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La cuadratura del círculo y otros problemas
de geometría
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Estas cuestiones atrajeron la atención de los grandes pensadores de la antigüedad y contribuyeron al crecimiento y desarrollo de la matemática griega. Después de más de dos mil años se probaría que eran insolubles por medio de regla y compás solamente. | ||
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Laura Elena Morales Guerrero
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A la memoria de E.O.M.
De todas maneras lo hubiera escrito para él.
Se lo ofrecí.
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Todo comenzó cuando le pedí que me dibujara un círculo que se transformara en un cuadrado, de manera sencilla, cualitativa. Sin meternos, por supuesto, en el problema de la cuadratura del círculo.
—…¿El problema de la cuadratura del círculo…? dijo él.
—Sí, el problema de construir un cuadrado de área igual a la de un círculo, usando regla y compás solamente. Es uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad que los griegos no pudieron resolver geométricamente mediante la construcción de líneas rectas y círculos, excepto por aproximación.
—Y, ¿cuáles son los otros dos?
La trisección de cualquier ángulo, es decir, dividir un ángulo en tres partes iguales, y la duplicación del cubo: doblar en volumen un cierto cubo.
Una primera característica común de los tres problemas es que no encuadraban dentro de la geometría de polígonos y poliedros, de segmentos, círculos y cuerpos redondos. Su solución sólo podía obtenerse utilizando otras figuras o medios que iban más allá de las construcciones fundadas en las intersecciones de rectas y circunferencias o, como se dijo posteriormente, construcciones hechas exclusivamente con regla y compás. En segundo lugar, y esto llamó la atención de los geómetras griegos, algunos de los métodos que resolvían uno de esos problemas a veces resolvían también otro, hecho que revelaba alguna relación entre los mismos, relación que, sin embargo, permaneció siempre oculta para ellos.
El primero de los tres problemas fue la trisección de cualquier ángulo, y es el menos famoso de los tres. Es difícil dar una fecha exacta de cuándo este problema apareció por primera vez. La trisección del ángulo recto era sencilla, pero la trisección de un ángulo arbitrario atrajo la atención y el esfuerzo de muchos matemáticos. A este problema se pueden agregar los relacionados: dividir cualquier ángulo dado en un número arbitrario de partes iguales y el de inscribir en un círculo un polígono regular de cualquier número de lados.
El segundo problema fue la cuadratura del círculo, esto es, encontrar un cuadrado cuya área sea la misma que la de un círculo dado. La solución sería simple si pudiéramos encontrar una línea recta que sea igual en longitud a la circunferencia del círculo, esto es si pudiéramos rectificar la circunferencia. Esto se hace fácilmente enrollando una línea recta en forma de círculo, pero tal procedimiento utiliza un instrumento adicional a la regla y el compás: un cilindro con una superficie graduada.
El tercer problema fue la duplicación del cubo, encontrar el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro cubo.
De la investigación de estos problemas se ocuparon numerosos pensadores griegos del periodo helénico, el más antiguo de los cuales fue el filósofo Anaxágoras, contemporáneo notable de Zenón y a quien se conoce como el último de los celebrados filósofos de la escuela jónica. Amigo y maestro de Eurípides, Pericles y otros grandes hombres de su tiempo, y condenado a muerte a la edad de 72 años por favorecer la causa persa. Aun cuando su trabajo principal fue en filosofía, donde su primer postulado era “la razón gobierna el mundo”, se interesó en matemáticas y escribió sobre el problema de la cuadratura del círculo y sus perspectivas. Cuando fue desterrado de Atenas declaró: “No soy yo quien ha perdido a los atenienses, sino los atenienses quienes me pierden a mí”.
Anaxágoras llegó a Grecia en el siglo v a.C., en la gran era de Pericles, proveniente de Jonia con una manera de pensar revolucionaria para la época. Existía un espíritu valiente de libre cuestionamiento que algunas veces entró en conflicto con lo establecido. Anaxágoras fue llevado a prisión en Atenas por su impiedad al afirmar que el Sol no era una deidad sino una enorme piedra calentada al rojo, tan grande como el Peloponeso y que la Luna era una tierra deshabitada que recibía la luz del Sol. Pericles intercedió por él para que fuera finalmente liberado de la prisión.
La ciencia griega estaba enraizada en una curiosidad fuertemente intelectual la cual, a menudo, contrastaba con la inmediatez utilitaria del pensamiento prehelénico. Anaxágoras representaba claramente la motivación griega típica: el deseo de saber. En matemáticas también la actitud griega difería, de manera tajante, de la de las primeras culturas potámicas. El contraste era claro por las contribuciones generalmente atribuidas a Tales y Pitágoras, en el siglo v a.C. Era, primordialmente, un filósofo natural más que un matemático. Pero su mente inquisidora lo llevó a involucrarse en el seguimiento de problemas matemáticos.
En su libro Sobre el exilio que escribió en la primera centuria d.C., Plutarco cuenta que mientras Anaxágoras estaba en la cárcel intentó “cuadrar el círculo”.
Aquí tenemos la primera mención registrada de un problema que fascinaría a los matemáticos por más de 2 000 años. En una fecha posterior se entendió que el cuadrado requerido, de área exactamente igual a la del disco, se construiría con el uso de regla y compás solamente. Se trata de un tipo de matemáticas muy diferente a la de los egipcios y babilonios. No es la aplicación práctica de una ciencia de números a una faceta de la experiencia de la vida, sino una cuestión teórica. El problema matemático que Anaxágoras consideró no era más la preocupación del tecnologista como fueron aquellos que él postuló en ciencia relacionados con la estructura última de la materia. En el mundo griego las matemáticas estaban más estrechamente relacionadas con la filosofía que con las cuestiones prácticas y esta tendencia persiste hasta nuestros días.
Anaxágoras murió en 428 a.C., un año después de la muerte de Pericles. Se dice que Pericles murió a consecuencia de una plaga que acabó con, tal vez, un cuarto de la población. La profunda impresión que causó esta catástrofe es quizás el origen de un tercer problema matemático famoso: se sabe que una delegación de la ciudad de Delos fue enviada al oráculo de Apolo en Delfos para preguntar cómo se podría contrarrestar la plaga que invadió su ciudad y el oráculo respondió que se debería doblar en volumen el altar a Apolo, que tenía la forma de un cubo en su ciudad. Se cuenta que los habitantes de Delos realmente doblaron las dimensiones del altar pero esto no doblegó la plaga. El altar, por supuesto, se había incrementado ocho veces su volumen, no el doble. Esto, de acuerdo con la leyenda, fue el origen del problema de la duplicación del cubo, usualmente referido como el problema deliano o de Delos: dada la esquina de un cubo, construya solamente con compás y regla, la orilla de un segundo cubo que tenga el doble del volumen del primero.
—…Él me preguntó qué fue lo que finalmente detuvo la plaga. Si algo la detuvo. Y, a ciencia cierta, no pude responderle.
Las formas anecdóticas en las cuales los problemas han sido ocasionalmente transmitidos no deben crearnos prejuicios respecto a su importancia. Con mucha frecuencia ocurre que un problema fundamental es presentado en la forma de una anécdota o de un acertijo como, por ejemplo, la manzana de Newton (en la teoría de la gravitación universal), la promesa rota de Cardano (la hecha a Tartaglia en relación con las ecuaciones de tercer grado) o los barriles austriacos de vino de Kepler (y el problema de la determinación de áreas y volúmenes de superficies no planas).
Matemáticos de diferentes periodos, incluido el nuestro, han mostrado la conexión entre los tres problemas griegos y la moderna teoría de ecuaciones, la cual involucra consideraciones que pertenecen a los dominios de la teoría de grupos.
Hablar de las soluciones a estos tres problemas es hablar de la historia de las matemáticas. Su estudio se ha continuado a través de los siglos y las naciones.
Empecemos por referirnos a los dos primeros problemas, ya que a éstos, a menudo, se les reducía a la búsqueda de dos segmentos de línea, dados otros dos segmentos conocidos. Es decir, a encontrar dos medias proporcionales. Más aún, el problema de la duplicación del cubo es esencialmente el mismo sólo que ahora los valores de los segmentos conocidos están relacionados entre sí: uno es el doble del otro. Este problema es una extensión de la búsqueda de la proporcional geométrica. Pero la búsqueda de la doble proporcional geométrica, el problema que nos ocupa, no puede ser resuelto con regla y compás únicamente. Esto, por otra parte, condujo al descubrimiento de las secciones cónicas y de algunas curvas cúbicas y cuárticas y al de una curva trascendental llamada la cuadratriz, entre otras.
La trisección del ángulo
El problema de trisectar un ángulo, es decir, dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, es un problema que debió haber nacido naturalmente, y si llamó la atención, fue sencillamente por la desconcertante discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlo con los medios elementales de la geometría, imposibilidad tanto más llamativa cuanto que con esos medios podía dividirse un ángulo cualquiera en 2, 4, 8, … partes, y que también podían trisectarse algunos ángulos especiales como el recto, y el llano.
Este problema difiere de los otros dos. En primer lugar, no hay una historia real que relacione la forma en que el problema se empezó a estudiar. En segundo lugar, es un problema de un tipo distinto. Uno no puede cuadrar ningún círculo ni duplicar ningún cubo y, sin embargo, es posible trisectar ciertos ángulos. El problema es trisectar un ángulo arbitrario usando solamente regla y compás (lo cual es imposible).
Los antiguos griegos buscaron la forma de dividir ángulos en cualquier relación requerida, ya que eso hubiera hecho posible la construcción de un polígono regular de cualquier número de lados. La construcción de polígonos regulares usando regla y compás era, ciertamente, una de las ambiciones de los matemáticos griegos, y no fue sino hasta los descubrimientos de Gauss, en el siglo xix, que algunos polígonos —que los griegos no pudieron encontrar— fueron construidos con regla y compás.
Sabemos que en el siglo v a.C., Hipócrates de Quío hizo la primera contribución de importancia a los problemas de cuadrar el círculo y duplicar el cubo, pero también estudió el problema de trisectar un ángulo. Hay una forma directa de trisectar cualquier ángulo que era conocida por Hipócrates. Es una construcción muy fácil de llevar a cabo en la práctica pero que no es posible hacer con una regla no graduada y un compás. Y se dice que es una solución mecánica. Existe también otra solución mecánica dada por Arquímedes que está muy en relación con el espíritu de su trabajo Sobre espirales. Pero a los griegos no les satisfacían las soluciones mecánicas; Platón decía que procediendo de forma mecánica se perdía irremediablemente lo mejor de la geometría.
El sofista Hipias de Elis utilizó una curva para resolver el problema de la trisección de un ángulo. Hipias es uno de los primeros innovadores en la evolución del pensamiento griego de fines del siglo v a.C., a quien se debe la curva que más tarde se denominó cuadratriz, ya que por obra de un matemático del siglo siguiente, Dinostrato, se demostró que, con esa curva, podía rectificarse la circunferencia o, lo que es lo mismo, resolver el problema equivalente a la cuadratura del círculo.
Hipias fue un hombre de gran versatilidad que poseía la seguridad característica de los últimos sofistas; enseñó poesía, gramática, historia, política, arqueología, matemáticas y astronomía. A él se atribuye un excelente trabajo sobre Homero, colecciones de literatura griega y extranjera, tratados de arqueología y, además, decía ser competente en matemáticas; eso permite identificarlo con el Hipias que descubrió la cuadratriz, la primera curva diferente del círculo reconocida por los geómetras griegos.
Nicomedes, quien vivió en la misma época que Arquímedes, creó su famosa curva concoide; es, quizás, el método más conocido de los intentos griegos por trisectar un ángulo. Esta curva fue inventada por Nicomedes precisamente para formalizar el proceso de Arquímedes de rotar una regla manteniendo un punto sobre una línea. Y ésta es exactamente la curva necesaria para resolver las diferentes versiones del problema de la trisección del ángulo. Pero como en la práctica es más cómodo mover una regla que dibujar una curva concoide, su método fue más de interés teórico que práctico.
No sabemos nada de su vida, es famoso por su tratado Sobre las líneas concoides. Todas las aplicaciones de la concoide en la antigüedad fueron desarrolladas por el mismo Nicomedes, pero no fue sino hasta el siglo xvi, cuando se hicieron conocidos los trabajos de Pappus de Alejandría y de Eutocio, en los que se describía la curva, que el interés en ella revivió. Nicomedes también utilizó la cuadratriz, descubierta por Hipias, para resolver el problema de la cuadratura del círculo.
