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| Marin Mersenne, más que un promotor de la ciencia |
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Álvarez José Luis y Posadas Velázquez Yuri
conoce más del autor
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Las generaciones de científicos de las que salieron Galileo, Descartes, Vesalio y
Harvey requerían nuevos foros para intercambiar los descubrimientos de los
individuos y fomentar el enriquecimiento mutuo y la comunicación con científicos
de todo el mundo. Las comunidades científicas se convirtieron en parlamentos
cuyas sesiones se celebraban en las lenguas vernáculas. Las ponencias no
tenían que ser parte de un gran sistema de pensamiento, bastaba que fueran
interesantes, inusuales o novedosas. Los límites de lo ahí presentado quedaban
entre la ciencia y la tecnología, entre lo profesional y lo propio de un aficionado.
De esta nueva forma de intercambio de ideas e información nació un nuevo y más
amplio concepto de la ciencia. Al mismo tiempo, estos parlamentos de científicos
requerían un nuevo tipo de personaje con capacidad para estimular y conciliar. Un
amigo de los grandes y de los ambiciosos, pero que no constituyera un peligro que
compitiera con su fama. Debía tener capacidad para comunicarse con ellos, ya que
en esta época muchos científicos importantes ya no escribían en latín sino en su
lengua materna.
Marin Mersenne, nacido en 1588 y muerto en 1648, fue un ejemplo de este nuevo
hombre de ciencia. Nacido en el seno de una familia trabajadora del noroeste
de Francia, después de estudiar en un colegio de jesuitas y de licenciarse en
teología por la Sorbona ingresó a la recién fundada orden franciscana de los
Mínimos, que era todavía más estricta que las demás en las reglas de humildad,
penitencia y pobreza. Mersenne ingresó al monasterio que los Mínimos tenían
en París y allí, salvo algunas cortas salidas, vivió hasta su muerte. En ese lugar
reunió a algunas de las mentes más brillantes de la época; en las conferencias
que él organizaba participaban Pierre Gassendi, Descartes y muchos otros. En su
celda fue donde Pascal conoció a Descartes. La correspondencia que Mersenne
mantenía con los científicos de su tiempo iba a lugares tan dispares como Londres,
Túnez, Siria y Constantinopla. Él recibía los últimos descubrimientos e ideas de
Huyghens, van Helmont, Hobbes y Torricelli. Dada su personalidad era el perfecto
intermediario de una comunidad de sabios irascibles y mordaces. Mersenne no
tenía pretensiones de prima donna, así que obtuvo la confianza de los científicos,
mismos que escuchaban sus consejos.
Mersenne se relacionó con personajes muy variados en su red de correspondencia.
Publicó también una versión francesa de las obras de Galileo, pero se resistió
a defender la nueva astronomía. Mandaba información a Inglaterra sobre
cualquier experimento realizado en París y pedía que le informaran sobre
cualquier actividad científica que ocurriera en Inglaterra. Todas estas experiencias
fueron plasmadas en un libro titulado Cuestiones teológicas, físicas, morales
y matemáticas. Mersenne mantenía un intercambio muy activo con científicos
ingleses, enviándoles libros franceses a la vez que recibía libros de Londres. De
esta manera, el padre Marin inspiró en la isla británica un tipo de parlamento
científico más formal, mismo que cristalizaría más tarde en la creación de la Royal
Society.
Mersenne inspiró también la creación de otras reuniones de científicos en París,
organizadas por personajes acaudalados de la época. No obstante, hasta su muerte,
en 1648, el verdadero centro de la ciencia francesa siguió siendo su celda en el
monasterio de los Mínimos.
La labor de Mersenne no se limitó solamente a ser un promotor de la ciencia.
Siguiendo el camino marcado por Galileo, publicó y cuestionó experimentos de
éste que influenciaron a otros científicos que ayudaron a la conformación del
experimento moderno en la física. En particular, realizó experimentos sobre la
caída libre y en sus experimentos con péndulos descubrió su anisocronía. Sin
embargo, el fraile se restringió solamente a reportar los resultados de su trabajo y
no se dio cuenta exacta de las implicaciones de sus investigaciones en el contexto
de la naciente física galileana.
La aceleración gravitacional
En su obra titulada Harmonie universelle, Mersenne da a conocer sus
experimentos respecto a la medición de la “proporción entre los espacios y los
tiempos” en el fenómeno de la caída libre. Una de las novedades es la introducción
del péndulo como reloj; sugerencia debida con toda seguridad a Galileo.
Se sabe que empleó un péndulo cuya longitud era de 3 1/2 pies de rey o pies reales
(1 pie real = 32.87 cm), con un semiperiodo de oscilación un poco mayor que un
segundo. La forma de medir el tiempo es interesante. Él ordenaba que uno de sus
asistentes colocara una bola en el punto A (figuras 1 y 2) y la soltara tan pronto el
fraile hiciera lo mismo con una péndola b que tenía sujeta en las manos. Cuando
aquélla llegara al suelo (punto B), se fijaría si la péndola había chocado con la bola
fija b’ colocada simétricamente respecto a aquélla; si no era así, volvía a repetir
todo el procedimiento, modificando únicamente la altura inicial AB. Es obvio que
en un primer intento no consiguió establecer la sincronía entre la llegada de la
bola al suelo y el tiempo correspondiente al semiperiodo de oscilación del péndulo.
Pero repitiéndolo varias veces pudo lograrlo.
