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| Oliver Texta Mongoy |
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De acuerdo con el material de apoyo didáctico proporcionado
a los profesores de matemáticas en México durante la anterior reforma a la educación secundaria, ocurrida en 1993, denominado Libro para el maestro, se establece que los orígenes y desarrollo de la geometría están distribuidos paulatinamente de la siguiente manera: “geometría espontánea”, “geometría empírica”, “geometría deductiva” y “geometría axiomática”, etapas que muestran el avance sistemático y ordenado que vivió la geometría básica en cuanto a su desarrollo, de acuerdo con el material referido. Tomo estas referencias como orientación para ilustrar el desarrollo de dicha área de estudio en la educación secundaria y como antecedentes históricos de la misma, esto es, el origen y el desarrollo que la geometría sufrió como rama de las matemáticas para conseguir su consolidación, así como el análisis de su devenir histórico respecto de su enseñanza y estudio en las últimas cuatro décadas del siglo pasado y la primera década del presente. Este escrito representa parte de los esfuerzos de un trabajo de investigación doctoral de corte teórico heurístico, encaminado hacia el área de formación continua de los profesores de matemáticas en la escuela secundaria mexicana que el autor tiene la inquietud de compartir.
Existen diversas posiciones en las que, con base en distintas investigaciones, sus autores argumentan que las matemáticas surgieron cuando el ser humano, apoyado en su inteligencia, intentó resolver problemas del medio que le rodeaba para satisfacer sus necesidades y que, posteriormente se hicieron matemáticas por placer intelectual. En este tenor, en el denominado Libro para el maestro se clasifica este momento histórico como “geometría espontánea” ya que, de acuerdo con esto, los seres humanos han desarrollado de manera natural gran cantidad de conocimientos geométricos mediante la observación y comparación de formas y tamaños.
Sin embargo, el análisis de la obras consultadas sugiere la existencia de dos visiones diferentes sobre los inicios de las matemáticas. La primera no es muy divulgada, tal vez por tener sus orígenes en una cultura no occidental. En ésta se reconoce la procedencia de las matemáticas en la cultura hindú y, aunque las condiciones en las que se iniciaron las matemáticas en esta cultura tuvieron una orientación religiosa como lo marcan los Vedas —libros sagrados del hinduismo—, éstos contienen himnos donde aparecen números de hasta un billón. También se encuentran los Shulba-Sutras, las obras más antiguas que se conocen de la geometría hindú, donde se pueden encontrar reglas exactas para medir y construir lugares de sacrificios y altares de fuego de forma cuadrada, rectangular o circular. El interés de aquellos hombres no estaba centrado en teorizar los procedimientos para la construcción de sus altares en sus diversas formas, pues según se tiene registro sólo querían tener una serie de pasos sencillos que seguir para su construcción.
La segunda, la más difundida en la literatura, es aquella en donde la gestación ocurre en el mundo occidental y reconoce a las culturas desarrolladas en Mesopotamia y Egipto como las protagonistas del surgimiento de los primeros conceptos matemáticos como una respuesta a las necesidades de los individuos en aquel entonces, entre quienes el conteo de los objetos generó el imperativo de una representación simbólica, que más tarde sería el número, al igual que su uso en la medición de las tierras a las orillas del río Nilo. El material antes referido clasifica este momento histórico como el nacimiento de una “geometría empírica”, esto es, una geometría sistemática de naturaleza fuertemente empírica.
Al decaer las civilizaciones egipcia y mesopotámica, gran parte de los conocimientos de la geometría desarrollada por estos pueblos pasó a los griegos. Es un hecho maravilloso que los antiguos griegos no sólo se hayan deleitado con extender el número de resultados matemáticos conocidos, sino que transformaron el conjunto de resultados empíricos recibidos de sus antecesores en una ciencia deductiva, es decir, en una disciplina donde las reglas y leyes geométricas no se inducen de la observación de una multitud de casos particulares, sino que se establecen deductivamente mediante un razonamiento lógico. El Libro para el maestro clasifica a esta etapa como la “geometría deductiva”.