Eutocio nos dice que Nicomedes estaba tan orgulloso de haber descubierto la concoide que objetó profusa y seriamente el mecanismo de Eratóstenes para encontrar cualquier número de medias proporcionales, diciendo que era impracticable y totalmente fuera del espíritu de la geometría.
Menecmo, hermano de Dinostrato, fue un matemático destacado de la escuela de Cízico y a quien le se atribuye el descubrimiento de las cónicas. Estas curvas planas, que desde Apolonio de Perga, “el gran geómetra”, llevan los nombres de elipse, parábola e hipérbola, son las curvas más simples después de la circunferencia y deben su nombre genérico al hecho de ser secciones planas de un cono circular, es decir, secciones cónicas.
En su Colección matemática (o Sinagoga), escrita en el año 325 o 340 a.C., Pappus menciona que el problema de trisectar un ángulo fue también resuelto por Apolonio usando “las cónicas”. Pappus mismo da dos soluciones utilizando una hipérbola.
Las construcciones descritas por Pappus muestran el progreso hecho al pasar de una solución mecánica a otra que involucra secciones cónicas: las soluciones planas eran imposibles.
Sin embargo, la prueba de la imposibilidad tuvo que esperar las matemáticas del siglo xix. Las piezas finales del argumento las puso en su lugar Pierre Wantzel, en 1837, cuando publicó las pruebas en el Journal de Liouville. Gauss había asegurado que los problemas de duplicar el cubo y trisectar un ángulo no podían ser resueltos con regla y compás, pero no dio pruebas. Wantzel fue el primero en probar estos resultados.
La cuadratura del círculo
El segundo problema famoso de la Antigüedad fue el de “cuadrar el círculo”. Los primeros intentos fueron, por supuesto, empíricos. Se hicieron mucho antes del periodo científico de la civilización griega como aproximaciones crudas. Los griegos no se contentaron con resultados empíricos, así que la rectificación de la circunferencia y el problema relacionado de cuadrar el círculo atrajeron la atención de sus filósofos.
El problema de construir un cuadrado de área igual a la de un círculo se remonta al inicio de las matemáticas, cuando el escriba Ahmes, a quien se situa en el siglo ii a.C., en el papiro Rhind da una regla para construir un cuadrado de área casi igual a la del círculo: cortar 1/9 del diámetro del círculo y construir el cuadrado con lo restante. Esto da una buena aproximación para el número π de 3.1605, aunque todavía lejos de 3.14159.
Hay tres métodos para atacar el problema de la curvatura: primero, usando la regla y el compás solamente; segundo, por medio de curvas planas superiores y, tercero, por métodos como las series infinitas, que aproximaban el problema. Los matemáticos griegos parecen haber encontrado la inutilidad del primer método, aun cuando ellos no probaron que fuese imposible. Con el segundo método tuvieron éxito, con el tercero fueron menos hábiles.
El problema de la cuadratura del círculo se originó en las matemáticas griegas y pocas veces se entendió debidamente. Pronto se popularizó, y no sólo entre los matemáticos. Conocemos los trabajos de algunos de ellos —como Oenopides, Antífanes, Brisón, Hipócrates e Hipias.
El historiador T. L. Heath cree que Oenopides de Quío es la persona que en el siglo v a.C. buscaba soluciones planas a problemas geométricos, y Proclo Diadochus atribuye a él dos teoremas. Este historiador del siglo v también piensa que el significado principal de esos resultados elementales fue que Oenopides puso en claro, por primera vez, las construcciones explícitas del tipo “planas” o de “regla y compás”. No hay ningún registro de algún intento hecho por Oenopides para cuadrar el círculo por métodos planos. Es de resaltar que los griegos no producían pruebas falaces de que el círculo podría cuadrarse por métodos planos.
Hipócrates de Quio fue realmente el primero en usar una construcción plana para encontrar un cuadrado con área igual a la de una figura con lados circulares. No obstante, Hipócrates estaba perfectamente consciente de que sus métodos habían fallado para cuadrar el círculo. A pesar de esto, fue el primero que realmente cuadró una figura curvilínea. Construyó semicírculos en los tres lados de un triángulo recto isósceles y mostró que la suma de las lunas así formadas es igual al área del triángulo mismo: las famosas “lúnulas de Hipócrates”. Al problema de la cuadratura como tal, su contribución no fue importante.
Las consideraciones de Hipócrates acerca de las lúnulas figuran en unos comentarios de Simplicio, en la primera mitad del siglo vi, y serían transcripciones de la historia de Eudemo de Rodas en cuyo caso constituirían el primer documento escrito de la matemática griega.
Hipócrates puede considerarse como el primer matemático “profesional”. Se cuenta que era un comerciante que, asaltado y saqueado por piratas, vino a pedir justicia a Atenas donde frecuentó a los filósofos y se convirtió en hábil geómetra. Y, en efecto, las contribuciones geométricas que se le atribuyen son importantes, destacándose entre ellas las investigaciones relacionadas con el problema de la cuadratura del círculo, con el cual están vinculadas sus célebres “lúnulas” cuadrables y con el de la duplicación del cubo que él convierte en un problema de geometría plana. Según el testimonio de Proclo, se le considera como el primer redactor de un texto de elementos de geometría.
El problema de la cuadratura del círculo, enfrentado por Hipócrates mediante la búsqueda de figuras circulares cuadrables, fue enfocado por algunos sofistas contemporáneos desde otro punto de vista que, infructuoso entonces, resultó fértil más adelante. Así se atribuye al sofista Antífanes el raciocinio siguiente: si se inscribe en un círculo un cuadrado y después, bisectando los arcos respectivos, se inscribe un octágono y así sucesivamente se llegará a un polígono cuyos lados serán tan pequeños que el polígono podrá confundirse con el círculo y, como todo polígono puede transformarse en un cuadrado equivalente, queda demostrada la posibilidad de encontrar un cuadrado equivalente al círculo. Parece ser que, otro sofista, Brisón, en el 450 a. C., mejoró el argumento de Antífanes no solamente inscribiendo polígonos en un círculo sino también circunscribiéndolos, y declaró que el círculo es mayor que todos los polígonos inscritos y menor que los circunscritos, afirmando, con razón, que el área del círculo está comprendida entre la de los polígonos inscritos y circunscritos. A él se atribuye el agregado erróneo de que el área del círculo estaba dada por el valor medio proporcional entre las áreas de los cuadrados inscrito y circunscrito; esto equivale a adoptar para π la grosera aproximación de 2 √2=2 828.
Este raciocinio sólo da una solución aproximada, pues por grande que sea el número de lados jamás un polígono se confunde con un círculo; tiene sin embargo el mérito de haber introducido en la consideración del problema los polígonos inscritos que, más tarde, en manos de Arquímedes, proporcionará uno de los primeros resultados positivos.
Hipias y Dinostrato se asocian con el método de cuadrar el círculo utilizando la curva llamada formadora de cuadrados o cuadratriz. Aun cuando la curva es invención de Hipias, su aplicación para cuadrar el círculo parece deberse a Dinostrato. Sin embargo, esta curva se construye con métodos mecánicos y fue también muy criticada por suponer, en primer lugar, como conocida la propiedad buscada, ya que se requería saber la relación entre una línea y un arco de círculo. Está claro que Dinostrato nunca proclamó que la cuadratriz fuera un método plano para cuadrar el círculo.
Nicomedes, muchos años más tarde, también usó la cuadratriz para cuadrar el círculo. Los antiguos griegos sabían, básicamente, que el círculo no podría cuadrarse por métodos planos aun cuando no tuvieron posibilidad de probarlo. La cuadratriz de Hipias es la primera curva conocida que se define cinemáticamente, es decir, con un movimiento de rotación uniforme alrededor de algún eje. Posteriormente, a consecuencia de los trabajos de Arquímedes, quedó demostrada la equivalencia entre los problemas de la rectificación de la circunferencia y el de la cuadratura del círculo.
La siguiente contribución notable a la solución del problema de la cuadratura del círculo fue la de Arquímedes en el 225 a.C. Para probar su proposición inscribió y circunscribió polígonos regulares, encontró sus áreas hasta para los de noventa y seis lados y mostró que el área del círculo está entre estos resultados. Estos límites, expresados en forma decimal moderna, son: 3.142857… y 3.140845… Si la notación actual y nuestros métodos para encontrar una raíz cuadrada se hubiesen conocido, el resultado se hubiera aproximado más puesto que los métodos geométricos permiten cualquier grado de aproximación. Los romanos estaban poco interesados en obtener resultados exactos en temas como éste, y no es de sorprender que Vitrubio hable de que la circunferencia de una rueda de diámetro de cuatro pies sea de doce y medio pies, de aquí que tomara el número π como 3 1/8.
A lo largo de los años muchos esfuerzos fueron hechos por numerosos matemáticos en diferentes países para aproximar el valor de π y para dar métodos que aproximaran la cuadratura del círculo. Un gran paso en la prueba de que el problema no podría resolverse con regla y compás se dio cuando Lambert, en 1761, probó que π era un número irracional aun cuando eso no era concluyente. Sin embargo, en 1880, F. Lindemann probó la trascendencia de π al mostrar la imposibilidad de cuadrar el círculo con el uso de regla y compás solamente.
La duplicación del cubo
Una historia del origen del tercer problema, el de la duplicación del cubo, fue, como ya se dijo, que los habitantes de Delos recurrieron al oráculo de Delfos para saber cómo contener la plaga que invadió su ciudad. Se dice que el oráculo respondió que debían doblar en volumen el altar de Apolo. El altar era un cubo y el problema era el de su duplicación. Puesto que problemas acerca del tamaño y forma de los altares aparecen en las primeras manifestaciones de la literatura hindú, no es improbable que éste se introdujera en Grecia desde el este quizás por medio de Pitágoras. Era un problema familiar a los griegos en la quinta centuria a.C. ya que Eratóstenes informa que Eurípides se refiere a él en una de sus tragedias, la cual no se conoce a la fecha.
Los orígenes del problema de doblar el cubo pueden ser algo oscuros pero no hay duda de que los griegos sabían, desde hacía tiempo, cómo resolver el problema de duplicar el cuadrado. La mención de los matemáticos del periodo helénico que se ocuparon de él aparece brevemente expuesta en una carta de Eratóstenes enviada por éste a Ptolomeo III, rey de Egipto, con una solución propia y hasta con un instrumento con el cual se llevaba a cabo, prácticamente, la solución. Esa carta expresa: “Se cuenta que uno de los antiguos poetas trágicos hiciese aparecer en escena al rey Minos en el acto de ordenar la construcción de una tumba para su hijo Glauco y que advirtiendo que la tumba tenía en cada uno de sus lados una longitud de cien pies, exclamara: ‘Escaso espacio en verdad concedéis a un sepulcro real; duplicadlo, conservando siempre la forma cúbica, duplicad de inmediato cada uno de los lados’”. Es evidente que esto es claramente un error, puesto que duplicando los lados de una figura plana ésta se cuadruplica mientras que, si es sólida, se octuplica. Se agitó entonces entre los geómetras la cuestión de cómo podría duplicarse cualquier figura sólida manteniendo su especie, mismo problema que nos ocupa ahora.
“Se cuenta, además, que, más tarde, los habitantes de Delos, instados por el oráculo a duplicar el altar de Apolo, encontraron las mismas dificultades. Y algunos emisarios fueron enviados a los geómetras agrupados alrededor de Platón, en la Academia, a fin de excitarlos en la búsqueda del deseo del oráculo”. Ellos se ocuparon con atención y se cree que el tercer problema lo resolvió Hipócrates después de muchos titubeos y que fue él quien primero pensó en una solución. Encontró que si entre dos rectas, una doble de la otra, se insertan dos medias proporcionales, se duplicará el cubo, con lo que se convirtió una dificultad en otra no menor. Él resuelve el problema al hallar la intersección de dos parábolas o de una parábola y una hipérbola. Hipócrates no parece haber ido más allá, ni buscado alguna solución al problema plano. No por eso deja de ser menor su contribución al problema de la duplicación, aunque los métodos para resolverlo se acrediten a Menecmo.
“Tratando de insertar dos medias proporcionales entre dos rectas, Arquitas de Taras, en el 400 a.C., lo consiguió con el semicilindro y Eudoxo, quien viviera del 406 al 355 a.C., con ciertas líneas curvas. A ellos los sucedieron otros en el intento de perfeccionar las demostraciones, aunque no en la realización de las construcciones y su adaptación a la práctica, si se exceptúa quizás a Menecmo que lo logró sin esfuerzo”.
