distingue sus dos miembros, los cuales no siempre juegan un papel simétrico. En el miembro izquierdo de la igualdad frecuentemente él coloca dos expresiones sinónimas diferentes unidas por el conectivo “o”.
 
5. En la literatura matemática que Marx tuvo a su disposición, el término límite (de una función) no tenía un único significado y lo más frecuente es que se entendiera como el valor de la función, alcanzado por ella finitamente al final de un proceso infinito de aproximaciones de la variable a su valor límite (véase el apéndice: “Sobre el concepto de límite en las fuentes utilizadas por Marx”). A la crítica de tales deficiencias está dedicado el manuscrito 4144: “Sobre la unicidad de los términos límite y valor límite”.
En el presente manuscrito, el término límite es utilizado por Marx en un sentido especial: como la expresión que redefine la relación dada para aquellos valores de la variable en los que la expresión original no está definida. Expresiones necesitadas de tal redefinición fueron para Marx las relaciones Δy / Δx (se reduce a 0 / 0 cuando Δx = 0 y la dy / dx, ésta última interpretada como expresión simbólica para una relación de diferencias ficticias eliminadas, esto es para 0 / 0. Marx entiende la aplicación del límite a la relación Δy / Δx en cierta correspondencia con las definiciones de este concepto contenidas en los textos de Hind y Lacroix, a saber: como la expresión idénticamente igual a la relación Δy / Δx, si Δx = 0 pero redefinida por continuidad cuando se reduce a 0 / 0. Lo entendido aquí por límite debería entenderse como la prederivada. Sobre este particular Marx escribe (véase la parte II) aplicando a la relación Δy / Δx, donde
y = ax3 + bx2 + cx + d: La prederivada resulta ser el límite de la relación de las diferencias finitas, es decir independientemente de lo pequeñas que sean tales diferencias el valor de Δy / Δx estará dado por esta derivada. Más adelante en el mismo II Marx dice que haciendo x1 igual a x, o sea Δx = 0 lleva este límite a su valor mínimo, lo cual da como resultado la derivada definitiva.
En forma análoga por límite de la relación de diferenciales Marx entiende en este manuscrito la expresión real (algebraica, véase la nota al pié de página No. 6) que le confiere un valor a dicha relación, en otras palabras la función derivada. Sin embargo Marx escribe que en la ecuación dy / dx = f(x) ninguno de los dos términos es el valor límite del otro. Estos términos no se encuentran uno respecto del otro en relación del límite, sino en relación de equivalencia (véase el final del manuscrito 4144). Este mismo término en otro lugar (véase el final del manuscrito 4148, tercer bosquejo) como sustituible por la categoría de límite en el sentido que tiene en el texto de Lacroix, en donde tal categoría posea un valor importante para el cálculo diferencial e integral (sobra la definición de Lacroix véase el apéndice: Sobre el concepto de límite en las fuentes matemáticas que utilizó Marx).
 
6. Bajo el nombre de algebraica Marx entienda toda expresión que no contiene símbolos de derivadas o diferenciales. Tal uso del término expresión algebraica es característico de la literatura matemática de principios del siglo XIX.
Con frecuencia Marx distingue los conceptos de función siguientes: función de (van) x, y función en (in) x, esto es función como correspondencia y función como expresión analítica (véase el manuscrito 4302 manuscrito inconcluso: Teorema de Taylor). En el presente manuscrito Marx no se ciñe rigurosamente a tal distinción, mencionando frecuentemente sólo función (de) x (donde el de es un agregado obligado en castellano, pero que evidentemente no aparece en el original) posiblemente esto se deba a que siempre está hablando de funciones dadas por ciertas expresiones algebraicas. La correspondencia que relaciona el valor la variable dependiente x con el valor de la variable dependiente y Marx la da mediante la ecuación y = f(x) donde y es la variable dependiente y f(x) es la expresión analítica, considerada respecto a la variable incluida, x.
 
7. La esencia del método de derivación algebraica presentado por Marx consiste en que la relación f(x1) / f(x) / x1 – x el cociente de incrementos (que tiene sentido sólo si x1 = x) él la redefine por continuidad en x1 = x. Con este fin es que busca la función w(x1, x) la cual para x + x coincide con la relación f(x1) – f(x) / x1 – x es continuidad bajo x1 x tal función w(x1, x) Marx la llama función derivada previa de la función f(x). Si esta última existe (lo cual tiene lugar para la clase de funciones aquí consideradas), entonces dicha derivada coincide con la actual noción de derivada:
En esta época a Marx ya le eran conocidas funciones para las que el operador derivada no estaba definido (véase el manuscrito 4302).
 
* Luego de esta frase en el borrador de este manuscrito (4146, p. 4) se dice: Por otro lado, al proceso de derivación ocurre ahora en la derivada previa de la función (de) x (parte derecha), mientras que en la parte izquierda necesariamente el mismo proceso acompaña a este movimiento.
 
** En lugar de esto, en el borrador se dice lo siguiente: b) la búsqueda de la derivada de la función original (de) x ocurre de manera que primeramente tomamos cierta derivación finita [formando los incrementos, o sea las diferencias finitas]; esto último nos da la derivada previa, que resulta ser el límite para Δy / Δx. Al proceso de derivación que en seguida pasamos lleva a este límite a su valor mínimo. La magnitud x1 introducida en la primera derivación no desaparece.
 
* La frase correspondiente en el borrador (p. 7) dice así: Esto puedo obtenerse sólo allí, donde la función derivada previa contiene la variable x, por eso también su movimiento puede formar cierto nuevo valor auténtico, de manera que dy / dx es el símbolo de un proceso real.
 
* Es decir, en el lado derecho.
 
8. Aquí Marx reprodujo el desarrollo formal de una función en serie característico de los libros de matemáticas a los que él tuvo acceso, dejando de lado los problemas de convergencia de la serie obtenida y coincidencia de los valores de la función con los límites de las sumas parciales.
 
9. Símbolo usado en las demostraciones para sustituir la frase por lo tanto.
 
10. El texto titulado Complemento lo constituye el contenido adjunto en una hoja separada al manuscrito, la cual tiene numeradas sus páginas en forma independiente: 1 y (el reverso 2).
 
11. Bajo ecuación en diferencias finitas, por lo visto, Marx tiene en mente expresiones tipo: f(x1) – f(x) = (x1 – x) w(x1, x) (véase la anotación 7).
 
12. En este lugar Moore escribió a lápiz: No as así, estos factores son x1 – x1, x1 – x2, etc. Por lo visto, Marx aquí presuponía no los factores (x1 – x), sino las expresiones x1 – x y quiso decir que la reducción a cero de la diferencia x1 – x conservadas en las expresiones para la derivada previa, no priva de veracidad a esta última.
     
____________________________________________________________
     
Traducción: Guillermo Gómez Alcaráz
Profesor e investigador de la Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.

 
 
cómo citar este artículo
Marx , Carlos y (Traducción Gómez A., Guillermo). 1984. Sobre el concepto de derivada de una función. Ciencias 5, enero-marzo, 26-32. [En línea]
     
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