Revista Ciencias

Nubes de cometas

Todos los años se observa una decena de cometas “nuevos” cuyos periodos de rotación alrededor del Sol se estima que son de varias decenas de miles de años. Los cometas vienen de todas direcciones y el plano de sus órbitas puede tener cualquier ángulo de inclinación, a diferencia de los planetas que rotan todos en la misma dirección alrededor del Sol y con órbitas que están todas casi en el mismo plano.

Además, existen los cometas llamados periódicos, por tener periodos orbitales de decenas de cientos de años, con planos orbitales que también están distribuidos en todas las direcciones.

Durante la reunión de la Sociedad Astronómica Americana, que tuvo lugar durante el mes de junio en los E.U., el Dr. M. Duncan discutió sobre las nuevas ideas que se tienen sobre el origen de los dos tipos de cometas.    

Resulta que cuando lo cometas están lejos del Sol, son hielos mezclados con material opaco como el carbón; sus composiciones químicas son muy similares a las de Urano y Neptuno, por lo que se piensa que se formaron en la vecindad de estos cuerpos, a partir del material de la nube de gas y polvo que dio origen al Sistema Solar. Se cree que los cometas se formaron por agregación de polvos de hielos y de material refractario que sobró cuando se formaron los grandes planetas.  

El Dr. Duncan ha hecho cálculos teóricos que indican que una población de cientos de miles de rocas, del tamaño de los núcleos cometarios (de unos 10 km de diámetro), colocados entre Urano y Neptuno, sufrirían perturbaciones que los irían arrojando lejos del Sol, a distancias de alrededor de 20000 unidades astronómicas (una unidad astronómica es la distancia que hay entre la Tierra y el Sol), es decir, hasta la nube de Oort. Además estas perturbaciones dejarían una franja estrecha de núcleos cometarios entre Urano y Neptuno.

El investigador de la Universidad de Queen señala que los cometas de largo periodo provienen de la nube de Oort, o sea, de los núcleos que fueron arrojados a la periferia del Sistema Solar, mientras que los cometas de periodo corto provienen de las proximidades de Urano y Neptuno. Existen momentos en que el Sistema Solar se ve perturbado por el viaje que realizan estrellas cercanas alrededor del centro de la Galaxia, debido a que en estos momentos la nube de cometas tiende a perder miembros, ya sea hacia dentro o hacia afuera del Sistema. Asimismo, Urano y Neptuno ejercen perturbaciones sobre los núcleos de los cometas cercanos, aventándolos hacia las proximidades del Sol. En algunas ocasiones podrían producirse verdaderas ráfagas de cientos de cometas, los que al chocar con otros cuerpos del Sistema Solar, podrían dejar huellas de cráteres y enriquecerlos con materia proveniente de sus hielos.

La constelación del Can Mayor

La constelación del Can Mayor está dominada por la estrella Sirio, la más brillante de la bóveda celeste. Es posible que la constelación se originara para enmarcar a ese astro. Aratus se refiere a la constelación del Can Mayor como el perro guardián de Orión, puesto que siempre va detrás de los tobillos de su dueño. El Can Mayor estaría representado por un perro apoyado sobre sus patas traseras y sosteniendo a Sirio en su boca. Manilius llamaba a esta constelación “la del perro con la cara encendida”. En el cielo nos podemos imaginar que el Can Mayor siempre persigue a Lepus, la liebre, que está a los pies de Orión (el cazador).

Los mitologistas, como Eratóstenes e Hyginus, afirmaban que la constelación representaba a Laelaps, un perro tan veloz que ninguna presa se le escapaba. Este perro tuvo una larga lista de dueños, uno de los cuales fue Procis, la hija del rey Erechtheus de Atenas y esposa de Céfalo, pero la distintas versiones difieren de cómo la princesa se hizo del perro. En una de ellas, Artemisa, diosa de la cacería se lo regaló; en otra se dice que el perro fue un regalo de Zeus a Europa (una de sus amantes) y que el hijo de ésta, Minos, rey de Creta, se lo regaló a Procis. El presente le fue entregado junto con una jabalina que nunca fallaba, la que resultó ser inadecuada ya que con ella su esposo Céfalo la mató accidentalmente un soleado día de cacería.

Céfalo heredó al perro y se lo llevó a Teba (la Teba de Grecia que está al norte de Atenas) en donde vivía una terrible zorra que aterrorizaba a los vecinos del lugar. La zorra tenía piernas  tan veloces que estaba destinada a nunca ser atrapada; sin embargo, Laelaps podía capturar cualquier cosa que persiguiera. Así que perro y zorra protagonizaron una persecución que parecía eterna. En los momentos en que el perro abría sus fauces para morder a la zorra, ésta aumentaba la velocidad y se salvaba; parecía no haber solución a esta paradoja, así que Zeus los convirtió a ambos en piedra; más tarde colocó a Laelaps en el cielo.

La salida de Sirio justo antes del amanecer marcaba la parte más caliente del verano, y a estos días se les conocía como “los días de perro”, pues se pensaba que al ladrar producía flamas que aumentaban el calor del Sol. Esta idea fue propuesta por Manilius quien creía que se podía sentir el calor de las estrellas. Incluso Virgilio comentó en Las geórgicas que “el perro tórrido agrieta los campos”.

Germanicus César explica claramente los efectos que la salida de Sirio junto con el Sol provocaban: “las cosechas sanas se fortalecen, pero las plantas con hojas lastimadas o raíces débiles mueren, no existe ninguna estrella que el campesino ame u odie más”.

Manilius se anticipó a las creencias modernas de que las estrellas son como el Sol cuando señala: “Sirio es tan brillante como el Sol, pero esta muy lejos”. Sin embargo, pensaba que la luz de Sirio era fría (este comentario contradice la descripción de Ptolomeo, que señala que Sirio es una estrella roja, lo cual ha despertado el interés y la imaginación de los astrónomos interesados en la evolución de las estrellas”. En la actualidad se sabe que Sirio es una estrella blanquiazul, más grade y brillante que el Sol. Sirio se encuentra a 8.7 años luz de distancia, lo que implica que es uno de los vecinos cercanos de nuestro sistema solar. Sirio tiene una compañera, una estrella enana blanca, visible sólo con telescopios poderosos, cuyo periodo orbital es de 50 años.

El cielo de la noche gira en Teotihuacán y encanta; las constelaciones indígenas se suceden alternándose en el transcurso del año revelando el contenido astronómico de algunos de los mitos.    

El Taladrador del Fuego —Mamalhuaztli—, que fuera dibujado en el firmamento con las estrellas que nosotros conocemos como la Espada y el Cinto de Orión, señala hoy desde el Ecuador Celeste, que se ha llegado ya al final de la era cronológica actual.     

