Revista Ciencias

Edades de Cúmulos Estelares

La mayor parte de las estrellas del Universo forman grupo. Un grupo famoso es el de las Pléyades. Las Pléyades forman un cúmulo de unas 300 estrellas, de las cuales se pueden ver a simple vista unas seis. En la antigüedad este cúmulo estelar se utilizaba para conocer la agudeza visual de los arqueros.        

Se piensa que todas las estrellas del cúmulo de las Pléyades se formaron más o menos al mismo tiempo a partir de una sola nube de gas y polvo interestelar que se fragmentó y se condensó. Esta evidencia surge a partir de la proximidad espacial de las estrellas, y del polvo y gas que todavía se observan alrededor de estas estrellas. Se supone que el polvo sobró después de la intensa formación estelar.                      

Una de las preguntas que se hace el astrónomo es la de la edad de los cuerpos celestes. ¿Cuál es la edad de las Pléyades? Una manera de saberlo es observando la estrella del cúmulo que viva menos tiempo. Las estrellas viven distintos tiempos dependiendo de sus masas: las estrellas muy masivas viven menos que las poco masivas, así, si se observan estrellas masivas en un cúmulo, se puede inferir que el cúmulo es joven, y si se observan sólo estrellas poco masivas, se concluirá que se trata de un cúmulo viejo. La edad que se ha estimado para las Pléyades utilizando este método es de unos 65 millones de años. Esto quiere decir que se trata de un cúmulo joven. La edad de la Tierra y del Sol es de 4500 millones de años, unas setenta veces mayor que la de las Pléyades.

La otra manera de conocer las edades es estudiando las estrellas poco masivas y comparándolas con modelos teóricos de formación estelar. Para las Pléyades estos modelos dan una edad de 200 millones de años, un poco mayor que para las estrellas masivas. Algunos investigadores suponen que esto implica que existe la formación secuencial de estrellas, es decir, que en particular en las Pléyades, primero se formaron las estrellas poco masivas y después las muy masivas.              

Las astrónomas italianas Paola Mazzel y Luisa Plgatto consideran que es posible que se esté subestimando la edad de las estrellas masivas del cúmulo. Proponen la existencia de un mecanismo de inyectado de combustible al núcleo de la estrella hidrógeno, que podría prolongar sus vidas (el nombre técnico en inglés es “overshooting”). En otras palabras si se toma en cuenta que existe una inyección de combustible nuclear a los centros de las estrellas masivas, sus vidas se prolongarían y como consecuencia la edad determinada por ambos métodos coincidiría; es decir, la edad de las Pléyades sería de 200 millones de años.

Chorro de Gas Proveniente del Núcleo de la Galaxia

El astrónomo japonés del radio-observatorio de Nobeyama, Yoshiakidel Sofue, ha reportado la existencia de un enorme chorro de materia que está emanando del centro de la Galaxia (sistema estelar al que pertenece el Sol). El chorro tiene forma cilíndrica; su longitud es de 4000 años luz y su ancho es de 200. Esta columna de gas emana de manera perpendicular al plano de la Vía Láctea, pasando por su centro.

Estos chorros de materia son frecuentes en las llamadas galaxias activas y los cuásares, en general, son simétricos, es decir, que emanan dos chorros por galaxia en direcciones opuestas. Se cree que estos chorros son consecuencia de la existencia de un hoyo negro en el centro de los objetos que los poseen. En el caso de la Vía Láctea sólo se ha detectado uno, al que se ha llamado tonado magnético. No se ha medido la velocidad de expansión del chorro, pero el de la galaxia activa M87 se está expandiendo a una velocidad igual a un cuarto de la velocidad de la luz, 75000 kilómetros cada segundo.

Baja California es un territorio cubierto en un 90 por ciento por desierto. Es un estado que posee riquezas naturales de gran importancia, sus recursos marinos tanto del mar de Cortés como del Océano Pacífico son la base de la industria pesquera y de conservación. En sus aguas se capturan especies tales como la sardina y la langosta.                

Otro de los recursos existentes en la península son las salinas; entre ellas destacan las de isla del Carmen (cerca de Loreto) de las cuales se extraen anualmente varios miles de toneladas de sal. Baja California cuenta con terrenos de gran fertilidad, sin embargo, estos no pueden ser explotados debido a la carencia de agua, es el caso de los llanos de Hiray o de la Magdalena, una extensión de 20 mil kilómetros cuadrados cubiertos por una gruesa cubierta de tierras de aluvión, ricas en humus.     

Un dicho popular resume las características de la región: “En Baja California no es la tierra la malagradecida, el ingrato es el cielo”.

Las fuentes de agua dulce se concentran en los extremen de la península; el único río importante —el Colorado— abastece de agua a la población y los campos agrícolas del Valle de Mexicali. Por otro lado, en las Sierras de Juárez y de San Pedro Mártir, situadas al norte, y de la Sierra de San Lázaro en el extremo sur, descienden una cantidad considerable de arroyos en cuyos bordes se han asentado núcleos de población.

Entre esas dos zonas se extiende una franja de tierra de más de mil kilómetros en donde domina el desierto, entrecortado por algunos oasis que deben su existencia a corrientes fluviales y manantiales, o bien a micro-climas húmedos, como las poblaciones de Mulegé, Comondú o Loreto.                   

La extrema carencia de agua dulce ha motivado el desarrollo de proyectos de desalación de agua marina. Uno de ellos es auspiciado por el Instituto de Ingeniería de la UNAM y está destinado a abastecer de agua potable a pequeñas poblaciones de la región. Un primer sistema de esta naturaleza se ha diseñado para un campo de cultivo en el Centro de Investigaciones de Baja California Sur, y el gobierno del estado financia la construcción de otro aparato de este tipo para surtir 1m³/día de agua potable a Puerto Chale, población ubicada sobre la costa del Pacífico, a unos 160 km. al norte de la Paz.                        

El proyecto al que hacemos referencia es un destilador que funciona con la energía que proporciona el viento y el sol (se muestra gráficamente en la figura 1). El agua marina —que en adelante llamaremos salmuera— se extrae de un pozo en la playa y no directamente del mar, entre otras cosas por las dificultades que acarrearían los bruscos cambios de nivel producidos por el oleaje.                        

El agua de mar sube a un tanque por medio de una bomba accionada por el viento; las corrientes de aire mueven un dispositivo multiaspas o “margarita”, el cual provee el trabajo necesario para subir la salmuera unos cuantos metros. El liquido del tanque desciende por acción de la gravedad hasta un depósito previo al destilador. Su función consiste en abastecer a este último de cantidades fijas de agua, lo que se puede lograr si el nivel del líquido permanece constante. Con este fin se ha incluido una válvula que cierra el paso del agua cuando ésta supera cierto nivel.

El destilador propiamente dicho tiene en su parte inferior una sesión plana que se encuentra ligeramente inclinada y es por donde fluye la salmuera. Los rayos solares evaporan una fracción del agua más no las sales. El techo es una cubierta transparente de tipo invernadero; ahí se condensa el agua libre de sales, que previamente se evaporó y que posteriormente se escurre hasta unos canales laterales, y luego hasta un recipiente de almacenamiento. (Esto último se puede apreciar en la figura 2).

Los destilados solares basan su funcionamiento en el hecho de que la temperatura de evaporación del agua es inferior a la temperatura de evaporación de las sales; lo anterior se puede ilustrar por medio de un simple experimento casero: prepárese una solución de sal común y agua en un recipiente, luego colóquese al fuego. Al cabo de cierto tiempo el agua se habrá evaporado por completo y en el fondo del recipiente permanecerá una capa de sal.           

La fracción de calor solar que absorbe el agua de mar incrementa la temperatura y produce la evaporación del agua.          

Es bien sabido que el agua corriente hierve a 100°C al nivel del mar y a 95°C en la capital mexicana. La indicación del lugar tiene que ver con una variable termodinámica bastante conocida, la presión. Se observa que mientras más alta sea la presión más alta será la temperatura de evaporación de la sustancia. En general la transición del estado líquido al gaseoso ocurre bajo una combinación de temperatura y presión bien determinada. La figura 3 muestra una gráfica cuyos ejes son las variables termodinámicas antes mencionadas. La curva que se ha trazado (llamada línea de vapor, ver figura 3) es aquella donde se produce la transición líquido-gas, y evidentemente es el límite de las regiones donde cada uno de los estados —el líquido y el gaseoso— existen por separado.

Las sustancias que tienen temperatura y presión que coinciden con un punto de la línea de vapor, se caracterizan por una coexistencia de las fases líquida y gaseosa, y sin influencias externas pueden permanecer así indefinidamente. La evaporación ocurre si agregamos energía, lo que sucede en el destilador por el calor que la salmuera absorbe del sol.

La temperatura máxima que alcanza el agua de mar dentro del destilador es ligeramente superior a los 70°C (esto aproximadamente a las 14:30 horas). Aparentemente el agua no debería de evaporarse pues el dispositivo se encuentra a nivel del mar y la temperatura es inferior a los 100°C. Sin embargo, la evaporación transcurre, lo cual se explica por medio de la Ley de Dalton: en una mezcla de gases la presión total es igual a la suma de las contribuciones (llamadas presiones parciales) de cada uno de los componentes. Las condiciones para el paso del estado líquido al gaseoso están dadas para temperaturas y presiones de la misma sustancia; luego entonces la magnitud importante es la presión parcial del vapor de agua y no la total. Lo anterior implica un resultado importante: la evaporación sucede inclusive por debajo de la temperatura a la que hierve el agua. En realidad hervir es un término más limitado que evaporar. La primera palabra se refiere a la transición al estado gaseoso con una formación violenta de burbujas, mientras que un líquido también puede evaporarse en forma suave.

La presión de la atmósfera circundante influye en el paso al estado gaseoso, pero en otro aspecto: si la presión parcial del vapor que se desprende del agua marina es menor a la atmosférica, su expansión a los alrededores ocurre principalmente por difusión, y sólo a medida que se esparce, nuevas porciones de líquido se evaporan. Si la presión parcial del vapor es mayar o igual a la atmosférica se forman burbujas de gas que se alejan rápidamente de la superficie líquida y por lo tanto la velocidad de evaporación es grande.

Varios factores ambientales o de diseño influyen sobre la eficiencia del destilador. Destacan la longitud total que recorre la salmuera, la velocidad del flujo, su temperatura, el calor suministrado por el sol y las pérdidas de energía.                     

La evaluación de la influencia que ejercen estos factores sobre la producción de agua dulce puede hacerse por vía experimental, pero esto requiere de una gran cantidad de pruebas con el consecuente gasto de tiempo y recursos. Una vía alternativa es la elaboración de un modelo numérico que simule la producción del destilado en el dispositivo en cuestión. Dicho modelo debe ser capaz de dar como resultado una producción de 4-5 litros de agua por cada metro cuadrado de superficie del destilador, dato que ha sido obtenido de las experiencias piloto realizadas en Baja California.                       

El modelo desarrollado en el Instituto de Ingeniería de la UNAM se ha probado con información sobre el clima de La Paz durante el mes de abril. Las temperaturas extremas del ambiente fueron tomadas como 20°C a las 6 A.M., y 45°C a las 14 horas; los valores intermedios se han interpolado senoidalmente. Por otra parte, la radiación máxima que provee el Sol se tomó igual a 0.84 Kw/m² a las 12 horas.

En la elección de ciertos parámetros del dispositivo influyen algunos argumentos físicos. Así, en un destilador muy largo o con una velocidad de flujo pequeño la evaporación del agua en los primeros tramos tendrá como contraparte un incremento de la concentración de sal del agua marina en la parte restante, lo que produce una disminución en la presión parcial del vapor de agua. Luego se hace más débil el esparcimiento del gas y por lo tanto la producción de nuevas porciones de destilado se abate. Si por el contrario, la longitud del destilador es muy corta o la velocidad del flujo es alta, la temperatura de la salmuera no aumentará convenientemente y de esta forma la producción de agua dulce será lenta.    

Se hicieron cálculos para un destilador de 40 metros de largo por 1.5 metros de ancho y se consideró que cada minuto entraban 3 kg de agua salada. Además, el ancho de la capa de fluido se tomó de 10 mm. Entre los resultados obtenidos por la simulación numérica se encontró que la temperatura de la salmuera que fluye por el destilador varía entre 23.5°C a las 6 A.M., y 75.3°C a las 14:30 horas. Además, sólo una porción menor a la mitad de la longitud del aparato sirve para calentar el agua.

La producción de agua dulce que resulta en el modelo fue de 265 litros al día, que dividido entre los 60m2 de área del aparato dan 4.42 litros/m2. Esto concuerda con información experimental y es quizá lo más importante ya que constituye una prueba de la validez de la simulación numérica. Luego, el modelo podrá ser utilizado para diseñar destiladores solares bajo condiciones ambientales distintas. Sus resultados permitirán ahorrar tiempo y recursos económicos.

Nota de los editores

INTRODUCCION

Los procesos de modernización planteados para llegar a ser un país desarrollado no toman en cuenta, en la mayoría de los casos, a las zonas rurales, y cuando lo han hecho sólo han producido una mayor polarización social, una alta necesidad de capital, dependencia tecnológica y un fuerte deterioro ambiental. Lo que está ocurriendo en el campo mexicano es justamente el resultado de una concepción primermundista de desarrollo. Las consecuencias podrían ser irreversibles, a menos de que se tome consciencia y cambien nuestra manera de pensar y trabajar, no para crear nuevos problemas sino para resolver los ya existentes.

En México existen miles de pequeñas comunidades con menos de 2500 habitantes. Las principales actividades productivas en éstas son la agricultura de temporal, la artesanía, el comercio en pequeña escala y la exportación de mano de obra a las ciudades y al campo industrializado, principalmente en época de secas. El patrón de consumo energético en dichas comunidades se caracteriza por el uso de fuentes no comerciales de energía, como son la leña, el trabajo humano y el trabajo animal; éstas satisfacen el 80% de la demanda. Al conjunto de estas comunidades se les ha llamado zona rural o medio rural.             

El treinta por ciento de la población mexicana vive en este tipo de zonas, y el 82% usa principalmente leña y desechos agrícolas como combustible para cocinar. En el medio rural el 76% del consumo total de energía es en forma de leña (Cervantes Servín et al., 1984). Actualmente no se tienen datos sobre el consumo de leña en el sector urbano, pero aun suponiendo que éste sea nulo, la leña representa al menos el 10% del consumo nacional de energía.

Reedy (1987) ha propuesto un nuevo proceso de desarrollo. Según él, el desarrollo no debe confundirse con el simple crecimiento de los bienes y de los servicios, sino que hay que distinguir cuáles bienes y servicios existen y a quiénes benefician. Reedy propone una planeación energética orientada a la resolución de la problemática de los más necesitados. Ello implica que la investigación no se encuentre restringida a las fuentes energéticas de gran escala, sino que se tome en cuenta el uso final de la energía, es decir, que los aspectos humanos ligados a ésta sean incorporados totalmente al estudio técnico. Desde esta óptica es esencial el conocer para qué se utiliza la energía, quiénes se benefician de la producción de energía, etc. Reddy afirma que la energía no es el único problema social y plantea que al buscar soluciones al problema energético, se debe cuidar el no agravar otros problemas sociales, como la pobreza, el empleo, la industrialización, la agricultura, el deterioro ambiental, etc. Lo que sugiere no es la construcción de un “sistema energético sostenible” sino usar la energía para construir un “mundo sostenible”. Una parte central de este planteamiento es la convicción de que los recursos energéticos convencionales son finitos y que su extracción implica tanto costos económicos como impactos ambientales.

