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Río de tiempo y agua.
Procesos y estructura en
la Ciencia de nuestros días
Pedro Miramontes
Copit ArXives, 2010
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Todos sabemos lo que significa escribir un libro de
divulgación dirigido al gran público. Sabemos y hemos sentido en carne propia lo que implica decir las cosas bien, sin falsificar su contenido científico para hacerlas asequibles y amenas a la vez. Lograr que nuestro libro resulte cierto, informativo, ligero, ameno y atractivo es poco menos que una proeza. Bien, aquí tenemos uno de esos libros que cumple con tales cualidades y que posee el mérito adicional de contener una dosis adecuada de buen humor, más otra de buena cultura general que agrega riqueza y color al texto. Sumado a lo anterior nos ofrece dos extras: uno, poco común, es la atención prestada a los problemas sociales, lo que significa mostrar en cada oportunidad cómo se imbrican y traban mutuamente la temática científica y la realidad social y sus problemas, generales o específicos. El otro plus es mérito no de Pedro, sino de Octavio, su hermano, pues el libro de marras aparece publicado en la red de acceso libre, de Open Access, Copit ArXives. Así que es gratis y está ya a nuestra disposición. ¡Hay que aprovechar!
El libro contiene ocho ensayos que fueron publicados en el curso de varios años en la revista Ciencias, la exitosa y multipremiada publicación de la Facultad de Ciencias de la unam, sostenida a lo largo de los años por un grupo pequeño, pero entusiasta y capaz. Cada ensayo aborda un asunto particular que queda hábilmente ocultado, más que identificado, por su título, siempre de una sola palabra. Es al adentrarse en la lectura cuando el lector descubre que tal palabra es un acierto de buen humor, que desvela efectivamente el contenido, pero agrega una dosis de enigma, al mejor estilo de Delfos.
Como es de esperarse de su autor, cualquiera que sea el tema de los varios que toca, la visión que guía la mano del escriba es la teoría de sistemas complejos. Explícita o no, es siempre ésta la voz silenciosa que imprime el fondo del argumento. La unidad y variedad de la obra proviene precisamente de la riqueza del tema genérico que la cruza. Esta pequeña colección de ensayos refleja en alguna forma el inmenso campo que cubre el tema que conocemos como sistemas dinámicos o, si se prefiere, caos determinista. El autor aborda asuntos diversos con característica autonomía, un tanto herética y siempre libertaria, en los que la no linearidad de los sistemas que nos ofrece la naturaleza —o, en ocasiones, la sociedad— es razón central de su comportamiento azaroso. De manera simple le hace comprender al lector que, atrás de los grandes incidentes, usualmente están las mismas causas que determinan sucesos análogos pero pequeños o insignificantes, que no se requieren explicaciones ad hoc. Que la extendida idea de que los eventos pequeños resultan de causas pequeñas, mientras que los grandes eventos se explican por grandes causas, pertenece a una visión en general ya superada. Pedro no deja pasar la oportunidad para hacer ver que esto no es característico sólo de las ciencias naturales, sino que se dan situaciones similares en la vida cotidiana, en la sociedad y su economía. Una crisis económica mayúscula, por ejemplo, no necesariamente requiere una explicación particular ajena a los procesos económicos usuales, como se pretende con tanta frecuencia. Exactamente como un terremoto de grado máximo tiene como causa los mismos acomodamientos de las placas tectónicas que dan lugar a los cotidianos temblores de grado tres o cuatro.
Pedro centra su atención en los sistemas no lineales, que es una caracterización que engloba la gran mayoría de los sistemas de toda naturaleza. Explica cómo las interacciones internas en tales sistemas conducen al caos determinista y ello, a su vez, a una limitación intrínseca de la capacidad predictiva de nuestras teorías en el largo plazo. Es cierto que la mecánica de Newton permitió a Haley predecir con precisión cuándo reaparecería en nuestro cielo de nueva vuelta su cometa, lo que impulsó de manera importante la confianza en la capacidad de la ciencia para conocer el futuro. Sin embargo, la realidad es que la inestabilidad connatural de nuestro sistema planetario, debida a las leyes no lineales que lo sostienen, no nos autoriza a hacer predicciones para tiempos ilimitados. No tenemos el futuro en las manos. De manera suave, Pedro nos muestra el contraste entre esta realidad y la visión que se alimentara durante el siglo de la Ilustración y hasta hace no muchas décadas, plena de confianza en las posibilidades ilimitadas de la ciencia.
Podría tal vez pensarse que hemos salido perdiendo al descubrir nuestra limitada capacidad de predicción a plazos largos en los sistemas complejos, que es decir en casi todo. Con fácil palabra, Pedro nos hace ver la contraparte de ello, lo mucho que hemos ganado en dos diferentes terrenos. Por un lado, la nueva visión nos provee la posibilidad de entender cómo es que surgen estructuras en ciertos sistemas simples inicialmente homogéneos e indiferenciados, tema de grandes alcances y que resultara misterioso para la ciencia anterior al estudio de los sistemas complejos. Por otro lado, nos muestra cómo la pérdida de capacidad predictiva no es por ignorancia, sino porque los datos específicos de que disponemos, por precisos que sean, resultan siempre insuficientes para hacer la predicción acertada a plazos arbitrariamente largos. No podemos predecir el clima que habrá en la Ciudad de México el 15 de septiembre de 2025. Estamos frente al efecto mariposa, descubierto por Poincaré hace ya cien años, cuando se dio al estudio de la estabilidad del sistema planetario y descubrió lo inesperado para sorpresa de todos: este sistema, al que consideramos tan estable que no albergamos la mínima duda de su buen funcionar, es esencialmente inestable. Simplemente, es un sistema no lineal.
En sus ocho ensayos, Pedro nos lleva a terrenos muy diversos y presta breve atención a algunos momentos históricos relativos, para hacernos ver cómo emergen con frecuencia teorías antagónicas, las que se contraponen en ocasiones por siglos y conviven en un estado de tensión que conduce, finalmente, a su solución dialéctica. En la física tenemos el ejemplo paradigmático de la identificación de la causa que mantiene el movimiento de los cuerpos (inercia o fuerza), tema de búsqueda y contradicción que se extendiera por más de quince siglos. Y hay varios otros, todos por demás conocidos, como la determinación de la naturaleza del calor (fluido o movimiento) o la estructura de la materia (continua o discreta), por no citar los que vive la física de nuestros días y caer en controversias.
El autor nos ilustra al respecto en el capítulo acertada y poéticamente titulado Paisajes, con un episodio análogo en la biología, que se diera entre la teoría de la preformación y la teoría epigenética del desarrollo. En esencia, la primera —la teoría de la preformación— veía en cada espermatozoide, y más tarde en cada óvulo, al futuro ser ya prefigurado, perfectamente formado y cargando incluso a sus futuros descendientes. El desarrollo de la ciencia y de sus recursos condujeron al encuentro de argumentos suficientemente sólidos como para encauzar al medio científico hacia la teoría epigénica del desarrollo, es decir, el desarrollo por diferenciación celular. La idea de procesos que conducen de un estadio primitivo, caracterizado por lo simple e indiferenciado, a estructuras y funciones complejas y diferenciadas, se abrió paso. En el entender de Waddington, el famoso embriólogo y pionero inglés, la epigénesis —es decir, los procesos de desarrollo— se encuentran por todas partes. Fijada la idea, de manera natural surgió muy pronto el problema de determinar qué establece la dirección del desarrollo en ausencia de predesarrollo. Y la respuesta simple, directa, y tal vez ingenua, no se hizo esperar: una fuerza vital, con lo que la nueva teoría cayó en el vitalismo. Quizá ustedes se acuerdan de que incluso fue ésta la explicación que durante décadas se dio del movimiento browniano: los granos de polen están en movimiento perpetuo de agitación debido a la energía vital que poseen. Hoy nos es claro que ésta no era la solución, ni en la física ni en la biología. Si desean conocer la evolución y desenlace de esta historia breve y vivamente presentada por Pedro, lo mejor es que lean este excelente libro. Es agradable y gratuito.