Entre el tiempo que vivió Tales de Mileto y Euclides surgió en la matemática griega la idea de que la geometría podía constituirse como una larga cadena de proposiciones demostradas por deducción, a partir de un número muy reducido de principios o postulados aceptados sin demostración desde el inicio. Los Elementos de Euclides es el ejemplo más importante de un texto de geometría organizado bajo este enfoque axiomático y, aunque la crítica moderna ha encontrado algunos defectos en la estructura lógica del trabajo de Euclides, este texto constituye el intento más antiguo y colosal de aplicación del método axiomático. Según el Libro para el maestro, este momento histórico se identifica como el de la “geometría axiomática”.
Dicha interpretación histórica del desarrollo de la geometría y de la clasificación que se ha hecho de ella en los materiales escolares y oficiales en México nos ilustra la importancia que, sin duda, tiene el estudio de las matemáticas en general y de la geometría en particular, ya que desde los grados iniciales de la educación básica en nuestro país se enseña esta disciplina, quedándonos totalmente claro que los escolares tienen que enfrentarse a múltiples y variadas formas de enseñanza por parte de los profesores.
La enseñanza de la geometría tras la Revolución
En el segundo decenio del siglo xx, México sufre un doble desajuste en su estructura social, uno externo y otro interno: el que proviene de la Primera Guerra Mundial y el otro producido por la Revolución mexicana. Dentro de este marco histórico se aborda, desde la más amplia base popular y como en ninguna otra etapa de su desarrollo, el problema de la reconstrucción nacional; además, con los ingredientes de todas las corrientes revolucionarias se elabora la Constitución Política vigente y se aborda frontalmente el problema de la educación del pueblo mexicano al crearse en 1921, con el propósito de dar carácter nacional a la enseñanza, de acuerdo con la trayectoria de su propia filosofía, la Secretaría de Educación Pública y, en 1925, la escuela secundaria mexicana.
De acuerdo con nuestra historia y con los materiales oficiales, se resumieron los contenidos cruciales en expresiones como la siguiente: “el programa curricular esencial de la educación secundaria debe desarrollarse alrededor de estas cuatro principales cuestiones: cómo conservar la vida, cómo ganarse la vida, cómo formar la familia y cómo gozar de la vida”.
Desde su creación, diez planes y programas de estudio han regido las escuelas secundarias en México; estos se han dado en diversos momentos y periodos: de 1926 a 1931; de 1932 a 1935; de 1936 a 1940; de 1941 a 1944; de 1945 a 1946; de 1947 a 1959; de 1960 a 1974; de 1974 a 1993; de 1993 a 2005 y de 2006 a la fecha. No obstante, en los documentos oficiales de la Secretaría de Educación Pública de 2006, éstos son agrupados en tres grandes periodos: “la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha pasado por tres momentos fundamentales, desde que en México la escuela secundaria existe como tal, independiente de la Escuela Nacional Preparatoria. El primero abarca de 1926 (año en que se publica el primer plan de estudios para secundaria) a 1974; se caracteriza por los esfuerzos centrados en las técnicas para enseñar y en el aprendizaje mediante la repetición mecánica y memorística de múltiples ejercicios. El segundo abarca de 1975 a 1992, durante el cual prominentes matemáticos de varios países apostaron a la idea de hacer modificaciones relevantes a los contenidos: se introduce la teoría de conjuntos y un alto nivel de formalización al abordar los temas, en el marco de un movimiento internacional conocido como ‘La enseñanza de la matemática moderna’. El tercero, desde 1993 hasta 2005, se caracteriza por centrar la atención en el estudio que realiza el alumno con ayuda del maestro, quien analiza y plantea situaciones problemáticas, para que el alumno utilice y haga evolucionar sus conocimientos previos”.
Para efectos de esta investigación se revisaron los cuatro últimos planes reformados: 1960, 1974, 1993 y el vigente, de 2006, por considerarlos como los periodos de mayor evolución de la geometría escolar, lo cual nos permitió tener un panorama general de cómo se han desarrollado los objetivos, contenidos y habilidades, hasta llegar al denominado enfoque por competencias vinculado al estudio de la geometría en la actualidad.
