revista de cultura científica FACULTAD DE CIENCIAS, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
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La conciencia
viviente

 

José Luis Díaz
 
FCE, 2007.
623 páginas.
   
   
     
                     
                     
El enigma de la conciencia ha atareado, intrigado y azorado toda
mi vida como investigador en neurociencias, psicobiología, conducta animal y ciencia cognitiva. De hecho, podría recapitular mi esparcido itinerario académico como fases diversas de esa pertinaz interrogante. A partir de 1944 decidí, un tanto audazmente, emplazar a la conciencia como mi tarea principal de investigación y para ello tomé 18 meses sabáticos en el Programa de Ciencia Cognitiva de la Universidad de Arizona; allí se concentraban no sólo diversos investigadores interesados en el asunto, sino que también se desarrollaba, cada dos años, un congreso sobre el abordaje científico a la conciencia, del cual fui asiduo participante. Durante mi estancia en ese departamento, me dediqué a elaborar varios artículos que, de manera preeliminar, había bosquejado en una investigación previa realizada en México y que conforman, con múltiples correcciones, los tres primeros capítulos de este libro. En este trabajo de transición, recopilé datos que en su momento me parecieron pertinentes, dispuse mis ideas sobre la materia y esbocé varias inquietudes y conceptos que me ocuparían en la siguiente década y que constituyen publicaciones más específicas; corregidas y aumentadas, se incorporan aquí para conformar la mayor extensión de este volumen.
 
Más que un orden dictado por razones taxonómicas o de estructura interna del tema, la secuencia de los capítulos del libro sigue el curso de mi evolución en este campo de estudio durante la última década. Así, aunque el lector pueda iniciar la lectura en el tema que más le llame la atención, debo advertir que en general, los asuntos, revisiones críticas, reflexiones, argumentos y propuestas, se tratan con mayor actualidad, detenimiento, puntualidad, profundidad y quizá, con mayor soltura, conforme avanza el texto. Digamos que los primeros capítulos abarcan una panorámica sobre la conciencia y los prolegómenos de una teoría de varias facetas y consecuencias que se adelanta y precisa en los siguientes capítulos. También es necesario indicar que varios de los temas principales se retoman en distintos capítulos, lo cual representa diversas fases de interés en ellos y, sobre todo, otras tantas perspectivas y niveles de tratamiento.
 
El libro ofrece un panorama del tema de estudio de la conciencia desde tres puntos de vista que planteo como necesarios y complementarios: el aspecto filosófico, el matiz fenomenológico y el aspecto biológico. De esta manera, el texto cultiva un terreno en donde se imbrican, en forma todavía poco tersa, la ciencia y la filosofía, en particular, la filosofía de la mente y las ciencias cerebrales, cognitivas y del comportamiento, abrevando tanto de la argumentación de la primera, como la evidencia experimental de las últimas, para desarrollar como objetivo fundamental una teoría de la conciencia que, con las fatigas y aprietos propios del caso, maniobra tanto para estar filosóficamente informada y fundamentada como para ser empíricamente congruente y probable.Chivi100
 
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Fragmento de la introducción.

 

 

 

como citar este artículo

Díaz Ortega, José Luis. (2010). La conciencia viviente. Ciencias 100, octubre-diciembre, 78. [En línea]

     






 

       
 
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Einstein en Río
 
César Carrillo Trueba
   
   
     
                     
                     
En muchas culturas la fusión del tiempo y el espacio forma parte
de la visión del mundo; se accede a ciertos lugares y el tiempo es otro, fluye de distinta manera a como lo hace en donde transcurre la vida cotidiana, o se adentra uno en el ritmo del tambor, de la música, dejando que el cuerpo se entregue a ella sin reparo, completamente a la deriva, y se llega a otra dimensión espaciotemporal. El carnaval es un momento así y el de Río de Janeiro es paradigmático. El retumbar de cientos de tambores que avanzan en medio de un manto de luces y colores, de cuerpos centelleantes; una columna humana con carros alegóricos que arrastra a la multitud, plegando el espacio a su rededor, ciñendo a espectadores y danzantes en un solo tempo, que se ven así atrapados en fulgurante sinestesia, cual astros en los confines del Universo que se desplazan al unísono por una explosión primigenia.
En medio de esa vasta curvatura del espacio-tiempo, las caderas de una hermosa mulata se mecen, vibran, se contonean en un estallido de ritmo tal, que el Universo mismo se curva en torno a ella. El espacio-tiempo queda a la merced de sus movimientos, se detiene, se contrae, se renueva suavemente, se expande y alcanza un frenesí de magnitudes cósmicas, una profusión de fotones que lo cubre todo… y en ese maremágnum, en el corazón mismo de esa masa de energía, aparece el rostro de Einstein mirando, no sin cierta ironía, cómo se cumple su teoría en medio de tanta algarabía.Chivi100
Figura1B5
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César Carrillo Trueba
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 

como citar este artículo

Carrillo Trueba, César. (2010). Einstein en Río. Ciencias 100, octubre-diciembre, 66-67. [En línea]