Pedro pone énfasis en sus discusiones históricas el que en cada caso se trata de hombres y teorías que se corresponden con su época y su situación, y si algunas de las propuestas hoy nos pudieran parecer ridículas o extravagantes, de ninguna manera lo fueron en su momento. Creo que éste es uno de los puntos más atractivos de la obra: nos hace ver cómo la ciencia es un fluir en que cada tiempo histórico imprime las huellas de su momento. Es así como llega, por ejemplo, a interesantes observaciones sobre el desarrollo y significado de la homeopatía, o del trabajo profundamente original de ese pionero de la biología matemática que fuera D’Arcy Thomson, o a un buen número de otros temas de similar interés, cuya presentación destaca en cada caso por su originalidad y la visión social que la guía.
El buen humor campea a lo largo de todo el libro. Por ejemplo, con no mucho más motivo que da el armar la oportunidad buscada, Pedro nos cuenta cuál es la historia real detrás de las hazañas atribuidas a uno de los héroes holandeses, Piet Heyn. De ese asunto yo no sabía nada y vine a enterarme de que se trata de uno de esos piratas protegidos y alentados por su respectiva corte. Es bien sabido cómo la corona inglesa, en particular la reina Isabel I, protegía e incluso premiaba la piratería, en particular la ejercida por sus huestes en el Caribe durante su guerra con España. Es ésta una historia conocida que se extendiera durante los siglos xvi y xvii, cuando grandes piratas ingleses se convirtieron en personajes famosos y poderosos, premiados con su elevación a la nobleza. Su fama nos llega hasta hoy con Sir Francis Drake o Sir Henry Morgan, e incluso con un poco de libertad podríamos incluir a Sir Walter Raleigh —aunque este último acabó en el cadalso, casi con su tabaco en la mano. Estos tres personajes fueron tornados caballeros de la corona por los altos servicios prestados a su país, unos desvalijando barcos cargados con el oro y la plata extraída de las minas mexicanas, tesoro que finalmente sirviera a Inglaterra para destruir la Armada Invencible española; el otro acabó destruyendo por sus pistolas lo que fuera la Guyana Inglesa.
Pedro mira al otro lado y nos recuerda que los holandeses comparten la misma gloria. Ambos países, Inglaterra y Holanda, fueron los campeones de la piratería en el Caribe. Y sucede que Piet Heyn llevó tantas toneladas de oro pirateado a su país que con ello se convirtió en héroe nacional. Y sigue siendo considerado un héroe hasta hoy, casi cuatrocientos años después de que realizara sus despojos. Ese otro tesoro mexicano se utilizó en crear la armada holandesa que en 1630 sirviera para apoderarse de Pernambuco. Vemos así que no fue menor nuestra contribución a las lides coloniales.
Regresando al terreno inicial, me permito unas palabras sobre el espíritu que sobresale en las discusiones y le proporciona un tenor muy particular a la obra. Pedro es a la vez un científico maduro y una persona de convicciones. Sabe bien cuál es el lugar de cada cosa y pone cada cosa en su lugar. Al analizar un tema científico lo hace apegado a las normas de la buena ciencia, pero no se olvida de que esa buena ciencia tiene o tuvo un lugar y una época, y que estos —el momento y el medio— imprimieron un patrón o una huella profunda en la manera de pensar y de proceder de los científicos. Así como en la época de Aristóteles la ciencia aristotélica (permítanme llamarle así) era la buena ciencia y había muy poco espacio para otra ciencia, pues las concepciones del momento representaban a la vez motores y frenos para determinadas ideas, lo mismo ocurre en nuestra época.
Pedro invita al lector en esta obra, de manera abierta o indirecta, según el caso y el momento, a percibir el hecho de que también la actividad científica actual tiene no sólo su motor interno, fincado al interior de la ciencia, sino que opera simultáneamente un poderoso motor externo que en mucho decide su camino. Es claro que la parte más poderosa de esta maquinaria externa radica en las grandes estructuras de poder económico, político y militar que imponen sus normas a nuestras sociedades, muy particularmente en las más avanzadas.
Termina su obra, pues, discutiendo brevemente los “demonios de la ciencia”, para hacernos ver cómo en esa alternancia histórica entre racionalismo y romanticismo, pese a vanagloriarnos hoy del racionalismo de nuestra ciencia, lo tenemos colocado en el banquillo de los acusados. Quo vadis, scientia?
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Referencias bibliográficas
Río de tiempo y agua. Procesos y estructura en la Ciencia de nuestros días
http://scifunam.fisica.unam.mx/mir/copit/TS0007ES/TS0007ES.html |
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Nota
Texto leido en la presentación del libro Río de tiempo y agua en el Instituto de Física de la UNAM el 21 de octubre del 2010.
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Luis de la Peña
Instituto de Física,
Universidad Nacional Autónoma de México.
como citar este artículo → De la Peña, Luis. (2011). Río de tiempo y agua, procesos y estructura en la ciencia de nuestros días. Ciencias 101, enero-marzo, 74-78. [En línea] |
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Una especie multiusos del trópico mexicano
Trema micrantha (L.) Blume
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Udavi Cruz Márquez, Citlalli López Binnqüist y Patricia Negreros Castillo
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Con 370 millones de años en el planeta, los árboles son las
únicas plantas que, por su belleza y tamaño, no escapan de la vista de nadie. También son los seres vivos más longevos e indispensables para la supervivencia de todos los seres vivos que habitamos en el planeta. Existen árboles en todas las zonas terrestres del mundo y en todos los climas, y precisamente es el clima el que determina cuántos diferentes tipos de árboles (y todos los organismos vivos en general) se pueden encontrar en una localidad. En el presente y en el pasado, los componentes de los árboles (hojas, frutos, troncos, cortezas, raíces y más) han sido utilizados por animales y humanos como medicina, alimento, refugio o vivienda. Los árboles, además, proporcionan las condiciones para que una enorme cantidad de especies animales, vegetales, microscópicas y fúngicas encuentren un medio adecuado para su subsistencia. En conjunto integran los ecosistemas más impresionantes y diversos del mundo: los bosques y las selvas.
Los árboles crecen en gran número y tamaño dentro de las selvas, las cuales son los ecosistemas terrestres más biodiversos, pues incluyen también la mayor diversidad arbórea. Esto significa que hay mucho que queda por conocer y que dichos ecosistemas son fuente de una enorme gama de recursos maderables y no maderables (remedios, toxinas, estimulantes, antioxidantes, alimentos, etcétera), que contribuyen a la subsistencia y desarrollo del ser humano. De hecho, en muchos lugares del mundo, a los árboles se les dan diferentes usos y muchos de ellos no incluyen la generación de productos para la comercialización. De esta forma las personas logran satisfacer un buen número de sus necesidades directamente de la extracción y transformación de los árboles (raíz, tallo, hojas y frutos) presentes en su entorno cercano, sin necesitar dinero en efectivo para obtener dichos productos. En este tipo de sociedades se han desarrollado formas de utilización que incluyen el cuidado y siembra continua de los árboles, ya que de ellos obtienen directamente productos necesarios para su supervivencia. Desafortunadamente, en las sociedades modernas no hemos aprendido a lograr este balance entre extraer y volver a sembrar o reponer los árboles y otros organismos vivos que utilizamos.
Al igual que las personas, cada especie de árbol tiene su propia historia y características, ninguna superior a otra, que forman parte del enorme y diverso mosaico que es nuestro planeta. El caso de Trema micrantha, un árbol que se considera de rápido crecimiento (puede alcanzar hasta más de 6 metros de altura en su primer año de vida), es un ejemplo definitivo del amplio rango de beneficios que pueden originarse de una sola especie. Estos beneficios pueden ser directos para las personas, ya sea por medio del aprovechamiento o mediante la conservación de los suelos y las condiciones forestales.
En los bosques tropicales húmedos
T. micrantha es una especie que, en forma natural, se encuentra en selvas húmedas y bosques de niebla (que están en una transición entre selva y bosque templado). Según Ackerly, en nuestro continente se le puede encontrar desde el sur de Florida hasta el norte de Argentina. En México está presente desde 0 hasta 1 500 metros sobre el nivel del mar, atravesando por ecosistemas de selvas perennes en zonas bajas y selvas medianas, hasta zonas semialtas en los bosques mesófilos de montaña, aunque es más frecuente encontrarlo en las planicies costeras del Golfo de México, donde su distribución es muy alta. Se le conoce comúnmente con diferentes nombres según la región donde se encuentre, por ejemplo: ishpepe (Veracruz centro), jonote (sierra norte de Puebla), cuerillo (sierra totonaca), capulín, chaka cueruda (Puebla), puam (Brasil), jucó (Costa Rica), entre otros (aquí nos referiremos a ella como jonote).