Menecmo no sólo habría descubierto las cónicas sino que habría estudiado una serie de propiedades de éstas, por lo menos las suficientes como para dar dos sencillas soluciones al problema de Delos mediante la intersección de dos de esas curvas. Se dice que, al hacerlo, resolvió el problema de encontrar solución a las ecuaciones cúbicas.
Para justificar la solución de Menecmo al problema de Delos mediante intersecciones de cónicas, debe admitirse la posibilidad de que este geómetra conociera las propiedades de la parábola y de la hipérbola equilátera que hoy expresamos con las conocidas ecuaciones cartesianas de esas curvas. Lo que no advirtió este geómetra griego fue que esa solución también podía obtenerse de una de sus parábolas y una circunferencia: aquélla cuya ecuación se obtiene sumando las ecuaciones de las dos parábolas.
Arquitas había encontrado ya las dos medias proporcionales al resolver el problema con tres superficies de revolución. Eratóstenes afirma “de él se dice que las descubrió por medio de sus semicilindros”. El problema de determinar dos segmentos medios proporcionales entre dos segmentos dados, uno doble del otro, lo resuelve Arquitas mediante una construcción estereométrica: mediante las intersecciones de una superficie cilíndrica, una superficie cónica y una superficie tórica. Su demostración es geométrica y se funda en las propiedades que resultan de las intersecciones de rectas y de circunferencias situadas en distintos planos. Es posible que Arquitas guiara a Menecmo a descubrir la solución por medio de las cónicas.
Con esta solución de Arquitas se ha vinculado la solución del problema de Delos que se atribuye a Eudoxo, admitiendo que éste resolviera el problema mediante la intersección del círculo, base de la superficie cilíndrica, con la proyección de la curva intersección de las superficies tórica y cónica. De esto no se tiene suficiente información: se dice de Eudoxo que era un matemático demasiado bueno para conformarse con una mera adaptación del método de Arquitas. Eratóstenes nos dice también que Eudoxo, un matemático muy original, resolvió el problema “por medio de las así llamadas líneas curvas”, pero qué fueron esas líneas, no se sabe.
Se dice que Platón resolvió el problema por medio de un instrumento mecánico pero que rechazó este método por no ser geométrico. Es muy dudosa la solución que se atribuye a Platón. Tal solución es muy simple, pues consiste en una determinación directa de las dos medias proporcionales a la que Hipócrates había reducido el problema. Pero obtener esa determinación mediante un instrumento, hecho que contradice abiertamente la concepción ideal que Platón tenía de la matemática, hace poco verosímil que esa solución pertenezca al filósofo ateniense. Joannes Philoponus, un filósofo cristiano de origen griego de la sexta centuria, nos dice que Apolonio tenía un método para encontrar las dos medias proporcionales. Sin embargo, la construcción supone un postulado que cuestiona todo el planteamiento.
Una de las soluciones más conocidas de la Antigüedad fue la de Diocles en el 180 a. C., quien utilizó una curva conocida como cisoide, según relata Arquímedes en su libro Sobre la esfera y el cilindro y según consta asimismo en Sobre espejos incendiarios. De acuerdo con el historiador Toemer, es un compendio de dieciséis proposiciones en geometría, principalmente probando resultados sobre cónicas.
Si Hipócrates redujo el problema estereométrico de la duplicación del cubo a un problema planimétrico, Arquitas de Taras lo recondujo al espacio. Arquitas, general y estadista, pitagórico y amigo de Platón, se habría ocupado de astronomía, geodesia, mecánica práctica y geometría.
Aun cuando se inventaron muchos métodos para duplicar el cubo y se hicieron numerosos descubrimientos notables en el intento, los antiguos griegos nunca iban a encontrar la solución que realmente buscaban, esto es, una que pudiera hacerse con regla y compás. Nunca encontrarían tal construcción porque dicha construcción no puede hacerse. Sin embargo, no había forma de que los antiguos pudieran alguna vez probar tal resultado, puesto que requería matemáticas que iban mucho más allá de lo que ellos desarrollaron. Es justo decir, sin embargo, que aun cuando ellos no pudieron probar que una construcción de regla y compás era imposible, los mejores antiguos matemáticos griegos supieron, intuitivamente, que en verdad era imposible.
Varios autores posteriores han sugerido métodos para duplicar el cubo. Entre ellos están Vieta, Descartes, Fermat, de Sluze y Newton. Descartes consideró no solamente el problema de encontrar dos medias proporcionales, conforme se requería para resolver el problema, sino también considerar cuatro y Fermat llegó más lejos al considerar ciertas clases que involucran n medias proporcionales, una línea de trabajo que fue seguida posteriormente por Clairaut.
En el siglo xvii Viviani resolvió el problema con la ayuda de una hipérbola de segundo orden. Huygens, en 1654, dio tres métodos de solución. Newton, en 1707, sugirió varios métodos pero prefirió uno en el cual se hace uso de la limaçon de Pascal. Uno de los métodos comparativamente recientes es el empleado por Montucci, quien hizo uso de una curva nueva.
Tanto la solución de Hipócrates al problema de Delos, que lo reduce, como decía Eratóstenes, a otro de dificultad no menor, como la de Arquitas, alarde de virtuosismo en la geometría espacial, apenas si merecen el nombre de soluciones. El reconocimiento de la imposibilidad de lograrla con regla y compás y la invención de curvas especiales para resolver los tres problemas clásicos señalan un progreso importante en la evolución del pensamiento griego, que sólo consideraba perfectas la circunferencia y la esfera, figuras con las que pretendía explicar el Universo, pretensión que perdura veinte siglos, aun en Copérnico, hasta la innovación kepleriana. Los nuevos geómetras griegos crean curvas con definiciones convencionales y hasta utilizan movimientos dando ingerencia a la cinemática: doble imperfección de la geometría que habría horrorizado a Platón.
Por último, conviene mencionar que algunas soluciones de estos problemas clásicos de la geometría griega están vinculados con un tipo característico de problemas griegos que hoy se designan con el nombre de “problemas de inserción”. Así, según una construcción que se remonta al siglo v a.C., puede reducirse el problema de la trisección del ángulo a un problema de inserción.
—Y así también podríamos seguir y seguir hablando… ¿resolví en algo tu pregunta?
—¡Qué interesante es todo eso! Cómo me gustaría leer al respecto... Solo que el inglés se me dificulta.
—Bien, trataré de escribir algo sencillo, de manera cualitativa…
—¡Mira!, dijo él, a tí que te gustan los sistemas planetarios, ¿qué te parece mi último diseño? Parece nuestra Vía Láctea, ¿cierto? Pero no, no es... Es un fractal.
Recibe pues este apretón de manos sin manos y dime ahora:
¿Cómo fue el viaje hasta arriba?
¿Es hermoso allá sin vendedores?
¿En verdad tienes vida verdadera?
Esa lucha en la agonía por dejar aquí y alcanzar el paraíso, ¿te deja fuerzas para recordar?
¿Cómo son los paisajes y los dioses?
¿Son círculos el paraíso?
¿Qué tan lejos está un Dios de otro Dios?
Dios se expande como el universo…
¿Hay un Dios sobre otro Dios sobre otro Dios?
¿Es Dios un fractal? ¡Tan sólo somos un instante bajo el mismo cielo eterno!
Y en tanto nos borramos de la tierra, la vida estará allí. Con su luz, su mar, su pan, mas pronto ya no estaremos hasta que no haya nadie a quien hacerle falta ni nadie que haga falta.
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Agradecimientos
A los Dres. John J. O’Connor y Edward F. Robertson del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St. Andrews en Escocia por la valiosa información contenida en su página.
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Referencias bibliográficas
Boyer, C. B. 1968. History of Mathematics. John Wiley.
Dirk J. Struik. 1980. Historia concisa de las matemáticas. México, ipn.
Smith, D. E. 1951. History of Mathematics, vols. 1 y 2. Nueva York, Dover Publications Inc.
Rey Pastor, J. y J. Babini. 1951. Historia de la Matemática. Argentina, EspasaCalpe.
A History of Greek Mathematics. 1931, vols. i y ii. Oxford.
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Laura Elena Morales Guerrero
Instituto de Matemáticas,
Universidd Nacional Autónoma de México.
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como citar este artículo → Morales Guerrero, Laura Elena. (2002). La cuadratura del círculo y otros problemas de geometría. Ciencias 65, enero-marzo, 54-65. [En línea]
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Zenón Cano Santana
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El sabio es como lumbre o hacha grande,
y espejo reluciente y pulido de ambas partes,
y buen dechado de los otros, entendido y leído;
también es como un camino para los otros.
Pensamiento náhuatl rescatado por
Fray Bernardino de Sahagún.
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A la memoria del Dr. Carlos Vázquez-Yanes, un hombre sabio.
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Uno de los retos más grandes en la vida profesional de un estudiante es elaborar una tesis de grado donde él (o ella) exponga sus ideas y hallazgos en el terreno profesional de su especialidad. No está de más proporcionar una serie de recomendaciones que permitan al estudiante alcanzar con mayor rapidez la meta de escribir una tesis. Aunque éstas servirán de mucho a estudiantes del área de ciencias experimentales, particularmente biología y ecología, no me cabe duda que puede servir en algo a estudiantes de otras ramas de las ciencias. Estas recomendaciones son el resultado de la experiencia que he obtenido después de catorce años de escribir, dirigir, revisar y corregir tesis en el área de biología.
Antes de escribir acerca de algo debemos tener algo que decir. Lo bueno es que dedicándose a las ciencias, sólo hay que torturar a la naturaleza para que saque la sopa y nos diga la verdad de su esencia. El método científico se sustenta en la necesidad de plantearnos preguntas y formularnos una hipótesis razonada de su posible respuesta. Esta hipótesis es, por lo tanto, una predicción razonable de la respuesta a la pregunta formulada. En una tesis un estudiante (con ayuda del tutor) busca y diseña los métodos adecuados para encontrar la respuesta a su pregunta, ejecuta los métodos, obtiene resultados y discute los porqués de éstos a la luz de sus hipótesis en un trabajo escrito. ¿Ven qué fácil? No, pues no es fácil. Esto requiere trabajo, dedicación, disciplina y mucha, pero mucha motivación y perseverancia.
Por lo anterior es deseable que el estudiante (bajo la mirada divertida o sanguinaria del asesor) formule una pregunta interesante en el área de especialidad más cercana a su corazón. Esta pregunta será la que determine el objetivo principal de su tesis. Es deseable que la ejecución de los métodos empleados para obtener los resultados sea acompañado por una revisión de la literatura relacionada con el marco teórico en que se inserta el problema a resolver.
Conforme un estudiante vaya leyendo es deseable construir fichas bibliográficas que contengan los datos de la fuente que se consultó, así como fichas de trabajo. Las fichas de trabajo nos van a ayudar a construir el cuerpo de la tesis, ya que contendrán un título con un tema relacionado con ésta, la referencia bibliográfica (autor, año y página) y la información que proveé dicha fuente. Así, cuando se requiera escribir sobre un tema particular (por ejemplo, “Temperatura y crecimiento corporal”), agruparemos juntas todas las fichas de trabajo que trataron sobre este tópico. Gracias a ello podremos ver la diversidad de información así como las similitudes y discrepancias que hay sobre el tema. Entonces, al escribir el capítulo “Temperatura y crecimiento corporal” haremos un análisis completo de éste y formularemos nuestro propio diagnóstico.
Recordemos que una tesis nace de nuestro propio mundo conocido y debe ser respaldada por nuestras ideas. Es por ello que debemos evitar copiar párrafos textuales de otros autores (esto es, cometer un plagio). Si queremos que se lean nuestras ideas, se espera que éstas hayan sido fruto de nuestra propia capacidad de análisis. Un buen amigo mío me dijo cual profeta posmoderno: “es mejor defender las tonterías propias que las ajenas” o algo así, porque mi amigo tiene un lenguaje más soez.
Una vez que tengamos los resultados y de que estemos en condiciones de interpretarlos, ya es hora de afinar el reporte escrito de éstos en una tesis.
Para la elaboración del trabajo escrito empezaré informando que no hay reglas universales y absolutas para reportar los resultados de una investigación en una tesis. Una tesis es algo así como un reto de creatividad en el cual se busca que haya claridad acerca de lo que se pretendió buscar, de lo que se encontró y de los fundamentos que tenemos para explicar los resultados obtenidos. A pesar de lo anterior, aquí se mencionan algunas reglas básicas de aceptación general que se cumplen en muchas tesis producidas en la Facultad de Ciencias y en una gran proporción de revistas de circulación nacional e internacional en el área de biología. Las reglas siguientes también denotan aquellos errores y aciertos en los que han incurrido frecuentemente la mayoría de los cerca de sesenta y cinco estudiantes cuyas tesis he revisado.