La luz de la luna, cuando es casi llena, en las madrugadas ilumina con extraños tonos los rostros de Quetzalcóatl en la escalinata de su pirámide en La Ciudadela. ¿Qué miran en el oeste con esa expresión sobrecogedora, indescriptible, estas obras maestras del arte universal? ¿Qué mira Itzamná desde el Templo de los Frescos en Tulúm?  

La Osa Mayor —Tezcatlipoca—, señorea las noches de primavera y de verano. La constelación Citlalxonecuilli, que es el Cetro de Quetzalcóatl, resplandece en el otoño y en el invierno: son Quetzalcóatl, con su cetro de estrellas y Tezcatlipoca, que en el cielo y en el mito están en eterna rivalidad. Cuando uno vence, el otro es vencido; cuando uno es visible, el otro se oculta bajo el horizonte.

Poco antes del amanecer, Venus reaparece en el horizonte oriental, aún entre los rayos deslumbrantes del Sol del alba vuelve a verse en la región del Negro y del Rojo. Es el Señor de la Aurora, Tlahuizcalpantecuhtli, de nuevo visible después de su desaparición en la conjunción inferior con el Sol.

Las suaves pendientes de la pirámide de la Luna parecen adquirir movimiento bajo la luz del amanecer. La sombra de la pirámide del Sol, se extiende por la Ciudad de los Dioses, señalando hacia distintos palacios en distintas fechas del año. En agosto de 1983, el día del ortohelíaco de Venus, se dirigía hacia Yayahuala y Zacuala. Quizá exista una relación entre fechas de eventos de Venus y la distribución espacial de los edificios dentro del centro ceremonial. Las figuras 1 y 2 muestran algunos de los instantes de estas observaciones astronómicas en Teotihuacán.

Observada desde su base, la línea de visual que asciende por la escalinata de la pirámide del Sol, se continúa en el Ecuador Celeste, indicado por la estrella delta Orionis, la estrella superior del Cinto de Orión, que es actualmente casi ecuatorial.

Esta primera observación astronómica, sugirió observar al Sol en los equinoccios, cuando se encuentra en el Ecuador Celeste.

En los equinoccios, el Sol surge desde el centro de la parte superior de su pirámide (figuras 4a y 4b). Su luz, en un haz discreto, ilumina solamente la escalinata por la que desciende. Traza el glifo del Tiempo; es el Tiempo hecho de luz que desciende a la Tierra.     

Este delicado espectáculo no habla sido descrito antes. Las configuraciones de astros y construcciones en fechas de gran importancia dibujan glifos con elementos de luz y de detalles arquitectónicos. Constituyen un lenguaje jeroglífico efímero, periódico y predecible. Son un discurso comprensible, que puede ser contemplado desde los majestuosos espacios abiertos.   

Observadas desde la distancia, las estrellas más brillantes del cielo del final del otoño, parecen surgir todas desde la Pirámide del Sol: Capella, alfa Tauri, las Pléyades, las Híadas, Orión, los Gemelos, el Can Menor, Sirio, Canopus. Estas estrellas, de acuerdo a la evidencia etnoastronómica, forman el Gran Hexágono que todavía dicta el trazo de las plantas habitacionales en algunas regiones de Colombia. La estrella superior del Cinta, delta Orionis, está en el centro de este grupo estelar tan notable. Al final de esta era, ha llegado a pocos minutos del Ecuador Celeste, debido al movimiento de procesión del eje terrestre (figura 5a). Se calculó su posición para el principio de la era. Hacia el año –3113, correlacionado con la Fecha inicial Maya, delta Orionis surgía 17°.35 al sur del este, en dirección de la orientación peculiar de uno de los ejes de Teotihuacán.

La Espada y el Cinto de Orión habían sido identificados con la constelación indígena Mamalhuaztli, el Taladrador del Fuego. Las imágenes de esta constelación indígena y la de Orión, surgiendo de las pirámides de Quetzalcóatl y del Sol en Teotihuacán confirman observacionalmente su identificación.

El Taladrador del Fuego tenía su propio cielo en el Códice Vaticano A. Su diseño en el Códice Florentino, en la figura 5b, es el de los maderos que servían para encender el fuego; este dibujo se grababa en el puño de los difuntos como protección en el viaje hacia la muerte. Las estrellas que formaban Mamalhuaztli, aparecieron en el espejo que portaba un ave, en uno de los presagios que a Moctezuma II le anunciaron la destrucción de su imperio. Esta imagen se representa en la figura 5c.

El Taladrador del Fuego, y las estrellas que hoy surgen del centro constituido por la pirámide del Sol, al inicio de la era, hace 5100 años surgían de otro centro, el de la dirección en el horizonte hacia la que está orientado el eje menor de la traza urbanística de Teotihuacán, traza que es rectora de la de tantas ciudades antiguas del territorio mesoamericano (figura 6).

Debido a los efectos del movimiento de precesión del eje terrestre, el Taladrador del Fuego durante la era cronológica, ha cambiado su posición con respecto al horizonte, desde la dirección de la orientación de Teotihuacán, hasta el Ecuador.

Se acepta que la era cronológica actual, tiene una duración de 5200 años de 360 días (5125.366 años trópicos). Esta era se inició, según la correlación más aceptada, el 12 de agosto del año 3113 antes de nuestra era (contando el año cero), la era terminará en el Solsticio de Invierno del próximo año 2012. Ésta es la 5a. era, postulando que las cuatro eras cronológicas anteriores hayan tenido la misma duración; en total las 5 eras representan 26000 años (de 360 días). Esta es, en primera aproximación, la duración del movimiento de precesión del eje terrestre.

Al final de la era en la que vivimos, que es la última quinta parte de una precesión, la estrella delta Orionis, roza el Ecuador Celeste, (figura 5a). El Cinto de Orión no cruza el Ecuador hacia el norte, el corrimiento debido a la precesión, lo lleva desde el Ecuador hasta 248°.5 y de nuevo al Ecuador, el Taladrador del Fuego pertenece al Hemisferio Sur Celeste. Actualmente, al final de las cinco eras, marca el final de un giro del eje terrestre al llegar al Ecuador. Como si fuera una procesión acotada, con principio y fin, de un lapso que dura casi 26000 años.

En un proyector de Planetario actual, es precisamente delta Orionis la estrella con la que se fija el movimiento de precesión.¹

Se han discutido aquí las relaciones astronómicas encontradas entre la orientación de Teotihuacán, las posiciones del Taladrador del Fuego, el inicio y el final de las eras cronológicas y la precesión del eje de la Tierra. Aún no es posible establecer sus implicaciones. Se acepta que Teotihuacán se construyó hacia el siglo II d. C., época en la que las Pléyades se ocultaban en la dirección de la orientación de Teotihuacán.

Se ha observado, desde la pirámide del Sol, que el Sol surge en esa dirección el 8 de febrero. De acuerdo con un estudio etnográfico, todavía en 1966 se iniciaba el año el 8 de febrero entre algunos grupos mayas.