La década de los sesentas
Distintas investigaciones realizadas en México han mostrado el desarrollo de la geometría en el ámbito escolar durante la década de los sesentas; por ejemplo, este periodo se identifica como el momento crucial en la historia de la educación básica mexicana por ser en él cuando se empiezan a distribuir los primeros libros de texto gratuito. El plan y los programas de estudio se estructuran con base en diez materias y diversas áreas de estudio en cada uno de los tres grados, en donde aparecen en forma relevante la aritmética y la geometría como áreas específicas de estudio en la escuela básica.
Otros análisis muestran que el estudio de las matemáticas se da en los tres grados de la escuela secundaria. Asimismo, se tiene como referente mayor que a las principales asignaturas, incluida ésta, se le incrementara una hora por semana para su estudio, de tal forma que, para el caso de primero y segundo grado, se destinaron cuatro horas a la semana para su tratamiento, mientras que al tercero sólo se le dedicaban tres horas. Al mismo tiempo, se le sugería al profesor que el estudio de la geometría estuviese presente en cada uno de los tres grados durante todo el ciclo escolar en forma flexible, es decir, teniendo en cuenta las condiciones y necesidades de los alumnos, a lo cual consideramos que, a partir de dicha reforma, empezaron a canalizarse esfuerzos significativos con el fin de dedicarle mayor tiempo a su estudio y tratamiento.
Según la convergencia de posiciones e ideas de las autoras referidas, la enseñanza de la geometría en aquella época estaba en estrecha relación con la medición, motivo por el cual, entre los temas principales, se destacaban: superficie, línea y punto; conocimiento y trazo de cuerpos geométricos; conocimiento del trazo de líneas rectas, horizontales, verticales, diagonales, inclinadas, paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices y curvas; conocimiento y trazo de circunferencias, círculos y polígonos regulares e irregulares; y conocimiento del sistema métrico decimal para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes mediante el uso de formularios.
Al revisar los temas relacionados con la geometría se constató que hay un mayor número de apartados vinculados con el desarrollo de hábitos, y una menor cantidad de los dedicados al conocimiento de dichos temas. El conocimiento estaba centrado en el reconocimiento de los diferentes elementos geométricos, que serían más tarde los medios para adquirir la habilidad de utilizar correctamente los instrumentos geométricos, los hábitos de la limpieza y el orden. En este plan se identifica una geometría estática ya que, al parecer, era una geometría que no se construía, sino que sólo se adquiría, tal como una serie de productos acabados que toman la forma de datos, descripciones y clasificaciones. Lo anterior como preámbulo a lo que ya se avecinaba y ya estaba sucediendo en varios países, incluido el nuestro (el nuevo enfoque denominado como la enseñanza de la “matemática moderna”), cuyo desarrollo en diversos lugares se estaba dando de manera generalizada, tal como lo muestran los trabajos realizados en esta perspectiva.
A partir de lo ya expuesto, se puede conjeturar que la geometría de esa época se caracterizó por vastos esfuerzos centrados en las técnicas para enseñar y en un aprendizaje marcado por la repetición mecánica de múltiples ejercicios a través del desarrollo de actividades prácticas para el trazo y la construcción, así como la destreza para la medición y el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes a partir de un listado de fórmulas; por lo que el conocimiento se enfocaba sólo en un plano de reconocimientos y ejercitación repetitiva.
Los años setentas
La reforma implementada en esta década, específicamente a partir de 1974, concebida como la de mayor duración y permanencia con que se haya trabajado, presentaba una visión diferente a la de los planes anteriores, ya que se sitúa a esta reforma educativa en el campo de la renovación pedagógica porque tanto los planes y programas como los libros de texto fueron reformados. Se concibió a ésta, según la autora, como: “la concepción de la educación como un proceso personal de descubrimiento y exploración y como asimilación de métodos y lenguajes más que de información”. Esto quedó plasmado en los textos escolares de la época.