EL PROYECTO DE CHERANATZICURIN

A partir de esta filosofía, el grupo de Energética de la Facultad de Ciencias de la UNAM elaboró un proyecto para diseñar tecnologías adecuadas que permitan satisfacer las necesidades básicas de la población, lograr una autosuficiencia y una armonía con el ambiente. Para alcanzar estos objeticos es necesario conocer primero las necesidades en la comunidad, caracterizarlas y fomentar la participación local en el diseño y la adaptación de tecnologías.                       

Así, se comenzó por hacer un análisis del patrón de consumo de energía en Cheranatzícurin, una comunidad purépecha en el estado de Michoacán. El estudio consistió en entrevistas abiertas, encuestas generales y encuestas domésticas y productivas. Además se hicieron mediciones directas del consumo de electricidad y de leña en labores agrícolas. En el cuadro 1 se presenta la matriz fuente-actividad de los usos finales de energía en esta comunidad (Masera, et al., 1987).                

En Cheranatzícurin la leña constituye el 86% del consumo total de energía: 75% para cocinar (sector doméstico) y 11% en la elaboración de tortillas para vender (sector productivo).                     

El proceso de cocinado se lleva a cabo, con muy pocas excepciones, en fogones de tres piedras o en las tradicionales estufas cerradas, en donde la eficiencia energética es muy pequeña comparada con una estufa de gas. Es por demás sabido que la tala de bosques constituye uno de los grandes problema ecológicos más candentes. México es uno de los países “más talados” del planeta; por lo que disminuir la tala de árboles es una cuestión fundamental que puede y debe ser atacada de raíz. Prohibir la tala sin proponer alternativas de supervivencia carece de sentido. Es, en cierta forma, atacar los efectos y no las causas.                     

Así, el problema que se presentaba era encontrar una forma de cocinar cuya eficiencia fuese mayor y de esta forma, lograr un ahorro de leña, la reducción del humo en la cocina, y al mismo tiempo, introducir una cierta conciencia ecológica en los usuarios.

Desde el inicio del trabajo de análisis que se llevó a cabo en el poblado, los mismos habitantes de la comunidad fueron quienes plantearon la necesidad de buscar soluciones a los problemas asociados al uso y manejo de los recursos naturales. Sin embargo, para introducir nuevas tecnologías en una comunidad, hay obstáculos que, en muchos casos, tienen que ver con una actitud común entre los investigadores:

a) Se hacen estudios sobre una comunidad sin tomar en cuenta a la población local.

b) Se presentan soluciones acabadas, listas para ser utilizadas, sin comprender los problemas y condiciones particulares.

Se trató de superar estos inconvenientes realizando un intenso trabajo de campo —vistas mensuales— y se logró integrar al proyecto a una pare significativa de la comunidad.

¿CUÁL ESTUFA ESCOGER?

Desde tiempo inmemorables la leña se ha usado en fogones abiertos; en éstos, el recipiente se apoyo sobre tres piedras. En Cheranatzícurin también se utilizan fogones en forma de “U” hechos de distintos materiales, tales como barro, piedras y tabiques. Una característica de estas estufas es que el humo, producto de una mala combustión, queda en la cocina. Esto constituye un gran problema.

Se ha logrado evidenciar que en las zonas rurales de países en “desarrollo” (“subdesarrollados”) la concentración de contaminantes en el aire de las cocinas es frecuentemente más alta que la establecida en las normas recomendadas por la Organización Mundial de la Salud (OMS) y mucho mayor que en los ambientes urbanos más contaminados (Smith, 1987). Smith afirman también, que las cocineras inhalan tantas sustancias tóxicas como si fumaran 400 cigarros al día. Se han realizado poco estudios sobre los efectos del humo en las personas cuando cocina con fogones abiertos o en estufas tradicionales. Sin embargo, muchos problemas de salud están asociados a la permanencia en un ambiente lleno de humo. Bronquitis y otras enfermedades respiratoria pueden ser causadas y agravadas por el humo. El humo también puede dañar los ojos, y algunas moléculas complejas de hidrocarburos encontradas en él son cancerígenas. El problema de contaminación por combustión de leña o similares podría generar bastante material para un artículo aparte.

En Guatemala fue diseñada una estufa tomando en cuenta las siguientes necesidades: extraer el humo de la cocina y ahorrar leña; la estufa tipo Lorena.

Se escogió la estufa tipo Lorena por dos razones fundamentales: el material de construcción (barro y arena) se encuentran disponibles en los alrededores de la comunidad, y por otro lado, se contaba con la experiencia de desarrollo y adaptación de este tipo de estufas en otra localidad.

El modelo que se construyó en Cheranatzícurin es una adaptación del diseño guatemalteco a las necesidades culinarias de la región. Aunque también fueron introducidos otros cambios con el fin de mejorar la eficiencia de la estufa. Entre los más importantes figuran: la altura de la caja de fuego, la dimensión de los túneles y el espacio existente bajo los recipientes. La estufa se construye con lodo; es decir agua, barro y arena. Este material puede moldearse en la forma que se desee y en principio puede ser construida por cualquier persona.

CONSTRUCCION DE LA ESTUFA

La construcción de estufas se inició en forma un poco arbitraria, principalmente respondiendo al pedido de los comuneros. Poco después se realizó una asamblea a la que asistieron las señoras en cuyas casas había ya una Lorena y se conformó el primer comité de construcción de estufas. Este comité estableció como requisito para la construcción de una estufa la participación de dos mujeres o jefes de familia de la casa en donde se construiría la nueva estufa. Con el trabajo de este comité se vivió la etapa más próspera en la construcción de estufas. Durante este periodo se construyeron 24 estufas y se comprobó que estuvieran funcionando. Se realizó entonces una segunda asamblea; en ella se planteó la necesidad de acelerar el proceso de difusión y se decidió conformar un nuevo comité de mujeres constructoras. Así, al finalizar el primer año la comunidad contaba con 58 estufas, es decir que el 15% de las familias tenían ya su parangua kuerekutzari (nombre de la nueva estufa en purépecha que quiere decir parangua 5 fogón, kuerekutzari = lodo y arena).

Durante la estación de lluvias disminuyó el número de estufas construidas debido a que en esta época resulta más difícil obtener el barro. Además, la experiencia de los constructores nos ha demostrado que para obtener mejores resultados es preferible que el barro esté completamente seco antes de hacer la mezcla Lorena, ya que de la calidad de la mezcla depende la durabilidad de la estufa. Una pequeña innovación tecnológica fue la construcción de un molino de martillos que agilizaba la construcción de estufas, ya que permitía moler fácilmente el barro una vez seco.

FUNCIONAMIENTO DE LAS ESTUFAS

Un aspecto importante en cualquier programa de adaptación de estufas es la prueba de funcionamiento y aceptación en las comunidades. Se han desarrollado diferentes metodologías para medir el funcionamiento de las estufas, pero con concepciones y en circunstancias diferentes. Esto ha originado una gran confusión y sobre todo ha generado resultados inconsistentes y por lo tanto no comparables entre sí. Para salvar este problema se decidió estandarizar las metodologías. Actualmente se mide el funcionamiento por medio de tres tipos de pruebas: la prueba de ebullición de agua (PEA), la prueba de cocina controlado (PCC) y la prueba de funcionamiento en la cocina (PFC) (Navia, 1989). La aceptación no puede medirse siguiendo ninguna receta, ya que ésta varía de acuerdo al tipo de comunidad donde se trabaje. Pero es vital conocer qué tanto desean una estufa de este tipo, así como determinar el impacto social, cultural y económico de éstas en los usuarios y no usuarios.

Es importante analizar estadísticamente los datos obtenidos con estas pruebas para saber qué tan fiables son los resultados. Debido a la dificultad que implica la obtención de muchos datos se propone usar la estadística de Student o estadística-t (Hoel, 1979 y Vita, 1982).

1. Prueba de ebullición de agua. Se trata de una prueba de simulación de cocinado en la cual el agua tomar el lugar de los alimentos. Es una prueba fácil de efectuar en el campo con condiciones controladas (Vita, 1982; Navia, 1989).

 A partir de esta prueba se calcula el porcentaje de calor utilizado (PCU); este constituye un índice de eficiencia de la estufa. Está dado por:

Entra fórmula 01

Esta prueba debe realizarse al menos cuatro veces en cada estufa. Los resultados se promedian y se analizan estadísticamente. Se presentan en el siguiente cuadro los resultados de series de PEA en las diferentes estufas. Tres piedras (3P); Lorena Radial de dos hornillas (LR2); Lorena Lineal de 2 hornillas (LL2) y Lorena Doble entrada de 1 hornilla (LD1).

La eficiencia promedio del fogón de tres piedras (3P) es 1.4% mayor que la estufa LR2; es el diseño más común en Cheranatzícurin. Pero los intervalos de confianza son grandes y se superponen, por lo que las eficiencias no pueden considerarse diferentes estadísticamente; tampoco en los prototipos LL2 y LD1. Se hicieron algunas pruebas en los prototipos sin parrilla y se encontraron los mismos resultados. Por lo tanto se puede afirmar que en términos de la prueba de ebullición de agua estas estufas tienen la misma eficiencia.

2. Pruebas de funcionamiento en la cocina. Se llevó a cabo una comparación entre las estufas tradicionales y las “mejoradas” a través de la PFC. Esta prueba sirve para determinar el consumo per cápita de combustible cuando se cocina en una estufa tradicional y en la estufa supuestamente mejorada. En esta prueba se pesa el combustible que usan una familia durante un día completo y se cuenta el número de personas que comieron en esa casa. Este procedimiento se repite por siete días en diferentes estaciones tanto climatológicas como migratorias (este último factor es importante, ya que en muchas regiones en donde la agricultura es de temporal, los campesinos se ven obligados a salir a trabajar fuera de su comunidad durante la estación seca; también durante los periodos escolares se presenta la migración a las ciudades). Fue necesario hacer un estudio de la variación estacional del consumo de combustible. La figura 1 muestra la variación estacional del consumo diario de leña per cápita en las dos diferentes estufas en una muestra de casas de Cheranatzícurin.

Tomando los datos de todo el año, el promedio de consumo diario per cápita para el fogón de tres piedras, es de 1.59 kg.; el de la Lorena es de 1.05 kg., lo que muestra un ahorro global de 34%.

3. Prueba de elaboración de tortillas. Las normas internacionales proponen una prueba de cocinado controlado (PCC); en ésta se define una comida típica y se prepara en cada estufa. En Cheranatzícurin era difícil definir una comida típica, pero como el diagnóstico del consumo energético mostró que la elaboración de tortillas consume 40% del combustible utilizado en la cocina, sin tomar en cuenta la cocción del nixtamal (otro 17%) (Masera, et al., 1987), se decidió hacer una comparación del fogón de tres piedras y la estufa tipo Lorena midiendo su funcionamiento en la elaboración de tortillas. Se midió el peso de la leña consumida por peso de masa de nixtamal como índice de funcionamiento de cada estufa. Este índice se denomina Consumo Específico de Combustible (CEC):

Entra fórmula 02

En fogones de tres piedras se hicieron 17 pruebas en 8 casas y en las Lorena se realizaron 15 mediciones semejantes. Se hizo un análisis estadístico de los datos (eliminando los extremos). En el cuadro siguiente se encuentran los cálculos de consumo específico de combustible promedio y su desviación estándar para el fogón de tres piedras y las Lorena. 

De estos datos podemos concluir que la estufa Lorena logra un ahorro de 52% respecto al fogón de tres piedras en la elaboración de tortillas. Si consideramos que la estufa Lorena tiene además dos hornillas y que se puede cocinar en las otras hornillas al mismo tiempo que se preparan las tortillas, la economía de leña con esta estufa podría ser superior al 52%.

4. Encuestas a los usuarios. El consumo del combustible es nada más un aspecto del funcionamiento de una estufa. La estufa tiene que ser compatible con los requisitos de cocina de los usuarios. Esto es, debe responder a las necesidades, gustos y posibilidades de los usuarios potenciales. Es importante hacer encuentras entre los usuarios de cualquier nuevo diseño de estufa antes de impulsar su difusión. Las encuestas pueden ser informales, basadas en entrevistas abiertas, o más formales, con cuestionarios. En este caso, se platicó con algunos propietarios de las nuevas estufas y se hicieron observaciones en torno al uso de éstas. He aquí el resultado de la encuesta (un tanto esquematizado):

• Se observó menos humo que en los fogones tradicionales;
• Se notó que cuando no se hacen tortillas y utilizan la estufa con recipientes de menos diámetro que el comal, ésta es usada como fogón de tres piedras. En algunos casos el comal fue sustituido por un anillo metálico de acuerdo con el diámetro del recipiente;
• Ocasionalmente las estufas eran utilizadas como fogón de tres piedras para proporcionar calefacción;
• Una razón por la cual la Lorena no fue aceptada es la poca calefacción que proporciona;
• A pesar de que hay barro en los alrededores de la comunidad es difícil recolectarlo cuando no se dispone de un medio de transporte.

Conclusiones y recomendaciones. A partir de la prueba de funcionamiento en la cocina se observó en la Lorena un ahorro de leña del 34% con respecto al fogón tradicional. De la prueba de la elaboración de tortillas se concluyó que la Lorena ahorra más del 52% de leña. Esto podría parecer una contradicción, pero si se recuerda que el uso de la Lorena cuando no se hacen tortillas es equivalente a usar un fogón tradicional, el consumo de leña tiene que ser diferente. Esto también nos hace pensar en la calidad de uso de las estufas. Es normal oír que no es lo mismo cocinar en este tipo de estufa, y que por lo tanto primero se debe aprender a utilizarla para alcanzar resultados óptimos. Se diseño el prototipo LD1 con dos entradas de leña; la hornilla principal de la segunda entrada es más pequeña, lo cual hace a la estufa más flexible en diferentes tareas de cocinado. Se integró una parrilla a los modelos LD1 y LL2 para mejorar la combustión. La etapa siguiente consiste en construir varias estufas de estos modelos y probar su funcionamiento en condiciones reales en la cocina. Es difícil llegar a un acuerdo entre los resultados anteriores y los obtenidos en las pruebas de ebullición de agua. Según la PEA todas las estufas tienen la misma eficiencia, sin embargo, se tiene más confianza en el resultado de la PFC-ahorro de 34% de leña, la cual está basada en datos tomados durante una semana de cada mes, durante todo un año, en una muestra de más de 15 familias. Es cierto que un problema es el amplio intervalo de confianza de eficiencia en la PEA. Pero aún si los resultados fueran comparables con los de la PFC, tenemos que cuestionar la utilidad de la PEA tomando en cuenta, además, la dificultad de realizar estas pruebas. Varios autores han propuesto a la PEA como la más útil para una evaluación rápida de cambios en el diseño de las estufas. Esta afirmación, sin embargo, no se puede considerar totalmente cierta.