Es muy interesante subrayar que la posición del Sol el 8 de febrero del calendario actual (gregoriano) corresponde a la del 28 de enero del calendario juliano, en la época del último Fuego Nuevo histórico. Sahagún refiere que el año de 360 días terminaba el 27 de enero (del calendario juliano). Lo seguían los cinco días aciagos, nemontemi, del 28 de enero al 1o. de febrero. El año antes de la conquista se iniciaba el 2 de febrero del calendario juliano, que es el 12 de febrero actual.

El Sol surge en Teotihuacán, al inicio de los días nemontemi, en la dirección de la orientación de esta ciudad. Venus surgió de esa misma dirección la noche de la celebración del último Fuego Nuevo en 1507.

La Calzada de los Muertos es el eje principal de la traza urbanística de Teotihuacán, la dirección perpendicular a ella en los horizontes oriental y occidental, es la que se ha discutido aquí.

Sahagún recogió de sus informantes la descripción de cinco constelaciones indígenas. El gran cronista, da el dibujo y la identificación precisa de las Pléyades; Tianquitli en su nombre en náhuatl, Tzab en maya y lacandón. Se tomaba por cierta la identificación de otra de las constelaciones, el Citlalcólotl, con el Escorpión y se desconocían las estrellas que formaban el Citlalxonecuilli y el Citlaltlachtli.

El llevar a cabo estas observaciones astronómicas, ha permitido proponer la identificación en el cielo de dos de los dibujos indígenas de estas constelaciones.

A principios de febrero de 1985, desde la Ciudadela, las estrellas más brillantes de Auriga, β Tauri, ɛ y β Perseus dibujaban en el cielo noroeste, un espléndido diseño estelar del Cetro de Quetzalcóatl. Este trazo celeste es también el dibujo de la constelación Citlalxonecuilli. Se muestran en las figuras 7a, 7b y 7c. Ambos glifos están hechos de estrellas en el cielo y en la iconografía. La deidad porta como cetro la constelación Citlalxonecuilli.

Sahagún describe el atavío de Quetzalcóatl: “…en la mano derecha tenía un cetro a manera de báculo de obispo: en lo alto era enroscado como báculo; parecía por donde se tenía como empuñadura de espada”… (figura 7b, tomada de la lámina 2p 378; VII de los Primeros Memoriales). Y en las páginas 31-32 del Libro XII, lo describe también al mencionar los presentes que el emperador envió al conquistador: “…otros ornamentos que llevaban, eran del mismo Quetzalcóatl… un báculo labrado de mosaico de turquesas, y en la vuelta de arriba puestas unas piedras ricas o perlas eminentes…” Los presentes aparecen en la lámina 5 p. 226; entre ellos pudiera distinguirse el Cetro de Quetzalcóatl; enviado porque según su cálculo (de Moctezuma) ya era llegada la época de su vuelta. Moctezuma II era Tezcatlipoca, al enviarle al conquistador el atavío mismo de Quetzalcóatl, le estaba otorgando simbólicamente la más alta investidura “mesoamericana (figura 8).

Seler describe los detalles del traje de Quetzalcóatl, habla del báculo en la mano de la deidad, enroscado en uno de sus extremos y pintado “con pintura de estrellas”, Cicitlallo, es decir, con círculos blancos sobre fondo negro, como aparece en el Códice Magliabecchi (figura 9).

En el Códice Borbónico, y en muchos otros códices, aparece en profusión el Cetro de Quetzalcóatl; hecho de estrellas, con la forma del Citlalxonecuilli.

Sahagún describe la constelación: “…Píntanla a manera de una S, revueltas 7 estrellas; que están por sí apartadas de las otras y que son resplandecientes…” (figura 7a).  

En el cielo, la voluta del Cetro y del Citlalxonecuilli, está formada por Capella, β, ι, ο, η, ɛ Auriga y b Tauri. La empuñadura, por ɛ y β Perseo, Algol, la estrella demonio de los árabes. Se muestran en la figura 7c. La importancia de Capella, alfa Auriga, ha sido ya demostrada: el edificio J de Montealbán, fue orientado hacia el punto del horizonte en el cual surgía Capella en la época en que fue construido, 250 años antes de nuestra era.

Al estudiar la iconografía, sorprende la semejanza entre el dibujo de la constelación Citlalxonecuilli en el Códice Florentino y la estilización de la nariz de Chac, omnipresente en el área maya (figura 10).

Ambos tienen la misma forma y están diseñados los dos por estrellas. ¿Podría pensarse que esta constelación es un atributo de ambas deidades?

En el Códice Borbónico aparecen Quetzalcóatl y Tezcatlipoca como rivales en el Juego de Pelota divino. La constelación que llamamos Osa Mayor, se identificaba con Tezcatlipoca, el dios del fuego. Porta en los códices, como cetro, el Tlachialoni,2 “…el instrumento para mirar”. Tezcatlipoca, la Osa Mayor, pertenece al norte, ya que fue arrojado fuera del cielo y por eso no está en la Vía Láctea.

La constelación que porta Quetzalcóatl como cetro, dibujada por estrellas en el cielo, ya es visible en las madrugadas de agosto; este grande y hermoso diseño estelar, el Citlalxonecuilli-Cetro, domina cada vez más el cielo durante el otoño y el invierno, ya que culmina a principios de diciembre. Sin embargo en esta época el triunfador es Quetzalcóatl. Empieza a declinar en abril y desaparece en mayo.

La Osa Mayor Tezcatlipoca empezará a verse ya completa en febrero y permanecerá dominando el cielo hasta julio. Esta sucesión interminable, parecería estar representada en una página del Códice Borgia: en un camino sin fin ni principio, Quetzalcóatl y Tezcatlipoca van siempre uno siguiendo al otro, ninguno es vencedor definitivo, ninguno pierde definitivamente.

Temprano, en los amaneceres cercanos al equinoccio de primavera y hasta los atardeceres cercanos, al inicio del otoño, la constelación Citlalcólotl aparece dibujada espléndidamente en el cielo del sur.

En el dibujo de la constelación indígena Citlalcólotl que aparece en el Códice Florentino, la constelación del Escorpión que conocemos, formaría sólo su mitad derecha. En el cielo, las estrellas del Sagitario completan la otra mitad del trazo, que le fue comunicado a Sahagún. Se muestra en la figura 11.

Es muy impresionante observar en el cielo estos diseños: Mamalhuaztli el Taladrador, claramente distinguible en la región central de Orión, conteniendo en la espada a la Gran Nebulosa, que todavía hoy marca el sitio del cielo donde el Taladrador del Fuego enseñó a los hombres a encenderlo, con esos dos maderos celestes.

En las noches de luna llena, solamente se ven las estrellas más brillantes; las que forman la constelación Citlalxonecuilli destacan hermosamente, trazando en el cielo el dibujo del Cetro de Quetzalcóatl. La deidad más importante de la civilización mesoamericana, porta en los códices una constelación como emblema, haciendo evidente una vez más la importancia de la Astronomía en la América Antigua.