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  figuras 1 y 2
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A pesar de su aparente sencillez no se trata de un experimento fácil. En primer
lugar, la determinación de la simultaneidad entre los ruidos producidos por la bola
colocada en A y la péndola estrellándose sobre la bola fija requiere una percepción
auditiva bastante sensible y muy bien educada. En segundo lugar, es muy probable
que Mersenne haya tenido que probar con distintos materiales antes de llevar
a cabo el experimento. Esto seguramente con el fin de evitar, por ejemplo, que
el impacto generado por la bola que cae al suelo opacase el ruido resultante del
choque entre la bola fija y la péndola.
Tampoco es un experimento que necesite una actitud de concentración y precisión
mecánica por parte del experimentador; más bien éste requiere integrar sus
sentidos, vista y oído, para tener una apreciación integral y detallada del conjunto.
La forma de lograr lo anterior era tratando de que el ruido producido por la bola
abandonada desde el punto A coincidiera con el generado por el choque entre
la péndola b y la bola inmóvil b’. Si después de numerosos ensayos los sonidos
se escuchaban simultáneamente, entonces Mersenne podía afirmar que la bola
soltada desde A completaba la distancia AB en un semiperiodo tAB de su péndulo.
Antes de continuar conviene aclarar que el oído de una persona normal puede
apreciar diferencias en tiempo de un dieciseisavo de segundo. Galileo estaba
familiarizado con el conocimiento musical por herencia paterna, y Mersenne
demuestra su conocimiento musical en su Harmonie universelle, en donde
trata sobre todo tipo de instrumentos musicales y de su estructura. Ahora bien,
volviendo con el dispositivo de Mersene, si observamos detenidamente, la parte
más difícil de este experimento no consiste en la detección de la simultaneidad
mediante la forma indicada, sino en buscar la altura adecuada que la produzca.
Son tan numerosos sus ensayos que incluso se siente obligado a refutar el valor
supuestamente manejado por Galileo: “[Si suponemos] que las cien brazas de
Galileo son 166 2/3 de nuestros pies, [aun así] nuestras experiencias repetidas
más de 50 veces […] nos apremian a decir que la bola cae 300 pies en cinco
segundos, es decir 180 brazas, o casi dos veces más que lo propuesto [Y las cien
brazas de Galileo son recorridas] en tres segundos con 18/25 […] y no en 5. Porque
hemos probado muy exactamente que un globo de plomo cuyo peso es cerca de
una libra […] cae de 48 pies en 2 [segundos], de 108 pies en 3 y de 147 pies en 3 1/
2”.
Al atribuir Mersenne a Galileo la “caída de un grave desde una altura de 166 2/3
pies en 5 segundos”, podemos obtener un valor para la gravedad (g) de 438.3 cm/
s2. Por el contrario, el valor reportado por el clérigo (48 pies en 2 segundos) es
superior al de aquél: 788.8 cm/s2; lo cual además supera el valor inferido del folio
galileano 107v, que es de 696.3 cm/s2.
En este folio Galileo demuestra que, en un plano inclinado, los espacios recorridos
por el móvil son proporcionales al cuadrado de los tiempos empleados en
recorrerlos. En otro de sus folios (en el 152r) extiende esta relación al movimiento
de caída libre.
Mersenne presenta una tabla —que aquí se muestra abreviada— donde ordena
sus resultados para compararlos con los de Galileo (cuadro 1).
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 cuadro 1
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La columna A representa el tiempo en unidades de medio segundo. La columna
B, las distancias en pies reales recorridas por el grave en un tiempo determinado,
las cuales son denominadas por Mersenne como los “espacios atravesados” por el
móvil. Las columnas C y D representan las distancias derivadas de la suposición
galileana en pies reales y brazas florentinas, respectivamente.
En realidad, el pie utilizado por Galileo es más corto (29.57 cm) que el pie real
utilizado por Mersenne (32.87 cm). La diferencia entre sus respectivos datos es,
por lo tanto, mucho mayor aún de lo que este último supone. Además, Mersenne
obtuvo 110 y no 108, y 146 1/2 y no 147 1/2. Aquí Mersenne especula a la manera
galileana y corrige los datos de la experiencia para ajustarlos a la teoría. Sabe
que no es posible alcanzar la exactitud que esta última exige por medio de la
experiencia, sobre todo con los medios que tiene a su disposición.
Si aplicamos a los datos anteriores la llamada regla de la proporción doble (i.e.,
suponer que los espacios recorridos son proporcionales al cuadrado de los
tiempos) notaremos una correspondencia exacta, tanto en los resultados de Galileo
como en los de Mersenne. De la misma forma que Galileo, este autor supone que la
proporción que ha encontrado entre los tiempos y los espacios es invariante con
respecto a la distancia sobre la superficie terrestre; y extrapolando termina incluso
por calcular el tiempo que tardaría en caer hasta la Tierra un cuerpo situado cerca
de la Luna.
En su libro Harmonie universelle señala: “Ahora bien, nuestra experiencia muestra
que la bola debe caer desde la Luna, a saber 588 000 000 brazas [322 106 000 m],
o 980 000 000 pies en dos horas, 30 [minutos], 36 [segundos], 57 [décimas], 36
[centésimas], es decir, menos de una hora de lo dicho por Galileo”.
Nótese que el fraile parisino pudo calcular el tiempo que tarda la “bola en
caer desde la Luna” porque conocía no sólo la distancia de ésta a la Tierra,
sino también el valor numérico de la constante g. Esto significa que, aunque
normalmente reportaba dicho valor en términos de distancia y de tiempo, estuvo
en posibilidades de obtener una magnitud que sintetizara matemáticamente
el “grado de aumento en la velocidad”. A pesar de la importancia que tenía dentro
de la física galileana la constante de la aceleración gravitacional, Mersenne no
reportó su valor de manera expresa.