El jonote es un árbol perenne, es decir, se le puede observar con follaje verde durante todo el año (la renovación de sus hojas y ramas ocurre constantemente). Tiene una copa amplia y abierta, lo que quiere decir que deja pasar los rayos del sol y por lo tanto crea una sombra poco densa. Sus hojas tienen forma de punta de lanza con el borde dentado y están dispuestas de manera alternada en delgadas ramas Las flores del jonote son muy pequeñas, de apenas 5 milímetros de diámetro, con cinco pétalos de un color crema verdoso, y muy abundantes en racimos pegados a las ramas. Las flores son polinizadas por diversas especies de diminutos insectos, que visitan el árbol para alimentarse y llevan consigo el polen necesario para fecundar otras flores.
Los frutos son igualmente pequeños y redondos, de 2 milímetros de diámetro y de color naranja brillante cuando se consideran maduros. Cada fruto contiene una sola semilla de color negro y apenas un milímetro de diámetro. Una variedad de aves no identificadas se alimenta de los frutos del jonote, transportando las semillas a lugares lejanos del árbol madre, lo que facilita un amplio rango de dispersión. La temporada en que produce flores y frutos se puede extender desde mayo hasta diciembre, por lo que el jonote representa una fuente importante de alimento durante la mayor parte del año para distintas especies de aves, insectos y tal vez murciélagos. La corteza del jonote es suave y rojizaparda cuando el árbol es joven, pero a medida que madura va tomando una apariencia grisácea y granulosa. El árbol llega a medir hasta 30 metros de altura, con un diámetro de alrededor de 70 centímetros.
Al jonote se le considera una especie de rápido crecimiento. Existen informes que indican que en Costa Rica puede alcanzar una altura de seis metros en el primer año de vida y también hemos encontrado alturas de más de nueve metros en árboles de un año de edad en la sierra norte de Puebla. En forma natural germina y se establece rápidamente para colonizar terrenos que han sido desmontados, abandonados o en descanso; debido a esto se le conoce como “árbol pionero” (que llega primero) y se establece en condiciones que resultan desfavorables para la mayoría de las especies. La presencia de árboles pioneros permite que se den las condiciones de humedad, sombra y fertilidad del suelo para la germinación y crecimiento de otros árboles propios del bosque maduro cuyas plántulas no pueden crecer a sol abierto.
Las semillas del jonote son muy abundantes en los bancos de semilla de suelos de bosques y selvas. Cuando tienen las condiciones de calor, luz y humedad, algunas de las semillas presentes en el banco comienzan su proceso de desarrollo. La capacidad del jonote de crecer rápido le da cierta ventaja sobre otras plantas de su tipo. Además de ser especie pionera, el jonote también es una especie “heliófita”, porque tolera y necesita para su desarrollo condiciones de alta radicación solar.
En sus zonas de distribución natural, la T. micrantha es abundante. A pesar de que su hábitat se reduce constantemente, ha logrado adaptarse a las dinámicas de manejo y uso del suelo de las comunidades agrícolas. Algunos cafeticultores (principalmente indígenas) permiten que los arbolitos se establezcan de manera natural, retiran aquellos que no les sirven y dejan crecer a aquellos seleccionados para proporcionar sombra al café. Los pobladores de la zona de distribución han encontrado en esta especie una fuente de recursos económicos y ecológicos: algunos de ellos recurren a la recolección de semillas para regarlas al voleo en los lugares donde desean que este árbol se desarrolle.
Las formas industriales de producción intensiva y extensiva, en las que no se fomenta la biodiversidad y no se permite el descanso de tierras agrícolas, no permiten las condiciones para que el jonote se establezca. Aquellas parcelas donde se aplican herbicidas no tienen la presencia de jonote debido a que esta especie es muy susceptible a estos agroquímicos en sus estadios tempranos de crecimiento. Hemos encontrado que no existen estudios sobre el establecimiento de esta especie en terrenos erosionados por la acción de agroquímicos, —aunque sí se conoce que una de sus características (mencionada anteriormente) es su fácil establecimiento en condiciones desfavorables para la mayoría de las especies arbóreas, como lo son los terrenos erosionados.
El jonote puede crecer en distintos tipos de suelos, inclusive aquellos carentes de materia orgánica, arenosos o calcáreos. Debido a su rápido crecimiento y a su plasticidad adaptativa en distintos suelos, el jonote puede ser utilizado en la restauración ecológica (es decir, por la mano del ser humano) de tierras de descanso, potreros abandonados o de suelos erosionados. Con un adecuado manejo diversificado de árboles secundarios se puede acelerar la regeneración de las condiciones forestales. Conocer bien la naturaleza, la diversidad de especies y sus propiedades, nos puede permitir reparar parte del daño causado al medio ambiente y finalmente aprender de la naturaleza misma para cuidar de ella.
Usos del jonote
Todas las especies vegetales y animales cumplen funciones importantes (o vitales, como es el caso de los árboles) dentro de los ecosistemas a los que pertenecen, y el equilibrio de los ecosistemas se traduce en salud planetaria. Al mismo tiempo, muchas de las especies generan servicios y bienes a las poblaciones humanas, lo que permite que satisfagan algunas de sus necesidades. El jonote posee muchas propiedades positivas para los ecosistemas y para la gente que convive con estos interesantes árboles. Algunos de estos usos crean una intrincada red de aprovechamiento, donde los recursos se cultivan, extraen, transforman y venden por distintos grupos sociales.
Doméstico
Las personas de comunidades rurales en México utilizan la madera de T. micrantha para construcciones ligeras. Los troncos sirven como cargadores o vigas de techos, mientras que los troncos más gruesos son aserrados como tablas para armar paredes en viviendas tradicionales. Esta madera puede tener una duración mínima de tres años y máxima de diez sin tratamiento alguno.
En zonas en donde esta madera no es muy apreciada se utiliza como leña. Sin embargo, se han realizado pruebas de su uso en carpintería como piezas pequeñas en la Sierra Norte de Puebla, con muy buenos resultados. Hemos observado que la gente comienza a valorar este recurso cuando le genera ingresos u opciones para elaborar artículos domésticos sencillos y bonitos. El aprecio por una especie silvestre a través de un valor agregado conlleva a su protección y fomento en los sistemas agrícolas.
Como sombra de café
Diversos estudios sobre ecología han demostrado que los cultivos de café bajo sombra contribuyen significativamente a la conservación de la biodiversidad, en comparación con potreros y monocultivos. Elementos básicos del sistema de café bajo sombra son los árboles, los cuales sirven de refugio y alimento para muchas especies de animales, insectos y microorganismos. El jonote es uno de los árboles presentes en cafetales, aunque no es una de las especies predilectas de los agricultores.
Las sierra norte de Puebla es una zona principalmente cafetalera debido a su relieve escarpado, que impide el establecimiento de cultivos propensos a la erosión. T. micrantha también es utilizada aquí como sombra para cultivos de café, ya que su rápido crecimiento permite sembrarla a la par de las plántulas de café. A la edad aproximada de siete años, el árbol es retirado del cafetal como parte del manejo del mismo, ya que su tamaño genera condiciones desfavorables para los cafetos. Debido a su rápido crecimiento, los árboles son reemplazados en forma relativamente fácil.
Actualmente, en la Sierra este tipo de manejo ha favorecido la interconexión de usos y beneficios que el jonote ofrece a distintas comunidades. En algunos casos, cuando el jonote es eliminado de los cafetales, la corteza es retirada para ser utilizada como materia prima en la elaboración de papel amate; en otros casos, los árboles se cortan directamente para este fin.
El papel amate
En la comunidad ñahñu (otomí) de San Pablito, municipio de Pahuatlán, Puebla, la tradición de elaborar este papel indígena sobrevivió a los embates de la colonización. Sin embargo, la entrada y consolidación del capitalismo agrario provocó una serie de transformaciones en la región, debido a la producción de papel amate. En la década de los sesentas, el amate comenzó a ser manufacturado como una artesanía y no tardó muchos años en cobrar gran popularidad. Hoy día, San Pablito es la única comunidad en México y el mundo donde se produce papel amate para su comercialización.