Antes de que surjan las Pléyades tras las pirámides o atrás de las crestas de montañas como el Tepozteco, un resplandor azul las anuncia. Así debe haber ocurrido durante la noche de la última ceremonia del histórico Fuego Nuevo, celebrada en noviembre de 1507. La ceremonia del Fuego Nuevo era el bautismo del ciclo de 52 años.

En Mesoamérica las divisiones del tiempo en siglos de 52 y 104 años, fueron estructuradas a partir de las combinaciones de los valores del calendario sagrado de 260 días, el del año y el del periodo sinódico de Venus. No se había establecido la fase de Venus relacionada con el inicio de los otros dos periodos. En este trabajo se estableció que las configuraciones de Venus y las fases de la Luna durante 1505, 1506 y 1507, los años relacionados con el último Fuego Nuevo, fueron semejantes a sus apariencias en el cielo en 1983, 1984 y 1985 (figuras 12ª y 12b).   

En esta investigación se planteó observar durante 8 años las configuraciones de Venus, para establecer, por medio de observaciones, algunas de las razones a las que pudieran deberse las discrepancias que existen entre los valores de las divisiones del periodo sinódico de Venus, en los Códices de Dresde y Borgia.    

Los intervalos durante los que Venus aparece como estrella de la mañana, o como lucero vespertino y sus desapariciones inferior y superior alrededor de sus conjunciones con el Sol, observados desde Teotihuacán, son más semejantes a los que aparecen registrados en el Códice Borgia.    

Los valores de estas divisiones en el Códice de Dresde, son menos reales que las apariencias del planeta en el cielo. El número de días que duran, ajusta más a 73, 243, 251 y 260, que son números característicamente mesoamericanos.

Durante 1990 las apariencias de Venus en el cielo han sido las mismas que fueron registradas en Bonampak. En los dinteles de las habitaciones 1 y 2, se encuentran las fechas de conjunción inferior y orto helíaco de Venus, ocurridas el 17 y 21 de enero del año 735 d. C. Este año ocurrieron el 18 y el 21 de enero y a fines de noviembre próximo, ocurrirá la misma posición de Venus que está registrada en el Petén en los sitios Aguateca y Dos Pozos, en Guatemala (también correspondiente al año 735 d. C.).

Estas configuraciones de Venus y el Sol, son las mismas que ocurrieron en 1982; para establecer estas posiciones antiguas puede utilizarse también la conmensurabilidad indígena, implícita en la página 24 del Códice de Dresde.

Por una coincidencia, las fases de Venus que observó Galileo cuando por primera vez dirigió el telescopio hacia el cielo, son esas posiciones del planeta que quedaron en Bonampak, en los frescos de la selva.

Al revisar registros históricos con el propósito de hallar observaciones similares, se encuentra que en el siglo XIX, el astrónomo Von Zach, predijo que Venus se vería como lucero vespertino y al amanecer del siguiente día, como lucero matutino, y reportó a su vez que Tycho Brahe en 1587, presenció también esa misma configuración (figura 13).

Esta geometría tan notable debió ocurrir en marzo de 1507, asociada con el año de la celebración del Fuego Nuevo.

Todos los resultados que se han discutido en este trabajo, permiten considerar que la realización de estas observaciones es una herramienta arqueoastronómica poderosa.

AGRADECIMIENTOS

El Instituto Nacional de Antropología e Historia autorizó la realización de las observaciones astronómicas desde los sitios arqueológicos así como la publicación de los materiales obtenidos. El Consejo de Arqueólogos de dicho Instituto, aprobó este proyecto. La autora agradece al INAH y al personal que trabaja en la Zona Arqueológica de Teotihuacán por su apoyo para esta investigación.

 Refrerencias Bibliográficas

1 Parte de esta investigación se ha realizado también en el Planetario Luis E. Erro, del Instituto Politécnico Nacional.
2 Algunos de los detectores importantes que se han diseñado en el Instituto de Astronomía se llaman Tlachiloni, por decisión de sus constructores y sugerencia de esta autora.

Lucrecia Maupomé
Instituto de Astronomía, UNAM.

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Plantas en la medicina alopática

El uso de plantas en la medicina alopática moderna es más frecuente de lo que comúnmente se cree, pues el hecho de transformar los compuestos vegetales o de simplemente extraer los principios activos útiles y después envasarlos y patentarlos con nombres farmacéuticos, oculta totalmente su origen. Para constatar lo dicho ejemplificamos algunos usos de plantas mencionadas en la farmacopea comercial autorizada en México. Debe considerarse que los usos señalados no parten totalmente de las plantas, ni del contenido de las mismas en el estado en que las conocemos; en síntesis, no debe usarse esta información como recetas de automedicación pues podría peligrar su salud.

1. La piña común (Ananas comosus) sirve como antiinflamatorio.

2. Las dioscoreas sirven para la formación de hormonas humanas y de animales.

3. Vinca minor (una planta vista frecuentemente en muchos jardines) como oxigenador cerebral.

4. Valeriana sp. (especie silvestre de bosques templados) como neurosedante hipnótico en niños y ancianos.

5. Ginkgo biloba como vasodilatador periférico y cerebral. Es interesante señalar que esta planta tiene origen asiático (se encontró en jardines de los emperadores orientales), aunque el registro fósil señala una distribución norteamericana y europea en épocas geológicas pasadas, tan remotas que se le considera un “fósil viviente” (pancrónico) por lo que ha recibido atenciones especiales en algunos jardines de la ciudad de México.

6. La quinina (planta sudamericana) se usa como antimalárico muy importante en zonas tropicales.

7. Drosera rotundifolia, Pinguicola vulgaris (plantas insectívoras) y Thymus serphyllum para la tos de los fumadores, tosferina, bronquitis y tos espasmódica.

8. Arándano (Vaccinum myrtillus) como antivaricoso y antihemorroidal.

9. Sabal serrulata, Urtica dioica (ortiga) y Populus tremula (álamo temblón), para la incontinencia urinaria y algunos problemas de la próstata en la vejez.

10. Plantago sp. (especie común en muchas banquetas de la ciudad de México) como laxante mecánico y antiflatulento.

11. Pygeum africanum (de origen obvio) en trastornos miccionales propios de adenoma prostático.

12. Cáscara sagrada y riubarbo para efectuar drenaje biliar.

13. Castaño de las Indias en várices y hemorroides.

14. Belladona como regulador del sistema neurovegetativo.

Valgan estos ejemplos para que apreciemos a las plantas de las banquetas, jardines, bosques y selvas, y las diferenciemos de las hierbas latosas, leña y adornos.