No es difícil descubrir la consecuencia inmediata del razonamiento de que la
aceleración no variaba con la distancia al centro de la Tierra: ésta afectaría
con la misma fuerza un cuerpo colocado a escasos metros de su superficie y
otro colocado en las inmediaciones de la Luna. Tendrían que transcurrir varios
años antes de que la invariabilidad de la constante g fuera refutada. A raíz de
la publicación de la obra cumbre del pensamiento newtoniano (los Principia)
en el verano de 1687, otros científicos continuaron estudiando la influencia de
factores como la distancia, la latitud, etcétera, en la constante de la aceleración
gravitacional. Uno de ellos fue el matemático y físico holandés Christian Huyghens,
quien a finales del siglo XVII demostró que el valor de g varía con la latitud.
La anisocronía del péndulo
Mersenne estudió en forma detallada el movimiento pendular sirviéndose de
sus oscilaciones como si se tratara de un reloj y fue consciente de la utilidad
que un reloj podía reportar en distintas facetas de la actividad humana (no sólo
la científica). Dice en su libro Harmonie: “el [horologium] puede servir en las
observaciones de los eclipses de Sol y de Luna, porque se pueden contar los
[segundos] por las vueltas [del péndulo], mientras […] otro hace las observaciones
y marca cuántos segundos hay de la primera a la segunda y la tercera observación
[…] los médicos pueden usar igualmente este método para reconocer cuántos
pulsos [presentan sus] enfermos […] y también las pulsaciones del corazón, y otras
[pulsaciones que manifiesten] adelantamiento o retardo”.
Su objetivo principal era la estimación del tiempo empleado por un grave cayendo
en forma libre o “bajo la perpendicular”. Mas, ¿pueden considerarse precisas sus
mediciones? Sí, dentro del propio error experimental, por supuesto.
En el Libro Tercero (“Des mouvemens & du fondes chordes”) de su Harmonie
universelle, Mersenne aclara la forma en la cual realizó sus experimentos. El
objetivo de éstos era encontrar una longitud para su péndulo tal que sus “vueltas”
equivalentes a un semiperiodo de oscilación las completara en un segundo. Siendo
necesario para ello: “[una] cuerda de 3 pies y medio [porque ella] marca los
segundos en sus vueltas y revueltas, [y no hay] ningún impedimento [en] acudir a
una cuerda […] demasiado larga, [de modo que] cada una de sus vueltas dure poco
más de un segundo, como [algunas veces obtuve]. Fijando un mismo horologium
común […] medí por completo […] 3 600 vueltas [en una hora] para [dicha cuerda].
Pero habiendo hecho la cuerda de solamente 3 pies, para 900 vueltas [solamente
emplea] un cuarto de hora”.
Mersenne nos habla de un reloj (horologium) empleado para contar “las vueltas
y revueltas del reloj”, que funcionaba de la siguiente manera. Al momento en
que él (o uno de sus asistentes) soltaba la péndola desde el punto A (figura
3), el fraile cantaba una nota de aproximadamente un segundo de duración,
verificando que a su término la péndola hubiese llegado al punto B; de suceder
esto tendría la seguridad de que el péndulo había completado una “vuelta” en
cerca de un segundo. Si no ocurría lo anterior, Mersenne veíase obligado a iniciar
nuevamente con un péndulo cuyo brazo fuese más largo o más corto hasta lograr
que la duración de su nota fuera igual al tiempo de oscilación de A a B. Una vez
logrado esto, repetía toda la operación anterior llevando el registro del número
de “vueltas” efectuadas por el péndulo.
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 figura 3
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Como Mersenne seguramente requería mucha concentración para cantar las
notas, debió pedir a un ayudante que contara las “vueltas” al término de aquellas;
así, al final de un cierto número de notas cantadas, tendrían también otro
tanto de “vueltas” registradas. De la precisión puesta al reproducir las notas
dependería la precisión en el intervalo de tiempo registrado, que a su vez podía
ser confrontado con el obtenido gracias a un dispositivo externo como el reloj de
arena, la clépsidra, etcétera.
Aparentemente Mersenne se complicaba el problema: bastaría contar el número
de “vueltas” en un periodo determinado de tiempo, sin tener que preocuparse por
registrar éste de manera simultánea con aquél. Sin embargo no debemos olvidar
que en el siglo xvii no existían buenos relojes de precisión. Así, Mersenne tuvo que
contar el número de oscilaciones de su péndulo en el mismo instante en el cual
generaba su propia unidad de tiempo.
Existe otro hecho interesante en lo que dice Mersenne: dos péndulos de diferente
longitud (3 y 3.5 pies) completan una “vuelta” en el mismo periodo de tiempo, esto
es, en un segundo. La pregunta que surge es: ¿medio pie en la longitud de la cuerda
no reporta mucha incertidumbre? Veamos.