A raíz del aumento en la producción y la demanda, comenzaron a escasear las especies del género Ficus que tradicionalmente eran utilizadas desde épocas precolombinas para dicho fin. Los artesanos ñahñus comenzaron entonces a explorar otras plantas de la región a fin de obtener la corteza necesaria para elaborar su papel. Una de estas especies fue el jonote, que hoy día llega a proporcionar hasta 80% de la corteza extraída para el amate en zonas agrícolas, cafetales y acahuales de la sierra Norte de Puebla. Muy probablemente esto se deba a su rápido crecimiento y su habilidad para establecerse de manera espontánea en terrenos desmontados y en claros dentro de los cafetales.
La producción de árboles de T. micrantha está en manos de cafeticultores nahuas y mestizos de la región, y la extracción de la corteza la realizan personas (llamados jonoteros) que por lo general no poseen tierras para trabajar y no elaboran amate. La manufactura del amate está a cargo de los ñahñus de San Pablito. Existen comunidades nahuas en el estado de Guerrero y zapotecas en Oaxaca que compran el amate, sobre el cual realizan pinturas que después venden en centros turísticos. De esta forma se crea una interesante red de aprovechamiento que se extiende por varios estados, comunidades y etnias.
Actualmente, cafeticultores y artesanos de amate están experimentando con la madera del jonote para elaborar artesanías y muebles a fin de obtener otras opciones para mejorar su ingreso familiar. Sin embargo, no debemos olvidar que los productores agrícolas en nuestro país sufren hoy por hoy los estragos de una larga historia de políticas que apoyan la importación y no la producción local. Optimizar y ampliar el aprovechamiento de los recursos forestales puede ser una estrategia más para afrontar este desfavorable escenario agroeconómico.
Usos potenciales
Se cuenta con reportes de que la madera de jonote puede ser fuente de celulosa para papel industrial, aunque no se han realizado pruebas para comprobar que puede utilizarse así. Experimentos en Brasil con las hojas como forraje para ganado vacuno han dado muy buenos resultados y también han revelado que éstas poseen un alto contenido proteico. Sin embargo, también existen reportes de que pueden ser tóxicas en la alimentación de conejos y ganado caprino. Es posible que el proceso digestivo de las vacas logre anular el efecto tóxico.
Aún no se han realizado estudios de su uso potencial como forraje en México, aunque su utilización podría convertirse en una opción más para la reforestación de potreros en busca de sistemas agrosilvopastoriles. El rápido crecimiento que caracteriza al jonote lo convertiría también en una especie importante para la captura de carbono. Una vez más, el carácter multiutilitario de esta especie se hace presente como potencialidad para recuperar áreas que los bosques y selvas han perdido por acción antrópica.
Conclusiones
Si el describir una sola especie nos muestra una abundante lista de usos y servicios para la sociedad humana, es fácil pensar que aún no hemos descubierto algunos de los usos que tienen los árboles y muchas otras especies que habitan los trópicos de México y el mundo. Debido a esto, es imprescindible encontrar los mecanismos para la conservación de estos ambientes, así como un cambio en los sistemas de uso de los recursos que siguen todavía muchas comunidades rurales y sistemas industriales, con el fin de hacerlos más armónicos con los ciclos naturales. De esta manera podremos seguir disfrutando de los beneficios y productos que nos ofrecen los árboles tropicales por mucho tiempo.
El aprovechamiento de los árboles multiusos del trópico ocasionalmente forma redes (como la mostrada en el caso del amate) que favorecen la cooperación entre comunidades y el ingreso familiar de los implicados. Existen muchas otras especies y otros usos con los cuales se pueden generar redes de extracción, producción y comercialización que optimicen la utilización de los recursos forestales. Los recursos biológicos se valoran y conservan si representan una fuente de riqueza (no obligatoriamente económica) para las personas.
Es tiempo de que continuemos trabajando para que las relaciones entre los grupos humanos y los sistemas forestales se fortalezcan en mutuo beneficio. Los árboles no sólo otorgan beneficios a los humanos, son también elementos vitales e irremplazables para el equilibrio natural y la permanencia de la vida en el planeta. Por ello tenemos la responsabilidad de cuidar y preservar a las especies presentes aun en nuestros degradados ecosistemas, no sólo para asegurar nuestra comodidad sino también nuestra supervivencia.
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Fuerte, negro y dulce: el café → El café en México, ecología, cultura indígena y sustentabilidad → |
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Referencias bibliográficas
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| Udavi Cruz Márquez
Centro de Investigaciones Tropicales,
Universidad Veracruzana.
Es biólogo; realiza investigaciones sobre etnobotánica y manejo de recursos forestales principalmente en zonas indigenas de México.
Citlalli López Binnqüist
Centro de Investigaciones Tropicales,
Universidad Veracruzana.
Es antropóloga social, lleva a cabo actividades de investigación-acción sobre el manejo y uso sustentable de productos forestales no maderables, con especial énfasis en los utilizados para la producción de artesanías.
Patricia Negreros Castillo
Instituto de Investigaciones Forestales.
Realiza investigaciones en el INIFOR (Instituto de Investigaciones Forestales) desde 1985, para apoyar el manejo responsable y sostenible de bosques en comunidades de México. El enfoque de sus investigaciones ha sido la ecología forestal, la silvicultura y la agroforestería.
como citar este artículo →
Udavi Cruz Márquez, López Binnqüist Citlalli y Negreros Castillo Patricia. (2011). Una especie multiusos del trópico mexicano Trema micrantha (L.) Blume. Ciencias 101, enero-marzo, 16-22. [En línea]
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Una invitación a la teoría matemática de la música.
I. Introducción y teoría de la interpretación
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Octavio A. Agustín Aquino y Emilio Lluis Puebla
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Es evidente que en las últimas dos décadas del siglo pasado,
y hasta la fecha, ha habido una gran tendencia en la matemática a realizar no sólo aplicaciones, sino a emplear esta ciencia en una gran variedad de campos del conocimiento. El de la música no ha sido la excepción, aunque ya sucedía desde la época de Pitágoras. En Europa, durante la Edad Media, la música estaba agrupada con la aritmética, la geometría y la astronomía en el cuadrivio. La música no se consideraba un arte en el sentido moderno, sino una ciencia aliada con la matemática y la física (la acústica).
La teoría matemática de la música toma cada vez más un estatus prestigioso como ciencia, al grado de que la revista Science publicó la investigación de Dimitri Tymoczko sobre las aplicaciones de ciertos espacios topológicos, llamados orbiedades, a la música. A pesar de lo anterior, todavía es relativamente desconocida la aplicación de conceptos matemáticos a la musicología. Para empezar, veamos un poco lo que es la musicología y su estado pasado y presente. Su nombre es adoptado del francés musicologie para referirse al estudio escolástico de la música. En alemán se le denomina musikwissenschaft, que literalmente significa “ciencia de la música”. Hacer musicología no es fácil, pues la musicología tradicional carece de un marco conceptual estable. Una razón para explicar lo anterior es que en la musicología tradicional existe el típico problema del “encapsulamiento”: se da un postulado encapsulado y se impide cualquier acceso a la (presunta) complejidad escondida. En las matemáticas, el acceso a la complejidad es posible y su realización da penetración en el concepto; en el encapsulamiento musicólogico, los intentos apuntan al vacío, generalmente mediante el rompimiento del flujo de la información por medio de un oscuro camino que pretende ser racional, ornamentado con metáforas. Así, transforma un posible concepto profundo en un concepto misterioso, es decir, transforma la ciencia en fábula.
Afortunadamente, el cubo topográfico —que explicaremos más adelante— ofrece una herramienta compleja que puede proporcionar profundidad del tipo con que se cuenta en matemáticas. Por lo tanto, la musicología debe tener, ante todo, libre acceso a la complejidad encapsulada: no es posible cultivar regiones del conocimiento privado e inaccesible.