La estructura de la tesis
1. El título de la tesis debe mostrar claramente el tema que se abordó. Debe ser breve, claro y preciso y, sobre todo, debe estar relacionado con el o los objetivos principales del trabajo. El título se presenta en una portada donde debe aparecer en este orden: a) nombre de la universidad; b) nombre de la escuela, facultad o dependencia; c) título; d) mención de ser tesis; e) grado al que aspira; f) nombre del autor y, g) lugar, mes y año de presentación. Generalmente se redacta “Tesis/ que para obtener el título de/ x/presenta/ y”.
2. Posterior al título se presenta una dedicatoria en formato libre. Después, es recomendable presentar los agradecimientos donde reconocemos el apoyo de todas las instituciones y personas que ayudaron, facilitaron y estimularon el trabajo de investigación en cualquiera de sus fases.
3. En el siguiente apartado se recomienda presentar un resumen lo más sintético posible que mencione el problema abordado y los principales resultados y conclusiones. Se sugiere que en el encabezado del resumen se tenga la referencia completa de la tesis, con ello, entre otras cosas, sugerimos al lector si deseamos ser citados con uno o dos apellidos.
4. El cuerpo de la tesis lo conforman los siguientes rubros: “Introducción”, “Objetivos e hipótesis”, “Métodos”, “Resultados” y “Discusión y conclusiones”. Adicionalmente, y por fuera de este cuerpo principal se presentan “Literatura citada” y “Apéndices”. En “Apéndices” se presenta una serie de métodos o resultados detallados (interesantes sólo a un público más específico) que no se ponen en el cuerpo principal de la tesis para no abultar aún más su contenido.
5. En la Introducción se presentan: a) el marco teórico; b) los antecedentes, y c) la justificación del trabajo. Pueden no existir alguno de los rubros (b) y (c), pero el (a) es indispensable. La justificación del trabajo muchas veces está implícita en la “Introducción”; sin embargo, resulta muy interesante poner a prueba nuestra capacidad para justificar nuestro trabajo explícitamente. Gran parte de la justificación se basa en la novedad de la pregunta o del enfoque o la ausencia de conocimientos sobre el tema. Asimismo, el trabajo se puede justificar por la importancia de los conocimientos generados para las ciencias aplicadas. No se torturen mucho justificando, solamente reconozcan los verdaderos alcances de su trabajo.
6. En “Objetivos” e “Hipótesis” se especifican las preguntas que se van a resolver así como las hipótesis o resultados esperados. Es recomendable que los objetivos se dividan en dos: la pregunta central (que es el objetivo general) y las preguntas secundarias (que constituyen los objetivos particulares). No hagan un simple listado de éstos, sino más bien redacten este apartado con la decencia de un manuscrito formal: “El objetivo general de este trabajo es...”, y “En tanto que los objetivos particulares, derivados del anterior, son los siguientes: (lista)”. Muchos estudiantes (y tutores) prefieren que los objetivos e hipótesis se encuentren incluidos en “Introducción”, lo cual constituye otra opción adecuada.
7. En “Métodos” se aborda: a) “Sitio de estudio”; b) “Sistema (o especies) de estudio” y, c) “Métodos” (sensu stricto). Aquí se debe mencionar dónde, cuándo, y cómo se aplicaron los métodos. Muchas veces los apartados a y b constituyen capítulos separados antes de c, lo cual es posible si la extensión de cada uno de estos apartados es igual o mayor a tres cuartillas.
8. En “Sitio de estudio” se enfatizará la localización (estado, municipio, coordenadas, altitud), clima, vegetación, suelo, flora y fauna. El grado de detalle en cada rubro dependerá de su relevancia en el problema a resolver. Del mismo modo, en la descripción de especies se resaltarán sólo aquellas características biológicas relevantes para el estudio.
9. El apartado de “Métodos” debe ser breve y claro, sin explicaciones repetitivas o demasiado detalladas. Se busca que otro investigador pueda repetir nuestro estudio. Aquí se describen con claridad los métodos estadísticos que se utilizarán, así como las referencias bibliográficas en que éstos se basan. Asimismo, si se señala la medición de ciertas variables, se debe explicar claramente cómo se obtuvieron los datos, qué aparatos e instrumentos se usaron y qué cálculos y ecuaciones se aplicaron.
10. En “Resultados” se explican de manera fría y no emocional los datos procesados apoyándonos en tablas (también llamados cuadros) y figuras. Asimismo, aquí señalamos los resultados estadísticos. Se debe tratar de no repetir los métodos sino directamente describir los resultados. Si encuentras diferencias entre tratamientos en alguna variable, menciona explícitamente en qué tratamiento la respuesta fue más alta (o más baja).
11. En “Discusión y conclusiones” se hace un análisis lo más crítico y objetivo posible de los resultados a la luz de nuestras hipótesis o de los resultados que esperábamos, tratando de explicar los porqués de los resultados obtenidos. Aquí es conveniente hacer una autocrítica al método seguido y las limitaciones de nuestro estudio. En este apartado no se debe repetir la descripción de los resultados. Es importante que distingas una correlación entre variables de las relaciones causa–efecto existentes entre ellas, para que tus conclusiones sean más cuidadosas. En este apartado es deseable que se formulen las preguntas que se derivan del estudio, las cuales indican las perspectivas futuras de investigación en el área que se abordó.
12. Si se desea dar los resultados y discutirlos al mismo tiempo, se puede optar por crear un capítulo titulado “Resultados y discusión”.
13. Los títulos de cada capítulo deben escribirse de acuerdo con su jerarquía. Un esquema que recomiendo es el siguiente: todos los títulos de los capítulos, excepto los subtítulos de segundo grado, nunca llevan un punto al final. Los títulos de los capítulos “I. Introducción”, “II. Métodos”, etc., pueden escribirse en negritas, en mayúsculas y centrados numerados con romanos. Los títulos de los subcapítulos en primer grado se ubican después de una sangría, en negritas y con mayúsculas y minúsculas; el texto que sigue debe escribirse en el siguiente renglón. Los subcapítulos en segundo grado van en cursivas, sin negritas, en minúsculas y con punto y seguido, esto es, se escribe el texto que sigue al final del subtítulo. Los subtítulos de primer grado se numeran como 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, etcétera, en tanto que los subtítulos de segundo orden se numerarán como 1.1.1., 1.1.2, 1.1.3, 1.2.1, 1.2.2, 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1, 2.2.2, etcétera. Nótese que el primer número denota el capítulo, el segundo el subcapítulo de primer orden y el tercero, el subcapítulo de segundo orden. Se sugiere hacer esfuerzos por evitar subcapítulos de tercer orden o más pequeños. Los subcapítulos sólo tienen sentido cuando hay más de dos dentro del capítulo, por ejemplo, el subcapítulo “1.5. El veneno de las arañas”, no puede incluir solamente el subcapítulo “1.5.1. Efectos del veneno”. Otro formato consiste en usar sucesivamente dentro de un sistema de numeración: números romanos en mayúscula (I, II, III, IV, etcétera), letras mayúsculas, números arábigos, letras minúsculas y números romanos en minúscula (i, ii, iii, iv, etcétera). “Literatura citada” no se numera ya que no es un capítulo en sentido estricto.
Fuentes y literatura citada
La información en una tesis proviene esencialmente de cinco fuentes: 1) la literatura consultada; 2) los resultados obtenidos en la tesis; 3) los datos no publicados, nuestros o de otros; 4) los fenómenos y procesos que se observan en campo o laboratorio y, 5) los datos orales que nos facilitan nuestros colegas contemporáneos. En el caso de la literatura, el autor debe analizar críticamente lo que lee, debe razonarlo concienzudamente y exponer sólo aquellas aseveraciones de las cuales está plenamente convencido. Garza (1972, pp. 103-105) sugiere que las características de unas buenas notas de las fuentes que consultamos son, entre otras: claridad, exactitud, brevedad, pertinencia y relevancia. Se deben distinguir los trabajos que prueban hipótesis y aportan datos de aquellos que aportan elementos teóricos sólidos así como de aquellos que lanzan opiniones sin basarse en datos convincentes o elementos teóricos bien fundamentados. Es distinto el nivel de credibilidad de “Cano-Santana (1997) probó /comprobó/encontró que…” a “Smith (1980) sostiene/sugiere/opina/discute que…”.
Las recomendaciones sobre el uso y presentación de la literatura citada se exponen a continuación:
1. Las citas en el texto deben ponerse como “(García, 1990, 1993; Pérez, 1991a, b; Archundia y Eberhard, 1992; Zambrano, 1992)”, “(González, 1999)”, “(Gómez et al., 1999)” al final de cualquier aseveración. Sin embargo, si todo un párrafo o una gran parte del texto se basan en una sola lectura se puede escribir: “Gómez et al. (1999) analizaron el efecto del pH sobre...”. La abreviatura “et al.” viene de et alii que significa “y otros” y debe utilizarse cuando haya más de dos autores involucrados en una publicación. Cuando una afirmación sea respaldada por varios autores, éstos se pondrán en orden cronológico (de acuerdo con la fecha de publicación de su primer trabajo); si algunos trabajos son del mismo año, entonces se sigue un orden alfabético; si varios trabajos son del mismo autor se especifican sus apellidos y se listan, separados por comas, los años de cada uno de sus trabajos; y si varios trabajos son del mismo autor y del mismo año, se señala su apellido, el año y se distingue con letras cada trabajo que publicó el mismo año (véase, por las dudas, el primer renglón de este párrafo).
2. Para citar datos orales en el texto se hace de la siguiente manera: “J. Carabias (com. pers.) registró que...”, o bien “(J. Carabias, com. pers.)”; y los no publicados como “J. Carabias (datos no pub.)” o “(J. Carabias, datos no pub.) registró que...”. Noten que las iniciales de los nombres de pila son necesarias. Si son observaciones personales del autor de una tesis sin coautores, la notación “(obs. pers.)” será suficiente; pero si se trata de una observación de uno de los coautores se citará con inicial de nombre y apellidos.
3. Tratar de no usar citas secundarias, esto es, trabajos citados en el trabajo que leímos pero que no consultamos de primera mano. En caso de que existan, poner su año de publicación y la referencia original; en este caso se escribe: “(García, 1902 en López, 2000)”, o bien “García (1902 en López, 2000) encontró que...”. Esto sólo es recomendable hacerlo cuando la obra es muy difícil de conseguir.
4. En “Literatura citada” se listan en orden alfabético por autor todas las referencias citadas. Se omiten las referencias que se leyeron pero no se citaron, así como las citas secundarias. Lo importante de dar las referencias bibliográficas completas en “Literatura citada” no es el formato, sino que la información sea suficiente para que el lector acuda a las fuentes de información originales aunque, eso sí, debe haber consistencia en el formato. Una manera, que para nada es la única, en que se pueden listar las referencias es la siguiente:
a) Artículos en capítulos de libros: Alcalá, A. y B. Cid. 1999. Título del capítulo. En: García E. y F. González (eds.). Título del Libro. Editorial, Ciudad, pp. 122-136.
b) Artículos en revistas: Autor, A. 1997. Título del artículo. Nombre de la Revista 67: 12-16.
c) Libros: Autor, A., B. Autor, C. Autor y D. Autor. 1995. Título del Libro. Editorial, Ciudad. 189 pp.
d) Tesis: Autor, A. y B. Autor. 1990. Título de la tesis. Tesis profesional /de maestría/doctoral. Escuela o Facultad, Universidad, Ciudad, 390 pp.
5. El nombre de la revista puede ir abreviado adecuadamente (consulta el Science Citation Index) y se pone en cursivas. El volumen de la revista se pone en cursivas. El número de la revista (si se decide ponerlo) va entre paréntesis después del número de volumen y casi no se usa, por lo que se sugiere omitirlo.
6. Para presentar en “Literatura citada” autores hispanos que usan dos apellidos se recomienda lo siguiente: se deberán poner sus dos apellidos si el autor decide en la publicación unirlos por un guión, por ejemplo: Nuñez-Farfán, Cano-Santana o Pérez-Ponce de León. Si el autor en la publicación tiene dos apellidos que no están unidos por un guión, se deberán citar colocando la inicial del apellido materno en su secuencia lógica, por ejemplo: “Cano S., Z., J. Núñez F. y G. Pérez P. L. 2010. Evolución de helmintos del tracto digestivo de insectos...” .