INTRODUCCION

Vivimos en un mundo en que los conceptos matemáticos y sus generalizaciones ocupan un sitio de privilegio. La descripción y el entendimiento de los fenómenos naturales y sociales recurren en forma creciente a las matemáticas, a sus técnicas y a sus formas de conceptualizar. El camino no es nuevo, nace con las antiguas civilizaciones, y ya en la Grecia de los clásicos era transitado por insignes y experimentados pensadores. Platón, durante una exposición que sembró polémicas entre sus contemporáneos, discutió su visión de un Universo organizado sobre la base de principios matemáticos. Una interpretación moderna de esa idea —debida a F. Browder— podría iniciar contemplando a las matemáticas como “la ciencia de la forma significante… la forma última transparente de todo conocimiento humano”.¹ Algo similar fue expresado por el matemático y filósofo A. N. Whitehead: “la noción de que la existencia de una norma o patrón es algo importante es muy antigua. Todo arte descansa en el estudio de los patrones. La cohesión de los sistemas sociales depende de la continuidad de los patrones de comportamiento. De ahí que buscar patrones que provean de unidad a los eventos naturales y descubrir la estabilidad de tales patrones, así como sus posibles modificaciones, es la condición necesaria para la realización de lo excelso. Las matemáticas son la herramienta más poderosa para el entendimiento de patrones y el análisis de sus relaciones".²

El desarrollo de la matemática ha sido multifacético, y de vez en vez ha contribuido a revolucionar nuestras formas de concebir lo que significa entender y conocer. Una de las revoluciones más profundas en el pensar surgió de las aportaciones de Newton y Leibniz. Su cálculo diferencial e integral permitió una descripción detallada de una amplia gama de fenómenos naturales, desde los movimientos planetarios hasta la estructura del átomo. Sin embargo su rango de aplicabilidad se limita a problemas que involucran un comportamiento “suave” o, dicho de otra manera, cambios en una(s) variable(s) produciendo cambios “equiparables —llamados continuos por los matemáticos.

La realidad —sin atender a nuestra comunidad— con frecuencia se aparta de las consideraciones anteriores y nos presenta serias dificultades: si los sistemas en cuestión sufren cambios bruscos o “discontinuidades”, el aparato matemático que se origina en el cálculo se enfrenta a obstáculos insalvables para su aplicación exitosa. Paradójicamente este tipo de problemas ha atraído en los últimos años a muchos de los, grandes matemáticos, quienes han aceptado el reto que surge de intentar analizar los fenómenos que se resisten a ser descritos por el cálculo clásico. Estos fenómenos abundan, algunos han sido “identificados” en términos del lenguaje de la ciencia moderna —ondas de choque, transiciones de fase, rompimiento de estructuras sujetas a esfuerzos— y otros nos han llegado desde los tiempos clásicos, como por ejemplo, la turbulencia y el nacimiento de las formas, tanto en los seres vivos como en el mundo de lo inanimado.

En un intento de explicar —y en lo posible de clasificar— directamente los tipos de procesos discontinuos que pueden aparecer, el matemático francés René Thom desarrolló a principios de los setentas una teoría cuyo rasgo más sobresaliente es la conclusión de que las relaciones matemáticas que describen este tipo de procesos pertenecen a sólo siete tipos básicos distintos de comportamiento. Con el objeto de enfatizar el carácter “instantáneo” de los cambios Thom les llamó catástrofes y, por consiguiente, el aparato matemático que las estudia fue bautizado con el atractivo nombre de Teoría de Catástrofes.

PERFIL DE LA TEORIA DE CATASTROFES

La Teoría de Catástrofes (TC) tiene su aplicación inmediata en los sistemas cuya descripción matemática corresponde, si hacemos una analogía con la mecánica, a un sistema con un alto grado de fricción, y que obedece a la Ley de Aristóteles (velocidad es proporcional a la fuerza), en lugar de a la conocida Segunda Ley de Newton (aceleración es proporcional a la fuerza). El comportamiento del sistema se puede considerar determinado por una función de energía E —que no necesariamente es la energía física del sistema— que nos indica que el sistema tiende rápidamente a un estado estacionario o a uno de equilibrio.

Esta situación perfila uno de los elementos que contribuyen al atractivo de la TC, a saber, su estrecho apego a lo visual, a la posibilidad de mostrar gráficamente las características de los sistemas o procesos bajo estudio. Esto resulta evidente si, por ejemplo, suponemos que el estado en que se encuentra un sistema puede ser descrito por una variable x, y que además conocemos el comportamiento de la función E en cuanto a su dependencia respecto de x. Una posible gráfica sería la siguiente:

Entra figura

Los puntos de equilibrio corresponden a los puntos donde la tangente es horizontal y podemos distinguir tres tipos de puntos: x₁, x₃ y x₅, puntos donde E es un máximo y corresponden a estados de equilibrio inestable; en x₅ hay un punto de inflexión (cambia de concavidad la gráfica) y x₂, x₄, donde E es mínima, y son los estados de equilibrio estable. Estos últimos se consideran los más interesantes pues, como su nombre lo indica, son los estados del sistema a los cuales éste regresa si es perturbado ligeramente. La mejor forma de ilustrar estas ideas y las que son propias de la TC, es observando cómo se utilizan en un ejemplo sencillo en cuanto a su funcionamiento, pero rico en lo que concierne al manejo del aparato conceptual de la TC. A lo largo del desarrollo que sigue se hace evidente la capacidad de la información cualitativa —que se aprecia visualmente en las gráficas y los diagramas— para lograr un entendimiento de las características del proceso bajo estudio.

UN EJEMPLO ELEMENTAL

Para entender cómo fuerzas continuas pueden producir saltos catastróficos E. C. Zceman diseñó un juguete educativo que es muy fácil de construir e ilustra este fenómeno en el caso de la catástrofe denominada cúspide.^{3, 4}

El procedimiento más sencillo para construirlo es tomar dos ligas elásticas casi iguales. La longitud de las ligas sin elongar será la unidad. Cortamos un disco de cartón cuyo diámetro es una unidad y le colocamos una tachuela en el punto Q cerca de la circunferencia, como se indica en la figura 1. Montamos el disco, con la tachuela hacia arriba, en una base de madera y lo fijamos, en el centro de la base, con un clavo colocado en el centro del círculo O. Amarramos las ligas en la tachuela, punto Q, y una de ellas la fijamos con otro clavo en el punto R de la base a dos unidades del centro O. La otra liga queda libre de un lado; a este punto le llamaremos el punto control c. Por lo tanto, el espacio control C será la superficie de la madera y el “estado” de la máquina estará dado por la posición del disco. Dicha posición estará determinada por el ángulo x = RÔQ. Las posibles posiciones del disco corresponden a los puntos de un círculo llamado el espacio de estados.