     




 

       
 
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¿La ciencia
de la música
o la música
a través de la
ciencia?
Patricia Magaña Rueda
   
   
     
                     
                     
In music, one must
think with the heart
and feel with the brain.
 
George Szell
La música o el arte de las musas es definido en la Wikipedia como
un producto cultural. Uno podría pensar en una definición muy similar para la ciencia. Pero al revisar ambas descripciones en esta enciclopedia electrónica, siempre en construcción, encontramos que difieren en que la música tiene que ver con la parte anímica, y la ciencia, en contraste, es referida como producto de la observación y el razonamiento. No obstante, el encuentro de la música con la ciencia tiene raíces muy antiguas, como puede apreciarse en este número de la revista Ciencias que aborda el estudio de cómo se produce la música desde el enfoque físico, su relación con las matemáticas, el desarrollo de tecnologías y nuevos instrumentos, su asociación a la diversidad de culturas y su liga con la psicología.
Indudablemente, como sugiere el popular divulgador Bill Nye, hay mucha ciencia en la música. Un aspecto muy estudiado es la parte acústica, es decir la producción de sonido. Si se quiere explorar este campo se puede consultar el portal de la Universidad del Sur de Gales, Australia (www.phys.unsw.edu.au/music), donde se encontrarán referencias básicas de investigación en sonido, publicaciones y descripción acústica de una variedad de instrumentos. Contiene una sección, que mucho se agradece, sobre preguntas frecuentes.
Hay dos aspectos de la investigación sobre la relación entre ciencia y música que han crecido en las décadas recientes: la parte neurológica básica, junto con el análisis del comportamiento, y la investigación del cerebro para dilucidar dónde se genera la creación musical. Para acercarse a ambos tópicos uno puede navegar y encontrar interesantes trabajos y conferencias.
Por ejemplo, en un reciente artículo en Nature, Phillip Ball, escritor de ciencia, comenta distintos aspectos concernientes a la investigación sobre música y el desarrollo de capacidades humanas. En su texto plantea que la plasticidad del cerebro humano hace que el entrenamiento musical permita desarrollar la habilidad para percibir la frecuencia de un sonido, así como el ritmo y el timbre, al igual que la entonación en un discurso, de aprender el idioma nativo u otros, y el identificar regularidades estadísticas en estímulos sonoros abstractos (www.nature.com/news/2010/100720/full/news.2010.362.html#B1).
Karen Schrock, una de las editoras de Scientific American Mind, señala en un artículo del fascículo de julio/agosto de 2009 que lleva por título “¿Por qué nos mueve la música?”, que este arte parece ofrecernos un método de comunicación enraizado en las emociones más que en el significado, además de facilitarnos el acercamiento social y las interacciones físicas (www.scientificamerican.com/article.cfm?id=why-music-moves-us).
Uno se pregunta entonces: ¿qué tanto la música está ligada a nuestra biología, y cuánto a nuestras emociones?
Una posible respuesta podría hallarse en el estudio del cerebro, y la están buscando los neurofisiólogos y los psicólogos. Sobre ello hay libros y por supuesto artículos recientemente publicados y disponibles en la red, como el de Diana Deutsch, en el número de julio/agosto de este año de Scientific American Mind, y que lleva por título “Speaking in Tones”. La autora afirma que psicólogos, lingüistas y neruocientíficos han cambiado recientemente su enfoque y han encontrado que las áreas del cerebro que gobiernan la música y el lenguaje no están separados como se pensaba hace tiempo, sino que se traslapan (www.nature.com/scientificamericanmind/journal/v21/n3/full/scientificamericanmind0710-36.html).
Si uno desea buscar una explicación clara a estos descubrimientos, puede hacerlo en la maravillosa conferencia del Dr. Aniruddh Patel, del Neuroscience Institute de Estados Unidos, quien además de ser un brillante científico egresado de Harvard, es un buen músico. En su exposición en ese video explica que no hay una zona centralizada en el cerebro que tenga que ver con la música, sino que muchas zonas se ven involucradas cuando la gente la procesa. En la conferencia se contestan dos interrogantes: ¿qué nos enseña la música sobre el cerebro?, ¿qué nos puede enseñar el cerebro sobre cómo procesamos la música? (www.youtube.com/watch?v=ZgKFeuzGEns).
Se usa ya en diversos centros médicos un nuevo tipo de tratamiento, la llamado terapia musical, que muestra, bajo ciertas circunstancias, tener un efecto benéfico en el ánimo de los pacientes. El reconocido neurólogo y escritor Oliver Sacks publicó en 2008 un interesante libro donde narra, en forma anecdótica, diferentes experiencias con pacientes, a los que se ha sometido a escuchar música. El libro se llama Musicophilia: Tales of Music and the Brain, y puede verse un pequeño video de una entrevista con Sacks (www.youtube.com/watch?v=9nnLTPPDRXI).
Por el lado divertido, pero con explicación científica, sugiero visitar el sitio del Science of Music: Exploratorium’s Accidental Scientist, de la National Science Foundation de Estados Unidos, que abre explicándonos por qué suena tan bien cantar en la regadera o cómo hacen los cantantes de ópera para producir sonidos que parecen durar para siempre (www.exploratorium.edu/music).
Varios de los autores consultados en los sitios recomendados aquí remarcan en cuanto a la cultura musical un aspecto que me parece muchos divulgadores señalamos para la cultura científica. No es necesario que haya un costo y un beneficio al aprender música o ciencia y al apreciarla. Su valor está en la forma en que nos enriquece, socializa y humaniza.Chivi100
 