Tal vez el problema más grave con el que se ha topado es el de la aceptabilidad de las estufas. Es necesario hacer un estudio serio de impacto, tomando en cuenta aspectos sociales, culturales y económicos para poder concluir al respecto. Esto abre las puertas a la colaboración con profesionistas de las áreas sociales, a fin de obtener el máximo provecho y fomentar, además, la interdisciplinariedad.

Otro problema que debemos tener en cuenta es la manera en que comunicamos nuestra experiencia a los campesinos. Resulta común que ellos no entiendan la terminología que normalmente utilizamos y que por tal motivo se pierda una parte importante de la comunicación. Esto no significa que ellos sean más o menos inteligentes, simplemente no están obligados a conocer toda la estructura lingüística que nos hace creer tan importantes y que ha servido solamente para ampliar la brecha entre investigadores y comuneros.

A partir de nuestra experiencia, se piensa que un modelo para armar un programa de difusión del empleo de estufas mejoradas debe incluir las siguientes etapas: 1. Una encuesta preliminar con mediciones de consumo de combustible per cápita (PFC) para determinar la economía de la estufa tradicional en uso y la situación de la escasez de leña en la región. 2. La selección de diseños de estufas mejoradas y su adaptación en la región de difusión. 3. Pruebas de ebullición de agua (PEA) con estufas tradicionales y mejoradas. 4. La instalación de las estufas mejoradas en las comunidades. 5. El seguimiento socio-económico y cultural de los usuarios a través de encuestas y pruebas (PCC y PFC) de las estufas construidas. 6. Mejoras a los diseños y pruebas PEA. 7. Si hay éxito en los pasos anteriores, llevar a cabo la difusión con seguimiento en otros lugares.

La visión generalizada de que el uso de estufas tradicionales de leña es causa de la deforestación es un error y al mismo tiempo una injusticia, pues los campesino (normalmente usuarios de estas estufas) son víctimas en vez de causantes de ésta.

Se invita a colaborar en esta tarea a todos los interesados, ya sea con trabajo práctico o con sus comentarios e ideas.

Agradecimientos. Agradecemos la colaboración y paciencia de los pobladores de la comunidad de Cheranatzícurin, Michoacán, especialmente al Sra. Celia Márquez, ya que fue en su casa y con su participación que se hicieron la mayoría de las pruebas.

También expresamos nuestra gratitud al Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la UNAM por el espacio concedido. Para esta investigación contamos con el apoyo de las becas McNamara del Banco Mundial, la asistencia económica del Centro Internacional de Investigación para el Desarrollo (CIID) de Canadá y el Programa Universitario de Energía (PUE) de la UNAM.

Gautam Dutt                                                                                  GEN y Posgrado de energía, Facultad de Ingeniería, UNAM.

Jiame Navia y Claudia Sheinbaum
Grupo de Energética (GEN), Departamento de Física, Facultad de Ciencias, UNAM.

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Tempus Vitam Regit

Como le lector sabe, el hombre ha dividido la Tierra por medio de una serie de líneas imaginarias llamadas paralelos y meridianos, y así, como en el plano cartesiano, un punto sobre ella queda únicamente descrito mediante dos coordenadas: longitud y latitud.                   

Estas corresponden respectivamente a los paralelos y meridianos. Desde hace muchísimos años, con ayuda del astrolabio, la latitud podría obtenerse fácilmente y con cierta precisión, no así la longitud.                

En 1530 el astrónomo holandés Gemma Frisus (1508-1555) opinó que sería sencillo para el capitán de una nave conocer su posición en altamar si llevase consigo un reloj bastante preciso que conservara el horario del punto de partida, entonces, comparando tal hora con la hora local —la cual puede ser obtenida midiendo la altura del Sol o, de noche consultando un almanaque que contenga la posición de las estrellas, la diferencia entre ambas horas daría la posición del barco. Esto se obtiene considerando que un minuto de tiempo equivale a 15 minutos de longitud, pues hay 1440 minutos en 24 horas por los 360 minutos 3 60 de longitud que tiene el globo terráqueo. Por otro lado, si nos movemos por el Ecuador, un minuto de tiempo equivale a cerca de 15 millas náuticas (aprox. 27.8 km) por lo que se comprenderá que una medición poco cuidadosa podría traer consecuencias funestas.

GALILEO Y EL PENDULO

El primer mecanismo de medición de tiempo razonablemente confiable nace al adaptarse el péndulo como sistema de escape para un sistema de engranes. Cuenta la leyenda que tal idea surgió en 1583, cuando un joven de 19 años, Galileo Galilei (1546-1642), observó la lámpara oscilante del Duomo de Pisa, recién movida por el sacristán y se le ocurrió compara el ciclo de ésta con sus propias pulsaciones. La conclusión a la que llegó es que las oscilaciones del péndulo circular son isócronas, es decir, de ciclos de igual duración, independientemente de la amplitud del arco, lo cual es incorrecto.                    

En 1639 Galileo pone por escrito su idea de utilizar el péndulo en un reloj. Pero no fue sino hasta 1641, casi al final de su vida, estando ya ciego, que se materializa la aplicación del péndulo como regulador para sustituir el uso del primitivo regulador verge et foliot (ver diagrama 1). Fue su hijo Vicenzo Galilei, quien construyó el modelo (ver diagrama 2).    

Técnicamente, la introducción del péndulo logra inmediatamente que un reloj de pesas pueda mantener una precisión que debe ser cifrada ya en fracciones de minuto al día. A partir de entonces aparece la manecilla de los minutos (el segundero tardará un poco más en aparecer).

APARECE HUYGENS

El físico holandés Christian Huygens (1629-1693) es quien, en 1657, puso el principio sobre bases prácticas. Mas cuando los detalles de la invención de Huygens llegaron a Italia, la comunidad científica muy indignada, lo acusó de haber plagiado el invento de Galileo. Entre los acusadores se encontraba Leopoldo de Medicis, príncipe toscano y mecenas de relojeros. Finalmente Huygens logró obtener una patente para su reloj en Holanda, pero su solicitud fue rechazada tres veces en Francia. Huygens quedó muy dolido por tales cargos en su contra y grandes fueron sus esfuerzos para convencer a sus acusadores de que él no tuvo conocimiento previo de los trabajos de Galileo. Más aún, Huygens afirmaba que su reloj era superior, puesto que el péndulo se encontraba suspendido por un hilo de seda y no estaba pivotado como el de Galileo, lo cual, según él, hacia que el mecanismo terminara por detenerse. Años más tarde Leopoldo de Medicis concedió la posibilidad de que no hubiese habido plagio.

HUYGENS, HOOKE Y EL RESORTE ESPIRAL

Huygens era un gran inventor y esto lo metía constantemente en conflictos. Otro de sus inventos es el resorte espiral, sin el cual no se hubiesen desarrollado los relojes portátiles, ya que éste imparte al volante movimiento alternado correspondiente al del péndulo y tolera los cambios bruscos de posición (ver diagrama 5). Pero su “paternidad” sobre tal invento no fue aceptada unánimamente. El irascible físico inglés Robert Hooke (1635-1703), que era en cierta forma su peor enemigo, tenía la costumbre de abandonar todo proyecto que no le reportara alguna utilidad, así, en el momento en que Huygens daba a conocer su resorte espiral (1675) los trabajos de Hooke llevaban 17 años metidos en un cajón. Más bien, para 1670 la noción de espiral estaba en el “ambiente” a disposición de quien la tomara.

Pero no hay que olvidar que Hooke tenía su propia inventiva. En 1670 diseña una máquina cortadora de engranes, lo que permite que, por primera vez, se produzcan ruedas dentadas de calidad excelente y uniforme. Antes estas piezas se hacían a mano con una luma y un pulso firme. Este es el primer paso en el sendero que llevaría a la industria relojera a la producción en masa de relojes con refacciones intercambiables de calibres estandarizados.

HOROLOGIUN OSCILLATORIUM

En un reloj cuyo péndulo es circular, al pasar la amplitud de la oscilación de 1 a 2 grados de semiarco (= 1/2 ciclo) el reloj se atrasará 4.95 segundos al día, mientras que si esta pasa de 5 a 6 grados, el reloj se atrasará 18.09 segundos al día (ver “error circular”). Como se puede apreciar estas diferencias son relevantes, resulta sorprendente que hayan pasado inadvertidas para un observador tan meticuloso como Galileo. A la desviación del péndulo circular se le conoce corto el “error circular”.    

Una solución a este problema se debe a Huygens, quien descubrió empíricamente que la trayectoria idónea que debe trazar la punta del péndulo es un arco de cicloide y no de círculo, por ser la primera una curva braquistócrona, es decir, de caída más rápida (ver el concurso de Bernoulli) por lo que adaptó al péndulo un par de láminas de acero de forma cicloidal para forzarlo a describir tal trayectoria, que por cierto, resultó un artificio mecánico inútil que posteriormente abandonaría (diagrama 6).                     

Era natural que este sabio fuese el primer científico en intentar seriamente resolver el problema de la longitud y debido a que los mejores instrumentos eran los de péndulo, pensó en medir el tiempo en el mar mediante este tipo de reloj, uno de los cuales colocó en un sistema de suspensión para que el cabeceo del barco no alterara su marcha. El método funcionó razonablemente en aguas tranquilas, pero el reloj se detenía en aguas moderadamente agitadas. La descripción de los resultados en relojería de Huygens están contenidos en sus importantes libros “Horologium” (1658) y “Horologium Oscillatorium" (1673).

Parecía que los relojes de péndulo estaban condenados a permanecer perpetuamente en tierra, ya fuese como relojes de piso o colgados en la pared. Más no hay que menospreciar que cumplieron su misión durante muchos años de manera sobresaliente en los observatorios.

EL CONCURSO

En el año de 1713 (concretamente el 12 de noviembre de 1713) y a instancias de Isaac Newton, el parlamento británico ofrece una serie de premios para aquél o aquellos que fuesen capases de construir un reloj portátil de construcción práctica y fácilmente reproducible, con las virtudes que a continuación se detallan.

£10000 para una precisión de un grado de longitud en un viaje de las islas Británicas a las Antillas.

£50000 para una precisión de 40 minutos de longitud en el mismo viaje.

£20000 para una precisión de menos de 30 minutos de longitud en el viaje ya descrito.                       

Un viaje así duraba aproximadamente 6 semanas, por lo que, para ganar el gran premio, el reloj debería mantener una precisión de 3 segundos al día. Si consideramos que £20000 corresponden a £240000 de hoy, se comprenderá que las recompensas eran principescas, aunque los obstáculos a vencer parecían insalvables. (Se intentará describir brevemente en los recuadros algunos de ellos, y proporcionar una idea del estado del arte relojero a fines del siglo XVII, que permite apreciar mejor la magnitud de los problemas a los que se enfrentaban los concursantes).

EL GANADOR Y SUS LOGROS

La historia de John Harrison merece una narración extensa. Nace en la aldea de Barrow, en Lincolnshire, en 1693. Se dedica junto con su padre y su hermano James a la carpintería Pero desde joven muestra una fuerte afición a la mecánica y en particular en la fabricación de relojes de madera. Estos están hechos en parte de Lingum vitae, una madera durísima y de naturaleza aceitosa.

En 1726 resuelve ingeniosamente el problema de los cambios de temperatura para relojes de piso, al diseñar un péndulo llamado “gidiron” o de “parrilla”. Su cuerpo consiste en una serie alternada de varillas de acero y de latón que poseen diferente coeficiente de dilatación, al estar así dispuestas, mantienen el centro de gravedad del péndulo sin cambio (diagrama 7). Hoy en día los finos relojes de piso de tipo “grandfather” lo siguen usando. Se afirma que un reloj de piso construido por Harrison no varió en más de un minuto en diez años.

La noticia de los premios llega hasta la aldea de Harrison y sin duda alguna sobre su capacidad, decide ganar el premio mayor. En 1730 se presenta con algunos de sus trabajos y un diagrama en papel ante el astrónomo Edmond Halley (1656-1742), célebre, por su descubrimiento del cometa que lleva su nombre, para solicitarle un adelanto. Halley formaba parte en aquel entonces de la “Comisión de Longitudes” que se había constituido con el exclusivo propósito de juzgar los méritos de los relojes concursantes (Newton perteneció a la misma durante algún tiempo).

Halley se impresiona por la vehemencia del joven inventor y solicita la opinión de George Graham (el mejor relojero de entonces). El siempre desconfiado Harrison teme que le sean robadas sus ideas y acepta a regañadientes la entrevista. Esta transcurre cordialmente a pesar de un choque inicial de personalidades, y no sólo se le alienta a construir su cronómetro, sino que además se le adelantan 200 libras.

EL H1

Harrison vuelve a su aldea y reasume su trabajo de reparador de relojes. No es sino hasta 1735 que termina su primer reloj marino, el H1, un pesado aparato de 73 libras, cuyos avances técnicos son verdaderamente importantes: un sistema regulador llamado “grasshopper”, que sin estar totalmente liberado de la fricción, la reduce de manera considerable. Salvo por la parte del escape, los engranes del H1 son de diversas maderas, mientras que los pivotes giran sobre ruedas antifricción que eliminan la necesidad de su engrase. Además, incorpora un sistema llamado Remontoir que permite mantener la marcha del reloj sin detenerlo ni alterar su ritmo mientras se le da cuerda. Es interesante remarcar que únicamente este último invento sobrevive en los cronómetros marinos y en los relojes de muy alta calidad.                            

En 1736 la Comisión de Longitudes efectúa una prueba a bordo del H.M.S. Centurión, durante un corto viaje de ida y vuelta a Lisboa, pues en ese año Inglaterra y España se encontraban en guerra y no deseaban arriesgarse a que el reloj fuese capturado. Harrison acompaña a su cronómetro y obtiene una corrección de sesenta millas sobe las mediciones del capitán. Este hecho es muy significativo, ya que se trataba esencialmente de un viaje de tipo norte-sur con poco cambio de longitud.                           

Harrison conservó en su propia casa el H1, funcionando ininterrumpidamente durante 30 años, manteniendo la misma precisión que lo caracteriza. La Comisión juzga el desempeño del reloj lo suficientemente bueno, y decide adelantarle 500 libras a Harrison para la construcción de un segundo prototipo más liviano. De acuerdo con la opinión de algunos expertos, con un poco más de suerte, el H1 hubiera ganado el premio de 10000 libras.

DEL H2 AL H4

Harrison construye el H2, un aparato hecho totalmente de metal, de 103 libras de peso —sin incluir la caja y la suspensión cardánica en donde venía montado. Jamás sería probado en el mar. En 1741 la Comisión otorga a Harrison un nuevo adelanto de 500 libras para la fabricación de un tercer cronómetro. El H3 no es terminado sino hasta 1757, año en que Harrison anuncia a la Comisión que se encuentra listo para ser probado. Al mismo tiempo que construye el H3, y para justificar el retraso y las posteriores erogaciones de la Comisión, construye un reloj cronómetro de dimensiones más modestas, el H4. Harrison decide terminarlo antes de la prueba del H3, ya que desea que realicen juntos la travesía. Finalmente el 18 de noviembre de 1761, carpa del puerto de Portsmouth el buque “H.M.S. Deptford” rumbo a Jamaica, pero llevando solamente el H4. Lo acompaña un astrónomo de la Comisión y William Harrison, hijo del relojero, pues para entonces, John Harrison contaba con 67 años de edad.  