Uno de los propósitos de la teoría matemática de la música es la de establecer dicho marco conceptual estable, definiendo los conceptos en una forma precisa. Sin embargo, no trataremos con la realidad completa de la música tal y como aparece en los contextos psicológicos, fisiológicos, sociales, religiosos o políticos. Veamos a continuación las actividades fundamentales relacionadas con la música y luego su fundamento en campos científicos de investigación establecidos.
La música, tradicionalmente, descansa en una conexión fuerte entre facticidad artística y reflexión intelectual. En muchas ciencias, y aún en las artes, tal entrelazamiento es un aspecto exótico, pero la musicología tiene que tratar con ambas, lo que la convierte en un caso muy especial. Las cuatro actividades relacionadas con la música son: producción, recepción, documentación y comunicación. Las podemos visualizar mentalmente en una figura de tetraedro que, por supuesto, no es la única clasificación posible; sin embargo, son lo suficientemente grandes como para mostrar la inmensa variedad de perspectivas cuando tratamos con la música. Cada actividad tiene una importancia de por sí, pero sólo cuando están juntas es posible comprender el fenómeno musical.
Los dominios fundamentales científicos requeridos para relacionar las actividades descritas incluyen la semiótica, la física, las matemáticas y la psicología. Definiremos provisionalmente la música como un sistema de signos compuestos de formas complejas, que pueden ser representados por sonidos físicos y que de esta manera median entre contenidos mentales y psíquicos. Así, se recurre a la semiótica, pues para describir estas formas las matemáticas son el lenguaje adecuado. De igual manera, para representar dichas formas en el nivel físico, la física es indispensable, y para entender el contenido psíquico, la psicología es la ciencia requerida. De ninguna forma se pretende crear un esquema reduccionista de la realidad musical, sino ubicar la musicología en el mismo lugar que ocupa cualquier área de investigación, ya fuere de las ciencias naturales o de las humanidades, y acabar con el aura de misticismo y la fuerte recurrencia a la subjetividad que, en lo tocante a nuestro tema, se invocan con frecuencia. Tenemos una representación mediante el tetraedro imaginario anterior para visualizar en forma sinóptica la situación general donde puede contestarse la pregunta: ¿de qué se trata la música?
Es fundamental enfatizar que quien emplee métodos matemáticos, lógicos o computacionales en la música no tiene que ser docto en la filosofía de la música, pero sí es necesario que tenga una orientación dentro de la compleja ontología de este arte. Tanto en la música como en otras áreas del conocimiento se ha atestiguado cómo la precisión de las matemáticas, más un conocimiento deficiente acerca de la ontología del área de aplicación, provoca un dogmatismo; injustamente, se suele responsabilizar a las matemáticas por este problema, en lugar de cuestionar la falta de capacidad de hacer nexos de quien la aplica.
La teoría matemática de la música ofrece un modelo ontológico con un carácter flexible y abierto a modificaciones. Se intenta aportar un “sistema” de coordenadas para localizar problemas dentro del proceso de hacer musicología. Así, se propone desde un principio formular un sistema tridimensional que nos permita identificar dónde vive el concepto de la música, y qué se conoce como topografía de la música. Las coordenadas son: 1) realidad; 2) comunicación; y 3) semiosis. Veamos estas coordenadas con un poco más de detalle.
La realidad de la música es física, psicológica y mental. En el nivel físico se trata de un fenómeno acústico, en tanto que en su nivel mental se trata de la partitura como una abstracción. Como realidad psíquica, la música expresa los estados emocionales de sus creadores y afecta emocionalmente al escucha.
La comunicación de la música pasa por tres instancias: el nivel del creador, o lo que se conoce como la poiesis, seguido por el nivel neutral que es la obra en sí. Por último, el nivel estético del escucha es la instancia que percibe al ser interpretada una obra. Desde el momento en que una obra musical es creada, la existencia del creador es fija; en cambio, el número de escuchas e intérpretes crece constantemente.
Como la música es uno de los sistemas no lingüísticos más desarrollados de signos, la semiosis juega un papel en la ubicación de su ontología. Se enfatiza que la música no se interpreta como un tipo de lenguaje; al contrario, hay diferencias significativas entre un sistema musical y uno lingüístico. Sin embargo, se describe la semiótica de la música desde la perspectiva de la semiología estructuralista de Roland Barthes como una generalización de la teoría lingüística de Ferdinand de Saussure. Para no desviarnos del propósito de este esbozo no ahondaremos en este interesante aspecto; sin embargo, mencionaremos que un sistema es semiótico si se articula según una estratificación fundamental de signos en su significante, significación y significado, donde el significante (los morfemas, o sea, la mínima forma significativa) llega a lo profundo del mensaje, el significado, por medio de las relaciones de la significación.
Todo lo anterior señala que una ubicación ontológica de la música puede interpretarse como un punto en un cubo tridimensional generado por los ejes de realidad, comunicación y semiosis; cada uno, a su vez, articulado en tres valores: 1) realidad: física, psíquica, mental; 2) comunicación: creador, obra, escucha; y 3) semiosis: significante, significación, significado.
De manera muy breve, así es como se obtiene el cubo topográfico de la ontología musical, que consiste en un conjunto de 33 = 27 posibles ubicaciones topográficas como puntos. No obstante, cualquier objeto general puede ubicarse en cualquier subconjunto del cubo, y los 27 puntos son sólo ubicaciones elementales a partir de las cuales se componen ontologías más complejas.
Mazzola resume contundentemente lo expuesto: “es equivocado creer que la música es un asunto especial de la ciencia porque se trata de objetos que apuntan a un estrato no mental de la realidad. La psicología, por ejemplo, estudia emociones; la física estudia partículas elementales. Todos estos objetos comparten aspectos que trascienden la conceptualización humana. Pero podemos concebirlos en un sistema cognoscitivo y modelar su comportamiento con un éxito impresionante para nuestra capacidad de comprensión. La música no es ni más ni menos accesible que la física, pero tenemos que establecer un sofisticado sistema de signos para poder aprehender su significado; el lenguaje común no es la herramienta para el espacio conceptual de la música”.
A finales de 2002 apareció publicado el libro de Guerino Mazzola, del cual el segundo autor de este artículo tiene el honor de ser uno de los colaboradores. Podemos apreciar que el mismo título de la obra, The Topos of Music, posee un doble sentido. Por un lado está la palabra griega topos, que significa lugar y que sugiere la ubicación del concepto de la música como un tópico, en el sentido de Aristóteles y Kant. Por otro lado, se hace referencia a la teoría matemática de topos, que sirve para reflejar el sistema de signos musicales, esto es: la música en su faceta como un sistema abstracto cuya estructura puede permanecer escondida a falta de un marco adecuado de comprensión. Este doble significado expresa, de hecho, la intención de unificar una profundización filosófica con la precisión de las matemáticas en torno a la musicología. La música está enraizada en realidades físicas, psicológicas y semióticas, pero la descripción formal de las instancias musicales corresponde al formalismo matemático.
La teoría matemática de la música está basada en las teorías de módulos y de categorías, en la topología algebraica y combinatoria, en la geometría algebraica y la teoría de las representaciones, entre otras. Su propósito es describir las estructuras musicales. La filosofía que subyace a ella se basa en la comprensión de los aspectos de la música que están sujetos al raciocinio de la misma manera en que la física puede hacerlo respecto de los fenómenos propios del trabajo científico.
Esta teoría está basada en un lenguaje adecuado para manejar los conceptos relevantes de las estructuras musicales, en un conjunto de postulados o teoremas con respecto de las estructuras musicales sujetas a las condiciones definidas, y en la funcionalidad para la composición y el análisis con o sin computadora.
En un magnífico artículo panorámico titulado “Towards Big Science”, Mazzola cita los elementos propuestos por Pierre Boulez en un programa de los años sesentas que tiene la intención de que las artes y la ciencia se reconcilien (uno diría que es más una reconciliación de los artistas y los científicos). Con este postulado, la invocación de Boulez acerca de la “real imaginación” solamente puede ser concebida mediante la realización virtual (esencial) del sistema complejo teórico y práctico de la música, de sus sonidos y relaciones mediante la tecnología informática de hoy.