 
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Patricia Magaña Rueda
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
 

como citar este artículo

Magaña Rueda, Patricia. (2010). ¿La ciencia de la música o la música a través de la ciencia? Ciencias 100, octubre-diciembre, 42-43. [En línea]
     




 

       
 
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Música congelada
para el desarrollo
sustentable
 
Karl Heinz Gaudry S. y
César Guerrero A.
   
   
     
                     
                     
En un gran golpe de genio, Hegel definió a la arquitectura como música congelada. No es en absoluto una idea extravagante. Al compararla con la música, Hegel le reconoce a la arquitectura su cualidad de arte, y al arquitecto su cualidad de artista. En nuestros días la arquitectura es, por definición, “de autor”. No siempre lo fue. La firma de los individuos es moderna, del Renacimiento a nuestros días. En realidad, a lo largo de la historia, la arquitectura ha sido sobre todo un proceso social. Lo que permanece, eso sí, es el hecho de que sin arte, la arquitectura no existe, es sólo construcción.
En su definición, Hegel reconoce lo que música y arquitectura comparten entre sí: la belleza, el ritmo y la armonía. Si una fuga de Bach debiera encarnarse lo haría en la forma de una catedral barroca, por ejemplo. Pero con su sentencia, Hegel señaló también la diferencia entre ambas. La música es inmaterial, es etérea, no está en ningún sitio, no se le ve ni se le toca. La arquitectura en cambio es eminentemente material. La arquitectura es música, pero congelada, no sólo porque algo congelado es algo sólido, palpable, material, sino porque ese algo es además inmóvil, estático, a diferencia de la música, que se mueve y transcurre. Con la materia, el arquitecto da forma y estructura al vacío, a la luz, al sonido y al silencio, que se desplazan y transcurren por ella.
Ahora bien, si vamos un poco más lejos que Hegel, más allá de la hibridación de las artes entre sí, debemos citar necesariamente a Renzo Piano, quien afirma que la arquitectura combina todo: historia y geografía, antropología y ecología, ciencia y sociedad, e inevitablemente refleja todo esto. Aun cuando las dimensiones artísticas y científicas permanezcan tensas; la arquitectura no puede ser sin usuarios, y es sociedad y reflejo de su visión.
Un ejemplo virtuoso de lo que Hegel y Piano afirman (entre los muchos posibles), es la arquitectura islámica. La geometría de los diseños en la arquitectura del Islam es, siguiendo la definición de Hegel, una hermosa y afortunada hibridación de ciencia y arte, de ritmo y armonía de las figuras geométricas (la base son los círculos y, a partir de ahí, triángulos, hexágonos, etcétera) para producir arte. Aun si éste se construye tan sólo con figuras abstractas, no figurativas, ad infinitum.
Si también atendemos la afirmación de Piano, nos percatamos de que estos diseños tan peculiares no se deben solamente al genio artístico de los arquitectos y artesanos musulmanes, sino que responden a teogonías, cosmogonías y valores espirituales propios de la sociedad islámica, que en coherencia con su visión del mundo se traducen en un principio arquitectónico.
Así pues, a raíz de la interdicción de representar la figura humana en los espacios sacros, la decoración es sólo abstracta, y si el círculo es el símbolo perfecto de la unidad, se utiliza como fundamento para la decoración arquitectónica. La superposición simétrica de circunferencias (formas simples) produce patrones de estrellas y hexágonos. La unión de los hexágonos en sus vértices produce dos triángulos invertidos, para formar el Sello de Salomón. Éstas y otras figuras se superponen para crear los complejos patrones de la arquitectura islámica. Por lo general, el patrón es enmarcado de tal forma que los vértices del rectángulo pasen por el centro de figuras clave. Esto tiene como resultado que la figura clave aparezca en números nones al interior del cuadro, una unidad numérica que invoca la Unidad Divina. Asimismo, produce la sensación de que el patrón puede continuar indefinidamente, en todas direcciones.