7. En “Literatura citada” todas las palabras explicativas de las referencias se deben poner en español, que es el idioma de la tesis (usar “y”, “editado por”, “págs.”, “Londres”, “Nueva York” y “Varsovia”; en lugar de “and” o “&”, “edited by”, “pages”, “London”, “New York” y “Warsawa”). Es preferible listar la literatura usando párrafo estilo francés (véase ejemplos del punto 4). El número de páginas de los libros y las tesis es opcional, sin embargo se recomienda su uso, dado que algunas revistas lo solicitan. La única regla de consistencia que recomiendo violar en afán de buscar claridad es citar el estado y país cuando la ciudad de edición es poco conocida (a criterio del autor, como Boca Ratón) o cuando se traten de ciudades homónimas (Mérida, Guadalajara, París, Córdoba).
8. Toda la literatura que se cite en el cuerpo de la tesis debe estar en el apartado de “Literatura citada” y viceversa. Vale la pena revisar que esto se cumpla desde el primer borrador de la tesis.
9. En cada referencia de “Literatura citada” se debe dar crédito a todos los autores; por lo anterior allí no es correcto utilizar “et al.”.
Sobre el estilo para escribir
Ahora les presento algunas sugerencias para mejorar su estilo de escribir. Sin embargo, detalles muy útiles y pertinentes sobre este aspecto se pueden revisar en el libro de Garza.
1. El estilo para escribir debe ser al grano, sin rodeos, por lo cual se recomienda no usar: “Cabe señalar que...”, “En el caso de...”, “Respecto a...”, “Es interesante hacer notar de manera enfática que...”.
2. En cada oración expresa pocas ideas para evitar confusiones. Sigue preferentemente las reglas de sintaxis: sujeto, verbo y complemento. Si se quieren decir varias afirmaciones se recomienda utilizar varias oraciones enlazadas de manera coherente. Cada aseveración generalmente va respaldada de una cita, excepto en “Resultados”, los cuales están respaldados por nuestra investigación.
3. Cuida las incoherencias en la redacción. Para ser claro, debes tener completa claridad y convencimiento de lo que explicas. Antes de escribir debes entender. Un ejercicio interesante es preguntarte a ti mismo “¿qué quiero decir aquí?” y explicarlo como lo haces de manera oral. Una buena redacción es aquella que es entendible para las demás personas que te rodean, por ello, debes releer continuamente (y mejor en voz alta) tus manuscritos. Una buena manera para aprender a escribir es escribir y leer cotidianamente.
4. Debes estar hiperseguro (esto es, endemoniadamente seguro) de cada afirmación que hagas en tu tesis. Sólo puedes escribir de lo que sabes y entiendes cabalmente, nunca lo intentes en un tema que desconozcas.
5. Debe haber consistencia. Esto es, si se usa un criterio para escribir, seguir usándolo en lo sucesivo. Por ejemplo, si decides abreviar el nombre de las revistas, lo debes hacer con todas. Si decides hablar en primera persona, lo debes de seguir haciendo en todo tu escrito. Si usas un tipo de letra, lo debes seguir usando, etcétera.
6. “Resultados” y “Métodos” deben ser redactados en tiempo pasado. Asimismo, aunque el estilo de redacción impersonal (“se colectaron”, “se obtuvieron”) es muy elegante y formal, algunos autores prefieren escribir en primera persona dado que ese estilo es más corto. Decide tu estilo y sé consistente.
7. Muchas veces los estudiantes utilizan inadecuadamente algunas palabras. A continuación les presento un listado mínimo. En la segunda columna presento formas incorrectas o inadecuadas para dar a entender las palabras de la primera columna.
Es mejor usar:
En lugar de:
nutrimento
nutriente
red alimentaria
red alimenticia
cuadros
cuadrantes
influir, afectar
influenciar
intervalo, espectro
rango
8. Muchas veces la palabra “etcétera” puesta al final de una lista resulta demasiado ambigua, dado que parece demostrar ignorancia del autor respecto a los verdaderos alcances de dicha lista. Pensar seriamente en su uso y, de preferencia, tratar de no usarlo, a menos de que sus alcances sean obvios (véase, p. ej., su uso en el punto 14 de la primera parte).
9. La información que se presenta en la tesis no debe duplicarse. Esto sólo es necesario cuando algunos elementos de la “Introducción” son necesarios en la “Discusión”. En este mismo tenor los autores deben decidir la manera de presentar sus resultados, éstos no deben de presentarse en tablas y figuras a la vez.
10. Cuidado con las faltas de ortografía. Palabras de difícil ortografía son examen, exámenes, necesario, esencial, conciencia, consciente, excepto, necesario, decisión y precisión.
11. Utiliza el sistema métrico decimal y no pongas puntos a sus abreviaturas.
Reglas de edición
Las reglas de edición son las más variables de una tesis a otra, como lo son de una revista a otra. Les enumero aquéllas que recomiendo.
1. Numera todas las páginas. Nunca entregues un borrador sin este requisito.
2. Todo párrafo que inicie un capítulo o subcapítulo de primer orden no debe tener sangría, en tanto que todos los demás la deben presentar. Una sangría es la serie de espacios en blanco (recomiendo cinco) con los que se inicia un párrafo después de un punto y aparte.
3. Las tablas deben tener un título explicativo encima de éstas. Se deja un espacio después del título explicativo, se abre la tabla con una línea horizontal doble o gruesa y se ponen los encabezados de ésta. No se recomienda usar líneas verticales. Los encabezados deben separarse del cuerpo de los datos de la tabla con una línea sencilla y delgada. En el cuerpo de datos no se deben, generalmente, usar líneas de ningún tipo, salvo en la base de la tabla donde sólo aparecerá una línea sencilla y delgada. Si una tabla es más larga de lo que nos permite una página, en la siguiente página se anotará: “Tabla x. (continuación).”, asimismo, se deberán repetir los encabezados que explican el listado de datos.
4. Las figuras son fotos, dibujos, gráficas, diagramas y mapas. Todas ellas deberán tener un pie de figura explicativo en la base de éstas. Dado que el hombre es un animal visual y que una imagen dice más que mil palabras, se prefiere, en lo posible, presentar los datos en gráficas más que en tablas. En las gráficas trata de dar una escala adecuada para que se enfaticen los cambios de la variable dependiente.
5. Todas las abreviaturas utilizadas en texto, tablas y figuras deben tener su significado, al menos, la primera vez que se utilizan.
6. Se recomienda que las tablas y las figuras se numeren sucesivamente por capítulo, sobre todo cuando la tesis incluye muchas. Así, las figuras 1.1, 1.2 y 1.3 son las del capítulo i, mientras que las 4.1, 4.2 y 4.3 son las del capítulo iv. Esto permite intercalar, quitar y mover figuras en el cuerpo de la tesis, afectando sólo la numeración de las figuras y tablas de un solo capítulo.
7. Las tablas y figuras deben presentarse, de preferencia, en la página o página siguiente al lugar del texto donde es mencionada por primera vez. La inserción de una tabla o figura no debe impedir que el texto continúe a renglón corrido.
8. En los parámetros estadísticos utilizados se deben reportar los grados de libertad y, en el caso de los promedios, muchas veces es deseable reportar los tamaños de muestra y una medida de dispersión de datos. Yo recomiendo el uso del error estándar, ya que cuando el promedio es cercano a cero los errores estándar nunca pueden dar una dispersión por debajo de cero, hecho que sí ocurre con la desviación estándar.
9. Todas las palabras en latín (p. ej.: sensu lato, ad libitum, Homo sapiens), así como las abreviaturas de las variables algebráicas (p. ej.: x, y, W) y estadísticas (p. ej.: F, t, P) se escriben en cursivas. En los dos últimos casos, esto se sugiere para evitar que las abreviaturas se confundan con el texto.
10. Los números entre cero y diez, cuando indican frecuencia (número de eventos), se deben deletrear, no poner en número, p. ej., “nueve ratones”, “cinco muestras”.
11. Cuando presentes los datos de longitud y latitud sólo menciona las coordenadas y su orientación, o sea “97° 17’ n, 115° 45’ o”, omitiendo las palabras “latitud” (que sólo puede ser n o s) y “longitud” (que sólo puede ser e u o). Un revisor de una revista mexicana me llamó la atención acerca de lo inadecuado de usar “w” para señalar el punto cardinal oeste. Por otro lado, cuando menciones los datos de altitud, escribe “2 200 m.s.n.m.” o “a una altitud de 2 200 m”, se entiende que “m.s.n.m. (metros sobre el nivel del mar)” debe ser altitud y viceversa.
12. Todos los manuscritos se deben entregar para su revisión justificados a la izquierda, a doble espacio o espacio y medio con un tamaño de letra de doce puntos para que los sinodales tengan espacio para sus correcciones y para que no tengan que forzar su vista (hay que ser buena onda).
13. Los datos numéricos expuestos en las tablas deben tener siempre el mismo número de cifras después del punto (1.48, 4.70, 2.00). Una convención que apenas descubrí es que las medidas de dispersión deben utilizar una cifra más después del punto que el promedio. Trata de utilizar la notación científica para que los datos vayan, en lo posible, de uno a diez (excepto probabilidades); en este sentido, es mejor usar 7.4 x 103 en lugar de 7 400, y 1.23 x 10-4 que 0.000123. Las probabilidades que se encuentren entre 0 y 1 deben registrarse sin omitir el 0 antes del punto, p. ej., 0.44, 0.21, 0.05.
14. No dejes ningún espacio entre un número y los símbolos de porcentaje (%, p. ej., 12%) y de grados (p. ej., 16°C).
15. Aunque algunos tutores exigen un índice (o lista) de tablas y figuras, yo me inclino más a ahorrar papel, ya que esa sección, a mi modo de ver, carece de utilidad.
Recomendaciones finales
En este trabajo de preparación del manuscrito de la tesis es muy importante la participación de tu tutor. Debes exigir que el tutor la revise tantas veces como sea necesario antes de darla a revisión a los demás sinodales. Un buen tutor es aquél que no deja pasar errores de formato, redacción y ortografía. No abuses de los sinodales ofreciéndoles un borrador que no te convence a ti o a tu tutor. El trabajo de un sinodal debe ser calificar las ideas expresadas en el contenido de ésta más que la de enseñarte a escribir. En el caso de los estudiantes de posgrado, también es recomendable que la revisión intensiva de los borradores de la tesis la haga, en primer lugar, el tutor, y, en segunda instancia, los miembros del comité tutoral.
Por otra parte, en este mundo moderno es segurísimo que tu tesis se encontrará almacenada en el ciberespacio. Es muy importante que tu tesis no sólo se encuentre en el disco duro de la computadora, sino que siempre hagas respaldos en discos flexibles de todos los archivos que contengan textos y datos de ésta. También es recomendable que imprimas en papel la última versión del manuscrito. Estoy convencido de que el papel es más duradero que la información magnética; en principio, al papel no lo atacan virus informáticos.
Es recomendable que la versión final de la tesis la imprimas con un solo espacio y que en la imprenta te preparen tus ejemplares utilizando las dos caras de la hoja, para que tu tesis sea más manejable y no se desperdicie papel. También es recomendable que antes de imprimir la versión final de la tesis para irse a la imprenta ésta debe ser revisada página por página por ti y por tu asesor o por un alma caritativa que se deje, ya que los errores “de dedo” ocurren con cierta frecuencia.
Una recomendación final, muy enfática, es tratar por todos los medios posibles de que los resultados de tu tesis sean publicados en uno o varios artículos científicos. Una investigación científica no culmina hasta que los resultados son plasmados en artículos que se publican en revistas, de preferencia, con la más amplia circulación posible. El Dr. Carlos Vázquez fue muy enfático en el curso que tuve la fortuna de tomar con él acerca de la necesidad de que nuestros datos sean publicados en revistas de circulación internacional, evitando pecar a priori de modestia.
Epílogo
Hacer un trabajo escrito es un acto creativo. Hacer una tesis científica, adicionalmente, trae consigo un entrenamiento riguroso para los estudiantes. Espero que estas reglas simples puedan ser útiles a los estudiantes de licenciatura y posgrado y, aunque éste es sobre todo un manual para novatos, estoy convencido de que algunas de estas reglas pueden ser útiles a profesores e investigadores en activo. En lo personal, varias de ellas las supe hasta hace poco, cuando me tocó ser aleccionado por el editor de un libro mío. Yo quiero ahorrarle a los estudiantes estas “llamadas de atención” y a los tutores les quiero ayudar a evitar repetir incansablemente las reglas básicas que ellos deban seguir para la adecuada preparación del trabajo escrito. Ojalá así sea.