Supondremos por simplicidad, pues Mersenne no nos informa sobre cómo estaba
realmente construido su péndulo, que éste puede simularse como un péndulo
matemático cuyo periodo viene dado por la siguiente expresión:
T=2p(L/g)1/ 2{1+0.25 sen2 (u/2) + (9/64) sen4 (u/4) + …}
donde L es la longitud del péndulo, g la constante de la aceleración gravitacional
y u es el ángulo inicial respecto a la vertical (BOC en la figura 3) con el cual el
péndulo empieza a oscilar. Suponiendo que la amplitud desde la cual Mersenne
dejaba oscilar la péndola haya sido pequeña, podremos emplear solamente el
primer término de la ecuación al evaluar el periodo de oscilación de cada uno de
los péndulos. Así, los semiperiodos para los péndulos de 3 y 3.5 pies son 1.00 y
1.04 segundos, respectivamente. Siendo la diferencia porcentual (máxima) entre
ellas de 4%, lo cual nos da un primer indicio del error cometido por Mersenne al
determinar el periodo de oscilación del péndulo correspondiente a dos “vueltas”.
Ocho años después, en 1644, reelabora sus investigaciones sobre el péndulo,
vertiendo las mejores en una obra de muy largo título conocida como Cogitata
physico-mathematica. Los resultados de mayor interés, en el tópico que nos ocupa,
son fundamentalmente tres (figura 4): 1) la péndola gasta el mismo tiempo en
ir de C a D que de D a C (el movimiento es simétrico); 2) después de “muchas
vueltas” —Mersenne no especifica cuántas—, el péndulo ya no barre el arco CBD
sino el GBH (o sea, después de un gran número de vueltas existe una especie
de amortiguamiento); 3) las últimas vibraciones del péndulo —de Z a V— son
prácticamente indetectables (existe dificultad para decidir el momento en el cual el
péndulo deja de oscilar).
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 figura 4
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Resumiendo los dos últimos puntos: sea por la resistencia del aire, sea por
agotamiento del “impulso natural”, la péndola termina recorriendo un arco mucho
menor que al comienzo. Por supuesto, al mínimo parisino le faltó añadir la causa
de mayor importancia en lo que atañe al amortiguamiento de las oscilaciones de su
péndulo: la fricción existente en el soporte (punto A, figura 4).
Sin embargo, y a diferencia de Galileo, Mersenne no ofrece ninguna explicación
concreta del fenómeno. Pues según el fraile no existe dificultad alguna: mientras
las oscilaciones se efectúen en prácticamente el mismo tiempo, el péndulo sirve
como un reloj (limitado, no obstante, a unos cuantos segundos). Pero eso no
es todo. En la obra referida, el mínimo francés realiza un descubrimiento que
asesta un golpe mortal a la propiedad de isocronía del péndulo galileano. Al
contar el número de vibraciones para dos amplitudes iniciales distintas (figura
4), “[nos dimos cuenta de que] la esfera de C a B [emplea] algo más de tiempo que
[cayendo] de E. [Si colocamos dos péndolas] la una desde C, la otra desde G, para
que comiencen sus vibraciones […] iniciadas desde G, hay casi 36 vibraciones,
mientras que iniciando de C [hay] exactamente 35 vibraciones […] una vibración
ganada cayendo desde G, y las vibraciones desde G y desde C empezaron al mismo
tiempo”.
Como a partir de G existen cerca de 22.5o, y desde C hay 90o, usando la ecuación
anterior hasta el segundo orden y para L=3.5 pies, resultan:
T1(u=22.5o) = 2.10 segundos,
T2(u=90o) = 2.34 segundos.
Existe —nos dice— casi una “vibración” de diferencia; es decir, aproximadamente
la cuarta parte del tiempo correspondiente a una oscilación completa de
su péndulo (“vibración” es un término con el cual Mersenne designa al
tiempo emplado por la péndola en ir desde el punto donde se le abandona
hasta la perpendicular AB. Esto significa que Mersenne cuenta en realidad
cuatro “vibraciones” en lo que nosotros entendemos como un “periodo de
oscilación”. Recuérdese también que hace sus mediciones con péndulos de 3 y 3.5
pies, cuyo semiperiodo es de un segundo, medido con el procedimiento señalado
líneas arriba. También conviene aclarar que analizando su Harmonie universelle
no queda duda acerca de que los segundos utilizados por él son equivalentes a
nuestros segundos actuales).
La diferencia entre los periodos de los dos péndulos con distintas amplitudes
iniciales (22.5° y 90°) utilizando la primera ecuación hasta el término de segundo
orden es T2-T1 = 0.24 segundos. De esta manera, resulta que la estimación
de Mersenne relativa a la anisocronía del péndulo posee un buen margen de
aproximación si consideramos que es probablemente la primera medición de
este tipo en la historia del péndulo. Así, la observación del religioso es la primera
evidencia de la dependencia entre el número de oscilaciones efectuadas por la
péndola y la amplitud desde la cual se suelta ésta. No obstante, Mersenne jamás
se percató de las implicaciones que su descubrimiento tenía para la nueva física y
sólo se circunscribió a reportar sus investigaciones.
Viendo el asunto en forma retrospectiva, Mersenne tuvo entre sus manos un
resultado que modificó el rumbo de la teoría y de la experimentación física.
Algunos años más tarde, nuevamente el holandés Christian Huyghens, gran
conocedor de las obras de Galileo y Mersenne, reconsidera el problema del
péndulo y, tomando como punto de partida las investigaciones del último autor,
comienza una serie de investigaciones teóricas y experimentales que culminan con
la construcción de un reloj de péndulo isócrono, dando a conocer los pormenores
de su construcción en una obra, escrita en latín y publicada en el año de 1673,
titulada Horologium oscillatorium. En ésta comunica haber descubierto, de manera
teórica inicialmente, una curva en la cual las oscilaciones se realizan en forma
independiente de la amplitud inicial; curva que no es, como suponía Galileo, el
círculo sino la cicloide. Lo anterior es muy curioso porque la palabra “cicloide” fue
acuñada por el mismo Galileo. Una vez que Huyghens encuentra la curva isócrona
procede a fabricar un reloj con tales características.