En nuestra época, Frank Lloyd Wright hizo lo propio, aunque sin afanes místicos y a partir sobre todo de rectángulos, para el diseño de espacios, artesonados, vitrales, lámparas y muebles. No obstante, podemos encontrar un ejemplo virtuoso y moderno, que muestra cómo los valores culturales inciden en la arquitectura: se trata del arquitecto mexicano Luis Barragán, quien por cierto encontraba inspiración en la arquitectura novohispana y árabe. Retomamos sus palabras en torno al jardín: “En la creación de jardines, el arquitecto invita a la asociación del reino de la naturaleza, la majestuosidad de la naturaleza reducida y siempre presente a proporciones humanas […] En el jardín he unido la solidaridad milenaria a la que todos estamos sujetos: la ambición de expresar materialmente el sentimiento, común a la humanidad en búsqueda de una referencia con la naturaleza, creando un espacio de placer tranquilizante”. El profesor pakistaní A. Husain afirmaba, haciendo referencia a uno de sus libros, que los jardines “persiguen ser espejos fragantes del cielo”. El jardín es entonces espacio celeste-terrenal.
Sin embargo, lo que Renzo Piano sostenía es igualmente válido para la forma de vida contemporánea. La arquitectura es un reflejo de nuestras necesidades, nuestras capacidades materiales y nuestras carencias axiológicas y espirituales. El pueblo se mudó a la ciudad, pero lo hizo de tal forma que el pueblo habitase el progreso urbanizado: el ser urbanos —canalizados socialmente como el agua hasta la llave del lavabo—, el iluminar y velar cada parche natural, incluso a nivel celular, es la máxima realidad. De ahí la aridez funcional de Le Corbusier, quien definía la casa moderna como “la máquina de vivir” —una definición casi distópica, ad hoc para una novela de Ray Bradbury.
La gran mayoría de nosotros vivimos en ciudades y megalópolis modernas que distan mucho de la belleza funcional de Le Corbusier, Mies Van der Rohe u Oscar Niemeyer. Por lo general se caracterizan por invocar anhelos de modernidad sin consideración alguna por el entorno en que se ubican. Así, construimos a la vera de los ríos, que pueden crecer y desbordarse, con amplios ventanales en climas extremosos, con materiales de uso universal sin consideración del clima local.
Estos “errores” son en realidad coherentes con nuestro concepto de nosotros mismos y de nuestro papel en el mundo. Parten del supuesto de que podemos construir según nuestro capricho sin consideración del entorno, el cual modificamos a nuestro gusto. Así, los desniveles del terreno se resuelven con trascabos, los pedregales se abren a fuerza de dinamita para adaptarlos al gusto del diseño arquitectónico, la maleza y los árboles que se atraviesan se podan, los problemas de temperatura se resuelven mediante onerosos sistemas de aire acondicionado, ventilación, calefacción. ¿Por qué?, si existen opciones de diseño y materiales más apropiados. Simplemente porque podemos hacerlo (o pagarlo).
Durante los últimos cincuenta años, el ser humano ha transformado (a toda máquina) como nunca antes, los ecosistemas del planeta y traducido esta transformación en beneficios netos para el bienestar humano. Entre tanto, el proceso de transformación, así como sus consecuencias ambientales, sugieren un cambio en el andante de nuestro desarrollo.
La consecuencia es que se han acentuado y creado nuevas regiones y grupos de personas en situación de pobreza, lo cual ha repujado el mismo círculo vicioso de un desarrollo de corto plazo e insostenible.
Aunque a escala global la tasa de conversión de ecosistemas ha empezado a disminuir debido a la reducción en el ritmo de expansión de cultivos, el paso de conversión y cambio de ecosistemas continúa siendo alto y con tendencia creciente en la mayoría de los ecosistemas y las regiones. Sugiere una reconceptualización del prestissimo ritmo de desarrollo que tanto nos ha hecho soñar una incondicional y lejana (in)dependencia de los servicios ambientales.