Al noveno día del viaje William Harrison informa que, con base en los datos proporcionados por el H4, al día siguiente avistarían las islas Madeira. El capitán del barco, J. Digges, le apuesta 5 a 1 que no será así. Al día siguiente se avista tierra, el H4 tenía razón. Al llegar a Jamaica se determinó su longitud con un errar de tan sólo 1 1/4 minutos contra los 30 minutos que exigía la Comisión para el premio mayor.    

Aunque la prueba oficial terminaba en Jamaica, W. Harrison retornó junto con el H4 a Inglaterra, a bordo del “H.M.S. Merlín”, bajo condiciones climatológicas tan difíciles que fue necesario envolver al H4 entre sábanas para amortiguarle los golpes y evitar que el agua lo dañara. Al final de los 5 meses que duró la travesía, el error fue de sólo un minuto 53 1/2 segundos, correspondientes a 28 1/2 minutos de longitud. Esto representa un desempeño increíblemente bueno, tan increíble, que la Comisión lo atribuyó a un golpe de suerte y ordenó una nueva prueba. Esta fue realizada en un viaje a Barbados y acompañaron al H4 matemáticos contratados por la Comisión para verificar los cálculos. El reloj fue tres veces más preciso de lo estipulado para ganar el premio mayor.

Sin embargo, la Comisión de Longitudes aún no estaba satisfecha y exigió a Harrison que probara que su invención era práctica y podía ser reproducida. Este se vio obligado a desarmar totalmente su cronómetro y a explicar con detalle el mecanismo a un comité técnico que incluía a dos eminentes relojeros: L. Kendall y T. Mudge.

PRIMER DUPLICADO: EL K1

La Comisión encarga a Larcum Kendall (1721-1795) la fabricación de un duplicado del H4. Su costo: 450 libras. Kendall era indudablemente un relojero más fino que Harrison, hecho que este último reconocía con modestia.

El duplicado, conocido como el K1, acompañó al célebre explorador James Cook (1728-1779) en su segundo viaje iniciado en 1772, en el que circunnavegó el círculo polar antártico, aclarando definitivamente la verdad respecto a la tan buscada Terra Australis, la cual resultó ser tan sólo un mito. Se reconoció a Australia como continente y a Nueva Zelanda como dos islas separadas. Asimismo, descubrió Nueva Caledonia, las islas de Pascua y Hawái, realizando un excelente trabajo cartográfico con la ayuda del K1. Es precisamente en Hawái donde cuatro años más tarde, muere este notable explorador en manos de los nativos insurrectos.

MOTIN A BORDO: LAS AVENTURAS DEL K2

Otra copia de Kendall más simple, el K2, tuvo un destino curioso. Este fue embarcado en 1789 en el ”H.M.S. Bounty”, bajo el cuidado del Capitán William Bligh, quien fuera uno de los principales protagonistas del escándalo naval del siglo y cuya historia ha sido tema de varias novelas y de varias películas de cine. (¿Recuerda el lector Motín a bordo o Motín en el Bounty, ganadora del Óscar en 1935 como la mejor película, protagonizada por Charles Laughton, como Bligh y Clark Gable?). El K2 fue robado por Fletcher Christian, jefe de los amotinados, quien junto con sus compañeros colonizó la isla Pitcarin. Años después, un cazador de focas norteamericano que la visitó, se llevó la sorpresa de su vida al descubrir que los nativas hablaban inglés y tenían en su poder: ¡brújula, sextante y cronómetro! El K2 no volvió a Inglaterra sino hasta 1843, después de una serie de aventuras y ello gracias a un marino inglés que lo descubrió y lo compró en Valparaíso, Chile. Una tercera copia, el K3, acompañó a J. Cook en su tercer y último viaje a bordo del “H.M.S. Discovery”.

El relojero del Comité técnico, Thomas Mudge (1715-1794) es también digno de mencionarse, pues él es el inventor del escape de áncora libre, tan común hoy en día. Mudge nunca estuvo consciente de la importancia de su invención, que terminó imponiéndose sobre los otros reguladores un siglo más tarde.    

Mientras tanto, las relaciones entre J. Harrison y la Comisión de Longitudes se habían agriado considerablemente. Si antes se le otorgó apoyo tanta económico como moral, ahora la Comisión buscaba cualquier medio en su poder para oponérsele, mientras que Harrison vertía su frustración en panfletos escritos en términos cada vez más virulentos en contra de la Comisión. La pugna entre ellos pasó a ser el prototipo de la lucha entre David y Goliat. Para Harrison el gigante a vencer estaba representado por el astrónomo real y comisionado Rev. Nevil Maskelyne, quien tenía un interés muy personal en que nadie (salvo él) ganara el premio. Maskelyne creía haber descubierto otro camino para hallar la longitud, basándose en observaciones cuidadosas de la posición de la Luna, al que llamó el “método lunar”. El principio es el siguiente: la Luna es el cuerpo celeste visible de más rápido movimiento relativo a través de la bóveda celeste (aprox. 33 segundos de arco por cada minuto de tiempo). Este rápido movimiento permite que la Luna sirva de manecilla de un monumental reloj astronómico cuya carátula es la bóveda celeste y las estrellas sus puntos de referencia. Si se midiese a una hora local convenida la distancia angular de la Luna con respecto a una estrella fija y comparase este dato con la hora pronosticada en tablas de la misma observación desde algún punto de longitud conocida, la diferencia en tiempo podría convertirse en diferencia en distancia, fijando así la longitud.

Para esto era necesario entre otras cosas: 1) Un reloj que pudiera mantenerse razonablemente preciso durante unas 18 horas, tiempo suficiente entre una observación solar (para fijar la hora local) y la observación lunar. 2) Unas tablas con las distancias lunares pronosticadas, así como los tiempos asociados desde algún lugar de longitud conocida. 3) Un instrumento que permitiera medir distancias lunares. Con los avances hechos por relojeros precedentes a Harrison, el primer punto quedaba resuelto; pero el segundo punto resultaba más problemático, ya que requirió de miles de observaciones de la Luna realizadas por múltiples científicos, coma Halley, Clairaut y L. Euler entre otros. Inclusive el mismo Newton consideraba difícil predecir el errático movimiento de la Luna, a tal punto que confesaba que era el único problema que le había producido jaquecas. Aún así, en 1713 obtuvo unas tablas con un error de 5 minutos en promedio. Finalmente en 1752 Tobias Mayer, un profesor autodidacta, logró producir tablas suficientemente precisas. El tercer punto lo resolvió en 1731 John Hadley, al inventar el octante, el cual lleva su nombre.                            

Sin embargo, el método lunar estaba plagado de dificultades. Entre otras la posibilidad de obtener mediciones precisas sobre la inestable cubierta de un barco. Por lo general, cuatro observadores independientes se apostaban en diferentes puntos de la cubierta, hacían sus mediciones y el cálculo final se realizaba promediando los datos obtenidos, lo que claramente era un proceso complejo y tedioso. En esta ocasión fue el mecánico quien triunfó sobre el astrónomo.

Una tenacidad a toda prueba lleva a Harrison a terminar ya cerca de su octagésimo cumpleaños un quinto reloj, el K5, similar al H4, aunque más simple. Harrison se lo obsequia al rey Jorge III (muy aficionado a la horología) a quien ruega que lo pruebe en su observatorio de Kew. El examen dura 10 semanas y se obtiene un error de tan sólo 4 1/2 segundos, hecho suficiente para convencer al rey que la razón pertenecía a Harrison. El rey interpone su influencia para que la Comisión le otorgue por fin la merecida recompensa. Esto es aprobado en un acto privado del parlamento, frente a las mismísimas narices de los comisionados, quienes en venganza sólo pagaron a Harrison la suma total de 18750 libras esterlinas, logrando escamotearle 1250. Sólo lo consolaría la muerte tres años más tarde, en 1776.                             

Correspondería a los relojeros ingleses J. Arnold y T. Earnshaw, así como a los franceses F. Berthoud y P. Le Roy, encontrar soluciones más simples que las de Harrison. Esto permitió abatir el costo de los cronómetros y darles un aspecto como el que tienen actualmente.  

El más famoso reloj de todos los tiempos, el H4, junto con sus hermanos el H1, H2, H3 y H5 y las copias K1, K2 y K3 se encuentran en perfecto estado y en exhibición permanente (salvo cuando se les da mantenimiento) en el museo Marítimo Nacional, en Greenwich, Gran Bretaña.

Guillermo Grabinsky                                                               Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM

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INTRODUCCION

Desde finales del siglo pasado, a través del proceso fotográfico ha sido posible grabar y retener de manera permanente diversas imágenes. La combinación adecuada de lentes y emulsión fotográfica hicieron posible los mapas de estrellas, planetas y galaxias, el registro de espectros ópticos, el almacenamiento de grandes cantidades de datos en la forma de pequeñas imágenes grabadas y muchas otras aplicaciones. El proceso fotográfico se describe en términos de refracción (parte real) dónde las lentes de la cámara desvían la luz y forman la imagen en la película fotosensible. Una vez revelada la película por un método químico, la imagen se observa debido a la modulación de la parte imaginaria del índice de refracción, esto es, la mayor o menor absorción de la luz empleada para observar la fotografía ya sea en papel o en transparencia. La limitante, sin embargo, es que se produce una imagen en dos dimensiones, es decir, sin profundidad.

Para superar este problema se han desarrollado cámaras de doble lente que producen pares de fotografías que al ser observadas con un visor producen una imagen estereoscópica. Estas imágenes tienen profundidad, aunque sólo muestran el objeto fotografiado desde dos puntos de vista.

El proceso holográfico es un nuevo método pare formar imágenes ópticas que permite grabar y retener imágenes en tres dimensiones. El desarrollo inicial se debe a Dennis Gabor del Imperial College of Science and Technology [Gabor (1948)], quien tratando de mejorar el poder de resolución del microscopio electrónico, propuso grabar además de la información de amplitud de la onda luminosa, la información de fase a través de la superposición de una onda proveniente del objeto con una onda de referencia monocromática. El descubrimiento estuvo “congelado” debido a la falta de una fuente adecuada de luz monocromática intensa. Hoy en día, el láser ha satisfecho esa necesidad [Leith y Upatnieks (1963) y (1964)].                       

OBTENCION DE UN HOLOGRAMA

Para hacer un holograma se comienza con un haz de luz láser, parte del cual es dirigido directamente hacia el medio de grabado, que usualmente es una emulsión fotográfica de muy alta resolución (película holográfica); a este haz “Er” que incide directamente sobre el medio de grabado se le llama “haz de referencia”; la otra parte del haz ilumina al objeto que dispersa e incide también sobre la película, este haz dispersado “E0” constituye el “haz del objeto”. Un arreglo típico se muestra en la figura 1. Puesto que ambas ondas (referencia y objeto) provienen de la misma fuente, forman un patrón de interferencia estable en el medio de grabado. Este patrón, en general, es un sistema bastante complicado de franjas; el grabado permanente de este patrón de interferencia es llamado holograma (de las palabras griegas “holos” que significa completo y “grafos” que significa grabado).

La película holográfica, responde a la intensidad de la luz EE*, de manera que una vez expuesta al patrón de interferencia, se revela usando soluciones químicas en un proceso análogo al de cualquier película fotográfica. El resultado final sobre la película es algo irreconocible que no se parece a ninguna imagen particular.

RECONSTRUCCION DE LA IMAGEN

Cuando el holograma es iluminado con un haz de luz similar al haz de referencia, debido al patrón de interferencia ah[i grabado, la onda transmitida se dividirá en dos componentes, una de las cuales se difracta de manera tal, que reproduce exactamente a la onda del objeto original. Esto significa que la imagen del objeto y la imagen reconstruida por el holograma son idénticas, a tal punto que uno no puede diferenciar al objeto de la imagen reconstruida por el holograma. La holografía es entonces un proceso de dos pasos: en el primer paso se graba un patrón de interferencia, obteniéndose el holograma; en el segundo paso el holograma es iluminado con el haz de referencia de tal manera que parte de la luz difractada es una replica exacta de la onda-objeto original.

Si un objeto tridimensional ha sido usado como modelo para grabar el holograma, la imagen reconstruida será tridimensional y exhibirá propiedades de paralaje, de manera que el observador mirará a través del holograma tal y como si mirara al objeto a través de una ventana. En las figuras 2 y 3 ilustramos esta propiedad mostrando dos fotografías del mismo holograma pero desde distintos puntos de vista.

TIPOS DE HOLOGRAMAS RECONSTRUIDOS CON LUZ LASER

Existen distintos tipos de hologramas [Collier et al. (1975)], los cuales pueden clasificarse considerando alguna de las condiciones siguientes: a) por la forma en que el holograma difracta la onda de reconstrucción, b) dependiendo del tipo de luz utilizada en el proceso de reconstrucción.

En el primer caso se pueden distinguir fundamentalmente tres tipos de hologramas. Cuando el patrón de interferencia en la emulsión holográfica consiste en franjas claras y obscuras, el haz de reconstrucción se difracta en las zonas claras y se absorbe en las oscuras; este tipo de holograma se conoce como holograma de absorción, y en este caso el patrón de interferencia se obtiene modulando la parte imaginaria del índice de refracción de la emulsión, es decir, modificando su coeficiente de absorción localmente. La eficiencia de difracción en este tipo de hologramas es del orden del 6 por ciento, es decir, que sólo una pequeña fracción de la luz de iluminación forma la imagen.

Para aumentar la intensidad de la imagen es posible grabar el patrón de difracción modulando la parte real del índice de refracción en la emulsión holográfica y obtener un holograma denominado de fase; en este caso la luz de reconstrucción se difracta y refracta pero no se absorbe, logrando así una mejor eficiencia de difracción que puede ser cercana al 100 por ciento [Chang y Winik (1980)]. Para obtener un holograma de fase se hace un holograma de absorción y posteriormente se blanquea; el blanqueado consiste en reemplazar la plata en la emulsión revelada por partículas de alguna sal de plata, las cuales tienen un índice de refracción diferente a la gelatina que los alberga y muy poca absorción en el rango visible, de tal manera que en el proceso de reconstrucción la fase de la onda incidente es modificada como consecuencia de las variaciones locales del índice de refracción en el holograma.

El camino óptico que recorre el haz de reconstrucción es igual al espesor de la película por la parte real del índice de refracción. Hemos mencionado que es posible variar el camino óptico modulando el índice de refracción, sin embargo, es posible también mantener el índice de refracción constante y variar el espesor de la película; este tipo de hologramas se conocen como hologramas de relieve. Para obtenerlos es posible modificar químicamente a un holograma de absorción removiendo las zonas oscuras de la emulsión y dejando las claras, obteniendo así variaciones de espesor de la emulsión [Rogers (1952) y McGrew (1980)]. Se puede utilizar este tipo de holograma como un “molde” para copiado en plástico y la consecuente producción en serie de hologramas de manera análoga al copiado de discos fonográficos.

