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Conrado Ruiz Hernández y Alma Lupercio Lozano      
               
               
La discalculia es una afección en el aprendizaje, específica de
las matemáticas, en la cual el sujeto que la sufre está impedido para fijar su atención, es decir, padece de un déficit de percepción visual o de problemas en cuanto a la orientación secuencial —por la incomprensión del lenguaje simbólico— en una operación elemental de cálculo aritmético, tanto de manera mental como en mecanizaciones escritas. Esta discapacidad puede tener manifestaciones clínicas leves o muy severas, como el no poder resolver cuánto es dos más dos.

En estudiantes con capacidades normales —sin dicha afección—, ésta no puede ser la razón de un bajo rendimiento escolar en el aprendizaje de las matemáticas; las causas son otras: contenidos truncos o inapropiados de los programas escolares, estrategias didácticas ineficaces y malos hábitos de estudio.

En la educación básica, un desarrollo apropiado en las asignaturas instrumentales, como español y matemáticas, permiten al estudiante seguir aprendiendo en áreas curriculares, como son las ciencias naturales o las sociales, a partir de libros y otros medios de información que son indispensables para continuar en el siguiente nivel educativo.

Se tiene la referencia de que los alumnos regulares de educación básica —etapa educativa que concluye con el tercero de secundaria— tienen como “talón de Aquiles” la dificultad para reconocer los términos (los cómputos independientes o los valores unitarios separados por una suma o resta en una operación seriada) de un polinomio, ya sea por un defecto en el aprendizaje o por falta de práctica.

Para conocer cuál es la situación actual de esta dificultad en estudiantes universitarios que no padecen de discalculia y estudian una carrera científica, se aplicó un diseño de corte experimental en un grupo de estudiantes de ciencias biológicas con los objetivos siguientes: 1) conocer el nivel de dominio en habilidades numéricas, especialmente la identificación de los términos en un polinomio; y 2) evaluar la eficacia del paréntesis como una ayuda para la identificación de los términos, a modo de recurso preventivo para la disminución significativa de las equivocaciones.

Se formuló la siguiente hipótesis: la delimitación de los términos con paréntesis en un polinomio sí disminuye significativamente la incidencia de equivocaciones en estudiantes universitarios de carreras científicas. A continuación se aplicó un cuestionario de doce preguntas (cuadro 1) sobre aspectos elementales de aritmética, con el cual evaluamos, de manera particular, las operaciones implicadas en una transacción comercial (una niña compró una paleta de $2.00 y tres chocolates de $4.00 cada uno, ¿cuánto gastó?) y la ejecución de la suma de un polinomio: 3.2 + 4.4 × 2. En la primera, el resultado es catorce pesos; en la segunda, doce. Esencialmente se trata de dos operaciones semejantes, ambas constan de dos términos, sólo que una se realiza en un plano concreto o de la vida cotidiana, y el otro, más propiamente como una abstracción. De las dos, la que está reportada como un verdadero problema de aprendizaje escolar es la segunda. La variable independiente que determina a los dos tratamientos experimentales fue que a un grupo de alumnos se le presentó la suma del polinomio sin paréntesis y a otro semejante la misma con paréntesis, es decir: 3.2 + (4.4 × 2).

Cuadro 1. Cuestionario contextual de diez preguntas
(se responde sin utilizar calculadora).
Preguntas Respuestas
1)*    3 968 + (?) = 4 987 1 019
2)*    (¿) x 5 = 2 160  432
3)*    43.50 + (?) = 65.92 22.42
4)*    (?) x 0.5 = 234.0 468
5)    Elevar 25 32
6)     9 Respecto de 3, ¿qué es: mayor, menor o igual? Igual
7)    
Si cuatro tortas de milanesa cuestan 60 pesos, ¿cuánto cuestan tres? 45 pesos
8)    9.25 x 10 = 92.5

9)**    
De estos tres números: 2.8, 2.71 y 2.798:

a) ¿cuál es el más grande?,

b) ¿cuál es el más chico?

2.8

2.71

10)    A qué es igual la mitad de ½: 1/4
* En el cuestionario estas operaciones se presentan en forma vertical (como se realizan las mecanizaciones típicas); sin embargo, la solución no es literal, sino el inverso de la operación exhibida.
** En esta pregunta el punto se concede sólo con los dos aciertos.

Todos los participantes (treinta y cuatro alumnos, los cuales fueron divididos en dos subgrupos equivalentes) son estudiantes universitarios que inician una carrera científica y la distribución de los tratamientos fue al azar, lo que significa que a cualquiera pudo tocarle alguno de los cuestionarios distintos.