Con relación al paisaje, el legado que el humano le imprime, ya sea como una materialización cultural o por el beneficio que obtiene de los servicios ecosistémicos, nos recuerda a Hegel y su definición.
En este sentido el concepto de paisaje, como medio y unidad territorial para el desarrollo sustentable, adquiere un papel importantísimo. El paisaje puede ser concebido como derivado resultante de los servicios ambientales y de la función que traducimos y recreamos en actividades culturales. El mosaico abarca desde la conservación hasta el aspecto más antropogénico —el de los asentamientos humanos. A través de la lente del paisaje se presenta una serie de relaciones complejas provenientes de la naturaleza —con sus características ecológicas— y aquellas influencias multifacéticas del Homo economicus.
Como paisaje entendemos una fracción de territorio que puede incluir costas y aguas continentales, tal como son percibidas por sus poblaciones, y cuya apariencia es determinada por la acción e interacción de los factores naturales y humanos. Como lo define la Convención Europea del Paisaje, el paisaje trata sobre “naturaleza más gente […] como una visión del mundo […] Si el desarrollo sustentable carece generalmente de una definición y entendimiento común […] deberíamos perseguir el bienestar humano y la protección del medio ambiente simultáneamente […] abrazando las consideraciones económicas, sociales, culturales y ecológicas".
La arquitectura de paisaje, y en general el quehacer arquitectónico, se ha caracterizado por un amplio espectro entre disciplina académica e investigación aplicada. El quehacer arquitectónico cubre una amplia variedad de escalas y ambientes que van desde lo rural hasta lo urbano, de lo regional a lo local. En este punto, el aparente extremo de la ciencia que abordamos anteriormente con los servicios ambientales y aquel del extremo del arte se presentan ligados por la indispensable presencia del ser humano, así como por sus objetivos de desarrollo en beneficio de su bienestar.
La naturaleza, dijo Hegel, no contiene en sí el fin absoluto. Más bien, es la mera insuficiencia de la naturaleza, el hecho de que la naturaleza esté incompleta e incómoda, la primogénesis del arte y la arquitectura. Inmediatamente después del alimento, nos encontramos con la búsqueda de refugio; en algún punto lo ofrecido por la naturaleza dejó de ser suficiente y el ser humano se convirtió en arquitecto. Es solamente por medio de nuestros actos deliberados de transformación que modificamos la naturaleza, en donde el ser humano se conoce, y se reconoce, a sí mismo.Chivi100
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Referencias bibliográficas
Piano, R. 1998. “Pritzker Architecture Prize, Acceptance Speech”, en The Pritzker Architecture Prize. The Hyatt Foundation, Dumbarton Oaks, Washington, D.C.
Sutton, D. 2007. Islamic Design: A Genius for Geometry. Wooden Books, London.
Barragán, L. 1980. “Pritzker Architecture Prize, Acceptance Speech”, en The Pritzker Architecture Prize. The Hyatt Foundation, Dumbarton Oaks, Washington, D.C.
Husain, A. A. 2001. Scent in the Islamic Garden: A Study of Deccani Urdu Literary Sources. Oxford University Press.
Phillips, A. 2000. “Practical Considerations for the Implementation of a European Landscape Convention”, en Landscape conservation law: present trends and perspectives in international and comparative law: proceedings of a colloquium commemorating the 50th anniversary of iucn, 30 october 1998. The World Conservation Union, Palais du Luxembourg, París, iucn (ed.). iucn Commission on Environmental Law, Gland, Switzerland and Cambridge, uk, pp. 17-24.
Whiteman, J. 1987. “On Hegel’s Definition of Architecture”, en Assemblage, vol. 2, pp. 7-17.
 