HOLOGRAMAS DE LUZ BLANCA

Ahora bien, un holograma se puede observar con un haz de reconstrucción igual al que se utilizó como haz de referencia, que necesariamente es de luz láser. Debido a la desventaja que implica el requerir un láser para observar la imagen holográfica, se estudió la posibilidad de observar un holograma con una fuente de luz convencional, ya sea el sol o un foco de luz incandescente. Se han encontrado, hasta ahora, dos maneras de observar hologramas sin necesidad de un láser, estos se conocen como hologramas de luz blanca. Debido a que el principal requerimiento en la reconstrucción es iluminar con luz monocromática (láser), si iluminamos con luz convencional policromática, es posible incluir un elemento óptico que seleccione el color de la luz incidente en el holograma y utilice así una fracción de la luz que sea cuasimonocromática.

Un elemento óptico de esta naturaleza es una rejilla de difracción, pues ésta separa especialmente los diferentes colores de la luz. Utilizando esta idea se han sobrepuesto rejillas de difracción y hologramas, produciendo un tipo de holograma denominado de arcoíris, el cual tiene la ventaja de poder ser observado con luz convencional [Benton (1963)]. Obviamente, dependiendo del ángulo de observación, el holograma se aprecia en distintos colores y de ahí su nombre de arcoíris. La desventaja de estos hologramas es que se obtiene paralaje y consecuentemente tercera dimensión solamente en una dirección más no en la otra, ya que se está utilizando una de las direcciones para separar los distintos colores. La información en este tipo de holograma pueda pasarse a relieve y ser entonces susceptible de copiado. Este tipo de hologramas son los que se utilizan en las portadas de revistas, tarjetas de crédito, relojes, etc.

La otra manera de producir hologramas de luz blanca es utilizando filtros interferenciales que seleccionen las frecuencias adecuadas de la luz incidente [Denisyuk (1963)]. Esto se logra utilizando emulsiones holográficas gruesas (de 8 a 15 micras de espesor), en donde la información se graba en distintos planos que se conocen como planos de Bragg. En este caso, la imagen es tridimensional en todas direcciones, aunque no es posible trasladar la información a un holograma de relieve, pues esta se encuentra en un volumen y no en un plano como en las casos anteriores.

APLICACIONES DE LA HOLOGRAFIA

Existen muchas aplicaciones de la holografía, como son la interferencia holográfica, la obtención de rejillas de difracción por métodos holográficos, pruebas no destructivas de sistemas ópticos, procesamiento de imágenes, imágenes tridimensionales para museografía, etc. A manera de ejemplo, consideremos las posibilidades de la interferometría holográfica. Esta técnica consiste en exponer un holograma dos veces, primero del objeto sin deformar y posteriormente sujeto a una pequeña deformación, ya sea por un esfuerzo mecánico o por un cambio en la temperatura. La superposición de las dos imágenes ligeramente distintas produce franjas de interferencia que muestran deformaciones del orden de milésimas de milímetro [Fernández, et al., (1986)]. En la figura 4 se muestra la deformación de un micrómetro debido a la sujeción de la pieza a medir con dos presiones distintas: a partir de esta información se pueden inferir las limitaciones en la fabricación o el diseño de estos instrumentos de medición. En la figura 5 se observa el patrón de interferencia debido al flujo de aire caliente producido por una resistencia eléctrica.

El campo de investigación de la holografía es actualmente estudiado en la mayoría de los centros de investigación en óptica en México [CICESE, CIO, INAOE, UAM-I] y en el mundo.

Manuel Fernández G.
Laboratorio de Óptica Cuántica.

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INTRODUCCION

La Cuenca o valle de México se encuentra en la provincia fisiográfica denominada Eje Volcánico, ubicada entre los meridianos 90°159 y 99°309 y los paralelos 19°009 y 20°159. es ligeramente elipsoide y alargada. Su eje mayor, de la zona chinampera de Xochimilco a las regiones semiáridas de Pachuca, mide aproximadamente 110 Km. El eje menor desde los bosques de la Sierra de las Cruces hasta las cimas del Ixtacíhuatl, mide alrededor de 80 Km. La superficie de la cuenca es de casi 7500 Km², más si incluimos las cuencas endorreicas del noreste (Apan, Tochac y Tocomulco) que se encuentran unidas a ésta —aunque sea de manera artificial— la superficie se incrementa hasta 9600 Km².                       

En el mioceno inferior, cuando aún no se formaban las grandes sierras que hoy nos rodean, la zona estaba abierta y el agua tenía salidas al sur y al noreste. Pero durante el mioceno superior la Sierra de Pachuca cerró la salida al noroeste, lo que originó que el sur se conviniera en el único desagüe. Hace apenas 700000 años, durante el cuaternario superior, al formarse la sierra del Chichinautzin la zona fue transformada en una unidad hidrográfica cerrada.

La cuenca quedó conformada por las subcuencas de Cd. de México, Cuautitlán, Chalco, Churubusco, Teotihuacán, Tezonco, Xochimilco y parcialmente Pachuca.

Aunque la cuenca se caracteriza de manera natural como una unidad endorreica presenta numerosas infiltraciones y escurrimientos. Es en la sierra del Chichinautzin, cubierta por malpaíses jóvenes en donde éstas se presentan en mayores cantidades, como se puede observar en los caudales de aguas que afloran en el sur hacia Cuautla y Cuernavaca.                      

Debido a las enormes inundaciones que ocurrían en la ciudad se pensó en dar salida a las aguas haciendo diversas aperturas a la cuenca. En la época colonial se construyó el Túnel y posteriormente el Tajo de Nochistongo. 

Después de la Independencia se creó el Gran Canal del desagüe. A mediados del presente siglo se confeccionó el interceptor del poniente, y a partir de la de los setentas, el Sistema de Drenaje Profundo.

En las cuencas se recogen los escurrimientos que se generan en las sierras de Las Cruces y Nevada, sus aguas son vertidas artificialmente a través del canal del desagüe y la cuenca del río Tula. De ahí pasan a las del sistema Moctezuma-Pánuco.

Desde épocas remotas esta zona ha sido denominada Valle de México, sin embargo la caracterización adecuada es la de cuenca. Algunas personas sugieren que debido a las aperturas artificiales que se le han hecho, ésta ha perdido dicho carácter. A decir verdad, lo que ha dejado de ser es una unidad hidrográfica cerrada, una cuenca endorreica, pero sigue siendo una cuenca, a la que todos conocemos como valle.                          

Esta cuenca o valle presenta tres tipos de relieve: una región plana, una faja de lomeríos y una zona montañosa. Desde el punto de vista fisiográfico se divide en tres zonas:

a) La meridional, que empieza en el este, en las Sierras Nevada y de Rio Frío y termina en la Sierra de las Cruces, al oeste; al sur el Chichinautzin y las elevaciones de la Sierra de Guadalupe, el cerro de Chiconautla y la Sierra de Patlachique, al norte. En esta zona las lluvias son más abundantes que en las demás, por lo que presenta una vegetación abundante.

b) La septentrional, que se encuentra unida a la anterior a través del Estrecho de San Cristóbal, ubicado entre el cerro de Chiconautla y la Sierra de Guadalupe. Se extiende hacia el norte, hasta las faldas de la Sierra de Pachuca. Elevaciones como las sierra de Tepoztlán, Monte Alto y otras prominencias menores la delimitan al oeste y noroeste. Esta zona puede ser considerada una extensión de la planicie meridional.                      

c) La zona meridional ocupa una superficie menor que las otras, está representada por una multitud de elevaciones de tipo volcánico y se extiende hacia el este entre las cumbres de Pachuca y de la sierra de Río Frío.               

La precipitación en forma de granizo ocurre entre 4 y 6 veces al año, y es más frecuente al sur y al oeste. Las nevadas en la planicie ocurren 2 o 4 veces por siglo y a los 3000 m de altitud se presentan cada 2 o 3 años.

HORIZONTE PRECLASICO (2500-150 d.C.) 

Durante el horizonte preclásico existían pequeños asentamientos en las riveras del Lago de Xaltocán. En esta zona hay evidencia de campos de cultivo de herbáceas desde 2950 a 2250 d.C. Entre ellas figuran Ambrosia (Ambrosía), Argemones (chicalote), Bidens (rosilla), Solanum rostratum (duraznillo) y Amaranthus spp. (alegría y bledo), además de la presencia esporádica de Chenopodium spp. (huauzontle y epazote).

Manzanilla y Serra (1987) señalan que se cultivaba Amaranthus leucocarpus (alegría), Salvia (chía, quizá por sus aceites) y Zea mays (maíz) de raza reventador delgado. La colecta está representada por restos de Portulaca (verdolaga), Eragrostis (zacate), Setaria (zacate o pajita), Helianthus (girasol), Opuntia (nopal), Oxalis (agritos), Crataegus mexicana (tejocote), Capsicum annum (chile) y Zinaniopsis (arroz). Recolectaban también huevos de insectos, de aves, acociles, se dedicaban a la pesca y cazaban armadillos, liebres y venados.        

En la zona de Chalco, después del tercer milenio a.C., predominan las comunidades de pino-encino (Pinus-Quercus), sin embargo empieza a aumentar la presencia de especies riparias características, como el ahuehuete y el sauce (Taxodium y Salix) así como de herbáceas y gramíneas típicas de las zonas lacustres, como el tule o maza de agua y la palma roja (Typha y Sparganium), asimismo encontramos ciperáceas y liliáceas. La presencia de numerosos granos de maíz podría indicar el uso de prácticas agrícolas de protección y selección.

En Tlapacoya (península de Chalco según Sanders, 1976) hacia los años 1200 a 1000 a.C., dominaba el bosque mesófilo; se observa una disminución de pinos (Pinus) y un aumento de cedros (Quercus) y alisios (Alnus). En las riberas abundan ya los sauces y los ahuehuetes, los tules, las espadañas y algunas liliáceas. Niedenberger (1976) señala que en las laderas de suelo somero había plantas xerófitas como el maguey (Agave) y la lechuguilla (Hechtia).                           

Entre las especies consideradas importantes en la dieta estaba el venado cola blanca (Odocoileus virginianus), el tlacoyote (Taxidea taxus), el berrendo (Antilocarpa americana), el pecarí (Dicotules tajacu) y el perro o coyote (Niedenberger, 1976), además de una gran variedad de aves acuáticas (Anas acuta, A. Platyrhynchos, Spatula Clypeata, Fulicua americana, Podiceps y Podilimbus) y algunas aves migratorias. Una parte importante del alimento es obtenido primordialmente del lago; el pescado blanco, el charal, el ajolote, las tortugas y otros animales acuáticos eran los más consumidos. Es interesante constatar los cambios climáticos ocurridos. En esta época hay una disminución en la precipitación pluvial y un aumento en la temperatura, lo que va ligado con la reducción del bosque templado. Curiosamente al mismo tiempo, hay un gran auge en la producción maicera, lo que permite suponer una expansión de la frontera agrícola en perjuicio del bosque. De 1000 a 400 a.C. la cuenca sufre un aumento demográfico considerable y se colonizan nuevos ecosistemas, como el caso del pié-montano.

La mayoría de los habitantes, con excepción de dos pequeñas aldeas en Amecameca, residía principalmente en dos comunidades: Tlapacoya y Tlatilco. Esta última se encuentra en la zona oeste del pie-montano en Texcoco, al lado opuesto de la península de Iztapalapa. A pesar de que este sitio era de los más grandes y complejos entre sus contemporáneos localizados al sureste de la cuenca, los cálculos acerca de la población que ahí habitaba no suman más de 1000 personas. En la región de Chalco, en Terremote-Tlaltenco, se encuentran evidencias de las siguientes especies: Zea mays (maíz), Cucurbita pepo (calabaza), Phaseolus vulgaris (frijol negro), Phaseolus coccineus (frijol ayocote), Prunus capulli (capulín), Amaranthus spp. (alegría y bledo), Persea gratissima (ahuacate), Opuntia (nopal), Chnopodium spp. (huauzontle y epazote), Portulaca (verdolaga), Physalis (tomate), Capsicum (chile) y Agave (maguey).

En tierra firme se observan comunidades de diversas especies de pinos, encinos y alisos en donde las hierbas y arbustos dominan, lo que denota un paisaje árido.

La diversidad ecológica de la cuenca, así como la necesidad de productos ausentes en una parte y que existían en abundancia en otras, originaron patrones de intercambio regional y especialización productiva de las comunidades rurales, por ejemplo:  

Ecatepec: extracción y procesamiento de sal.

Coapexco: manufactura de manos y metates.

Loma-Terremote: abastecimiento y distribución de obsidiana.

Áltica del Valle de Teotihuacán: abastecimiento y distribución de obsidiana.

Terremote-Tlaltenco: manufactura de cestería y cuerdas.

Tlapacoya: explotación de productos faunísticos de origen lacustre.              

Lo anterior indica un uso y un aprovechamiento especializado de los recursos que no era extraídos únicamente para el autoconsumo, sino también para el intercambio, incluso de carácter regional.

Posteriormente, en la fase tardía del preclásico (370 a 340 a.C.) en Cuanalan se cultivaba el maíz arrocillo y palomero, zacate o pajita (Setaria), se recolectaban plantas acuáticas como el tule o papiro (Cyperus), verbena (Verbena), tomate de bolsa (Physalis); se extraía madera de pinos y encinos; se criaban guajolotes (Meleagris gallopano) y se cazaba zorrillo (Mephitis).                     

Durante este periodo el sur de la cuenca continúa siendo la zona con mayor densidad de población. Existen alrededor de quince sitios, y algunos de ellos sobrepasan las 100 hectáreas en extensión y en dos o tres aparecen ya obras de arquitectura con carácter público. Ciertos asentamientos ya exceden los 1000 habitantes.                  

Entre los años 210 a 90 a.C. aparecen en el Valle nuevas variedades de maíz (cónico, chapalote y cacahuazintle), lo cual refleja un gran conocimiento de las prácticas agrícolas y procesos de selección artificial. Se cultiva en gran cantidad el frijol negro (Phaseolus vulgaris); se recoleta el tejocote (Crataegus mexicana), la tuna del nopal (Opuntia), el tomate de bolsa y las cebollitas silvestres (liliáceas). Se extrae madera de pino y de leguminosas; se colectan plantas acuáticas y caracoles (Limnaea). Asimismo se cazaba venado cola blanca, liebre (Lepus callottis), conejo cola de algodón (Sylvilagus cunicularius), tortuga (Kinosternon), rana, jabalí (Dycotiles) y halcón ratonero (Butro); se pescaban bagres y se criaban perros.

Sin embargo, hacia 60 a.C. hay una disminución en la variedad de especies de fauna y flora de Cuanalan.

En esta época se presenta un patrón de asentamientos diverso. Con excepción de la península de Iztapalapa, la impresión general es de una elevada densidad de población, con una marcada concentración de asentamientos en las zonas bajas de pie­montano, así como una considerable diversidad en los tipos de asentamientos debido a factores naturales y socioculturales.