Cuando movemos el punto control c suavemente en la superficie de la madera el estado x también cambiará suavemente, excepto en algunos puntos donde se registrará un salto brusco. Si marcamos un punto en la superficie cada vez que observemos un salto, muy pronto nos daremos cuenta que dichos saltos ocurren en una curva que tiene forma de diamante curvo, tal y como se ilustra en la figura 1. Esta curva se conoce como el conjunto de bifurcación B. Sin embargo, algunas veces se ve que c cruza el perímetro sin causar ningún salto. Por ejemplo, si hacemos que c cruce en ambas direcciones por los ángulos rectos de los ejes de simetría de la máquina, entonces sólo saltará en una de las dos direcciones, y estos saltos no ocurren en el mismo lugar, es decir, se observará un salto brusco cuando abandonamos la región B siempre y cuando hubiésemos entrado previamente por el lado opuesto. Finalmente, se puede ver que si c se encuentra fuera del diamante, entonces sólo hay un estado de equilibrio del disco, pero si c se encuentra dentro del diamante, entonces hay dos posiciones estables en las cuales puede permanecer el disco, una con Q inclinada hacia la derecha, y la otra con Q hacia la izquierda. Si tenemos cuidado al mover el punto c podemos encontrar un tercer punto de equilibrio, pero éste es inestable.

Con el objeto de entender mejor la forma como se hace el modelaje matemático, analizaremos este ejemplo con cierto detalle: consideremos para un punto control dada la función f_c:X → R, la cual nos da la energía potencial de la ligas para distintos posibles estados x. Esta energía resulta ser una función suave f: C 3 X → R, donde f(c,x) = f_c (x). Para una c dada la maquina tenderá rápidamente a un estado donde la energía potencial se minimiza, es decir donde f alcanza un mínimo. Para c fuera del conjunto de bifurcación B, fc tiene solamente un mínimo, es decir, un único punto de equilibrio estable, y la posición del disco estará determinada unívocamente. Para puntos dentro de B, fc tiene dos mínimos separados por un máximo (el punto de equilibrio inestable). En cuál de los dos mínimos la máquina decida estar, dependerá de su estado previo.

El máximo y el mínimo de f_c están dados por

Fórmula 01

La gráfica de (entra Fórmula 02) —haciendo variar c en el espacio control C— genera una superficie suavemente doblada M contenida en C 3 X con dobleces que se proyectan sobre B. Para la región de C cercana al punto cúspide A (ver figura I), y para pequeños valores de x, esta región se muestra en la figura 3. La parte superior e inferior de M representan los mínimos de fc dados por (entra Fórmula 03), y la parte intermedia de la sábana representa el máximo de fc dado por (entra Fórmula 04).

Los distintos estados que toma la máquina estarán siempre sobre la superficie M, variando entre la parte superior e inferior de mínimos, pero no apareciendo en la región del máximo (inestable). Esto nos explica el comportamiento de la máquina, ya que si el punto control c lo movemos a lo largo de la línea 1 marcada en el espacio control C (véase figura 3), el estado x cambia suavemente a lo largo de la trayectoria 19 en la superficie M. Pero si c viaja a lo largo de la línea p de izquierda a derecha, entonces x cambia suavemente hasta alcanzar el punto Q₂, donde “saltará” de la sábana inferior a la sábana superior de la superficie, es decir, la máquina “salta” de un estado al otro. Hablando en términos de las gráficas de f_c, es decir, las gráficas de energía, el mínimo se une con el máximo y desaparece; es entonces que el estado salta al mínimo restante, causando así el salto brusco (véase la figura 4).

Si c viaja a lo largo de la línea p, pero ahora en dirección opuesta, x permanecerá en la sábana superior y el salto no ocurrirá hasta llegar al punto Q₁. Por tanto, el estado de la máquina cambiará suavemente con c hasta cruzar el conjunto B por segunda vez. Esto ocasiona que los saltos de la parte superior a la parte inferior de la superficie M, y de la sábana inferior a la superior, no ocurran en el mismo punto. A este hecho se le conoce con el nombre de histéresis (por analogía con el fenómeno físico así denominado).

Regresando a la máquina de catástrofes, y experimentando más, se puede ver que la cúspide frente al punto A tiene un comportamiento similar, pero las otras dos cúspides son duales, en el sentido de que los papeles del máximo y los mínimos están invertidos (figura 1). Es decir, los mínimos son inestables y el máximo representa un punto de equilibrio estable. Las diferencias se pueden observar haciendo pequeños círculos con los puntos control alrededor de cada una de ellas.

LA CATASTROFE CUSPIDE

Una vez detallado el comportamiento observado y la forma de descripción, procedemos a introducir lo que seria una explicación más detallada en cuanto a la parte matemática.

Usando la ley de Hooke obtenemos una ecuación de tipo gradiente para la fuerza, de donde se deriva la ecuación de energía para las ligas. Si calculamos la ecuación que genera la superficie M obtenemos⁴

1.3a + 1.8bx - 1.3ax² - x³ = 0

donde (a,b) son las coordenadas en el espacio de parámetros C, centrado en el origen, tal como se muestra en la figura 3. Esta ecuación es una aproximación, ya que los términos de grado mayor que 3 en x, y mayores que l en a y b, han sido ignorados. De hecho, para escribir la ecuación que mejor describe la superficie M se necesita una serie de Taylor infinita en x. Sin embargo, el teorema de clasificación de Thom^{4, 6, 7} nos dice que M es localmente equivalente a la cúspide canónica, la cual está dada por

a + bx - x³ = 0

Al hablar de equivalencia local estamos pensando que existe un cambio de coordenadas en una vecindad del origen, tal que M está dada precisamente por esta ecuación. Por tanto el teorema de Thom nos dice que podemos reemplazar la serie de Taylor infinita —con la cual resulta difícil trabajar— por una ecuación cúbica.

La figura 3 representa la superficie dada por ésta ecuación. El conjunto de bifurcación B es la proyección sobre un plano perpendicular al eje x de los dobleces de la superficie y nos da la cúspide 27a² = 4b³.     

Si tomamos una sección de la superficie de la cúspide dejando b constante, b > 0, obtenemos la catástrofe llamada doblez (ver figura 5).   

Un hecho importante de estas catástrofes es que ambas son estables, donde por estable se entiende que para pequeñas perturbaciones de la función de energía obtenemos una superficie que es equivalente localmente a la original. 

Para todos debe resultar obvio que cualquiera que sea el proceso descrito, una vez determinada la ecuación para M, y si ésta resulta como en nuestro ejemplo previo, todo lo dicho en la sección anterior sigue siendo válido con sólo “interpretar” el significado de las variables en juego.

Hay que enfatizar que el resultado matemático que permitió la simplificación, sin la cual la TC no tendría la fuerza que posee, es el teorema de clasificación de Thom. Dada su importancia procedemos a explicarlo con más detalle.

EL TEOREMA DE CLASIFICACION DE THOM

Con el fin de establecer un balance entre la sofisticación inherente al teorema y el carácter de divulgación de este escrito daremos únicamente una idea intuitiva del teorema.