Lo abordado anteriormente muestra cómo las investigaciones que empezaron
por tratar de medir una constante de proporcionalidad entre los tiempos y los
espacios solamente alcanzaron la cúspide cuando el dispositivo de medición fue
reelaborado. Es decir, esta búsqueda experimental contenía, en sus formas de
medición, el germen cuyo desarrollo permitiría conocer con precisión la constante
referida, esto es, la aceleración gravitacional.
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Agradecimientos
Al maestro Miguel Núñez Cabrera por la revisión del manuscrito y sus valiosas
observaciones.
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Referencias bibliográficas
Álvarez G., J. L. y Y. Posadas V. 2002. “La obra de Galileo y la conformación del
experimento en la física”, en Revista Mexicana de Física, vol. 49, núm. 62.
Courant, R. y F. John. 1971. Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I,
Edit. Limusa, México.
Huyghens, C. 1673. Horologium Oscillatorium.
. 1690. Discours de la cause de la pesanteur, Pierre van der Aa Leide.
Mersenne, M. 1644. Cogitata physico-mathematica (Phenomena ballistica), Parisii,
Propositito xv, p. 38.
Mersenne, M. Harmonie universelle. 3 vols. cnrs, París, 1975.
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José Luis Álvarez García
Yolanda Posadas Velázquez
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.
_______________________________________________________________
como citar este artículo → Álvarez García, José Luis y Posadas Velázquez, Yuri. (2004). Marin Mersenne, más que un promotor de la ciencia. Ciencias 73, enero-marzo, 50-58. [En línea] |
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| Un área cuadrada próxima a π |
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Conrado Ruiz Hernández
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| En la antigüedad los matemáticos pudieron calcular con exactitud las áreas de las figuras geométricas planas limitadas por líneas rectas; pero tropezaron con dificultades cuando se trataba del círculo. Para esto era indispensable conocer, aunque fuera de manera imprecisa, el valor de π. En toda la historia a π se le han asignado aproximaciones que ocupan un espectro de valores numéricos desde 2.828 hasta 3.16. Por ser lo más conveniente y apegado a un criterio de metrología, respondiendo a una necesidad pragmática, se utiliza por lo general la aproximación 3.1416 (con redondeo a diezmilésimas). |
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 figura 1
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| El método más directo para intentar el cálculo de π, que es el cociente proveniente de la división entre la circunferencia o perímetro del círculo con su diámetro, es hacerlo como a continuación se indica, todo esto resuelto con la mayor meticulosidad y exactitud posibles. Se extiende una cuerda que sea igual a la circunferencia y se compara con otra cuerda que tenga la longitud del diámetro, de este modo se observará que la circunferencia es tres tantos y un trocito de cuerda más larga que la longitud del diámetro (figura 1). Esa fracción, que equivale aproximadamente a 1/7 de una de las tres partes enteras en que cabe el diámetro en la extensión de la circunferencia, es lo que convierte a π en el número irracional —adicionando a esto la peculiaridad de ser también trascendente (la explicación de este concepto se da más adelante)— que más quebraderos de cabeza ha ocasionado en toda la historia de las matemáticas. Se pueden aplicar otros métodos, como por ejemplo inscribiendo polígonos regulares (con el mayor número de lados que sea posible dibujar), dentro de un círculo o por medio de cálculos teóricos (figura 2); todo esto con la pretensión de poder encontrar el valor real de π. El cálculo moderno del número π proviene de un procedimiento infinitesimal descubierto por el escocés James Gregory en 1671, mismo que se relaciona con el límite de una serie infinita. De aquí que la versión más aceptada de este número corresponda a la secuencia: 3.141592653589…; guarismo que tiene un sinnúmero de decimales. |
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 figura 2
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La ecuación que se aplica es: π=4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 +…) Para este cálculo infinitesimal se requiere una serie de al menos mil fracciones, nótese la alternancia de resta y suma. Ya entrado el siglo XIX se calcularon los primeros quinientos decimales exactos de esta aproximación considerada para π; aunque los mismos pueden continuarse hasta ocupar todo el universo, haciendo falta todavía un mayor espacio (en la actualidad el cifrado de este número, obtenido con ordenadores para cálculo masivo, rebasa los dos millones de decimales). Esta peculiaridad no sólo es el inconveniente de los números irracionales, los decimales periódicos (clasificados como racionales), poseen también una fracción decimal infinita. En éstos hay un número o un grupo de ellos que se repite un sinfín de veces (por ejemplo: 0.33333… o 0.142857142857…). Cabe mencionar que en cualquiera de las aproximaciones de π utilizada, pudiendo ser para cálculos astronómicos como en mediciones que ocurren en la pequeñez de un átomo, a π siempre se le hace un ajuste: ya sea truncando casi la totalidad del cifrado decimal o por redondeo (normalmente a diezmilésimas). No existe un solo uso práctico de este número que se haga con el guarismo completo, ya que el mismo, en su connotación irracional, es inconmensurable (esto significa que no guarda una relación o proporción exacta con otra magnitud, por lo cual, es inmedible) e imposible de escribirse completo. Esto ocasiona, que si bien el área circular íntegra se contiene dentro de la circunferencia, el cálculo de la misma (π × radio2) siempre será un resultado aproximado; situación que es aceptada por