Asimismo los lagos no permanecieron estáticos y se supone que a fines del preclásico había un nivel parecido al de la época colonial, lo que permite suponer una regresión de los mismos.

HORIZONTE CLASICO (150 a 750 d.C.)

En el horizonte Clásico se presenta un patrón de establecimientos distinto al del periodo anterior. Surge un gran asentamiento urbano en Teotihuacán que cubre una extensión de alrededor de 20 Km², con una población estimada entre 30000 y 50000 personas, aunque ya alrededor de 500 d.C. había aumentado a más de 100000 habitantes, los cuales residían, en su inmensa mayoría, en el centro urbano mismo. Este proceso trae como efecto la ruralización del resto de la cuenca, y según Parsons (1976), durante este periodo ocurre una depresión demográfica en las zonas al sur del valle de Teotihuacán. Se estima que la región de Texcoco pasó de 20000 a menos de 5000 habitantes, la zona este de pie-montana de Chalco de 20000 a alrededor de 2000 personas y en general, en las áreas marginales del sur de los lagos de Chalco y Xochimilco, hubo un decremento de alrededor del 50 por ciento. Como excepción a este patrón de descenso poblacional está el caso de Zumpango, al noroeste de la cuenca, donde hay indicios de incremento en el número de moradores.                              

Se piensa que el crecimiento acelerado de Teotihuacán pudo responder a la migración de poblaciones del sur de la cuenca, provocada por la erupción del volcán del Xitle, así como a los grandes movimientos poblacionales provenientes de la zona de Texcoco, lo que a su vez explicaría las variaciones poblacionales descritas en el párrafo anterior.                          

El área de captación de especies se amplía a toda la cuenca. Teotihuacán recibe recursos de toda la zona, y según Manzanilla-Sierra (1987), el abasto de estos productos estaba coordinado por una vasta red distributiva, a la que fluían productos de toda la cuenca (ver recuadro); ésta era dirigida por la teocracia teotihuacana. McClung ha propuesto que existía un uso diferencial de plantas y tipos de dieta según el nivel socioeconómico al que se pertenecía.

Existe la hipótesis de que la deforestación del valle de Teotihuacán fue generada por la extracción de la madera que se requería para quemar la cal y producir el estuco del que estaba revestida la ciudad. Se cree que la cal procedía de la región de Zumpango o bien de la de Tula.

HORIZONTE POSTCLASICO (750 a 1519 d.C.)

Durante lo que se conoce como horizonte postclásico cae Teotihuacán, lo que provoca el abandono de los sitios clásicos; no obstase, persisten las aldeas.                

Del año 900 al 1000 d.C. la población de Zumpango presenta un crecimiento en habitantes, hecho que se atribuye a la caída de Tula y a la cercanía entre ellas.

Por otra parte, parece haber una nueva depresión demográfica en relación a épocas anteriores, ésta varia considerablemente de un lugar a otro. En el Valle de Teotihuacán la población se reduce en una relación de 1 a 4; en la región de Texcoco se percibe una disminución de 2 a 3. En la zona sur de la cuenca la población parece mantener sus ritmos de crecimiento.

En 1335 d.C., cuando llegan los aztecas al lago, la cuenca se halla densamente poblada. Ya se encontraban presentes los xochimilca, los chalca, los tepaneca, los chichimeca y los nonoalcachichimeca, entre otros. Los aztecas se ven obligados a asentarse en un pequeño islote al centro del lago.                        

Un aspecto característico de la época de los mexicas es la producción chinampera; las cuencas de Chalco y Xochimilco eran los núcleos más importantes de producción. En estas dos zonas había un gran número de manantiales (Iztapaluca, Ayotzingo, Calieca, Tepotzco, Nieves y otros). Se cree que en Xaltocán también se practicaba la agricultura de chinampa. Las chinampas son islotes construidos en aguas paco profundas. Se elaboran con la acumulación de plantas y lodo, bordeándolas con estacas de un sauce conocido localmente como ahuejote (Salix bomplandiana). Están rodeadas de canales que sirven tanto para su riego, como para vías de comunicación. Generalmente se cultivan especies tales como el maíz, frijol, calabaza, chile, tomate, flores de ornato, etc. En aquel entonces se lograba obtener hasta tres cosechas anuales, por lo que se considera un método de cultivo altamente productivo; lo suficiente como para haber podido abastecer a los principales centros urbanos del postclásico tardío.                                 

En los tiempos mexicas se crea un nuevo asentamiento: la Ciudad de Tenochtitlán, cuyos límites de influencia y captación de recursos rebasan la propia cuenca. La concentración de bienes se organiza de manera centralizada y coercitiva, sustituyendo la redistribución por el tributo. Durante esta época de urbanización y expansión poblacional aparecen nuevos centros —generalmente en los márgenes de los lagos—, pero también se extienden hacia las zonas de pie-montano.                      

Parsons (1976) estima que Texcoco se extendía sobre un área aproximada de 450 hectáreas y que contaba con una población cercana a los 25000 habitantes. Sin embargo, el asentamiento más importante fue, sin lugar a dudas, la Ciudad de Tenochtitlán y su vasta red de pequeñas villas a los márgenes de los lagos. Sanders (1976) sugiere que en esta área vivían más de 300000 personas. Rafael Carrillo (1984) cita a Fray Francisco de Aguilar, quien en su relación de la conquista señala que la ciudad tenía de 80 a 100 mil casas.                      

Durante los años 1200 a 1500 la expansión hacia las zonas rurales tuvo un gran auge. Se poblaron densamente las zonas altas de pie-montano y algunas partes de las riberas de los lagos, lugares que hasta entonces se habían mantenido desocupados.                       

A estas alturas gran parte del lecho de los lagos de Chalco y Xochimilco se encuentran convertidos en chinampas, y se manejan con sofisticados controles hidráulicos. Parsons (1976) sugiere que a través del drenaje se transformó gran parte de la zona pantanosa al este del lago de Texcoco, como tierra de cultivo.                

Tenochtitlán, lejos de edificarse sin orden, se construyó de acuerdo a un plan urbano en donde unas calles eran completamente de agua y otras mitad agua y mitad tierra, a lo largo de las cuales se ordenaban las casas de los macehuales y las chinampas. La ciudad se asienta en un islote en continua expansión; por sus canales circulaban canoas, el agua potable era traída a través de acueductos; fue una ciudad lacustre protegida con notables obras de ingeniería (diques y albarradones) y sostenida por la guerra, los frutos de sus chinampas, sus lagunas y sus campos.                        

La construcción de las ciudades precolombinas obedecía al mandato de algún miembro de la teocracia o élite gobernante. Moctezuma I, rey azteca entre 1440 y 1469, ordenó la ampliación de Tenochtitlán y la construcción de un nuevo templo a Huitzilopoxtli, Nezahualcóyotl, rey de Texcoco entre 1428 y 1472, transformó su ciudad capital en el centro cultural de la zona centro de México. Una decisión conjunta de los dos reyes determinó la construcción de un dique y el levantamiento de la ciudad para protegerla de las continuas inundaciones y proveerla de agua potable.

Se puede decir que los lagos fueron los elementos de cohesión que permitieron en la cuenca la interacción de los asentamientos. Esta estrecha relación es un rasgo distintivo que no aparece en otras regiones de Mesoamérica. Benítez comenta que: “una regulación mágica de los cultivos, de la pesca y de la cacería preservaba la riqueza, al parecer inagotable del Valle de México. El albarradón de Nezahualcóyotl había separado las aguas dulces de las saladas, se drenaron terrenos y se construyeron terrazas, y los pueblos crecieron ya que una cultura del neolítico, después de una experiencia de diez mil años, sabe como conservar sus recursos naturales y aprovecharlos al máximo sin destruirlos”.

A principios del siglo XVI la cuenca sostenía más de un millón de habitantes sujetos al dominio azteca. Tan sólo en Tenochtitlán, al inicio de la conquista, había 300000 personas. Pensar que una población de tal magnitud no causaba efectos de orden ecológico es casi imposible. Efectivamente, como lo señala Benítez, modelaron el paisaje a través de la creación de canales, de albarradones, de las chinampas y otros métodos de cultivo, de sus casas y de sus templos, de la cacería y de la pesca.

LA COLONIA

En el año de 1521 cae una de las más grandes culturas y uno de los más importantes reinos de América. Los españoles se apoderan de Tenochtitlán después de grandes batallas y prolongados asedios.                        

Al entrar a aquella ciudad Fray Toribio de Benavente, conocido como “Motolinía”, se expresaba así: “¿Qué es aquesto que vemos? ¿Esta es ilusión o encano? ¡Tan grandes cosas y tan admirables han estado tanto tiempo encubiertas a los hombres que pensaban tener entera noticia del mundo!” y continúa… “Estaban tan limpias y barridas todas las calles y calzadas de esta gran ciudad, que no había cosa en que tropezar”.                   

La impresión que causara la ciudad, su traza, sus canales, sus chinampas, su mercado, no impidió que los conquistadores comenzaran a “remozar” este paisaje, adecuándolo a sus concepciones y necesidades.

“La concepción de una ciudad castellana era adversa a la de la ciudad azteca. Los españoles no vivían en cabañas, sino en casas de piedra, no concebían calles de agua, montaban a caballo y usaban cartetas, cultivaban la tierra con el arado, sus hachas derribaban árboles para pilotear el terreno, techar sus moradas y proveerse de cumbustible; el ganado y los caballos reclamaban pastos. El agua no era su aliada sino su enemiga”: Benítez.

Según Torquemada, la disminución de las aguas comenzó a notarse ya en el año de 1524, a sólo 3 años de que se asentaran los conquistadores, lo que él atribuye al alejamiento de arroyos y ríos que llegaban a las lagunas para ser utilizados en el riego de sus sementeras y el efecto de erosión generado por el arado en los cerros.

Tenochtitlán creció y al hacerlo lo hizo sobre el lago, extendiéndose sobre las aguas sin dejar de ser una ciudad eminentemente lacustre. El establecimiento de los españoles y con ellos el de sus patrones culturales, marca un cambio importante en esta relación ciudad-medio que se había establecido a lo largo de muchas lustros.

En el año 1560 la ciudad tenía 4000 vecinos blancos (españoles y criollos) y 10000 esclavos negros. A los indígenas no se les permitía dormir en la ciudad.

La conquista tuvo un drástico efecto en la demografía de la cuenca. Durante el siglo XVII, según Benítez, el número de habitantes descendió de millón y medio a setenta mil, lo que significa que de cada mil habitantes, novecientos cincuenta murieron. En 1628, a causa de una gran inundación, murió el 40 por ciento de los indígenas que aún sobrevivían. Según Unikel (1978) en 1521 los moradores del México central rebasaban los 2.5 millones, sesenta años después eran 1.9 millones y hacia fines del siglo XVI la población total mexicana era de apenas 2 millones de habitantes.

Según Hardoy (1978) los españoles produjeron un modelo fácilmente reconocible de ciudad, en donde resalta un damero con una planta central de trazado sencillo y la ubicación en torno a la plaza de la catedral, la casa del cabildo y la casa de gobierno. La tecnología de construcción colonial no significó gran cambio con respecto a la utilizada por los constructores precolombinos, como lo señala Benítez:             

“En 1524, sobre el templo arrasado, las calzadas y los cuatro barrios decretados así mismo por el Dios, trazó García Bravo la capital del más poderoso virreinato del Nuevo Mundo donde a partir de 1821 se estableció la metrópoli de la naciente República”.                    

El sistema urbano realizado por los españoles en las regiones en donde las culturas indígenas alcanzaron gran fuerza y apogeo se llevó a cabo apoyándose en la localización de las ciudades prehispánicas y en las áreas de gran concentración poblacional. En muchas ocasiones el trazo hispánico se vio influenciado, cuando no totalmente determinado, por la traza y los usos del suelo de la ciudad indígena. Éste fue en gran parte el caso de México-Tenochtitlán.                       

Desde los albores de la etapa colonial ya destaca la ciudad de México como la capital, además de ser el principal centro económico y administrativo del que emana el poder político.             

Casi dos siglos después de la conquista (1742) la población de esta ciudad apenas alcanzaba los 101000 habitantes. Ese crecimiento se mantiene en ritmos relativamente lentos, y a fines de ese siglo habitaban la capital 120000 personas. No es sino hasta mediados del presente siglo que se desata el proceso de gigantismo demográfico y urbano, el cual ha desencadenado diversos y complejos problemas que agobian a la urbe que hoy habitamos: las inmensa Ciudad de México.

Mireya Imaz
Laboratorio Especializado de Ecología, Facultad de Ciencias, UNAM.

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 1. LOCALIZACION GEOGRAFICA

La Mesopotamia —que significa tierra entre dos ríos, esto es entre los ríos Tigris y Éufrates— corresponde hoy aproximadamente a Irak, incluyendo también algunas partes de los países limítrofes. Toda la región desde Egipto hasta Mesopotamia, fue poblada desde tiempos inmemorables y fue ahí donde surgieron las primeras civilizaciones que dejaron documentos escritos muy importantes. Estos primeros documentos surgieron aproximadamente en el año 3000 a.C., tanto en Egipto como en Mesopotamia.      

2. LAS DIVERSAS CIVILIZACIONES DE LA EPOCA

La primera civilización de la región de la cual tenemos información histórica es la de los Sumerios, un pueblo probablemente venido de Asia Central, tal vez alrededor del año 4500 a.C., y que con relativa facilidad conquistó las tierras antes ocupadas por una población neolítica. Con algunas interrupciones, los sumerios mantuvieron el dominio de la región hasta el fin del tercer milenio a.C. Una de sus ciudades principales fue Ur.                        

Aproximadamente en el año 2000 antes de Cristo, la región fue conquistada por los Amoritas, un pueblo semítico, que estableció su capital en la ciudad de Babilonia. Su civilización alcanzó un gran desarrollo en la época del rey Hamurabi —conocido principalmente por el código elaborado durante su reinado. Esta civilización, conocida como la de los “antiguos Babilonios”, fue destruida alrededor del año 1750 a.C. por un pueblo bárbaro llamado “los Casitas”, quienes poco se interesaran por los avances culturales de sus antecesores. Pero parte del acervo cultural fue adaptado por un pueblo vecino, los Asirios —que medio milenio más tarde iniciarían un dominio de la región que duraría algunos siglos. Su capital fue Nínive.

Durante el año 600 antes de Cristo, otro pueblo semita, los caldeos, se instaló nuevamente en Babilonia. Considerándose herederos de los antiguos babilonios, cultivaron todo lo que se relacionaba con esta civilización. Su imperio duró menos de un siglo, ya que en el año 539 los Persas, cuyo rey era Ciro, los conquistaron sin dificultades.

Alrededor del año 300 a.C., la región fue conquistada por Alejandro, y después de su muerte en 323, fue incorporada al imperio de los Seléucidas (sucesores de Seleuco). Ese fue el último periodo en el cual los trazos principales de las civilizaciones anteriores aún tuvieron gran influencia.

Durante por lo menos tres milenios estos pueblos de orígenes distintos y de comportamientos bastante diversificados tuvieron también algunas cosas importantes en común. Dos de ellas eran la escritura y el sistema de numeración.