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Karl Heinz Gaudry S.
Instituto para la Gestión del Paisaje,
AlbertLudwigs Universität, Freiburg.
César Guerrero A.
Comisión Mexicana de Cooperación con la UNESCO.
 

como citar este artículo

Heinz Gaudry S., Karl y Guerrero A., César. (2010). Música congelada para el desarrollo sustentable. Ciencias 100, octubre-diciembre, 54-57. [En línea]
     




 

       
 
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Un conjunto de
Cantor en la 3ª
Suite de Bach
para violoncello
 
 
Flor de María Aceff Sánchez
   
   
     
                     
                   
Aunque en el siglo xviii todavía no existía el conjunto de Cantor ni el concepto de fractal, éstos ya se encontraban en la naturaleza. Y los creadores, en particular los músicos, plasman en su obra tanto la naturaleza que observan como su época. Johann Sebastian Bach es tal vez uno de los mejores ejemplos; en su obra podemos observar que en su mente ya existían las estructuras de los conjuntos de Cantor, así como la idea generadora de los fractales.
Hasta hace algunos años se consideraba que los conjuntos de Cantor eran una creación puramente matemática, totalmente alejados de la naturaleza y el arte; sin embargo, ahora se sabe que el comportamiento de algunos fenómenos naturales presentan una estructura similar y en el caso del arte tenemos este bello ejemplo que nos regaló Johann Sebastian Bach en su 3ª Suite para violoncello, compuesta en la segunda década del siglo xviii.
El conjunto ternario de Cantor
 
 
El conjunto de Cantor toma su nombre del matemático George Cantor, que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación para una de sus principales preocupaciones: el continuo. Su verdadero creador fue Henry Smith, un profesor de geometría de Oxford, quien en 1875 definió lo que ahora conocemos como los conjuntos generalizados de Cantor.
El conjunto ternario de Cantor se obtiene procediendo del siguiente modo: partimos de un segmento del tamaño que se muestra en la etapa 1 de la figura 1; lo dividimos en tres subsegmentos iguales y nos quedamos con los intervalos cerrados de los extremos, obteniendo así el resultado de la etapa 2. Si repetimos la división en tres partes en cada uno de estos segmentos, y nos quedamos de nuevo con los intervalos cerrados de los extremos en cada uno, obtenemos los cuatro intervalos de la etapa 3. Para la etapa n, dividimos en tres partes cada uno de los segmentos de la etapa anterior y nos quedamos con los intervalos cerrados de los extremos en cada uno. Repetimos este procedimiento tantas veces como números naturales hay, y el conjunto resultante es el conjunto ternario de Cantor.
Figura04aB2
Figura 1. Para la construcción del Conjunto ternario de Cantor, el cual se realiza de manera contractiva, es decir, las partes son cada vez más pequeñas, se contraen, y el conjunto siempre está contenido en uno de tamaño fijo.
Un fractal se obtiene al repetir o iterar un proceso sencillo (o complejo) muchas veces (una infinidad, si se piensa como matemático, o un número muy grande de veces si se quiere ser más pragmático). Con estas iteraciones se obtiene un objeto que está formado por partes que son parecidas en estructura al objeto completo, que a su vez están compuestas también por subpartes con la misma característica, y así sucesivamente. Estas repeticiones o iteraciones del proceso pueden ser contractivas o expansivas.
En las iteraciones contractivas se va fragmentando el objeto al cual se le está aplicando el proceso, de tal modo que los fragmentos se van pareciendo al todo resultante. Un ejemplo de un proceso fractal contractivo es el proceso explicado anteriormente para el Conjunto Ternario de Cantor. En las iteraciones expansivas se va construyendo el fractal como si tuviéramos bloques de construcción que vamos acomodando de acuerdo a la regla del proceso iterativo.
Veamos cómo podemos construir el conjunto ternario de Cantor con un proceso iterativo expansivo (figura 2). Tomemos un bloque en etapa 1; en la etapa 2, tomemos dos bloques iguales (como el de la etapa 1) y acomodémoslos con una separación entre ellos del mismo tamaño del bloque; en la etapa 3, tomemos dos construcciones iguales a las de la etapa 2 y acomodémoslas con una separación entre ellas del mismo tamaño a la de la construcción de la etapa 2, y así sucesivamente; la etapa n está formada por dos construcciones iguales a las obtenidas en la etapa anterior, separadas por un espacio del mismo tamaño.
Figura04bB2
Figura 2. Procedimiento expansivo para la construcción del Conjunto ternario de Cantor, el cual se realiza de manera constructiva, es decir, las partes son cada vez más grandes, y el conjunto siempre está creciendo.
Notemos que cada etapa de la construcción expansiva se “ve” igual a la etapa correspondiente de la construcción contractiva del conjunto ternario de Cantor. La estructura de cada etapa de la construcción expansiva del conjunto ternario de Cantor se puede esquematizar como xyx, donde X representa la estructura de la etapa anterior y y un espacio del tamaño de x.
Bach y Cantor
 