En esta reforma, la parte de geometría sólo aparecía en los tres grados de secundaria en la unidad siete, con aproximadamente un mes de tratamiento, tiempo relativamente corto comparado con el que se le dio durante la década anterior. En los planes y programas de estudio de 1974 se establecen siete disciplinas programáticas: español, matemáticas, ciencias naturales, ciencias sociales, educación física, actividades artísticas y actividades tecnológicas. Es importante resaltar que en esta nueva organización las matemáticas ya tienen un espacio único, a diferencia del periodo anterior, cuando sólo era una fracción o un área específica. La asignatura de matemáticas no se refiere solamente a la aritmética y geometría, como en los años sesentas; en la nueva visión de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se incluyen, además, aritmética y geometría, lógica, probabilidad, estadística y variación funcional.
Para lograr el aprendizaje de los temas se planteaban varios tipos de objetivos, que iban de lo general a lo específico, y la meta general de la asignatura de matemáticas, en especial para geometría, era la siguiente: “el alumno apreciará características geométricas básicas de objetos: líneas rectas y curvas, cerradas y no cerradas, superficies planas y curvas y cuerpos. Trazará líneas y polígonos utilizando los instrumentos geométricos. Medirá y calculará: longitudes, áreas y volúmenes. Establecerá las características de la simetría. Conocerá el plano cartesiano y situará puntos en él”.
Como aspecto relevante de esta década, se destacan dos enfoques: la enseñanza de la “matemática moderna” y la “pedagogía por objetivos”. El primero, según Ruiz, se derivó de tres variables, factores o dimensiones: a) la acción de los matemáticos en las universidades; b) la ideología y la filosofía de las matemáticas; y c) el contexto político e histórico de la posguerra. Mientras que en el segundo, con influencia del primero, de acuerdo con los materiales oficiales de la sep de 2006 (Fundamentación Curricular. Matemáticas. Educación Secundaria) se destaca lo siguiente: “este enfoque derivó en programas excesivamente descriptivos de las acciones tanto del profesor como del alumno. Las actividades sugeridas eran conjuntos de pasos que, supuestamente, servían al profesor para guiar la actividad del alumno, sin comprender, ni uno ni otro, el por qué ni el para qué de esos pasos. Los objetivos señalados se quedaban a nivel del discurso, en deseos vagos que no lograban trastocar el estilo docente, que consistía en mostrar definiciones y propiedades sin sentido, o bien en resolver operaciones y problemas frente a los alumnos. Asimismo, es preciso aclarar que la pretensión de los matemáticos de aumentar la calidad de los aprendizajes por la vía formal de enseñar matemáticas mediante la teoría y lógica de conjuntos, no sólo no se logró, sino introdujo un problema adicional debido al poco dominio de la matemática estructural, por parte de los profesores en servicio de ese entonces”.
De acuerdo con lo expuesto, se puede constatar que el planteamiento del trabajo en geometría en esta década se encontraba ya en otro tenor, es decir, se le instaba al alumno al reconocimiento, comparación, clasificación y distinción, entre otros, de algunos elementos geométricos de manera formal, rigurosa y descriptiva que sin duda alguna fracasó y trajo consigo la siguiente reforma implementada.
Los años noventas
Sin duda alguna, en los últimos veinte años un acontecimiento importante en materia educativa al interior del contexto de los inicios de la globalización en México fue la reformulación de los planes y programas de estudio realizada en 1993, en la que se establece en forma específica la obligatoriedad de la escuela secundaria y su incorporación inmediata al sistema de educación básica, la cual constaba, a partir de dicha reforma, de doce grados: tres de preescolar, seis de primaria y tres de secundaria. El plan y programa de estudios de 1993 tuvo como propósito central la estimulación para un aprendizaje permanente por medio del denominado enfoque de “resolución de problemas y el desarrollo de habilidades”; se organizó la enseñanza y el aprendizaje para que los jóvenes adquirieran y desarrollaran diferentes habilidades intelectuales, así como la práctica de valores en su vida personal, en sus relaciones con los demás y como integrantes de la comunidad nacional.