Teorema. Dado un espacio de estados n-dimensional, X, un espacio de control, C, de dimensión 2 y f una función genérica suave* definida en X y parametrizada por C. Entonces M, el conjunto de puntos singulares de f (es decir M está definida por (entra Fórmula 05), es una superficie suave contenida en C x X, y las únicas singularidades que aparecen en la proyección de M en C son puntos doblez y cúspides.  

En otras palabras, la figura 3 ilustra las estructuras de M más complicadas que pueden aparecer localmente; globalmente pueden existir varias cúspides.  

La reducción de la dimensión del espacio control C —de dos a uno— implica que el conjunto de puntos singulares de f es una curva cuyas únicas singularidades son dobleces.

El teorema se extiende a espacios control de dimensión mayor. El aumento de la dimensión en el espacio control da lugar a nuevas catástrofes. De hecho, si el espacio control es de dimensión 3 tenemos tres nuevas singularidades, cuyos conjuntos de bifurcación aparecen en la figura 6.   

Si aumentamos la dimensión del espacio control en uno, es decir, que la dimensión de C sea igual a 4, obtenemos dos nuevas singularidades: la catástrofe mariposa y la parabólica Umbílica.⁴ El Teorema de Thom afirma que siempre es posible efectuar un cambio de coordenadas suave y reversible, con la propiedad de que en la vecindad de un punto dado, el sistema presenta uno de los siete tipos posibles de comportamiento mencionados anteriormente. Estas son las llamadas catástrofes elementales.

Uno de los hechos sorprendentes del teorema de clasificación es que admite sólo un número finito de posibilidades, y que el número de puntos singulares es en realidad muy pequeño. Sin embargo, esta clasificación perdería fuerza si estas catástrofes no formaran un conjunto abierto y denso en el espacio de funciones suaves definidas en X, es decir, tenemos la posibilidad de afirmar que casi todas las singularidades son de este tipo.^{4, 7} Las catástrofes elementales poseen otra propiedad fundamental que recibe el nombre de estabilidad estructural. Esto significa, a grosso modo, que la geometría no sufre cambios relevantes al modificar —o perturbar, como diría un experto— ligeramente la función de energía. Este hecho revela su importancia si consideramos que todo fenómeno que ocurra con suficiente regularidad como para ser identificado como tal, debe poseer algún tipo de estabilidad propia ante las pequeñas perturbaciones que ocurren en su medio ambiente.

Una demostración completa del teorema de Thom se puede encontrar en [4]. Para dimensión del espacio control ≥ 5 la clasificación fue extendida considerablemente por Arnold y la escuela Soviética.^{8, 9} Thom se avocó al estudio de estas siete singularidades que corresponden al espacio control de dimensión ≤ 4, ya que estaba especialmente interesado en aplicaciones a la embriología, en la cual C representa el espacio-tiempo.

Antes de pasar a discutir algunas aplicaciones quisiéramos enfatizar que las catástrofes elementales no son solamente importantes por los diversos fenómenos que se han logrado explicar con ellas, sino que la geometría de cada una de ellas es sorprendente e interesante por sí sola.^{4, 7, 13} Es importante recalcar que en muchas aplicaciones la dinámica no está determinada por una ecuación del tipo gradiente, y en estos casos la teoría de catástrofes no nos puede decir mucho, ya que catástrofes no elementales pueden ocurrir. Un ejemplo clásico en este sentido es la bifurcación de Hopf.¹⁰

APLICACIONES

Desde sus inicios la TC hizo un reclamo en cuanto a su aplicabilidad a una gama muy amplia de situaciones y de problemas, todos ellos caracterizados por cambios discontinuos o catastróficos en alguna(s) de su(s) variable(s) conforme se sucedían variaciones suaves en los parámetros que determinaban las características del sistema. El interés que despertó entre los hombres de ciencia dio como resultado la aparición de una gran cantidad de artículos en donde la TC daba cuenta, en forma por demás elegante, de varios problemas que hasta entonces habían sido objeto de estudios con resultados poco satisfactorios en cuanto al esclarecimiento de los mecanismos generales que determinaban la dinámica de los sistemas en cuestión. Las limitaciones propias de este tipo de presentaciones hacen difícil ilustrar en detalle el uso de la TC, razón por la cual, en aras de esbozar el “paisaje”, sólo mencionaremos algunos problemas en donde se hace patente la “belleza” de este enfoque.

La óptica fue una de las primeras ramas de la ciencia que hizo uso de la TC, en particular en el estudio de las “cáusticas”.¹¹ Un ejemplo sencillo de cáustica es la brillante silueta en forma de cúspide que se observa sobre la superficie de una taza de café cuando la luz se refleja en la orilla de la taza e incide en la superficie líquida. Las matemáticas nos dicen que en este caso se presenta la llamada “catástrofe de cúspide”. Los rayos de luz forman en un “espacio fase” adecuado una superficie con un doblez que al ser proyectado en el espacio real resulta en una cúspide. Es posible demostrar que los únicos tipos de cáusticas que pueden presentarse son las correspondientes a las catástrofes. Más aún, el arcoíris, que permaneció tanto tiempo en espera de una descripción adecuada, tiene en la catástrofe de doblez a un modelo del comportamiento de los reflejos de la luz solar en las gotas de lluvia. Otro ejemplo muy interesante en donde la TC juega un papel importante es la estabilidad de estructuras elásticas que se estudian en ingeniería (puentes, pilares, etc.)¹² El comportamiento de este tipo de estructuras es modelado en forma aceptable por el hiperbólico umbílico.

Un último ejemplo, y posiblemente de los más ambiciosos en cuanto a riqueza conceptual y posibles consecuencias para el quehacer matemático, es el expuesto por Thom en su libro Stabilité structurelle et morphogénèse (1972).⁶ En esta obra la TC es presentada como una teoría general de la morfogénesis (nacimiento o creación de formas), con la biología ocupando un lugar importante. Dado que presenta “líneas de acción generales, mucho de lo ahí expresado sólo alcanza el nivel de conjetura”, y por ello quedó sujeto a comprobación tanto a nivel experimental como metodológico. La idea principal era modelar procesos morfogenéticos en términos matemáticos, enfatizando los aspectos cualitativos (de ahí el papel clave que juega la topología), y encontrar y clasificar las propiedades generales que dichos modelos deberían poseer. El crecimiento de un organismo era contemplado como una serie de cambios graduales provocados por cambios catastróficos en los procesos bioquímicos del sistema. Los cambios suaves a su vez podrían ser la causa de la aparición de otras catástrofes y así sucesivamente. Los procesos así tratados de ésta se consideraban vinculados a alteraciones —en otras escalas de tamaño— de las formas de los organismos. Estas ideas fueron tomadas posteriormente por E. C. Zeeman,¹⁴ quien las utilizó en la descripción de un embrión de anfibio. Aquí cabe recordar que sin importar lo bello que una teoría pueda parecemos, su utilidad esta fuertemente asociada a su verificación experimental. En dichos términos las ideas de Thom han superado la prueba, y desde la década de los años setenta, proliferaron las aplicaciones de la TC en otras ramas del conocimiento tales como astronomía,¹¹ mecánica de fluidos,^{11, 12}  fenómenos críticos,¹¹ psicología,^{4, 11} lingüística,¹⁵ además de en las ciencias sociales: economía, sociología e historia.^{11, 25}