 
Ahora construyamos otro conjunto de Cantor: el que se observa en la estructura del primer bourrée de la 3ª Suite para violoncello de Bach. Consideremos la construcción expansiva del conjunto ternario de Cantor modificado la regla de repetición o iteración que será la siguiente: en cada etapa, tomar dos bloques o estructuras obtenidas en la etapa anterior y añadirles un espacio del tamaño del doble de una estructura de la etapa anterior.
Llamaremos al conjunto utilizado por Bach, “conjunto Bach-Cantor”. La estructura de cada etapa de la construcción del conjunto Bach-Cantor se puede esquematizar como xxy, donde x representa la estructura de la etapa anterior y Y un espacio del doble del tamaño de x (figura 3).
Figura04cB2
Figura 3. Construcción del conjunto utilizado por Bach.
El primer bourrée en la Suite No. 3 para violonchelo de Bach es un claro ejemplo de escalamiento estructural. La forma recursiva de su estructura puede verse como el conjunto Bach-Cantor. Examinando la partitura, nos enfocamos en el ritmo y el fraseo de la primera sección del primer bourrée. El fraseo musical se refiere a la forma en que ciertas secuencias de notas son asociadas naturalmente entre ellas (figura 4).
Figura2B2
Figura 4. Análisis del primer bourrée de la suite No. 3 para violencello de Bach. Las partes marcadas por las llaves corresponden a las repeticiones.
Observemos que Bach usó el patrón repetido xxy en diferentes escalas, donde cada sección y dura el doble de lo que dura cada sección x. La pieza inicia con dos notas de 1/8 y una nota de 1/4, luego repite ese patrón, y continúa con una frase que tiene el doble de su longitud, es decir de 4/4. Este mismo patrón de corto-corto-largo se repite, seguido de una secuencia más larga de 16/4.
Análogamente, los primeros ocho compases se repiten, dando dos secciones cortas de 64/4, que son seguidas por una sección más larga de 20 compases, es decir 80/4; pero Bach escribió la pieza con un símbolo de repetición al final de estos 20 compases, es decir, hay 160/4 en este bloque, como el doble de 64/4 es 128/4, observemos qué pasa después de 128/4: estos últimos terminan en el doceavo compás de la repetición del segundo bloque, y las dos últimas notas de 1/8 del dicho compás no son parte de los 128/4, ya que el bloque inició en anacruza.
Observemos que la estructura del resto del bloque vuelve a ser como la inicial: se tiene dos notas de 1/8, seguidas de otras dos notas de 1/8, pero éstas últimas están unidas por una ligadura, así que esas dos notas realmente están pensadas como un tiempo de 1/4, y se vuelve a repetir este patrón seguido por un bloque de 4/4.
El anidamiento jerárquico del fraseo xxy en el primer bourrée produce un patrón igual al de la construcción del conjunto que hemos llamado Bach-Cantor. Notemos que la estructura del primer bourrée de la 3ª Suite de Bach se ve como parte de la etapa 6 de la construcción expansiva del conjunto de Bach-Cantor, vista como la etapa 5, seguida por una parte de la etapa 5 (ver figura 2).
Algunos violoncellistas no tocan este bourrée con la segunda repetición; sin embargo, al tocarlo con repeticiones claramente se percibe en su ritmo y fraseo la esencia del conjunto de Bach-Cantor.Chivi100
 
 
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Flor de María Aceff Sánchez
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.

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Aceff Sánchez Flor de María. (2010). Un conjunto de Cantor en la 3ª Suite de Bach para violoncello. Ciencias 100, octubre-diciembre, 28-31. [En línea]
     




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