Esta reforma marcó una diferencia importante respecto de la anterior (donde se guiaba paso a paso las acciones de maestros y alumnos), ya que sentó las bases para emprender un nuevo rumbo en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Estas recomendaciones constituyeron la metodología didáctica que comúnmente se conoció como el enfoque de “resolución de problemas”; además, en él se recogían los principales avances en didáctica de las matemáticas que empezaban a desarrollarse en otros países y, al mismo tiempo, dejaban en el olvido el famoso enfoque de la enseñanza de la “matemática moderna” y su fuerte influencia en la reforma de la década de los setentas.
Un logro significativo con esta reforma fue la distribución del tiempo de trabajo propuesto para cada asignatura; se le concedió un mayor número de horas clase a matemáticas con el argumento de que se encontraba entre las principales asignaturas de estudio de la escuela secundaria, diferenciándola de las demás. A partir de dicha reforma, el tratamiento de las matemáticas sería de cinco horas a la semana por cada grado durante todo el ciclo escolar en forma flexible y transversal. En este nuevo plan desaparecen los temas de lógica y los conjuntos, al igual que el énfasis puesto en los planes y programas anteriores con respecto de las propiedades estructurales de los diferentes dominios numéricos, propios del enfoque de la enseñanza de la “matemática moderna”. También se abandona el tratamiento de conjuntos del enfoque estocástico, mientras que los temas de estadística se ubican bajo el nombre de presentación y tratamiento de la información, una de las cinco áreas de estudio que presentaba esta materia. Asimismo, a partir de esta reforma se propone que la geometría se estudie a lo largo de todo el ciclo escolar, en diferentes momentos, durante los tres grados de la escuela secundaria.
Por consiguiente, los programas de estudio en esta reforma marcaron una diferencia importante respecto de los anteriores, ya que sentaron las bases para emprender un nuevo rumbo en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, que vendría a cristalizarse con el desarrollo del “enfoque por competencias” en la primera década del siglo xxi, y en el cual nuestros esfuerzos se encuentran inmersos.
La primera década del siglo XXI
Con la reforma de educación secundaria vigente llevada a cabo en el año de 2006 decaen los enfoques de “resolución de problemas” y “desarrollo por habilidades” implementados en el plan de 1993, que se modifica de acuerdo con las recomendaciones de la Organización y Cooperación para el Desarrollo Económico (ocde) por medio del Programa para Evaluación Internacional de Alumnos (pisa), siguiendo el enfoque de desarrollo de las llamadas competencias matemáticas, entre las que se destacan: la comunicación matemática; la argumentación matemática; el manejo de técnicas y de recursos tecnológicos; y el planteamiento y la resolución de problemas.
Veamos en qué consiste cada una de estas competencias matemáticas: 1) la comunicación matemática, que se comprende como la posibilidad de expresar y representar información matemática contenida en una situación o un fenómeno, así como la de interpretarla; 2) la argumentación matemática, en la cual el profesor debe lograr que sus alumnos asuman la responsabilidad de buscar al menos una manera de resolver cada problema que éste plantea y, junto con ello, crear las condiciones para que, con base en el análisis y el debate matemático, dichos alumnos vean la necesidad de formular argumentos que den sustento al procedimiento o solución empleada; 3) el manejo de técnicas y de recursos tecnológicos, que hace referencia al uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con o sin el apoyo de la tecnología; muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución deficiente; y 4) el planteamiento y la resolución de problemas, que implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones.
En esta reforma de 2006, los contenidos de los planes y programas de estudio (específicamente los dieciocho temas por cada grado) se presentan mediante tres principales ejes temáticos distribuidos cada uno de ellos en cinco bloques durante todo el ciclo escolar: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida; y manejo de la información.