La música es una creación central de la vida y el pensamiento del ser humano: actúa en otra capa de la realidad que la física. Creemos que el intento de comprender o de componer una obra de gran envergadura en la música es tan importante y difícil como el intento de unificar la gravitación, el electromagnetismo, las fuerzas nucleares débiles y fuertes. Lo que es seguro es que las ambiciones son comparables y, por lo tanto, las herramientas deben serlo también.
Mazzola concuerda con Boulez en que “la música no puede degenerar o reducirse a una sección de las matemáticas: la música está fundamentalmente enraizada en las realidades físicas, psicológicas y semióticas. Pero requerimos más métodos sofisticados, además de los datos empíricos y estadísticos para describir formalmente las instancias musicales”.
En los años ochentas, Mazzola observó que las estructuras musicales son también estructuras globales que se construyen pegando datos locales. Utilizó la selección de una cubierta tipo atlas, la cual es parte del punto de vista en el sentido de Yoneda y Adorno. Los mapas se llaman “composiciones locales” y consisten (vagamente) en subconjuntos finitos K de módulos M sobre un anillo R. Estos mapas K se pegan y comparan mediante isomorfismos de los módulos subyacentes. Tales objetos globales, los cuales generan diferentes categorías, se llaman composiciones globales. Estos son los conceptos estudiados en lo que ahora se conoce como la teoría matemática clásica de la música.
Mazzola menciona tres paradigmas mayores de las matemáticas y la musicología que se han desarrollado durante los 150 años en que su evolución ha sido paralela, y en que la presencia de las matemáticas sobre la música ha crecido. Estos son: las estructuras globales, las simetrías, y la filosofía de Yoneda. La primera quiere decir, en palabras, que las estructuras localmente triviales se pueden juntar en configuraciones estéticas válidas si éstas se pegan de una manera no trivial. La segunda se refiere a las simetrías (y los fractales) que son utilizadas en la composición. Simetrías de este tipo aparecen también en la naturaleza y en las matemáticas, y desempeñan un papel crucial en la física moderna.
En cuanto a la tercera, la filosofía de Yoneda, ésta dice que para comprender un objeto hay que dar vueltas alrededor de él. Esto quiere decir: el entendimiento mediante el cambio de perspectiva. En matemáticas, el lema de Yoneda tiene importantes aplicaciones en álgebra homológica, en topología algebraica y en geometría algebraica, sólo por mencionar algunas. Dice que un objeto matemático puede clasificarse salvo isomorfismo por su funtor. En música, la partitura es solamente su primera vista, y junto con todas sus interpretaciones se constituye su identidad. ¡Qué maravilloso punto de vista tanto para el intérprete como para la audiencia! Deja de lado la estéril competencia entre el arte y la ciencia (como si se tratase de juegos olímpicos).
En su artículo “Status Quo 2000” (que fue presentado en México durante una espléndida exposición plenaria ocurrida en Saltillo hace diez años), Mazzola explica por qué el acercamiento mediante su modelo teórico geométrico de ese tiempo evolucionó a un marco que es apropiado para muchos problemas musicales. Este nuevo marco está basado en matemáticas más sofisticadas, como la teoría de topos.
Abrimos un paréntesis para mencionar un poco acerca de la teoría de topos. Siguiendo la inmejorable y bella introducción de Mac LaneMoerdijk en su libro sobre gavillas en geometría y lógica, el aspecto más sobresaliente de la teoría de topos es el de unificar dos campos de las matemáticas que en apariencia son completamente distantes: por un lado la topología y la geometría algebraica, y por otro, la lógica y la teoría de conjuntos. Un topos puede considerarse como un “espacio generalizado” y a la vez como un “universo generalizado de conjuntos”. Esta idea surgió en 1963, independientemente de los trabajos de Grothendieck (reformulación de la teoría de gavillas para geometría algebraica), de Lawvere (en su búsqueda por axiomatizar la categoría de conjuntos) y de Paul Cohen (en el uso del forcing para nuevos modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel).
Vagamente, una gavilla de grupos abelianos A sobre un espacio topológico X es una familia de grupos abelianos Ax, parametrizados por los puntos x en X de una manera continua adecuada. Para Grothendieck, la topología se convirtió en el estudio (la cohomología) de las gavillas, y las gavillas “situadas” en una topología de Grothendieck dada, forman un topos, llamado topos de Grothendieck. Las categorías (1945) y los funtores adjuntos (1957) entre ellas son el lenguaje para entender la teoría de topos. Una referencia para los conceptos de categoría, funtor, transformación natural y de adjunto izquierdo es el libro sobre álgebra homológica escrito por uno de los autores de este texto.
Las categorías, inicialmente una manera adecuada para formular sucesiones exactas, la “caza de elementos en diagramas” y la homología axiomática para la topología adquirieron vida independiente y se convirtieron en un objeto de estudio en sí mismas. Una muestra de ello es que, en 1963, Lawvere se propuso establecer un fundamento puramente categórico de todas las matemáticas, comenzando con una axiomatización apropiada de la categoría de conjuntos, reemplazando el concepto de pertenencia con el de composición de funciones.
Casi al mismo tiempo, Tierney observó que el trabajo de Grothendieck podía conducir a una axiomatización del estudio de gavillas. Después, trabajando juntos, lograron una axiomatización efectiva de las categorías de gavillas de conjuntos (y en particular de la categoría de conjuntos) por medio de una formulación adecuada de las propiedades del tipo de los conjuntos. Así definieron, de una manera elemental, sin suposiciones acerca de los conjuntos, el concepto de topos elemental. La definición original se transformó en una axiomatización de una hermosa y asombrosa simplicidad: un topos elemental es una categoría con límites finitos, objetos función YX (definidos como adjuntos) para cualesquiera dos conjuntos XY y un objeto potencia P(X) para cada objeto X; por supuesto, se requiere que cumplan ciertos axiomas básicos (invitamos al lector a adentrarse en este maravilloso tema en el libro antes referido).
Mazzola propone una clasificación de objetos musicales, esto es, plantea que “existe un esquema algebraico cuyos puntos racionales representan ciertas clases de isomorfismo de composiciones globales. Clasificar implica la tarea de comprender totalmente un objeto. Éste es el lema de Yoneda en su completa implicación filosófica”. El comprender una obra de arte es, a fin de cuentas, sintetizar todas sus perspectivas interpretativas.
Para los fines del programa de clasificación mazzoliano se creó el marco conceptual de la teoría de formas y denotadores, que a continuación describimos de manera sucinta e informal (para más detalles se puede consultar la obra referida y las tesis de maestría de Mariana Montiel y de Octavio Agustín Aquino). La teoría de formas y denotadores es “hilomórfica”, en el sentido de que lo real es una conjunción de forma y sustancia. En otras palabras, cada punto debe cargar con su espacio para poder comprenderlo. Dicho de otra manera, una “forma” es como el molde donde se inyecta la sustancia de los puntos, donde los puntos corresponden a los “denotadores”; para que el denotador tenga algún significado, no basta con saber de qué está hecho, sino también qué forma tiene (!).
De manera un poco más precisa, una forma es una suerte de espacio generalizado, que puede ser de tipo simple (Simple), potencia (Power), límite (Limit), colímite (Colimit) o sinónimo (Syn). Éstas corresponden a las construcciones esenciales de las matemáticas: los espacios en sí (Simple) o sus múltiples interpretaciones sinónimas (Syn), los conjuntos potencias de dichos espacios (Power) o sus productos y coproductos (Limit y Colimit). Otro componente de una forma es su “identificador”, que es una transformación natural I que va del funtor espacio F al funtor marco X; el identificador nos indica cómo debemos “ver” el denotador en el espacio de la forma.
Dicho esto, un denotador está integrado por la forma en que se encuentra, un módulo que es su “domicilio” y sus “coordenadas”. El domicilio es un módulo M en el que debemos evaluar al funtor espacio F de la forma (es decir, el domicilio nos dice dónde debemos pararnos para ver el denotador) y las coordenadas son un elemento de F(M). En otras palabras, señala el punto exacto que debemos ver.