Los beneficios del uso de paréntesis

En estudios anteriores se observó que el uso de paréntesis como ayuda para permitir la identificación de los términos en un polinomio posee una eficacia de 5% en alumnos de sexto de primaria (quizás debido a que les falta familiaridad con ese recurso matemático) y de 50% en alumnos de tercero de secundaria. Parece ser que la práctica coadyuva a la identificación correcta de los términos, conforme al avance escolar, con y sin paréntesis. Los resultados que observamos en estudiantes de ciencias (cuadro 2), además de mostrar un desempeño apropiado de habilidades numéricas (es bueno, de nueve en promedio ya que, respectivamente, es de cinco y siete en estudiantes de sexto de primaria y de tercero de secundaria), dejan ver que es en el nivel universitario en donde la eficacia del uso de paréntesis como una ayuda para la identificación de los términos en un polinomio es mayor: de 100%. La seguridad estadística para la diferencia observada entre los grupos con los términos sin paréntesis y con éstos es de 99.9%, lo que es altamente notable si se considera que se trabajó con muestras pequeñas (n = 17).

 Cuadro 2. Aciertos en los tratamientos.
 Cuadro2a107A11

La docimasia o docimología, que es el arte de evaluar el logro por medio de pruebas y exámenes, es un recurso verdaderamente útil; esta misma orientación es la que poseen las evaluaciones internacionales que realiza la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde). El ejercicio que aquí reportamos comprueba la eficacia de dicha modalidad de evaluación educativa tanto para un abordaje general (cuestionario contextual) como para detalles específicos (identificación de los términos en una compra de estanquillo y en la suma de un polinomio).

La calificación binaria que se aplicó (cero para el desacierto y uno para el acierto), permitió resolver con gran sencillez los cálculos necesarios para la certidumbre estadística que alcanzó la diferencia en la suma correcta del polinomio con los términos sin y con paréntesis. Ésta es la variable independiente que tuvo el diseño y fue el único reactivo o pregunta del cuestionario en que se presentó una diferencia significativa. El cálculo de la significación estadística (abajo) permitió la corroboración del teorema siguiente y sin que se tuvieran aspectos oscurantistas (lo que es común en los “rituales” de estadística habituales): “la probabilidad de ocurrencia de un hecho repetidamente observado (en este caso, la diferencia en puntos, entre dos muestras de alumnos), está contenida en el hecho mismo”.


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Los numeradores en el dividendo son los aciertos con la suma del polinomio entre paréntesis (17) y sin ellos (7); el denominador es el número de participantes en cada uno de los subgrupos (ambos integrados por 17 sujetos). Los numeradores presentes en los factores incluidos dentro del radicando son los aciertos totales contabilizados para los dos subgrupos de alumnos que se comparan (17+7=24) y en el denominador (17+17=34) se acumulan los aciertos totales posibles en ambos subgrupos o muestras. El producto de: (24/34) × (124/34) es la variancia para este tipo de comparación; el primer factor representa la probabilidad de ocurrencia de los aciertos, y el segundo la probabilidad de no ocurrencia de ellos. En el tercer factor del mismo radicando están los recíprocos (1/17) de cada una de las muestras (n=17).

El valor de Z así obtenido, que es muy parecido a la más reconocida prueba de t, alcanza para la diferencia en aciertos observada una seguridad estadística de 99.9%. Así vistas las cosas, todo parece ser, muy claro.

Los examinados son estudiantes de una carrera científica (biología), por lo que si se incluyen otras formaciones profesionales, entre las que se pueden encontrar algunas que prescindan del uso y práctica de las matemáticas, el resultado que muestra el cuadro 3 probablemente tendría una distribución de calificaciones con rango 010, y no como lo observado en este caso, con rango 610 (a modo de curva logística o asíntota), con sesgo hacia las calificaciones altas.

 

Cuadro 3. Frecuencia de puntuajes individuales en los participantes (34 alumnos).
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Discusión

Sin el paréntesis, la incidencia de equivocaciones en los universitarios es de 60%. Cabe mencionar que, efectuando la operación de suma con calculadora científica de bolsillo, los aciertos se elevan a 100%, lo que permite establecer que la discalculia por inadvertencia de los términos es más propiamente un lapsus numerae (equivocación involuntaria). Reconocida como tal, puede ser prevista por el maestro, advirtiendo a los alumnos del problema (puede ser que repase con ellos el concepto de término, por ejemplo), y previniendo la incidencia de equivocaciones al anotar entre paréntesis los términos complicados —o que puedan tener un efecto capcioso— de polinomios en las ecuaciones.

Analogía entre la sílaba y el término

La sílaba representa la pronunciación de una o varias letras en un solo golpe de voz.
El término representa a un solo valor o cómputo independiente, separado por suma o resta, en una operación seriada.