Conclusiones
Como se ha podido constatar, el avance y evolución de la enseñanza de la geometría en nuestro país se ha dado en diversos momentos y periodos, en los cuales se han desplegado múltiples esfuerzos para reforzar su tratamiento y estudio, desde incrementar la cantidad de horas de clase, instaurar un mayor rigor y formalización en su tratamiento y el desarrollo y enfoque por habilidades, hasta llegar a lo que actualmente conocemos bajo el nombre de “enfoque por competencias”, que da cimientos a la actual reforma de educación básica y a la conformación pedagógica y didáctica de los planes y programas de estudio de 2011.
Sin embargo, consideramos que, a pesar de los esfuerzos depositados por reorientar el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en México y tras la aplicación de las respectivas reformas educativas ya mencionadas, aún sigue prevaleciendo una aguda problemática en cuanto a la comprensión y el fortalecimiento de un pensamiento matemático crítico y geométrico en los alumnos, lo cual ha sido evidenciado por los resultados arrojados en las distintas pruebas estandarizadas como la denominada pisa aplicada por la ocde en forma trianual, desde el año 2000 a la fecha, a los alumnos de educación secundaria en nuestro país, así como por los de la prueba anual enlace (Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares) aplicada desde 2006 por nuestro órgano educativo rector, la sep. Ambas han marcado un parámetro de referencia evidente en esta cuestión dentro del área de matemáticas y, más aún, en la enseñanza, aprendizaje y comprensión de la propia geometría.
En suma, podemos concluir que, a pesar de los esfuerzos depositados en las últimas cuatro reformas educativas en México ya mencionadas, aún nos queda mucho trabajo por hacer, aportar, investigar y profundizar en diversos rubros dentro del área de la geometría, como son: su didáctica y tratamiento, el fortalecimiento y análisis de su currícula, el análisis del enfoque mismo por competencias y uno de los aspectos más relevantes en toda esta cuestión, la profesionalización didáctica de los docentes y sus procesos de formación continua y reforzamiento académico en esta área (esto se aborda en mi tesis de doctorado: Propuesta metodológica de formación continua y reforzamiento académico para profesores de secundaria. El tratamiento de la geometría con enfoque dinámico) que, sin duda alguna, incide favorable o desfavorablemente en el gusto, agrado, empatía, dominio y robustecimiento de las matemáticas en los alumnos de las escuelas secundarias de nuestro país.
Para finalizar, desde mi modesta opinión, considero que para el éxito infalible de una reforma educativa integral, cualquiera que ésta sea, pero en este caso la nuestra, no tan sólo se deben depositar los esfuerzos de mejora y reorientación en el ámbito escolar, lo cual tiene que ver con el tratamiento y la enseñanza curricular de la geometría, como ya se mencionó, sino también en los diferentes contextos en los que nuestros alumnos se desenvuelven, es decir, el reforzamiento de los hábitos y valores desde el hogar, que permita fortalecer el trabajo propio realizado por la escuela, así como la profesionalización didáctica de los propios profesores de matemáticas y de las autoridades educativas en general, con el fin de que, en conjunto, hagan de ésta una reforma educativa verdaderamente integral, e incida entonces en la mejora de los resultados de los indicadores presentes en dichas pruebas. No se debe transformar esta reforma en una más de las tantas reformas educativas que en nuestro país se han implementado desde la creación de la Secretaría de Educación Pública, en una reforma superficial que, en lugar de aportar a la solución desde la raíz del problema, sea sólo una intervención sexenal disfrazada y pasajera.
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Referencias Bibliográficas
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Oliver Texta Mongoy
Centro de Maestros No. 1218, Secretaría de Educación Pública.
Oliver Texta Mongoy es licenciado en Educación Secundaria con especialidad en Matemáticas por la Escuela Normal Superior “Justo Sierra” del estado de Guerrero. Estudió Ingeniería en Sistemas Computacionales en la Universidad Hipócrates de Guerrero y es doctor en Ciencias por la Universidad Autónoma de Guerrero. Su línea de investigación es la formación de profesores.
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cómo citar este artículo →
Texta Mongoy, Oliver. 2015. La enseñanza de la geometría en la escuela secundaria mexicana. Ciencias, núm. 115-116, enero-junio, pp. 56-65. [En línea]
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