Un aspecto de motivación fundamental para el desarrollo del concepto del denotador es la navegación, que esbozaremos brevemente. El conocimiento consiste en dos elementos fundamentales: información y organización mental. La información sola, sin un sistema de “coordenadas” que permita ubicarla y recogerla cuando sea necesario, no es conocimiento. Por este motivo, el paradigma de la información puramente digital, Z2, ({0,1}, “encendido” y “apagado”, etcétera) nada tiene que ver con el conocimiento. Es así que se precisa de un sistema de conceptos que provea un método completo de “navegación” y que funcione en un espacio de conceptos exhaustivo. El problema estriba en cómo realizar una arquitectura tal de conceptos sin que se pierda rigor y confiabilidad. El denotador pretende ser la solución a este planteamiento.
El espacio del conocimiento enciclopédico (o “encicloespacio”) se plantea como la actualización del concepto tradicional de enciclopedia (del griego enkyklos paidea = enseñanza en círculo), originalmente desarrollado por Diderot y D’Alembert en el Siglo de las Luces. Con el advenimiento de la computadora personal, esta actualización exige un dinamismo en la estructuración de datos en el espaciotiempo, en contraposición al contexto estático de antes, así como una relación interactiva con esta estructuración de información. Asimismo, el orden alfabético de la enciclopedia clásica, adecuada para sus volúmenes de textos, se generaliza a la orientación que impone la navegación (de navigare y este de navis = nave, y agere = agitar, originalmente una actitud activa y no pasiva). En este sentido, el orden alfabético, adecuado para la enciclopedia de la sala, tiene que ser complementado por órdenes relacionados con presentaciones de datos que no son textos (espacios geométricos, colecciones de conjuntos, etcétera). La navegación tiene dos vertientes: navegación receptiva, más apegada a la enciclopedia clásica, en la que el encicloespacio no se modifica; y navegación productiva, donde hay interacción con el encicloespacio y se agrega conocimiento al ya existente.
Hay tres características de la enciclopedia que son, en realidad, principios de la tipología de formatos universales de datos: unidad, completez discursividad. A cada uno de estos principios le corresponde un aspecto en el denotador. La unidad en la creación de conceptos se realiza por medio de construcciones recursivas; la completez se logra por la ramificación extensiva de estas construcciones y la discursividad se tiene por la libre construcción y recombinación de denotadores. En contraposición con los sistemas comunes de bases de datos, en el trabajo con denotadores no hay ningún conjunto fijo de posibles construcciones.
Los denotadores permiten describir los objetos musicales y están concebidos de acuerdo con los criterios de navegación en el encicloespacio; por lo tanto, en su definición interviene la metodología de navegación, incluyendo la navegación matemática (la fundamentación filosófica de este concepto, así como su formalización, está fuera de los alcances de este artículo, por lo que se invita al lector a consultar el libro de Mazzola).
Teoría de la Interpretación
La parte más fascinante de la teoría matemática de la música la constituye la teoría de la interpretación musical (presentamos un conciso esbozo para dejar al lector una noción sobre la interpretación). Mazzola afirma en sus artículos que “la música ha sido estudiada desde el punto de vista de la estética y la psicofisiología”. Él trabajó en desarrollar una teoría de la interpretación que describe las estructuras y los procesos que definen una interpretación, pues “sin las herramientas adecuadas, la teoría de la interpretación permanecerá como una rama de la literatura en el espíritu de la crítica musical”. La posibilidad de exhibir variedades algebraicas gramaticales en la interpretación tiene consecuencias profundas para el problema de la clasificación de las interpretaciones. Así, el criticismo comparativo se convierte en un campo preciso de investigación y no más en un sector de la literatura.
La interpretación es una transformación no trivial de la realidad mental de una partitura a la realidad física de una realización acústica y, en el límite, una realización gestual. Se crea un modelo de transformación de las estructuras locales y globales y se “modela la realidad mental” en la interpretación.
La teoría de la interpretación es un punto de inflexión en toda la teoría de topos en la música. La interpretación tiene que ver con la transformación de estructuras mentales en estructuras físicas. Esto es lo que tradicionalmente sucede en un concierto en el que los artistas están realizando una interpretación en los instrumentos físicos, incluyendo toda la riqueza de los recursos humanos de expresión a nivel gestual, emocional o estructural de los parámetros fisiológicos, sociales y físicos.
Evidentemente, una teoría global de la interpretación está fuera de nuestro alcance, más aún cuando los componentes principales ni siquiera han sido abordados en un nivel científico. Por ejemplo, no hay un entendimiento de la transformación emocional por la música. Se sabe algunos hechos muy elementales, por ejemplo, los relativos al impacto emocional de los intervalos del contrapunto en el cerebro emocional. También en el nivel de los factores clave en la calidad de una interpretación se sabe muy poco, por ejemplo, sobre el papel de los parámetros instrumentales en la comunicación de contenidos musicales. Peor aún: no hay ni siquiera una teoría de la interpretación comúnmente aceptada, es decir, una teoría que trate de la precisión ni una descripción general de lo que es una interpretación en su forma más elemental. Por ejemplo, la discusión del tempo aún no ha sido llevada a un punto de aceptación general de lo que éste puede ser, incluyendo un desacuerdo fundamental sobre sus ramificaciones jerárquicas.
Uno de estos debates pudo germinar en torno a la distinción entre el tiempo mental (simbólico, lógico o como desee llamarse) y el tiempo físico. Ingenuamente, el tiempo mental, tal como se encuentra en la notación de partitura, se ve como algo discreto que se codifica en los enteros o en algún submódulo de los números reales, mientras que el tiempo físico se parametriza por medio de la línea recta completa de los números reales. El tiempo métrico es en sí mismo infinitamente divisible: no hay un límite inferior para duraciones positivas mentales, pues nunca se ha previsto; el tiempo métrico es topológicamente denso, y no un subconjunto discreto del campo de los números reales.
Otros malentendidos que circulan en ambientes musicológicos mantienen que el tempo es una transformación localmente constante, es decir, una transformación escalón, al igual que las teorías de la Edad Media de la velocidad en el espíritu de Oresme. Él descomponía movimientos acelerados en una sucesión de movimientos uniformes. Quizá por todo lo anterior es que la interpretación es uno de los temas más complejos en musicología. Abarca todo tipo de consideraciones relativas a las tres realidades básicas: la física, la mental y la psicológica. Pero más allá de esta diversidad ontológica, la interpretación es de carácter estructural sofisticado e involucra la geometría diferencial, las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Es cierto que la investigación en interpretación se encuentra en su fase inicial, en particular con respecto del alto nivel de los artistas intérpretes. Pero ello no es una buena razón para abreviar el camino científico con el riesgo de la incomprensión de la belleza y la complejidad de la interpretación y caer en alguna grieta, como simplificar demasiado. Hay una dicotomía de realidades, comunicación y niveles semánticos entre una partitura y sus interpretaciones. Mazzola expone los hechos y sus consecuencias para una teoría de la interpretación en comparación con la teoría de la música mental. Interpretar es más que simplemente tocar un instrumento “como cae”; al respecto, los músicos siempre se refieren a una partitura interior. El concepto de una partitura se utiliza aquí en su sentido genérico, es decir, una partitura genérica es cualquier material escrito, imaginado o concebido para la ejecución de una composición musical. En la música clásica europea o japonesa, por ejemplo, una partitura se realiza como una estructura de denotador de forma más o menos compleja. El músico de jazz, por ejemplo, sigue las pautas de acción y reacción y las normas de acuerdo con esquemas del blues, la improvisación y los diccionarios individuales de elementos motívicos, rítmicos y armónicos.
Mazzola propone la siguiente definición informal pero fiable: “la interpretación es la realización física de una concepción mental de una partitura genérica”. Así, dejamos el significado de “interpretación” abierta en su entendimiento común, pero incluimos, y esto es un tema central en el discurso posterior, la interpretación en el sentido técnico de interpretaciones de composiciones locales. También hacemos hincapié en el atributo genérico “física”, que incluye la realización acústica, pero no excluye otros parámetros de la interpretación, tales como la dinámica gestual de un artista intérprete.
Sin embargo, como ya se mencionó, sí excluimos parámetros psíquicos de la interpretación, lo cual significa una interpretación estrictamente física, obsérvese que ésta subsume estratos medios tecnológicos intermedios como un subsistema especial de realización física.