La escritura cuneiforme evolucionó a lo largo de los siglos y sirvió a lenguas muy diferentes manteniendo sus características básicas. Ésta se escribía con estiletes de aristas agudas en tablillas de arcilla. Las señales tenían forma de cuña lo que le dio el nombre de “cuneiforme”. Las pequeñas tablillas, después de ser cubiertas de señales eran cocidas al sol o en hornos, tornándose muy resistentes. Gracias a ese hecho, han perdurado hasta nuestros días millares de estas tablillas.

La escritura cuneiforme comenzó a ser descifrada hace más de 100 años, y hoy tenemos un buen conocimiento sobre muchos aspectos de la cultura de las poblaciones que vivieron en Mesopotamia. Este conocimiento es bastante vivo, pues muchas de estas tablillas tratan sobre asuntos de la vida diaria, como por ejemplo contratos comerciales, cartas, leyes> registros de impuestos, textos escolares de los cuales nos interesan particularmente los referentes a la matemática y aún tablas numéricas y textos astronómicos.

3. EL SISTEMA DE NUMERACION Y LA ESCRTURA NUMERICA EN SUS PRIMEROS TIEMPOS

El segundo trazo común de las civilizaciones en Mesopotamia es el sistema de numeración. Encontramos algunos de sus aspectos fundamentales, por ejemplo el uso de la base 60, desde los primeros documentos escritos.

Casi todas las civilizaciones que se iniciaron en la escritura de números, usaron el mismo sistema un símbolo simple, como por ejemplo una marca, representaba el número 1, el número 2 era representado por la repetición de este símbolo, el tres por la repetición triple y así sucesivamente hasta que un nuevo símbolo representaba una unidad mayor. Esta unidad mayor era también repetida hasta que un múltiplo suyo era representado por un nueva símbolo. Así procedieron los romanos, las egipcios y también los sumerios. Éstos, en los primeros tiempos, usaban un estilete cilíndrico para escribir los números, y más tarde, uno en forma de prisma triangular (ver Fig. 1). Así las cuñas tenían formas un poco diferentes. El 1 era representado por una cuña con forma de media luna y el 10 por un círculo —más tarde el 1 era representado por una cuña triangular y el 10 por una cuña mayor en posición y formato diferentes.                    

Veamos la representación de los números 1, 2, 3 y 9 en los dos sistemas:

                                           ccc
c         cc            ccc           ccc
                                           ccc

                                           '''
'         ''            '''                '''
                                          '''

ooocc o ,,,0 representaban 32. Se proseguía de esta forma hasta el 59. Es en este punto, que surge la ventaja sobre los sistemas de numeración de otros pueblos: en muchos de ellos el proceso continuaba de la misma forma como por ejemplo en el caso de los números romanos y de los números egipcios: para 100 para 1000, etc., había nuevos símbolos (en el caso de los romanos también para 5, 50, 500). Los sumerios usaban una cuña en forma de media luna mayor para representar 60, interpretando este número con un “gran 1”. El origen de esto debe ser buscado en el sistema de medias (pesos) en el cual se tenía:

                               1 talento = 60 minas                                                                          1 mina = 60 ciclos

La elección del número 60 seguramente se debe a que este número tiene muchos divisores, lo que resulta muy cómodo en las transacciones comerciales. Había también señales para 600 y 3600, pero el uso de símbolos semejantes entre sí, para indicar unidades mayores, esto es, para las potencias de 60, no fue usada de forma sistemática. A través de su evolución, que duró muchos siglos y en la cual fueron introducidos números cada vez mayores, se llegó finalmente a un sistema proporcional casi tan perfecto como nuestro sistema decimal. 

4. EL CAMBIO EN LA ESCRITURA NUMERICA Y EL PERFECCIONAMIENTO DEL SISTEMA SEXAGESIMAL

Como ya mencionamos, posteriormente se usaron cuñas triangulares agrupadas en pequeños bloques para representar los números del 1 al 59. El número 60 era representado nuevamente por el símbolo del 1, esto es por una cuña: 9. Para obtener dos veces 60 se escribía 0 y así sucesivamente. El número 59 también podía representar 59 veces 60. Al igual que hoy escribanas 11 para representar 10 + 1 ellos escribían 9 9 (cuña, espacio, cuña, es decir, las dos cuñas separadas) para representar 60 + 1. Un 10 seguido por un espacio y después por un 3 (<''') representaba 10 veces 60, más 3, o sea, 603. Aún más, 23, espacio, 31 (<<''' <<<') era la representación de 23 x 60 + 31 = 1411. Pero esta expresión también podía representar 23 x 60 x 60 + 31 x 60 ó 23 x 60 x 60 x 60 + 31 x 60 x 60 y así sucesivamente. Esto se debe a que el símbolo del 1 también podía designar cualquier potencia de 60; 2 podría representar 2 veces cualquier potencia de 60 y así sucesivamente.                         

Lo más importante —y fue lo que volvió al sistema tan potente— es que las potencias de 60 podían ser también negativas: 9 representaba las potencias 60^-1 = 1/60, 60^-2 = 1/(60 x 60), 60^-3 =1/(60 x 60 x 60), etc.

De esta forma el 30 <<< podía representar a la vez 30 x 60, 30 x 60² = 30 x 60 x 60, 30 x 60³ = 30 x 60 x 60 x 60, etc., o bien, 30 x 60^-1 = 30/60 = 1/2, 30 x 60^-2 = 30/(60 x 60) = 1/120, el 120 (<<) podía ser interpretado como 20 x 60^-1 = 20/60 = 1/3 y para obtener 1/5 se escribía 12 (<'') esto es, 12 x 60^-1 = 12/60 = 1/5, pero este símbolo también podía representar 12 x 60² = 12/(60 x 60) = 1/(5 x 60) = 1/300, y así sucesivamente. En una tablilla del tiempo de los antiguos babilonios se encuentran números con hasta 9 posiciones sexagesimales, de los cuales 8 probablemente pertenecen a la parte fraccionaria. Esto correspondería a cerca de 15 posiciones decimales después del punto.

5. DEFECTOS DEL SISTEMA Y EL SURGIMIENTO DEL “CERO”

El mayor problema era que al escribir un número no se sabía por qué potencia de 60 era multiplicado, carecían de un símbolo para el cero y no existía el correspondiente a nuestro punto. El orden de magnitud del número tenía que ser estimado de acuerdo con el significado concreto de los datos. Aún en el caso en que este orden de magnitud fuese evidente, había todavía un margen de error; por ejemplo, al leer el número 0, sabiendo que el orden de magnitud debería ser 3600, el segundo guarismo podía representar 2 o 120, lo mismo que 1/30, todo ello sin alterar la magnitud local. Dejar un espacio mayor o menor entre los guarismos continuaba siendo ambiguo. Solamente después del año 300 a.C. apareció una señal: dos pequeñas cuñas oblicuas, que servían para marcar una posición vacía entre dos guarismos. Este símbolo nunca fue usado después del último guarismo significativo y tampoco se llegó a fijar la posición absoluta de cada dígito como nosotros hacemos con la coma.              

6. LAS PRINCIPALES TECNICAS DE CALCULO: ADICION, SISTRACCION, MULTIPLICACION Y DIVISION. EL USO DE LAS TABLAS

En su fase final el sistema ofrecía muchas facilidades para las operaciones aritméticas elementales. Se sumaba de la misma forma que nosotros lo hacemos, comenzando con los guarismos de menor velar relativo. En el caso de la suma al sobrepasar 60 se aumentaba 1 en la unidad inmediata superior. Al sustraer, había necesidad de “pedir prestado” de la unidad anterior. Es verdad que habiendo 59 “guarismos” las tablas eran un tanto más grandes, y como tales “guarismos” eran escritos con componentes decimales, el grado de dificultad no sobrepasaba lo razonable en las operaciones de adición y sustracción.

En el caso de la multiplicación, las cosas se complicaban considerablemente, y fue en ella que los babilonios recurrieron a una de los recursos más importantes de su técnica de cálculo: las tablas. Las tablillas matemáticas son innumerables, entre ellas se encuentran las tablas numéricas. El primer tipo de tablas —muy frecuente— es el de multiplicar, semejantes a las nuestras. De la misma forma como actualmente nosotros usamos una calculadora, los babilonios usaban una pila de tablillas cubiertas de tablas numéricas. Y lo mismo sucede en nuestra vida diaria, ya que es mucho más fácil usar tablas pues ellas constituyen un recurso útil y razonablemente flexible.

Otro tipo de tabla —que también usaban frecuentemente— contenía los inversos de los enteros. Ya mencionamos que 1/2 era escrito como 30, 1/3 como 20 y 1/5 como 12. Así, todos los factores de 60 tenían una representación simple. Pero también otros números como el 8 tenían una representación sencilla. Esto se debe al hecho de que 8 es divisor de 60 x 60 = 3600. Es decir, ' = 60 x 60 = 3600 = 8 x 450 y ya que 450 = 7 x 60 + 30 tenemos que 1/8 era representado por ''',,, <<< (7, espacio, 30, es decir, 7 x 60 + 30). Esto es semejante al hecho que 1/8 5 0.125 en nuestro sistema decimal: 10 no es divisible por 8, pero una potencia de 10, esto es 1000, puede ser dividido por 8. Así en el sistema sexagesimal los inversos de todos los divisores de 60, 60 x 60, 60 x 60 x 60 etc., tienen representación exacta. Veamos otro ejemplo. Ya que 9 divide a 3600 podemos escribir ' = 60 x 600 = 3600 = 9 x 400 = 9 x (6 x 60 + 40), por lo tanto 1/9 es representado por'''' ,,,, <<<< (6, espacio, 40, es decir, 6 x 60 + 40). A los números que dividen a alguna potencia de 60 los llamaremos números regulares. Existen tablas conteniendo los inversos de una cantidad muy grande de números regulares.

El primer número “irregular”, esto es sin inverso exacto es el 7. Pocas tablas representan valores aproximados de 1/7 y también 1/11. Otras traen los inversos de 59 y 61 como 1/59 5 11 1 y 1/61 5 59 59. Esto corresponde en el sistema decimal a 1/9 5 0.111 y 1/11 5 0.0909. Estas aproximaciones son periódicas pero parece que los babilonios no se dieron cuenta de eso, o tal vez no dieron valor a ese hecho. Todo indica que los inversos de números no regulares constituían para ellos una dificultad tan grande como las raíces cuadradas no racionales o el número “pi”.

¿Cuál es la importancia de las tablas de inversos? Hagamos una analogía en nuestro sistema decimal: cuando queremos dividir por 5 muchas veces multiplicamos por 2 y quitamos un cero o transferimos el punto en una posición. De la misma forma la división por 25 es obtenida por la multiplicación por 4 o la división por 2 multiplicando por 5. Así, en el espíritu de los babilonios, 2, 4 y 5 son respectivamente los “inversos” de 5, 25 y 2.

Los babilonios dividían haciendo la multiplicación por los inversos: a/b = a x 1/b. Ésta es la razón por la que en las tablas de multiplicación aparecían al lado de los números enteros muchos de sus inversos.

Una pequeña tabla de inversos es representaba por ejemplo sobre la forma:

1/2           30
1/3           20
1/4           15
1/5           12
1/6           10
1/8        7.30
1/9        6.40

en las correspondientes tablas de multiplicación aparecían no solamente los múltiplos de los enteros, sino también del 7.30 y del 6.40.

De esta forma los babilonios tenían la facilidad de trabajar con las operaciones básicas de aritmética y también con las fracciones. En este sentido su matemática era muy superior a la de los egipcios.

OBSERVACIONES FINALES

Basados en esta facilidad de cálculo, los mesopotamios desarrollaron un álgebra bastante avanzada, resolviendo ecuaciones de segundo grado y de tercer grado lo mismo que grados superiores y aún sistemas de ecuaciones, desarrollando ecuaciones de segundo grado. Hacían también algo semejante a la interpolación logarítmica. En álgebra, sus conocimientos llegaron a un nivel de sofisticación muy superior a la de los egipcios.

Gilberto Loibel
Universidad Estatal Paulista (Río Blanco) Brasíl

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“… el contraste entre el verde de los abetos, el anaranjado de las mariposas y el fondo azul del cielo hacen de los santuarios de la mariposa monarca un sitio de reposo espiritual…”

En los diferentes ecosistemas de todo el mundo existe una gran variedad de insectos, entre ellos destacan por su belleza las mariposas. En México encontramos una gran riqueza específica de mariposas. A la fecha se han registrado alrededor de 2500 especies, constituyendo así una de las más variadas fauna en el mundo. Recientemente se descubrió que durante el invierno alrededor de 100 millones de mariposas monarca (Danaus plexippus), provenientes en su mayoría de Canadá y Estados Unidos, se agrupan en sitios específicos de los estados de México y Michoacán, formando enormes e impresionantes colonias.

 En el verano las mariposas monarca no forman colonias sino que ese encuentran ampliamente distribuidas en Norteamérica. En estas áreas ovipositan en plantas de la familia de las asclepias, conocidas comúnmente como algodoncillo por la forma de sus semillas. Generalmente la larva emerge del huevo después de unos días y se alimenta de las hojas, flores y frutos durante 2 o 3 semanas. En este tiempo la larva crece y obtiene de la planta alimento, nutrientes y compuestos secundarios que resultan tóxicos para algunos vertebrados. Después de aproximadamente 7 días en estado de crisálida, emerge la mariposa adulto, que vive de 3 a 5 semanas en condiciones normales.

Sin embargo, las monarcas que emergen en los meses de septiembre y octubre tienen grandes diferencias fisiológicas y conductuales con las generaciones previas. Estas mariposas pueden llegar a vivir más de 8 meses, periodo durante el cual las mariposas no desarrollan órganos reproductivos maduros debido a la supresión de la hormona juvenil. La hormona juvenil acelera el crecimiento de los ovarios y las glándulas reproductoras en las hembras y el crecimiento de las glándulas tubulares y ductos eyaculatorios en los machos. Al parecer, las larvas de la generación de los últimos días del verano son sensibles a la duración del fotoperiodo. Esta señal produce cambios en el huevo o larva por lo que los adultos que emergen no tendrán órganos reproductivos maduros; probablemente éstos maduren hasta la siguiente primavera cuando el fotoperiodo vuelva a ser largo. Las bajas cantidades de hormona juvenil provocan diapausa reproductiva y migración al sur.

La migración de la monarca es sin duda un fenómeno biológico único. Las mariposas migran a México tomando las corrientes de aire y viajan, en promedio, 73 kilómetros diarios, pero llegan a recorrer hasta 350 km en un solo día. Al parecer las mariposas cruzan el estado de Texas, y tan pronto encuentran la sierra Madre Oriental, cambian de curso y siguen las montañas hacia el suroeste hasta encontrar el Eje Neovolcánico al noreste de Michoacán, donde finalmente forman sus agrupaciones. Hasta ahora no se conocen colonias de hibernación más al sur. Sin embargo, existen poblaciones residentes, es decir, que no migran, localizadas al este y al sur de las áreas de hibernación; también las hay en el Caribe, Australia y en algunas islas del Pacífico.                             