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Agradecimientos
Agradezco a las docenas de tesistas cuyos trabajos pasaron por mis manos, en especial a los míos, cuyos errores (y aciertos) inspiraron la escritura de este artículo. Algunas de las ideas vertidas se las pirateé a mis maestros Carlos Vázquez-Yanes, Ken Oyama y Jorge Meave, y a mis amigos Tere Valverde y Carlos Cordero. A Víctor López Gómez le agradezco toda su ayuda técnica. Agradezco a Jorge Meave, Juanita Martínez Sánchez, Dulce M. Figueroa Castro y Gabriela Montes sus comentarios al manuscrito, lo cual permitió mejorarlo sustancialmente. Los errores que quedaron, evidentemente son míos, y se deben a que sigo siendo un ser humano imperfecto, quien está convencido de que la sabiduría nos persigue y que uno casi siempre va más rápido que ella. Mi maestro Carlos Vázquez se dejó alcanzar. Por eso es doloroso que no esté con nosotros.
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Referencias bibliográficas
Cox, G. W. 1996. Laboratory Manual of General Ecology. San Diego State University, San Diego.
Garza, M. A. 1972. Manual de Técnicas de Investigación. El Colegio de México.
Katz, M. J. 1985. Elements of the Scientific Paper. A Step-by-Step Guide for Students and Proffessionals. New Haven, Yale University Press.
Mattheus, J. R., J. B. Bowen y R. W. Matthews. 1996. Successul Scientific Writing. A Step-by-Step Guide for the Biological and Medical Sciences. Cambridge University Press.
Olea, F. P. y F. L. Sánchez C. 1973. Manual de Técnicas de Investigación Documental para la Enseñanza Media. México, Esfinge.
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Zenón Cano Santana
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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como citar este artículo → Cano Santana, Zenón. (2002). ¿Cómo escribir una tesis? Ciencias 65, enero-marzo, 68-75. [En línea]
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Paisajes embriológicos y genes
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En embriología, la síntesis consiste en presentar una visión unificadora de la acción de los genes, la termodinámica de sistemas fuera del equilibrio y la teoría de los sistemas dinámicos no lineales.
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Pedro Miramontes Vidal
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Juan Ruiz de Alarcón, el gran dramaturgo del Siglo de Oro español, nació en la ciudad de Taxco, ahora y entonces uno de los centros mineros más ricos de México. De los socavones de esta ciudad, que se encuentra enclavada en la Sierra Madre del Sur, en el actual estado de Guerrero, se extrajo durante toda la época colonial mucha de la plata que llenó las arcas de la Corona española. Después de graduarse como abogado en la Universidad de México, emigró a España en 1628, donde fue nombrado miembro del Consejo de Indias, el organismo encargado del gobierno y administración de las colonias españolas de ultramar. En ese mismo año, una flota de barcos holandeses comandada por Piet Heyn interceptó, en las inmediaciones de la bahía del puerto de Matanzas, Cuba, a 22 buques de una flota española proveniente del puerto de Veracruz que llevaba un cargamento de cuatro millones de ducados de plata, y que se disponía a emprender el viaje de regreso a Cádiz después de abastecerse en La Habana.
Los ibéricos, bajo el mando de don Juan de Benavides, se rindieron sin disparar un tiro y entregaron íntegro a los de Heyn el tesoro que llevaban. Éste fue uno de los episodios más dolorosos en la historia tanto de la Corona española como del Consejo de Indias. Los consejeros fueron duramente reconvenidos por el quebranto y don Juan de Benavides fue capturado, llevado a España, juzgado por cobardía y decapitado en la plaza pública en Sevilla. En contraste, Piet Heyn fue recompensado por el gobierno holandés al designarlo Teniente Almirante de los Países Bajos, nombramiento que agregó a su puesto de Director General de la Compañía Holandesa de las Indias Orientales cuya sede, la ciudad de Delft, se benefició de la victoria de Heyn y experimentó un gran desarrollo económico por la derrama de dinero proveniente de la explotación holandesa de las riquezas de Oriente y, en gran medida, por la plata de Taxco.
En la plenitud de su esplendor económico, Delft vio nacer en 1632 —a unos metros de distancia y con unos días de diferencia— a dos personajes que la marcarían indeleblemente: el gran maestro Jan Vermeer, cuya obra modificó para siempre nuestra visión del mundo, y Antonie van Leeuwenhoek.
La vida nos maravilla con sus relaciones y conexiones inesperadas. Es cierto que no tiene relaciones de causalidad directas, pero sin duda existen patrones recurrentes. Es probable que Ruiz de Alarcón y Leeuwenhoek nunca hayan sido conscientes de la existencia del otro. Pero lo que sí es cierto es que el flujo de dinero entre México y Holanda, a través de los involuntarios intermediarios españoles, permitió que en Holanda se diesen las condiciones materiales para el florecimiento de la ciencia y las artes. Júzguenlo ustedes con base en la cantidad de personalidades notables que vivieron durante el siglo xvii en los Países Bajos.
Se sabe que Leeuwenhoek se dedicó en su juventud al comercio y la manufactura de ropa, y eventualmente fue nombrado chambelán de los juzgados de la ciudad. Esto le dio la seguridad económica necesaria para dedicar todo su tiempo y atención a la talla y pulimento de lentes, actividad que a la postre fue la base de su fama, pues a él se le atribuye la invención del microscopio.
Con esta poderosa herramienta, que extiende el sentido de la vista de los seres humanos hacia el mundo de lo hasta ese entonces invisiblemente pequeño, Leeuwenhoek se dedicó a recopilar y observar muestras de los más variados orígenes: miró el agua de lluvia, la de los charcos y pozos, y contempló asimismo toda clase de muestras animales y vegetales, lo que lo llevó a descubrir la existencia de todo un universo de pequeños seres vivos que llamó “animálculos”.
Una vez desatada la curiosidad, no hay rienda que la sujete ni freno que la detenga. Leeuwenhoek padecía del mal común a Pandora y Eva: su afán lo condujo a estudiar al microscopio cientos de sustancias y, dramáticamente, a tratar de descubrir la composición del esperma tanto del hombre como de los animales domésticos. Su hallazgo fue sobrecogedor: el líquido seminal bullía por la abundantísima presencia de otros “pequeños animalitos”, según lo refiere Maria Pinto-Correia: “Todos tienen el mismo tamaño y la misma forma, mueven sus colas de modo que no queda duda de que están nadando y, en consecuencia, son verdaderos animales. Mientras uno de ellos se dirige a la derecha, otro lo hace a la izquierda; uno se dirige hacia arriba y uno más hacia abajo. Algunos empiezan a moverse en cierta dirección y después, con un golpe de cola, se regresan por donde venían”.
Al igual que los juegos de luces y la armonía en la composición plasmados por Vermeer nos enseñaron a mirar luces y sombras que siempre han existido pero que nadie había registrado, al iluminar el misterio de lo extraordinariamente pequeño el ingenio de Leeuwenhoek cambiaría para siempre nuestra visión del mundo y, a semejanza de Vermeer, el microscopista de Delft nos mostró cosas que todo el tiempo habían estado ahí pero que no éramos capaces de percibir.
El descubrimiento de los espermatozoides tuvo la consecuencia inmediata de fortalecer cierta teoría, imperante entre los naturalistas de la época, sobre la constitución de los embriones, la herencia biológica y el desarrollo animal. Paradójicamente, al tiempo de reafirmarla, también la cambiaría de raíz, porque la teoría de la Preformación —que así se llamaba— era una antes del microscopio y fue otra, notablemente distinta, después.
Cambio y permanencia
Los seres vivos cambian y se transforman a lo largo de la historia, pero las variaciones ocurren de manera significativamente distinta según la escala temporal. En la escala de tiempo geológico surgen y se extinguen las especies y es en el inventario de la totalidad de los seres vivos donde se ven las variaciones. Sin embargo, en la escala de la duración de la vida de un animal o planta, son los individuos en sí mismos los que se transforman: su historia es una sucesión de cambios incesantes, de etapas que van desde la relativa sencillez de un huevo fertilizado hasta la imponente complejidad de un adulto maduro, listo para reproducirse. Este tránsito se llama “desarrollo”.
La vida, entonces, evoluciona y se desarrolla y, aunque permanece, está cambiando constantemente. En el desarrollo es patente la dialéctica de la naturaleza: un organismo cambia a lo largo de su proceso embriogénico pero el proceso en sí es el mismo. El cambio y la transformación son y han sido constantes a lo largo del tiempo histórico y, no obstante, generación tras generación un huevo fecundado se divide, crece, se diferencia y da lugar a un nuevo adulto siguiendo exactamente las mismas pautas que la generación anterior y que todas las precedentes y, al fin y al cabo, de lo igual se engendra lo igual siguiendo exactamente las mismas pautas.
Muchos estudiosos han creído encontrar en esta constancia la prueba de que detrás del proceso existe un plan, como si estuviera gobernado por algún tipo de designio trascendente y obedeciera a un telos o causa final. Por ello, la biología del desarrollo es tierra fértil para las interpretaciones teleológicas. Sin embargo, es posible identificar el conjunto de procesos autoorganizadores como un plan, sin necesidad de recurrir a explicaciones finalistas o de aceptar la existencia de alguna voluntad específica, natural o no, que lo dirija.
La rama de las ciencias de la vida que estudia el desarrollo es rica en problemas no resueltos; para decirlo sin eufemismos, es un campo donde se ignora más de lo que se sabe. Esa riqueza incómoda se debe, al menos en parte, al casi absoluto dominio de la llamada teoría sintética de la evolución o neodarwinismo en biología. En ella, la selección natural es el único motor de la evolución y cualquier cambio evolutivo debe manifestarse gracias y a través de los genes, ya sea de sus proporciones en una población o de sus cambios o mutaciones. El programa neodarwinista se convirtió durante el siglo xx en la doctrina oficial de la biología y toda teoría o fenómeno debe desde entonces ser explicada a la luz de sus premisas.
No obstante, sesenta años después, el neodarwinismo no sólo no ha resuelto los problemas de la biología evolutiva —vamos, ni siquiera ha podido dar una explicación convincente sobre el origen de las especies, título del libro de Darwin— sino que inhibió el avance de otras ramas al cancelar la búsqueda de soluciones en otros términos e imponer la explicación a priori de que todo, en biología, es subsidiario del cambio evolutivo por selección natural. Este marco conceptual se convirtió en una verdadera camisa de fuerza para la biología del desarrollo.
Los ovarios de Eva o los testículos de Adán
Los términos “desarrollo”, “embriogénesis” y “ontogenia” son sinónimos que designan al proceso en el cual los cambios en la vida de un organismo pueden identificarse por la emergencia de nuevas cualidades características, funcionales o estructurales, que permiten reconocer estadios bien diferenciados.
Aunque a veces es útil imaginar que el desarrollo se compone de subprocesos fundamentales —morfogénesis, diferenciación y crecimiento—, el término “subproceso” es notablemente incorrecto, pues el desarrollo es la totalidad de los cambios, y concebirlo en fracciones separadas es sólo un recurso de simplificación para tratar de comprenderlo.
Las teorías embriogénicas han oscilado a lo largo de la historia esencialmente entre dos concepciones antagónicas. En ocasiones una ha prevalecido sobre la otra, ya sea porque cuenta con alguna evidencia experimental o, las más de las veces, porque los vaivenes filosóficos, políticos o religiosos de la sociedad la han favorecido al hallar en ella algún tipo de apoyo para sus propias tesis.
En Acerca de la generación de los animales, Aristóteles discute el problema del desarrollo biológico. Describe también las diferencias entre lo femenino y lo masculino, los distintos estilos de la cópula animal, la naturaleza y origen del semen y la forma y tamaño de penes y testículos. Luego, al discurrir acerca de cómo puede ocurrir la embriogénesis, el Estagirita identifica el problema fundamental: de qué manera surgen las características complejas y bien diferenciadas de un organismo a partir de elementos simples e indiferenciados. Aristóteles es el primero en identificar dos concepciones antitéticas por las cuales, desde entonces, los estudiosos del proceso han ido tomando partido: 1) las estructuras que dan lugar a un organismo adulto se encuentran ya plenamente formadas en pequeña escala y el desarrollo consiste únicamente en el crecimiento de éstas, o bien, 2) las estructuras y formas aparecen durante el proceso y no existen antes del inicio del mismo. Hoy día, a la primera propuesta se le llama de la preformación; a la segunda, de la epigénesis.