CONCLUSIÓN

La Teoría de Catástrofes es con todo rigor una rama de las matemáticas. Plenamente establecida, es una parte de la teoría de singularidades. Su campo de acción nace con el cálculo y continuará creciendo en tanto el estilo de hacer ciencia —el marco conceptual en que se sitúa— siga siendo el de la ciencia actual. Pocas ramas de la matemática en las últimas décadas han generado el entusiasmo que la TC produjo en los años recientes. Entendida adecuadamente la TC aporta nuevos puntos de vista y manera de revelar los elementos esenciales en el desarrollo de ciertos procesos naturales, sociales o del intelecto. Sin embargo, a final de cuentas la TC decepcionó a mucha gente.¹⁶ Los críticos decían: “los modelos de la TC son simplemente ‘descripciones’ y no aportan nada nuevo en cuanto a explicación del fenómeno”. En el caso de los procesos embriológicos estudiados por Thom se decía que lo conducente era recurrir a modelos basados en la biología molecular, es decir, había que remitir la explicación a los elementos físicos básicos que conforman el sistema. Sólo con base en ellos se puede hablar de una explicación. De estos argumentos queda claro que lo que está en juego es algo relacionado con la distinción entre modelos descriptivos y modelos explicativos. Los puntos finos de este debate poseen un grado de sofisticación que rebasa las intenciones de esta presentación. Aun así cabe hacer algunas consideraciones. ¿Cuáles son los criterios que permiten calificar a un modelo como poseedor de un mayor poder de explicación que otro? ¿Podríamos considerar a la Ley de Gravitación Universal como un modelo descriptivo? Ciertamente no explica todo en tanto que no señala cuál es el mecanismo concreto que permite se genere la interacción entre dos cuerpos separados por una distancia finita (el mismo Newton se rehusó a discutir esta cuestión al declarar Hypotheses non fingo). Y sin embargo sería absurdo negar que la ley de Newton es uno de los más fantásticos éxitos del pensamiento a lo largo de la historia. Permite englobar una gran cantidad de hechos empíricos a la vez que ofrece la oportunidad de someter a una sola ley fenómenos aparentemente no relacionados (el movimiento planetario, las mareas, la caída de los cuerpos a la superficie terrestre). Queda la duda entonces de qué es lo que debemos considerar como una explicación. Thom ha señalado que una posible, respuesta debería apuntar a considerar como explicativo a todo cuerpo teórico que permita un decremento en la arbitrariedad de la descripción de un conjunto de datos empíricos. Desde este punto de vista no se tiene una explicación a menos que el modelo asocie el fenómeno, analógica o formalmente, a situaciones de mayor generalidad. Una teoría que reuniera esta característica sería a la vez una generadora de modelos. Qué tanto responde la TC a estas características está aún a discusión, y pudiera ser que solo el paso del tiempo y nuevos avances o cambios en las formas de discurrir y entender podrán dilucidar la cuestión.¹⁷ Que así pudiera suceder no es tan inusitado como podría parecer. Una y otra vez teorías que habían sido descartadas han vuelto a resurgir, y aunque la dinámica de este acontecer es muy compleja, podemos citar dos ejemplos de teorías que no hace más de tres años cobraron notoria popularidad, la primera por sus implicaciones científicas y tecnológicas y la segunda por su capacidad de ampliar nuestro poder descriptivo: la superconductividad, con la obtención de materiales superconductores a temperaturas cada vez más cercanas a que tengan un uso práctico, y la teoría de fractales, que aborda el estudio de objetos de geometría tan extravagantes como la de los copos de nieve vistas al microscopio o de las caprichosas formas que adoptan las nubes. Y sin embargo, en algún momento en el pasado, ambas disciplinas parecieron agotadas en cuanto a su objeto de estudio.

 Refrerencias Bibliográficas

1 Browder, F. E., y S. Maclane, 1978, The Relevance of Mathematics, Mathematics Today, ed. Lynn A. Steen, Springer-Verlag, N.Y.
2 Whitehead Alfred North, 1956, Mathematics as an element in the history of thought, The World of Mathematics, ed. J. R. Newman, vol. 1, Simon and Shuster, N.Y.
3 Zeeman, E. C., 1982, A Catastrophe machine, Towards a theoretical biology 4, ed. C. H. Waddington, 276-282.
4 Zeeman, E. C., 1977, Catastrophe Theory, Reading, Mass: Addison-Wesley (Colección de artículos de Zeeman).
5 Saunders, P. T., 1980, An introduction to Catastrophe Theory, Cambridge University Press.
6 Thom, R., 1975, Structural Stability and Morphogenesis, W. A. Benjamin, Inc.
7 Brocker, Th., 1975, Differentiable Germs and Catastrophes, Cambridge University Press.
8 Arnold, V. I., 1974, Critical points of smooth functions, Proc. Int. Cong. Math., Vancouver 19-39.
9 Arnold, V. I., 1975, Critical points of smooth functions and their normal forms, Russian Math. Surveys 30, 1-75.
10 Marsden, J. E., y M. MacCracken, 1976, The Hopf Bifurcation and its applications, N.Y. Springer-Verlag.
11 Poston, T., & I. Stewart, 1978, Catastrophe theory and its applications, Pitman, London.
12 Gilmore, R., 1981, Catastraphe theory for scientisns and engineers, Wiley-Interscience.
13 Woodcock, A. E. R., & T., Poston, 1973, A geometrical study of the elementary catastrophes, Lectures notes in Math., Springer-Verlag 373.
14 Zeeman, E. C., 1974, Primary and Secondary Waves in Developmental Biology, Lectures on Mathematics in Life Sciences, Vol.7, A.M.S.
15 1975, Stewart I., The Seven Elementary Catastrophes, New Scientist.
16 Tonietti, 1983, T. Catastrofi, una controversia scientifica, ed. Dedalo.
17 Thom, R., 1984, Matemática y Teorización Científica, en: Pensar la Matemática, varios autores, Tusquets Editores, España.  

* Suave quiere decir que la función tiene derivadas de todos los órdenes. Genérica significa que si f_c es la función correspondiente al punto control c, para cualquier punto c' suficientemente cercano a c, la función correspondiente f_c' es de la misma forma que f_c, es decir, las funciones son equivalentes.

Radmila Bulajich y Rafael Martínez Enríquez
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias de la UNAM.

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