Esta comparación, se propone como un ejercicio didáctico para  vincular el español y las matemáticas, en donde la clasificación de las palabras (por la colocación del acento), lo que lleva al reconocimiento de las sílabas, es un procedimiento parecido a la identificación de los términos o cómputos independientes que están presentes en un polinomio. El ejercicio puede aplicarse con diversos tipos de palabras (sobreesdrújulas, esdrújulas, graves y agudas) y términos tales como: 2/5, 32, 25,  16, 3×4, 32/23, etcétera.

Examinar si el diseño experimental posee restricciones particulares cuando se aplica a los escenarios educativo y social es algo necesario, al igual que la revisión de las características que debe poseer un experimento verdadero. Asimismo, hay que tomar en cuenta que frecuentemente se tiene el prejuicio de que en las ciencias sociales —en donde se ubica la investigación educativa— este tipo de abordaje es inviable o, al menos, poco objetivo.

En cuanto a la observación de diferencias entre el diseño experimental en las ciencias naturales y las sociales, los alumnos participantes no encontraron rasgos distintivos, ya que la clave para este tipo de abordaje es que se sepa lo que se busca observar y se disponga del método más apropiado que permita con todo rigor resolver el registro de lo que se estudia. El diseño experimental aplicado fue eficaz. Ahora bien, se analizó la plasticidad del método experimental que puede tenerse en las ciencias sociales, en donde éste puede tener connotaciones cuasiexperimentales e, inclusive, seudoexperimentales.

Las deficiencias en el aprendizaje de las matemáticas escolares, esto es, el efecto remanente de lo que debió adquirirse en la escolaridad básica, se arrastra de por vida. En algunos aspectos, como la identificación de los términos en un polinomio, el problema puede ser perdurable, como se observa en los estudiantes de ciencias. Éstos muestran un buen nivel en habilidades numéricas (se puede suponer que conocen otros recursos como el álgebra y el cálculo), pero yerran en la identificación de los términos. Es cierto que, como ya se hizo costumbre en los estudiantes de todos los niveles, normalmente los cálculos aritméticos —desde los sencillos hasta los complicados— se realizan con el apoyo de calculadora científica de bolsillo y computadora.

No obstante, si bien el impacto de la discalculia debida a la inadvertencia de los términos no parece representar un impacto severo en el ámbito de la aritmética, puede ser que en el álgebra y el cálculo la afectación colateral no sea tan menor. Por desconocimiento de los términos sin la ayuda del paréntesis, cerca de 60% de un grupo de estudiantes universitarios erró en la suma de un polinomio, ¿qué podría pasar si la misma suma fuera algebraica o si formara parte de una integral? Con esto queremos señalar que la correcta comprensión de los términos es un aspecto central del razonamiento matemático. Por lo que debe procurarse su enseñanza eficaz, así como el dominio y aprendizaje significativo del concepto desde la primaria.

articulos
Referencias bibliográficas
Alatorre, S. 2002. “Aspectos temáticos del efecto remanente de las matemáticas en México”, en: Algunos problemas de la educación en matemáticas en México, A. De la Peña (compilador). Siglo XXI, México, pp. 51-112.
Bomboir, A. 1971. Pedagogía correctiva. Ediciones Morata, Madrid.
Campbell, D. y J. Stanley. 1993. Diseños experimentales y cuasiexperimentales en la investigación social. Amorrortu, Buenos Aires.

Carraher, T., D. Carraher y A. Schliemann. 1991. En la vida diez, en la escuela cero. Siglo XXI, México.
Gallardo, J., J. González y W. Quispe. 2008. “Interpretando la comprensión matemática en escenarios básicos de valoración. Un estudio sobre las interferencias en el uso de los significados de la fracción”, en Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 11, núm. 3, pp. 355-382.
Ruiz, H. C., V. Hoyos, S. Juárez y A. Lupercio. 2003. “Analfabetismo numérico funcional. Alfabetización matemática en egresados de educación básica”, en Ciencia y Desarrollo, vol. XXIX, núm. 168, pp. 35-41.
Ruiz, H. C. y A. Lupercio. 2007. “Remediación en la educación básica. Un caso sobre alfabetización matemática”, en Ciencia y Desarrollo, vol. 33, núm. 213, pp. 16-21
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Conrado Ruiz Hernández
Facultad de Estudios Superiores Iztacala,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
Es profesor de carrera titular en la FES-Iztacala, UNAM, Realiza investigación en temas de alfabetización matemática y ambietal.

Alma Lupercio Lozano
Facultad de Estudios Superiores Iztacala,
Universidad Nacional Autónoma de México.

Es psicóloga educativa y ambiental, y labora como docente en la FES-Iztacala, UNAM, en donde también colabora en proyectos de investigación educativa.
     
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como citar este artículo
Ruíz Hernández, Conrado y Alma Lupercio Lozano. (2013). La utiilidad de los paréntesis en la enseñanza de las matemáticas. Ciencias 107-108, julio 2012-febrero 2013, 148-153. [En línea]
     

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