El iberorromano Lucio Anneo Séneca —según Armando Aranda— enuncia en el primer siglo la primera formulación clara e inequívoca del pensamiento preformacionista: “En la simiente están encerradas todas las partes del cuerpo humano que serán formadas. El infante que está en el vientre materno tiene ya las raíces de la barba y el cabello que portará algún día. Del mismo modo, en esa pequeña masa están todos los lineamientos del cuerpo y todo aquello que la posteridad descubrirá en él”.
En la Edad Media no hubo avances notables respecto al estudio de la embriogénesis; las preocupaciones estaban, como en toda la filosofía medieval, más enfocadas hacia Dios que hacia el ser humano. Existen trabajos de Agustín de Hipona y de Tertuliano de Cartago acerca de cuándo el Espíritu Santo desciende sobre el embrión y le confiere el alma. Por supuesto, las conclusiones de los padres de la Iglesia no tienen manera de ser comprobadas y carecen de toda base fenomenológica o empírica. Sin embargo, se debe señalar un escrito muy interesante, escrito en el siglo xii por Hildegarda de Bingen. Mientras que para Agustín el embrión recibe el alma entre el tercer y cuarto mes de gestación, para Hildegarda el soplo divino alcanza al feto instantes antes del alumbramiento.
Como en tantos otros asuntos, con el humanismo renace el interés por esta cuestión, y ya en su ocaso, sin estar particularmente interesado en embriología, en 1624 el teólogo francés Nicolas de Malebranche publica De la recherche de la verité ou l’on traité de la nature de l’esprit de l’homme et de l’usage qu’il doît en faire pour éviter l’erreur dans les sciences, donde sostiene que: “En la yema de un huevo sin incubar descubrimos un pollo plenamente formado. En los huevos de las ranas, vemos ranas; en el germen de otros animales, también podríamos verlos si tuviésemos la experiencia y habilidad para descubrirlos. Podemos suponer que los cuerpos de todos los hombres y animales que nacerán hasta el fin de los tiempos han sido producto de la creación original; en otras palabras, que las primeras hembras fueron creadas con todos los individuos subsecuentes de su propia especie en su interior”.
Según este argumento, los ovarios de Eva habrían contenido huevos con seres humanos perfectamente formados en miniatura, entre ellos pequeñas mujeres con huevos que contendrían mujeres aún más pequeñas y así desde el principio de la humanidad y, hacia el futuro, por los siglos de los siglos. Esta es, en esencia, la teoría embriogenética de la preformación.
Leeuwenhoek había sido el primero en ver y dibujar los espermatozoides. Pero muy poco después, tres naturalistas —el francés François de Plantade y los holandeses Nicolas Hartsoek y Jan Swammerdam— que también habían observado el líquido seminal al microscopio, le habían hecho llegar sus representaciones gráficas de los animálculos.
Los dibujos contenían una revelación maravillosa que había escapado a la mirada del pulidor de lentes de Delft: en el interior de la cabeza de los espermatozoides podía verse, sin duda alguna, un pequeño ser humano en miniatura pero perfectamente bien formado. De este modo, al cabo de casi veinte siglos, la teoría de la preformación había sido contundentemente confirmada por la observación directa.
Hartsoek es un ejemplo típico de mala fortuna: el dibujo que envió a Leeuwenhoek causó excitación y revuelo intelectual en su época, pero hoy se emplea para ridiculizarlo y para desprestigiar tanto a la teoría de la preformación como a toda una generación de excelentes naturalistas. Para su desdicha personal, Hartsoek tuvo el atrevimiento, y en él llevó su castigo, de contradecir públicamente a un intocable: Sir Isaac Newton. Por esa razón sus aportaciones al campo de la física, notablemente en la óptica, son desconocidas. Por su parte, Jan Swammerdam pasó a la historia por su Historia general de los insectos en donde muestra que al abrir un capullo, la larva en su interior ya contiene todos los órganos que caracterizan a una mariposa adulta.
Al final de su vida, Swammerdam fue abrazando ideas religiosas cada vez más radicales y terminó por intentar conciliar algunos problemas propios de los dogmas cristianos con la teoría de la preformación: “En la naturaleza no existe la generación sino únicamente la propagación, el crecimiento de las partes. Entonces es que se entiende el pecado original, pues desde el principio todos los hombres estuvieron contenidos en los órganos de Adán y Eva. Cuando su reserva de huevos se haya agotado, la humanidad dejará de existir”.
Tanto Hartsoek y Swammerdam como de Plantade son hombres de su tiempo y sus opiniones reflejan el sentimiento e ideas de la sociedad en la que vivieron. Por ello, no debemos caer en la tentación de ridiculizarlos. Charles Darwin, uno de los más finos naturalistas del siglo xix, fue también un preformacionista. Que este dato nos sirva para frenar cualquier intento de burla. Darwin, por supuesto, ya no defendía la existencia de “homúnculos” (del latín homunculus, hombrecito. Los holandeses usan el equivalente en nerlandés maneken) dentro de los espermatozoides. Su teoría proponía la existencia de partículas (gémulas) portadoras de “partecitas” de cada órgano que, de alguna manera, pasarían a los gametos y se desarrollarían en el embrión. En los cursos de biología, se suele dejar de lado esta faceta de Darwin; no únicamente porque nunca tuvo algún sustento experimental (no podía tenerlo), sino porque constituía una vuelta a las ideas lamarckianas de la herencia de caracteres adquiridos, pero ésa es otra historia.
¿En qué sentido el descubrimiento de los espermatozoides reafirma la teoría de la preformación al mismo tiempo que la cambia radicalmente? Los preformacionistas anteriores a Leeuwenhoek pensaban que las personitas se encontraban en el huevo y, por lo tanto, que la humanidad entera estuvo alguna vez en los ovarios de Eva. Ésta era una teoría que le concedía a la mujer un papel esencial; las hembras eran portadoras en potencia de todas las generaciones futuras: matar a una mujer era cometer crimen múltiple, casi infinito. El semen, en contraparte, desempeñaba sólo un papel de agente estimulante o abono fertilizador del huevo. Con el “descubrimiento” de los microscopistas mencionados, de que todos los seres humanos se han alojado, desde siempre, en los espermatozoides, la teoría dio un giro radical y se reforzó la concepción, ya popular entre los griegos, de que las mujeres son únicamente recipientes pasivos del embrión, depositarias nutricias del feto, y de que los portadores de la humanidad entera son los hombres. Los naturalistas dejan de ser “evistas” y se convierten en “adanistas”: la humanidad entera nunca estuvo en los ovarios de Eva sino en los testículos de Adán.
Ahora, en los albores del siglo xxi, sabemos con certeza que los espermatozoides no contienen en su interior a una personita, a un homúnculo, sin embargo, debemos preguntarnos ¿Cómo es posible que personas serias, eruditas y excelentes naturalistas lo hubieran visto? Éste es un ejemplo (el de los canales de Marte sería otro) que nos debe prevenir contra el uso indiscriminado de la información sensorial como evidencia científica dura. Tanto los astrónomos observacionales como los microscopistas viven en una sociedad que posee un cuerpo de ideas dominantes que constituyen el “saber colectivo” y que normalmente no se cuestiona. Los preformacionistas encontraron homúnculos porque estaban buscando homúnculos, porque sus instrumentos de trabajo eran imperfectos y porque tenían una pasión desbordante por llegar a grandes descubrimientos científicos.
El fenómeno de encontrar lo que se busca, aunque no exista, está lejos de haber desaparecido. De alguna manera nos negamos a aprender de la historia con lo que nos condenamos a repetir, una vez tras otra, los mismos errores. Hoy día, una multitud de biólogos evolucionistas buscan y encuentran explicaciones adaptativas francamente fantasiosas y que no resisten ningún análisis serio. Y todo ello debido a la pasión de intentar dar con explicaciones racionales y al uso indiscriminado de un instrumento de trabajo imperfecto: la teoría de evolución por selección natural.
Pero en el mundo hay matices: no todo es blanco o negro. Hubo también personalidades que proponían una versión más “suave” de la preformación. Entre los preformacionistas “ovistas”, Marcello Malpighi, biólogo y físico italiano del siglo xvii, quien estudió la embriogénesis de los pollos, concluyó que en el huevo no estaban completas todas las estructuras del organismo maduro sino que algunas de ellas surgían en el camino a medida que el embrión se desarrollaba.
La antítesis
El perfeccionamiento de los microscopios y de las técnicas de laboratorio condujeron a la refutación plena y total de la teoría de la preformación en su variante más primitiva. El preformacionismo no podía explicar las malformaciones, los partos múltiples, los hermanos siameses o las cruzas híbridas entre diferentes especies. Todavía hubo intentos de rescatarlo, notablemente por parte del abogado y naturalista suizo Charles Bonnet en el siglo xviii. Él argumentaba, entre otras cosas, que las malformaciones se debían a perturbaciones físicas, como presión o movimientos violentos sobre el delicado material que constituye el huevo. Sin embargo, la batalla estaba perdida; cuenta Lewis Wolpert que alguien hizo ver a Bonnet que de ser cierto el preformacionismo, el conejo primigenio debió haber tenido, al menos, 1 010 000 embriones en su interior. No había modo de responder a esto.
El medio científico empezó a volver su mirada a la otra posibilidad bosquejada por Aristóteles: la teoría epigenética del desarrollo. Quizá el embriólogo más influyente en esta dirección fue el alemán Kaspar Friedrich Wolff. Hasta entonces, los preformacionistas habían basado sus hipótesis en la observación de huevos de ave o de reptiles, pues aunque en 1672 Reinier de Graaf, otro holandés más, descubrió los folículos de los ovarios (llamados folículos de De Graaf) y erróneamente pensó que éstos eran los óvulos (son en realidad los saquitos donde éstos se encuentran), el verdadero descubrimiento de los óvulos de mamífero se consiguió hasta el siglo xix, en 1830 para ser exactos, y correspondió tanto al mencionado Wolff como al estonioprusiano Karl Ernst Ritter von Baer el mérito de verlos por vez primera.
Se debe considerar a Wolff como el primer epigenetista, quien dio el golpe de gracia al preformacionismo primitivo. Sus argumentos, tanto teóricos como experimentales, eran muy poderosos: “aceptemos que no podemos ver las estructuras preformadas en el huevo debido a la imperfección de nuestros instrumentos de observación. Sin embargo, deberá llegar el momento en que por su crecimiento natural sean visibles y entonces deberíamos poder verlas completas con todos sus órganos presentes”. Pero una cosa es demoler una teoría científica y otra, muy distinta, construir una nueva. Los argumentos que sirven para refutar la preformación son inútiles para construir el epigenetismo. Después de todo la teoría de la preformación es muy intuitiva y natural y no carece de lógica, pues si no hay estructuras preformadas, si el huevo es uniforme y homogéneo, ¿de dónde entonces salen los órganos y sus formas y funciones características?, ¿de dónde surge la complejidad creciente que va caracterizando a un individuo conforme se desarrolla?
Los primeros epigenetistas tuvieron que postular la existencia de un plan o diseño que guiara el proceso de desarrollo. A esa guía hipotética Wolff le llama vis essentialis y el conde de Buffon habla de una force pénétrante pero, independientemente del nombre, el marco teórico acusa un regreso a la entelequia aristotélica. A esta fase del epigenetismo se le llama vitalista. Aunque en nuestros días casi ningún científico fuera de los países anglosajones acepta una explicación de este género (un ejemplo de lo contrario se puede encontrar en el libro de Michael Behe), no podemos culpar a Wolff o a Bufon, pues la aparición espontánea de estructuras complejas en donde antes sólo existía una gelatina uniforme desafía la intuición y exige una comprensión de procesos inaccesible para aquellos naturalistas.
El imperio de los genes
En un hecho inusitado en la historia de la ciencia que en el mismo número de una revista hayan aparecido tres artículos independientes los unos de los otros que daban a conocer al mundo el mismo descubrimiento. Efectivamente, en 1900, Hugo de Vries, Carls Correns y Erich von Tschermak publicaron por separado en Berichte der deutschen botanischen Gesellschaft (Reportes de la Sociedad Botánica Alemana) el redescubrimiento de las leyes de Mendel. El alba del siglo xx anunciaba así el nacimiento de la genética.
Previamente, al final del siglo anterior, August Weismann había propuesto la separación entre los elementos (el germoplasma) que portarían la información hereditaria de una generación a otra y el cuerpo físico en sí de los organismos (el soma). Por carecer de la información molecular precisa con la que contamos ahora, Weisman recurrió a menudo a justificaciones místicas. Sin embargo, la idea de la separación entre elementos portadores de la información y el organismo producto de esta información se acepta ampliamente en la actualidad. En lugar de germoplasma ahora se habla de adn, genotipo o genes.