Existe la necesidad a priori de la interpretación infinita. La argumentación se relaciona con el análisis infinito, debido a la filosofía de Yoneda y de su comunicación sobre el nivel de retórica de una interpretación expresiva. El problema fundamental aquí es muy común: ¿por qué se necesita de la interpretación infinita? Estamos hablando de interpretaciones o actuaciones reales en los conciertos de verdad. ¿Necesitamos conciertos, recitales y grabaciones, una y otra vez? ¿Por qué? ¿No podría llegar el momento en que se toquen todas las interpretaciones relevantes en un momento dado, y que todas las interpretaciones sucesivas estén condenadas a la existencia como variantes superfluas del arsenal de interpretaciones básicas?
Una composición musical, tal como está delineada en una partitura y en un denotador asociado, es aparentemente un objeto finito, de modo que sería una consecuencia lógica de esta finitud que el infinito no esté inscrito en una composición musical y en su interpretación. Por tanto, tenemos dos preguntas: ¿hay una infinidad sustancial en la variedad interpretativa de una partitura dada? Y, si éste es el caso, ¿hay una infinidad de interpretaciones asociadas?, y ¿por qué estas tienen un sentido para el oyente o para el artista?
La primera pregunta es fácil de contestar: sí, hay una infinidad de interpretaciones de un determinado denotador de partitura finito. Mazzola lo demostró en la discusión sobre las interpretaciones iteradas. Se trata de una respuesta afirmativa en el nivel mental, y uno puede fácilmente agregar una infinidad de evaluaciones de dicha interpretación finita o infinita, por ejemplo en el nivel del ritmo, el análisis de los motivos y el armónico. Uno puede también enriquecer las posibilidades de ver una interpretación dada por la variación del domicilio, una técnica que evoca el lema de Yoneda, por supuesto, pero que también está muy concretamente desarrollada en el contexto de las topologías de armónicos.
El punto es que las categorías de “entendimiento” de una composición musical (finita) son de un carácter infinito en muchos aspectos, y no hay ninguna razón para clamar comprensión total de cualquier argumento de tipo finito. Así, la expresión del contenido mental se basa en un arsenal infinito: la interpretación transmite un mensaje infinito.
Pero el infinito en la interpretación también viene de un segundo punto de vista: la interpretación es inevitablemente un experimento en el entendimiento, en el avance de la comprensión. La realización de una pieza de música en los espacios físicos crea un punto de vista, un vuelo por un paisaje virtual que puede aportar una nueva comprensión de los actores involucrados, los puntos de vista que no se prevén sino que surgen de un ángulo visual particular de un “vuelo de interpretación”. Tal experiencia es un experimento mental y, como tal, es una investigación creativa, no sólo una actividad reproductiva en aras de la coherencia social y la psicohigiene.
Al igual que con la labor analítica, la tarea de la interpretación también se compone de subtareas locales que constituyen los morfemas de las transformaciones de la interpretación. En una primera aproximación, una interpretación p podría verse como una transformación de conjuntos que asocia a cada elemento X de una composición local (en una partitura o de forma relacionada con una partitura) un evento físico, codificada por un elemento x = p (X) en una segunda composición local cuyos parámetros se refieren a una forma de significación física.
La coherencia de esa transformación de la interpretación es, sin embargo, muy raramente un problema global. Por ejemplo, el tempo puede cambiar en forma instantánea por la indicación istesso tempo, obligando al artista a reiniciar desde el tempo inicial después de una deformación por de una secuencia en las indicaciones agógicas. De otra forma, las manos izquierda y derecha pueden seguir tempos separados, a excepción de algunos puntos de encuentro donde los inicios deben coincidir (en un rubato de Chopin, por ejemplo). En la música orquestal la afinación es una transformación del instrumento, a pesar de que toda la obra está consignada en una misma partitura orquestal. También puede ocurrir que la interpretación local de un adorno (un trino complicado, por ejemplo) es una transformación que moldea y actúa independientemente de las funciones que modelan los acontecimientos vecinos del ornamento. Por lo tanto, observamos una estructura global, un mosaico de funciones de mapas locales, muy parecidas a morfismos en composiciones globales.
Los campos vectoriales de la interpretación son el núcleo de la teoría de la interpretación. Lo que representa cada campo vectorial da lugar a una interpretación local determinada. A pesar de que los campos de interpretación no se reconocen como tales en la musicología y en la investigación tradicional de interpretaciones, aparecen de una manera totalmente natural en el contexto tradicional como tempo, entonación y dinámica. Mazzola da cuenta de este hecho básico. Toma una mirada más cercana a la articulación y otros parámetros de sonido (aparte del inicio, intensidad y volumen que se utilizan para el tempo, la entonación y la dinámica), revelando que los campos de interpretación deben verse dentro de un enfoque bastante general. Define una configuración formal y, a fin de proporcionar una comprensión más profunda del proceso de significación semiótica de campos de interpretación, revisa las filosofías de la interpretación de Theodor W. Adorno, Benjamin y Diana Raffman.
Los conceptos de tempo, entonación y dinámica son conceptos oscuros en la musicología tradicional, y lo que se hace es dar la precisión expresiva a la par de la negación de explicitud formal. Efectivamente, el tempo es uno de los factores más conocidos de la interpretación. Sin embargo, su conceptualización es oscura y está muy lejos de estandarizarse entre los músicos y científicos de la interpretación. En el libro de Mazzola se analizan las teorías más recientes, así como sus deficiencias. Se demuestra que el tiempo es un concepto local cargado de una gran cantidad de semántica, y se procede al filtrado de la semántica de la estructura de datos. Después de eso, se da una definición precisa del tempo como un campo de interpretación de una sola dimensión en el eje del tiempo. Cualquiera que sea la expresión concreta, el tempo se refiere a la transformación de los inicios mentales en inicios físicos.
En tal situación, los morfismos tangentes se extienden a morfismos diferenciables con derivadas continuas positivas en cada punto. Las curvas del tempo asociadas a tales morfismos diferenciables son las funciones continuas positivas cuyos valores son las derivadas inversas en todos los puntos en un intervalo abierto que contiene los puntos. Se puede proceder de manera completamente análoga para la entonación y la dinámica, y representarlos como campos de interpretación unidimensionales con valores de frecuencia e intensidad de los sonidos físicos. Es curioso notar que es mucho más aceptado por los musicólogos el que la dinámica es un fenómeno continuo cuando se compara con el tempo y la entonación (invitamos al lector a adentrarse en las diversas áreas de estudio como la teoría de la interpretación inversa, las topologías para el ritmo y motivos, la semántica expresiva y otros en el libro de Mazzola).
Los campos vectoriales del tempo, la entonación y la dinámica son casos especiales de una sola dimensión de los campos de interpretación. También se trata el ámbito de la interpretación, a priori, de dos dimensiones del tempo y articulación, y se establece una definición rigurosa del concepto de campo de interpretación.
Adorno y Benjamin han asociado la adecuación interpretativa con una actividad de “precisión infinitesimal”. Se ve que su lenguaje sugiere el lenguaje de campos vectoriales, aunque no aparece de forma explícita en estos autores. Así, la formalización matemática es una herramienta indispensable para acceder a la “inefabilidad” que conlleva la sutileza infinitesimal de las interpretaciones musicales.
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| Octavio A. Agustín Aquino
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
Estudió la licenciatura en Matemáticas Aplicadas en la Universidad Tecnológica de la Mixteca (Huajuapan de León, Oaxaca) y la Maestría en Ciencias Matemáticas en la Universidad Nacional Autónoma de México. Actualmente es estudiante del doctorado en Ciencias Matemáticas en la UNAM.
Emilio Lluis Puebla
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
Realizó sus estudios profesionales y de maestría en Matemática en México. En 1980 obtuvo su doctorado en Matemática en Canadá. Es catedrático de la Universidad Nacional Autónoma de México desde hace más de treinta años. Su trabajo matemático ha quedado establecido en sus artículos de investigación y divulgación que ha publicado sobre la K-Teoría Algebraica y la Cohomología de Grupos en las más prestigiadas revistas nacionales e internacionales. Ha sido Profesor visitante en Canadá.
como citar este artículo →
Agustín Aquino, Octavio A. y Lluis Puebla, Emilio. (2011). Una invitación a la teoría matemática de la música. II. Armonía y contrapunto. Ciencias 102, abril-junio, 68-77. [En línea]
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