los usuarios de las matemáticas sin la menor preocupación. A nivel de su enseñanza se privilegia la memorización de una de las aproximaciones con que se maneja este número (3.14 o 3.1416). Por lo general, los alumnos que concluyen la educación básica, desconocen el procedimiento o algoritmo que da lugar a este número (este dato es referido al caso mexicano, aunque puede ser interesante hacer la indagación sobre lo que sucede con alumnos de otros países). Esto se debe principalmente a las complicaciones didácticas que contiene, así como también a la exclusión que se da al tratamiento de los números irracionales en el currículo elemental de las matemáticas. La habilidad principal que se fomenta, en el caso de tener que hacer frente a un número irracional, es saber que se le puede “racionalizar” truncándolo o redondeándolo. Es lamentable el desaprovechamiento que se hace del número π, al menos para dar una noción introductoria, sobre lo que son los números irracionales (aquellos que tienen una fracción decimal interminable y desordenada). Cuadratura y “triangulatura” del círculo Pitágoras, en el siglo VI a.C., imprimió una mayor audacia intelectual y exigencia tecnológica al servicio que se esperaba de las matemáticas. El teorema que lleva su nombre, mismo que de manera primitiva era aplicado desde antes por los babilonios y los egipcios (en la construcción de buena parte de las pirámides por ellos edificadas, la pendiente de las mismas se resuelve con la aplicación rudimentaria de ese principio) es considerado como la piedra angular que propició el desarrollo avanzado de la geometría y de los procedimientos de cálculo. Posterior a Pitágoras otro filósofo griego, Hipócrates de Quíos, en el siglo V a.C., se destacó por estudiar con gran profundidad la geometría del círculo. Este autor fue quien formuló el problema de encontrar la cuadratura del círculo. La cuestión básicamente consiste en construir un círculo y un cuadrado que posean áreas del mismo tamaño. Desde su planteamiento original se estableció la condición de que la solución contemplara el empleo de regla y compás; quizás debido a que eran los instrumentos más confiables de que disponían los matemáticos en la antigüedad. Conforme la solución del problema se demoraba con el transcurrir de los siglos (más de dos mil años), surgió un número importante de críticos que cuestionaban la restricción que obligaba el empleo ineludible de la regla y el compás. Sin embargo, de todas maneras no se ofrecía un método alternativo que resolviera en definitiva el problema. Asimismo, la implicación de ideas metafísicas (la manera en que se imaginaban algunos pensadores como son o deben ser los fenómenos) en que efectivamente incurrieron algunos de estos filósofos, particularmente en la admiración que le profesaban a la figura del círculo, daba pie a sospechar que tal circunstancia podía pertenecer a un marco referencial arcaico o de plano no científico. Al igual que lo mencionado para el teorema que formalizó Pitágoras, los egipcios hicieron con anterioridad un intento por hacer coincidentes el área de un círculo con la de un cuadrado. Hace cerca de cuatro mil años que el escriba egipcio Ahmes dejó asentado en el detalle número 36 de un papiro descubierto a mediados del siglo XIX (es el documento matemático más antiguo existente; lo encontró en un bazar de Egipto un comerciante inglés de apellido Rhind), que tal igualdad se puede lograr cuando un cuadrado tenga lados que sean 8/9 del diámetro de un círculo. Esto da lugar a la aproximación de π más excedida (dos centésimas de más) de todas las existentes: 3 + 13/81 (es decir 3.16…); sin embargo, considerando los recursos de cálculo y medición que tenían a su alcance los matemáticos egipcios, el intento realizado representó un trabajo laborioso y de gran mérito. Este desarrollo respondió probablemente a la resolución de una necesidad técnica relacionada con el almacenamiento de granos y la cubicación de materiales de relleno o soporte (como por ejemplo arena y grava) requeridos en edificaciones; en particular para encontrar equivalencias entre volúmenes cúbicos, piramidales y cilíndricos. Se cuenta con evidencia suficiente que permite entrever que Arquímedes, abordó de manera tangencial el problema de encontrarle la cuadratura al círculo. Primeramente calculó las aproximaciones más exactas del número que pudieron tenerse en el mundo antiguo: 3 + 10/71 (es decir 3.1408…) y 3 + 1/7 (de igual manera 3.142857…); ambas provenientes de los perímetros de dos polígonos regulares, mismos que se construyen con la mayor semejanza posible a la longitud de la circunferencia, el primero de ellos inscrito y el segundo circunscrito. La primera de las aproximaciones mencionadas configura un valor numérico irracional y la segunda un valor numérico racional infinito: 3.142857 (toda la fracción decimal es un periodo, mismo que se repite un sinfín de veces). Cada una de estas dos aproximaciones mencionadas representa los límites entre los que se encuentra el valor verdadero de este número (3.14159265…). Tiempo después este científico notable formalizó de manera axiomática, o si se prefiere esquemática, la demostración de la “triangulatura” del círculo. Esto se establece del modo siguiente: un triángulo rectángulo posee la misma área de un círculo cuando el primero tiene como base una longitud igual al radio del segundo y como altura toda la extensión de la circunferencia del mismo. Un ejemplo sencillo se puede realizar de esta manera: diámetro = 5 cm; radio = 2.5 cm; y π = 3.14 (la aproximación de este número más utilizada para fines escolares). (Área del círculo = 3.14 × (2.5 cm)2 = 19.625 cm2. Área del triángulo rectángulo = (2.5 cm × 15.7 cm)/2 = 19.625 cm2. El valor 15.7 cm es la longitud calculada para la circunferencia (3.14 × 5 cm) que se toma como la altura del triángulo rectángulo. Nótese la sencillez de esta solución, sobre todo cuando no se cuestiona la elección de una aproximación al número que convenga para la consecución del fin pretendido, lo que comúnmente se acepta cuando se realizan cálculos semejantes. Haciendo una conjetura, si es que Arquímedes efectivamente buscó la solución de la cuadratura, con la demostración de la “triangulatura” del círculo dio por terminada su pesquisa sobre esta cuestión (figura 3). |