Una vez que las mariposas empiezan a migrar al sur incrementan sus reservas nutricionales hasta en un 500% al acercarse a los sitios de hibernación. Esto se debe a que las mariposas se alimentan constantemente del néctar de las flores que encuentran en su trayectoria, el cual es convertido en lípidos, reserva energética vital durante la hibernación. Los cientos de miles de mariposas que llegan a México se agrupan entre 8 y 11 colonias en bosques de oyamel (Abies religiosa) a una altura promedio de 3100 m.s.n.m. Las características climáticas y fisiológicas de las zonas, como la humedad, altitud y exposición, son aparentemente muy importantes en la biología de la monarca.                       

Generalmente las monarcas hibernan de principios de noviembre a finales de marzo. La fase inicial de la formación de las colonias se caracteriza por una intensa actividad de vuelo; y es hasta diciembre que éstas se consolidan. Es común observar cómo las mariposas se perchan en las ramas y en los troncos de los árboles durante su establecimiento; en ocasiones cubren completamente el árbol e incluso llegan a romper sus ramas. A finales de febrero y principios de marzo las colonias se mueven hacia cañadas o arroyos, aparentemente por la humedad. En este tiempo, cuando el calor es más intenso, los apareamientos y la emigración comienzan. Sin embargo, es importante recalcar que todos estos sucesos dependen de la variación de los factores climáticos, principalmente de la humedad y de la temperatura. Para el mes de junio las mariposas han repoblado la mayor parte del este de Estados Unidos y el sureste de Canadá.                        

En febrero y marzo, cuando la temperatura ambiental aumenta, se libera la producción de la hormona juvenil, consecuentemente los órganos reproductivos maduran y se rompe la diapausa reproductiva. Esto origina que el apareamiento de las mariposas suceda en estos meses. Durante el cortejo el macho sujeta las alas de la hembra con sus patas delanteras cuando ambos están en vuelo, generalmente caen al piso y la hembra lucha por escaparse, forcejeando en ocasiones hasta 2 minutos. En la mayoría de los casos el apareamiento no se realiza ya sea porque la hembra se escapa o el macho la deja ir. Cuando el macho logra aparearse con la hembra, termorregula al Sol por unos segundos y emprende el vuelo. La hembra cierra sus alas facilitando el vuelo del macho en el llamado “vuelo nupcial”.                     

Al aparearse los machos transfieren a las hembras espermatóforos ricos en nutrientes. Por medio de técnicas que emplean marcadores radioactivos se ha demostrando que las hembras pueden utilizar estas sustancias en la producción de huevos y en su propio mantenimiento. Además, parece ser que junto con los nutrientes, los machos también transfieren compuestos secundarios del grupo de los glucósidos cardiacos, qué resultan tóxicos para algunos vertebrados. Se piensa que de esta manera la hembra obtiene una mayor oportunidad de sobrevivencia.

A pesar de que las mariposas están consumiendo constantemente su reserva de lípidos, conforme transcurre el periodo de hibernación la recuperación de éstos por medio de la alimentación es menor. Sin embargo las hembras aumentan ligeramente su peso hacia el final de la temporada, al parecer por la transferencia de los espermatóforos de los machos, lo cual redunda en beneficios materiales que pueden ser muy importantes para aquellas hembras que recorren grandes distancias.

Aparentemente los machos más grandes y con las alas en buenas condiciones emigran a principios de marzo, mientras que aquellos más pequeños y en peores condiciones permanecen en las colonias hasta el final de la temporada. Algunas observaciones sugieren que éstos se aparean con las hembras más grandes y en buenas condiciones; esto se ha interpretado como una selección sexual de los machos pequeños. ya que probablemente no puedan emigrar grandes distancias y su única oportunidad de aparearse es en las colonias de hibernación. A medida que las mariposas van emigrando, generalmente se vuelven a aparear. Más aún, se han observado vuelos nupciales en las rutas de emigración, se han encontrado monarcas que se han apareado hasta en 7 ocasiones. Sin embargo, aún no ha sido demostrado, en las monarcas, que el último macho en aparearse sea el que fecunde los óvulos, como sucede en otras mariposas con múltiples apareamientos. A partir de estas observaciones se ha hipotetizado que si el último macho es el qué fecunda los óvulos entonces se podría pensar que las hembras utilizan a los machos pequeños y débiles únicamente para obtener nutrientes.                    

Durante su vida en las colonias de hibernación las monarcas se enfrentan a diversas causas de mortalidad como son las grandes tormentas invernales, las bajas temperaturas que se registran en las noches, la depredación por aves y ratones, o el posible agotamiento de su reserva de lípidos, ya que han sido encontradas mariposas muertas sin un daño físico aparente. No obstante, la monarca presenta una serie de mecanismos para prevenir tales causas de mortalidad.                       

Las tormentas invernales generalmente causan fuertes efectos sobre la vegetación y consecuentemente en las mariposas perchadas en ella. Calvert y colaboradores registraron en 1981 la muerte de aproximadamente 25 millones de mariposas durante una fuerte tormenta invernal en sólo una de las colonias de hibernación. Cientos de mariposas cayeron al suelo, quedando enterradas en la nieve, de tal forma que en algunos lugares de la colonia se llegó a encontrar hasta 5 cm de profundidad de mariposas muertas. Afortunadamente para las mariposas, estas tormentas son ocasionales. El frío sin humedad puede llegar a ser una causa de mortalidad no muy importante debido a que la tolerancia de las monarcas a la congelación es en promedio de 23.3°C cuando están mojadas, y de 27.7°C cuando están secas; temperaturas que generalmente no se alcanza en estas zonas. Las mariposas mojadas mueren con mayor facilidad, debido a que el agua que está en su exoesqueleto se congela y los cristales de hielo penetran en su cuerpo, destruyendo los tejidos; esto sugiere que el hielo que se forma en el exoesqueleto puede ser más importante que las bajas temperaturas per se.

Ciertas condiciones medio ambientales como la caída súbita de la temperatura, la acción directa del viento, la lluvia o la nieve, pueden ocasionar que las mariposas no regresen a las agrupaciones en los árboles. Se estima que en una colonia de una hectárea caen diariamente al suelo un promedio de 60 mil mariposas vivas, en buenas condiciones. Cuando las mariposas caen al suelo y las temperaturas son bajas, al grado de que no pueden volar, tienden a trepar en la vegetación más cercana. En estas circunstancias se pueden observar mariposas alrededor de troncos y arbustos. La velocidad a la que las mariposas se desplazan es directamente proporcional a su temperatura corporal (torácica); la temperatura mínima a la que se pueden desplazar es de 3.2°C. Mientras caminan, las mariposas colocan sus alas en tres posiciones diferentes altamente correlacionadas con tres frecuencias de sacudido de las alas: alas cerradas-no aleteo; alas entreabiertas-sacudido moderado; alas abiertas-sacudido fuerte.

Una de las principales causas por la que las mariposas caen al suelo es la perturbación que ocasionan las aves. Esto sucede generalmente en horas crepusculares. Para la mariposa la tarde es el momento más importante para alejarse del suelo, ya que la noche se aproxima, hora en que se registran las temperaturas más bajas y los ratones de la zona forrajean. Es por esto que muchos autores han interpretado tales conductas como respuestas adaptativas para prevenir esta forma de mortalidad.

Generalmente las mariposas continúan caminando verticalmente hasta que encuentran algún obstáculo, ya sea por el compactamiento de las mismas o porque llegan al final de la rama. Cuando esto sucede y las mariposas no pueden volar, en ocasiones se lanzan al aire planeando. Como las colonias generalmente están en laderas con pendiente pronunciada, mientras más se alejan del punto de donde saltaron, mayor es la distancia que hay entre ellas y el suelo, y cuando se sostienen de otra rama están a mayor altura. Todas estas observaciones nos dan una fuerte evidencia de que la vegetación baja de la zona guarda una relación directa con la sobrevivencia de aquellas mariposas que están temporalmente en el suelo.

Las colonias de hibernación de la monarca son sitios que ofrecen la oportunidad de estudiar mecanismos de defensa para evitar la depredación. La defensa química de las monarcas se basa en compuestos secundarios del grupo de los glucósidos cardiacos, también conocidos como cardenólidos, los cuales son obtenidos por las larvas cuando se alimentan de las asclepias; los adultos, al alimentarse del néctar de algunas plantas, obtienen alcaloides pirrolizantes.                           

Las propiedades eméticas de los cardenólidos son altamente efectivas en algunas aves, ya que la mayor concentración de éstos se encuentra en la exocutícula, lo cual favorece que el depredador detecte los cardenólidos más fácilmente y hace que en ocasiones las rechacen inmediatamente, muchas veces sin causarles daños severos. Muy poco sabemos del papel defensivo de los alcaloides pirrolizantes. Estas observaciones nos podrían hacer pensar que las mariposas están libres del ataque de los depredadores, sin embargo, existen dos especies de aves y un roedor que se alimentan extensivamente de ellas.

Para estos depredadores, las colonias de hibernación representan una fuente alimenticia muy importante. Primero, hay aproximadamente 10 millones de mariposas altamente compactadas por hectáreas, que en ocasiones permanecen en el mismo sitio durante los 135 días del periodo de hibernación; segundo, las mariposas están usualmente inactivas durante las horas crepusculares y nocturnas a causa de las bajas temperaturas, momento en que los depredadores concentran su ataque.

La depredación por ratones es una causa importante de mortalidad y al parecer Peromyscus melanotis es la única especie que se alimenta constantemente de la monarca, llegando a depredar de 4 a 5% de la colonia durante todo el periodo de hibernación. Los resultados obtenidos por Brower y Calvert mediante análisis espectrofotométricos y de frotis de capas delgadas cromatográficas de carenólidos en los contenidos estomacales, mostraron que los ratones no seleccionan a las mariposas con base en el contenido de cardenólidos, es decir, no seleccionan mariposas con mayor o menor cantidad de éstos.

Sin embargo, el ratón de campo se alimenta preferencialmente de las mariposas viva o de las recientemente muertas (hidratadas) y de aquellas que están más cerca del suelo. Tal selección es aparentemente debido a que los ratones son incapaces de separar los contenidos abdominales de la cutícula de las monarcas deshidratadas. Al escoger las mariposas más accesibles, los ratones probablemente reducen el tiempo de búsqueda y manejo del alimento. Estas observaciones nos indican que los ratones no se alimentan de las primeras monarcas que se encuentran. Por lo tanto, si no hay mariposas hidratadas o son muy escasas en el suelo, los ratones empiezan a buscar con más detalle en la vegetación.

Las principales aves que depredan a las monarcas en los sitios de hibernación son las calandrias Icterus gálbula abeillei y los pinzones Pheuticus melanocephalus. Se ha estimado que estas aves depredan en promedio 15 mil mariposas por día, llegando a comer en días fríos hasta 35 mil. Un punto de especial interés es la forma en que estas aves seleccionan a las mariposas para evitar sus defensas químicas. Anatómicamente las calandrias tienen un pico fino que les permite desgarrar el abdomen y con su lengua trífida succionan el contenido abdominal, evitando la exocutícula. Por su parte, los pinzones tienen un pico tosco y comen porciones enteras de las mariposas sin importar el contenido de cardenólidos en ellas. No obstante, los pinzones realizan una notable selección del alimento de acuerdo al sexo de las mariposas. Esta especie muestra una marcada preferencia por mariposas machos, supuestamente debido a que las concentraciones de toxinas que hay en sus cuerpos son significativamente menores que en las hembras. El modo de ataque y de selección del alimento se ha interpretado como una adaptación del comportamiento de estas aves para contrarrestar la defensa química de las monarcas.

También se ha observado que el riesgo que corre una mariposa de ser atacada por un ave es mayor estando hacia la periferia de la colonia y que existe una mayor depredación en colonias pequeñas que en las grandes; esto es, la magnitud de la depredación es inversamente proporcional al tamaño de la colonia y de la agrupación. Por esto, podemos suponer que la depredación por aves puede jugar un papel muy importante en la evolución del comportamiento de agregación de las mariposas, ya que entre más grande es la agrupación, menor es el riesgo de sufrir el ataque de las aves.

Otro comportamiento que se ha interpretado como de defensa, es el del “efecto de cascada”. Este comportamiento es una respuesta de las mariposas al bióxido de carbono (CO2) durante su forrajeo, las agrupaciones de monarcas se dejan caer de las ramas y troncos de los árboles en forma de cascada. De ésta forma, las primeras mariposa en percibir el CO2 darán aviso al resto de la agrupación o a gran parte de ella, favoreciendo el escape en grupo.

Por el hecho de que las mariposas tienen un sabor desagradable para algunas especies de vertebrados, se han hecho algunas observaciones sobre la relación que pueden tener las monarcas y las mariposa virrey (Limenitis archippus). Se ha sugerido que la virrey gana protección contra la depredación por aves por semejar los colores de la monarca. Estas observaciones se basan en que una vez que los cardenólidos de las monarcas han producido efectos eméticos en algunas aves como los azulejos, éstos evitan posteriormente alimentarse de monarcas o de mariposas semejantes.

Con base en todas estas observaciones nos podemos preguntar qué tan efectivas son las defensas de la monarca para prevenir la depredación en los sitios de hibernación, ya que si bien los números de las muertes por depredación parecen ser altos, representan solamente el 9% en el caso de las aves y el 5% para los ratones, del total de una colonia de una hectárea. Se han registrado en la zona 5 especies de roedores y 32 de aves insectívoras y omnívoras, lo que podría representar una extensa depredación; sin embargo, sólo se ha visto que dos de las especies de aves y una de ratón se alimentan de la monarca, hecho sorprendente si tomamos en cuenta que las monarcas representan un alimento bastante atractivo para estas especies por la relativa facilidad de captura, por su abundancia, por ser la temporada de mayor escases de otros insectos en la zona y por el valor nutricional que representan su reserva de lípidos. La explicación más probable es que no utilizan a la monarca como recurso alimenticio debido a la efectividad de sus defensas que aunque no mantienen a las mariposas fuera del peligro de ataque, si logran que la depredación no sean tan intensa. 

Las monarcas generalmente evitan formar agrupaciones en los claros y en las áreas en donde se han realizado prácticas forestales. El bosque evita la incidencia solar directa sobre las mariposas y durante la noche impide el escape del calor absorbido durante el día. Al explotar irracionalmente el bosque se produce un daño considerable a la vegetación baja y al renuevo, por lo que efecto moderador del mismo a las temperaturas extremas se reduce.

Afortunadamente la mariposa monarca, como especie, no está en peligro de extinción. Actualmente tiene una amplia distribución y abundancia en todo el mundo. En cuanto a las monarcas de Norteamérica, es de gran importancia la conservación de las áreas de hibernación en México, ya que prácticamente aquí se reúne toda la población de monarcas durante el invierno, y si se llegaran a destruir los santuarios, se produciría un gran efecto en la población de mariposas de Norteamérica. En California son varios los santuarios que han sido destruidos. En México, la Asociación Civil Monarca coordina y promueve programas de conservación, investigación y desarrollo socioeconómico en estas áreas.

Alfonso Alonso M. 
Centro de Ecología, UNAM.

Alfredo Arellano G.                                                                                      Monarca A.C.

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