El término gen vino algunos años después, en 1909, y fue propuesto por Wilhelm Johansen. La noción contemporánea de gen es muy diferente a lo que Johansen tenía en mente. De hecho, según Evelyn Fox Keller, él mismo reconoció que no se le ocurría demasiado: “Un gen no es sino una palabrita muy útil, que se combina fácilmente con otras de modo que nos resulta útil para expresar lo que son los elementos o factores unitarios en los gametos”.
Los genes eran en ese momento una idea, un concepto sin sustento físico. En 1953 el mundo conoció los frutos de la investigación espectacular de Rosalind Franklin, Francis Crick y James Watson (los dos últimos recibirían después el premio Nobel por el descubrimiento; Rosalind murió prematuramente). Ellos dieron a conocer la estructura del adn y, consecuentemente, le dieron una base material al concepto de gen y, de esta manera, voluntaria o involuntariamente, sacaron de su tumba a la teoría de la preformación. Desde luego, ya no estamos hablando de la existencia de homúnculos en los ovarios o testes; el preformacionismo moderno o neopreformacionismo es ahora mucho más sofisticado. Los homúnculos se sustituyen por “instrucciones de los genes”. Dicho de otra manera, el adn del huevo y de los espermatozoides ya contiene la forma adulta del organismo, tal como lo decía Séneca, pero dicha estructura no existe físicamente en la forma de un homúnculo sino como información cifrada en los genes. El neopreformacionismo es el neodarwinismo de la biología del desarrollo en el sentido de que todo lo que somos y hacemos, nosotros, las plantas y los animales, está de alguna manera escrito en los genes.
Como he insistido, las teorías científicas no son ajenas a su entorno social y ésta no es la excepción. El preformacionismo moderno en su variante más radical es una expresión de determinismo genético que es a su vez el reflejo en la biología de lo que en economía política son las teorías más radicales del neoliberalismo actual. Aunque esto podría ser el punto de partida para una discusión apasionante, mejor volvemos al mundo de la biología.
El neopreformacionismo es una corriente de pensamiento muy popular en la actualidad. Posiblemente es, incluso, mayoritaria. Sin embargo, sus premisas son débiles. Se habla de “información genética”, de “instrucciones de los genes” y del “código genético”, como si los genes poseyeran una capacidad volitiva de dirigir el plan maestro (blueprint) de los organismos. En la realidad, el gen (el adn) está compuesto por las moléculas más inertes del organismo desde el punto de vista químico y son completamente incapaces de hacer algo por sí mismas, aún menos dar instrucciones para la realización de algo. Una de las metáforas más extendidas y falsas a la vez, es la de la capacidad de reproducción o duplicación del adn. Si se deja en un tubo de ensayo alguna cantidad dada de adn se pueden esperar siglos y ésta nunca se replicará. Para que el adn, o los genes en su caso, se replique, hace falta una maquinaria enzimática sumamente compleja. Decir que el adn tiene la capacidad de autorreplicarse es como decir que el papel bond tiene la misma habilidad, pues si lo mete uno en una máquina Xerox, efectivamente, sale una copia. La moraleja de este ejemplo —sugerido por Richard Lewontin— es que los genes (el papel bond) son incapaces de hacer cualquier cosa fuera del entorno de un organismo sumamente complejo (la máquina Xerox). Y si no pueden siquiera autorreproducirse, ¿cómo podrán realmente dirigir el proceso de reproducción y embriogénesis de todo un organismo?
En la década de los cuarentas del siglo xx, George Beadle y Edward Tatum enunciaron el principio de “un gen, una enzima”. La extrapolación mental es inmediata: “un gen, una enzima, un rasgo fenotípico”. Aunque se ha demostrado que este camino de causalidad lineal es falso, la gente sigue pensando y razonando de esa manera. Se oye a menudo mencionar el gen del alcoholismo, el de la homosexualidad, el de la obesidad, y los más temerarios hablan incluso de los genes de la inteligencia.
El papel de los genes en el desarrollo es, sin duda, importante. Sin embargo, su relevancia se pierde conforme se avanza en la escala jerárquica que lleva de moléculas a organismos. No es verdad que un gen “produzca” una enzima, puesto que las proteínas pueden conformarse por subunidades provenientes de genes muy diversos y adquirir su forma funcional únicamente con la ayuda de otras proteínas. Es decir, en lugar de “un gen, una enzima”, tenemos “redes de genes, redes de enzimas” con propiedades dinámicas que estamos aún muy lejos de entender. Los genes no tienen un único y determinado papel funcional: si a todo esto agregamos que una enzima, definitivamente, no determina un rasgo fenotípico, entonces nos encontramos con que la relación entre genes y fenotipo es una madeja inextrincable de redes dinámicas de interacción. La realidad es más compleja que la simplificación neopreformacionista. Tanto neopreformacionismo como neodarwinismo confunden la evolución y el desarrollo con el cambio en la abundancia de los genes a lo largo de las generaciones. Si no salimos del pensamiento de la reducción génica, no podremos nunca entender la razón por la cual las células diferenciadas son tan distintas aun cuando tienen el mismo conjunto de genes, o porqué bajo el mismo genoma podemos tener morfologías tan distintas como la de la larva, la oruga y la mariposa.
La morfogénesis
Aunque se está muy lejos de comprender cabalmente el proceso global del desarrollo biológico, hay avances notables que implican una interacción simbiótica muy interesante de biólogos, físicos y matemáticos.
En un proceso de embriogénesis típico, después de unas horas de haber sido fecundado, el huevo se habrá dividido en dos, en cuatro, en ocho, etcétera, hasta llegar a formar una esfera hueca, cuyo cascarón tiene el grosor de una célula y contiene aproximadamente un millar de éstas. En un instante dado, esa esfera, la blástula, comienza a perder su forma y, por un proceso llamado gastrulación, parte de la esfera se interna en sí misma (se invagina) y, mientras prosiguen las divisiones celulares, el plegado de paredes celulares continúa de manera que, en muy poco tiempo, ya se puede reconocer un embrión. También en un estadio temprano, las células dejan de ser todas semejantes y comienzan a especializarse para dar lugar a futuros tejidos específicos del organismo. Esa es la diferenciación celular.
Aquí podemos identificar algunos momentos cruciales: primero, la pérdida de la simetría esférica y, segundo, la pérdida de la homogeneidad de las células. ¿Qué ocasiona estas rupturas de simetría? Se ha postulado la posible existencia de algunas sustancias llamadas morfógenos, cuyas concentraciones no homogéneas provocarían los cambios geométricos y funcionales del embrión. Pero postular la existencia de un campo morfogenético únicamente lleva el problema del desarrollo de un ámbito a otro sin resolverlo, pues ahora se plantea: ¿cómo es posible que exista una sustancia que sin intervención externa tenga una concentración heterogénea?
En 1958, un biofísico soviético, Boris Pávlovich Belusov, trataba de reproducir in vitro el Ciclo de Krebbs. Como no tenía recursos monetarios para efectuar las reacciones que se llevan a cabo en dicho ciclo, Belusov tuvo la idea genial de llevar a cabo las mismas reacciones pero sustituyendo los reactivos orgánicos con homólogos inorgánicos que tuvieran propiedades fisicoquímicas semejantes. Para su asombro —y para el de todos los que han mirado esta reacción— las sustancias que en un inicio se encuentran perfectamente bien mezcladas en una solución acuosa, exhiben oscilaciones temporales periódicas y también muestran estructuras en forma de espiral después de un breve lapso transitorio. Belusov no pudo publicar el reporte de su trabajo pues nadie le creyó. La duda de los editores de las revistas era la misma que mencionamos arriba: ¿cómo es posible obtener patrones espaciales heterogéneos a partir de una solución acuosa homogénea? El trabajo de Belusov cayó momentáneamente en el olvido, pero más tarde, en la década de los setenta, fue retomado por Anatoly Zhabotinsky y ahora se le conoce con el nombre de reacción de Belusov-Zhabotinsky y es el ejemplo paradigmático de la posibilidad de emergencia de estructuras a partir de medios homogéneos.
Se supo entonces que, de la nada, pueden emerger estructuras espaciales discernibles y bien diferenciadas. ¿De la nada? Bueno, no exactamente. En la misma década, Ilya Prigogine recibió el premio Nobel de Química por mostrar que los sistemas complejos pueden transitar de estados desordenados a estados ordenados sin violar la segunda ley de la termodinámica, y la condición para hacerlo es que los sistemas puedan intercambiar masa, energía e información con su entorno. Esto dio fundamento, de una buena vez, a la posibilidad teórica de la epigénesis. Es decir, este hecho mostró que es perfectamente posible que una estructura uniforme y homogénea dé lugar a patrones espaciales bien diferenciados.
Ya en 1933 el embriólogo inglés Conrad Hal Waddington había demostrado que ciertos mensajeros químicos eran responsables de la diferenciación de tejidos en embriones de aves y mamíferos. Si existe un conjunto de sustancias químicas (los morfógenos) cuya distribución espacial heterogénea “dispara” las señales necesarias para que las células se diferencien, y si en los organismos todas las sustancias son producto de los genes, entonces, ¿son los genes los responsables del proceso de desarrollo embrionario?
Dicho de otra manera: ¿está en los genes el plan rector de diseño postulado por los epigenetistas vitalistas? La respuesta es negativa; de otra manera, lo único que habría sucedido en tres siglos de estudios embriológicos sería el cambio de un vitalismo místico por un vitalismo materialista.
En el trabajo científico siempre se ha tenido en gran estima la capacidad de síntesis; desde que Descartes une la geometría y el álgebra para dar lugar a la geometría analítica hasta el esfuerzo por conciliar la genética mendeliana y la selección natural darwiniana en la teoría neodarwinista, hay grandes hitos en la historia de la ciencia que son esfuerzos sintetizadores.
En embriología, la síntesis consistió en presentar una visión unificadora de la acción de los genes, la termodinámica de sistemas fuera del equilibrio y la teoría de los sistemas dinámicos no lineales. El mérito inicial —el correspondiente a los fundadores— es a juicio mío tanto de Waddington como del matemático francés René Thom (ganador de la medalla Fields, el equivalente al Nobel en matemáticas). Su propuesta es una de las construcciones teóricas más lindas en la historia de la biología. Voy a intentar describirla y pido a los lectores un esfuerzo de imaginación y abstracción.
Thom y Waddington conciben al proceso embriológico como un sistema dinámico en el más puro sentido de las matemáticas; en él, un punto en un espacio abstracto de configuraciones representa el estado del embrión. El movimiento de ese punto corresponde al desarrollo embrionario y la trayectoria que sigue es la historia del desarrollo.
El punto no se puede mover en dirección arbitraria; su libertad de movimiento está restringida por un paisaje epigenético; imaginemos que el punto es una pelota que únicamente puede rodar siguiendo los accidentes y contornos del paisaje físico (como en la figura de la página opuesta). Una vez que una trayectoria entra en una sima del paisaje epigenético, ya no lo puede abandonar y se dice que ha caído en una cuenca de atracción. Las variables de estado que describen la posición del punto están determinadas por los genes del individuo, mientras que el paisaje por el que debe de rodar son las restricciones tanto ambientales como fisicoquímicas del proceso ontogenético. Los genes son importantes, son los parámetros que definen el sistema, pero la dinámica sigue un camino natural únicamente restringido por el debido respeto a las leyes de la física y la química.
De esta manera, la embriogénesis no es el resultado de la vis essentialis depositada, tal vez, en los genes. No se precisa de force pénétrante alguna. Sin embargo, sí se puede hablar de un plan de desarrollo: el de la interacción o la lucha —como prefiere decir Thom— del genoma con su medio ambiente. Sí existe un plan, mas para comprenderlo no precisamos del viejo telos, basta el conflicto, lo único verdaderamente eterno en el Universo, para echarlo a andar.
Colofón
Las ideas de Waddington nunca permearon el medio de los embriólogos. Al tener un pie en la embriología y otro en la genética, nunca estuvo adherido a las corrientes dominantes de esas disciplinas. Afortunadamente, en años recientes sus ideas han ido renaciendo, y aunque nadie ha dicho aún la última palabra en la biología del desarrollo, el programa waddingtoniano de un epigenetismo estructuralista ha ido ganando adeptos y tiene un futuro promisorio.
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Referencias bibliográficas
Aranda, A. 1997. La complejidad y la forma. México, fce.
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Pedro Miramontes Vidal
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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como citar este artículo → Miramontes, Pedro. (2002). Paisajes embriológicos y genes. Ciencias 65, enero-marzo, 4-13. [En línea] |
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