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 figura 3
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| Con estos trabajos realizados por Arquímedes, se ilustra que en el abordaje de este problema ancestral las cuadraturas propuestas por lo general no siempre son precisamente cuadradas; es decir que pueden ser triangulares o por medio de polígonos regulares e irregulares con más de cuatro lados. Esta multiplicidad de posibilidades es una consecuencia de la fusión de los problemas, en principio diferentes, aunque relacionados, de la cuadratura del círculo (que antecede con mucho al segundo) y la rectificación de la circunferencia. π x radio2 pudo provenir de un cuadrado Sin embargo, ¿cuál sería la razón verdadera que originó la búsqueda por igualar las áreas de un círculo y un cuadrado, a pesar de las dificultades ya conocidas? Encuentro que puede tener fundamento esta conjetura que me doy la libertad de formular, misma que se expone más adelante. Tanto los babilonios como los egipcios, remontándonos hace más de cuatro milenios, ya dominaban el cálculo para la obtención del área del círculo aplicando la ecuación: π × radio2, (con el vocabulario y signos que ellos entendían; la letra griega π se adoptó para hacer referencia a este número al comienzo del siglo XVIII). Considerando el manejo de una matemática demasiado elemental, ¿cómo supieron que se requería para el cálculo del área circular el cociente que resulta de la división entre la circunferencia o perímetro y el diámetro? Es de pensarse, como se hace en la mayoría de las investigaciones, que se contó con al menos un modelo eficiente que les permitió deducir la ecuación del área en el círculo. El punto de partida debió ser el cuadrado. Este cuerpo geométrico, en lo que se refiere a sus parámetros básicos (lado, perímetro y área), demanda la aplicación de operaciones realmente sencillas y sin ninguna complicación matemática. Se plantea la conjetura siguiente: “la ecuación que resuelve el cálculo para la obtención de un área circular se dedujo y comprobó primero, teniendo como ejemplo a una ecuación para el cálculo del área de un cuadrado que fuera en cierto modo análoga con respecto a la del círculo”. Los matemáticos de la antigüedad seguramente estaban mejor enterados de las etapas de todo este desarrollo (tanto por documentos escritos, en la actualidad desconocidos, como por tradición oral). Desde una perspectiva diferente —con todas las ventajas que proporciona el mundo moderno— es posible proponer con cierta audacia intelectual que la primera versión de la ecuación para calcular el área de un círculo se obtuvo de ésta que también funciona para el caso del cuadrado: área = (perímetro/mediatriz) × (mediatriz/2)2; siendo realmente la versión más barroca de una ecuación que puede concebirse para calcular el área de este cuerpo geométrico (cuya fórmula típica es sencillamente base × altura). La mediatriz, línea recta que divide al cuadrado (a la mitad de sus lados) en dos partes iguales, desempeña el mismo papel del diámetro. En esta ecuación sui generis, la razón perímetro/mediatriz es análoga a la que representa en el círculo el número (en el cuadrado es igual a cuatro). El paso siguiente, sin requerirse demasiados recursos matemáticos (tomando en cuenta las limitaciones de la época), fue el adecuar el ejemplo a las características propias del círculo: área = (circunferencia/diámetro) × (diámetro/ 2)2. Esto en buena medida puede explicar la búsqueda de la igualdad —como un interés intelectual de algunos matemáticos— para ambas superficies. El desarrollo esquemático de la figura 4 ilustra esta suerte de transposición, de cómo el ejemplo probado tentativamente primero en el cuadrado pudo servir para deducir la fórmula que resuelve el cálculo del área de un círculo, aunque debe aceptarse que esta conjetura no podrá verificarse —quizás nunca— de manera consistente. |
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 figura 4
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El morbo ciclométrico
El problema de encontrarle la cuadratura al círculo se convirtió en un pasatiempo elegante —aunque en ocasiones enfermizo— para matemáticos y filósofos durante la Edad Media y el Renacimiento. En la jerga popular se asume que el intentarlo es ocuparse en una tarea ociosa e inútil, ya que el sentido común indica que tal logro es imposible, creencia que es compartida por gran parte de las culturas del orbe. Tras varios miles de años de búsqueda infructuosa en el intento de resolver la cuadratura exacta del círculo, aunado a la moda intelectual incubada al interior de los claustros académicos durante la ilustración en Europa de discernir sobre una abundante cantidad de cuadraturas disparatadas, se consideró conveniente (dado lo ocioso del tema) prohibir la aceptación de trabajos y disertaciones sobre dicho tópico, censura que se aplicó desde el final del siglo XVIII en las principales sociedades científicas europeas. Augustus De Morgan, en un anecdotario sobre curiosidades matemáticas, describió en 1872 la enfermedad (que de acuerdo a su parecer) padecen los buscadores de la cuadratura del círculo, a quienes considera afectados del morbus cyclometricus. Me tomé la libertad de indagar en el medio psiquiátrico sobre el reconocimiento clínico del presumible desorden mental que puede ocasionar la búsqueda de la cuadratura del círculo. Se trata de una mera broma para ridiculizar al que con pleno conocimiento de causa o al ingenuo que se toma el atrevimiento de indagar en lo prohibido, es decir, a quien cuestiona un paradigma establecido y que de plano por convicción o por ignorancia no lo toma en cuenta. Es cierto que toda indagación intelectual obsesivamente tratada (de cualquier índole, no necesariamente sólo lo que concierne a las matemáticas) puede provocar al implicado alteraciones mentales. Sobre este particular hay casos de matemáticos sumamente célebres que mostraron —ocupados ellos en cuestiones ajenas a la cuadratura— signos severos de desorden mental: como ejemplos se tienen a Kurt Göedel y a John Nash (el personaje principal del filme Una mente brillante; aunque en este último caso la esquizofrenia que padece el protagonista tiene un origen psicosomático). Asimismo, Apóstolos Doxiadis en una novela reciente, El tío Petros y la conjetura de Goldbach, relata las consecuencias que trae consigo el manejo emocionalmente inapropiado de un objeto de estudio. Otro ejemplo fílmico, en el terreno de la ciencia ficción, se tiene en el drama π, El orden del caos, en donde el investigador (un joven doctor en matemáticas) con el fin de curarse de la obsesión que lo acosa por descifrar el patrón oculto del número π, se aplica él mismo una grotesca lobotomía con un taladro casero. Finalmente Ferdinand Lindemann encontró en 1882 que π es un número trascendente, lo que constituye la mayor calamidad que puede contener un número irracional; esto ocasiona que su raíz cuadrada no pueda ser una solución para ecuaciones como la siguiente: a2 – 2 = 0. En el ejemplo la solución es a = √2 (esto sí es posible dado que dicha raíz da como resultado un número irracional algebraico, es decir, no trascendente). Con este hallazgo se terminó de tajo con la ilusión de poder igualar de manera exacta las áreas de un círculo y un cuadrado. La explicación es sumamente comprensible: no pudiendo la raíz cuadrada de los números trascendentes ser la solución en ecuaciones con coeficientes enteros positivos, un cuadrado con área igual a π no es posible que tenga lados que sean iguales a su raíz cuadrada. No obstante la contundencia axiomática de este teorema, dos matemáticos de primer nivel, Specht en 1836 y Ramanujan en 1913, intentaron antes y después de la formulación de este teorema sendas soluciones aproximadas muy bien elaboradas. El primero calculó un área para π de 3.1415919… mientras el segundo obtuvo 3.14159292…; en ambos casos los cuerpos geométricos proyectados son cuadrados.  figura 5 |
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Un cuadrado con área igual a π
La aceptación del teorema de Lindemann obliga a que la intención de igualar un área circular con una cuadrada se realice a priori en los términos de una mera aproximación, pero, ¿qué tan cercana podrá ser ésta con el valor verdadero del número π? Partiendo del análisis de una aproximación romboidal, inscrita en el escenario del teorema I-1 de Euclides (figura 5), en donde se alcanzó un área igual a 3.10… (resultado que guarda proximidad, utilizando la función tangente del ángulo inferior izquierdo del rombo, con la serie infinita descubierta por Euler, cuyo límite es π2/8), se pudo determinar que la bisectriz al cuadrado de un triángulo equilátero —descrito en el teorema de Euclides mencionado— sí permite proyectar un área cuadrada infinitesimalmente próxima con el valor verdadero del número π (figura 6). El área señalada (b2) se puede calcular de manera expeditacon la aplicación del teorema de Pitágoras, considerando la base (a) y la altura (b)respectivas, procediendo para su resolución la ecuación siguiente (en donde se incluyen dos versiones reducidas de la misma): b2=a2 – (a/2)2 = (a/2 √3)2 = 3a2/4 |
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 figura 6
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| Para una base (a) con valor racional finito las ecuaciones primera y tercera producen un resultado racional, en cambio la segunda de ellas, que es matemáticamente semejante a las anteriores, da lugar a un numeral irracional(más parecido al guarismo π aceptado por la comunidad matemática). Teniendo una base (a) de un triángulo equilátero igual a 2.046653415893 —longitud que con los recursos de metrología actuales se puede medir exactamente— se genera un área b2 = 3.14159265358986391874058675 (cálculo realizado sin redondeo y utilizando la tercera de las ecuaciones señaladas), que para los efectos de este reporte se propone como una aproximación al número coincidente a billonésimas —en los primeros doce decimales hay similitud y en los catorce restantes no— con el valor más aceptado de esta razón, misma en que se puede mejorar su precisión prácticamente de manera ilimitada. Cabe mencionar que esta aproximación del número π, efectivamente contenida de manera íntegra (con valoración completa) en un cuadrado, difícilmente puede alcanzarse con los procedimientos de rectificación de la circunferencia realizados por medio de polígonos regulares, en donde siempre se obtienen residuos decimales interminables. Un comentario final: el cuadrado proyectado que tiene un área infinitesimalmente próxima al valor reconocido de π sí se puede construir con regla y compás, a condición de que estos recursos estén equipados con aditamentos de alta tecnología; la medición exacta de las longitudes implicadas requiere precisiones a nivel de ángström e inclusive en décimas de esta misma unidad (o sea 1 × 10-8 milímetros). |
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Conrado Ruiz Hernández Facultad de Estudios Superiores Iztacala,
Universidad Nacional Autónoma de México. _______________________________________________________________
como citar este artículo → Ruiz Hernández, Conrado. (2004). Un área cuadrada próxima a p. Ciencias 73, enero-marzo, 64-72. [En línea] |
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